圓周運動是高中物理中的重要運動模型，高考年年考，是高頻考點.本文不涉及天體和帶電粒子在磁場中的兩類圓周運動，就2024年高考其他圓周運動試題進行歸類賞析，以促進同學(xué)們對相關(guān)問題的理解和掌握.

一、圓周運動的描述

【例1】（2024·遼寧卷，2）“指尖轉(zhuǎn)球”是花式籃球表演中常見的技巧.如圖1所示，當(dāng)籃球在指尖上繞軸轉(zhuǎn)動時，球面上P、Q兩點做圓周運動的（" ）

A．半徑相等

B．線速度大小相等

C．向心加速度大小相等

D．角速度大小相等

【解析】由圖可知，球面上P、Q兩點做圓周運動的半徑的關(guān)系為rP＜rQ，選項A錯誤；由題意可知，球面上P、Q兩點轉(zhuǎn)動時屬于同軸轉(zhuǎn)動，角速度大小相等，選項D正確；根據(jù)v=rω可知，球面上P、Q兩點做圓周運動的線速度的關(guān)系為vP＜vQ，選項B錯誤；根據(jù)an=rω2可知，球面上P、Q兩點做圓周運動的向心加速度的關(guān)系為aP＜aQ，選項C錯誤.

【答案】D

【賞析】本題通過在指尖上轉(zhuǎn)籃球構(gòu)建同軸圓周運動模型，確定籃球上除轉(zhuǎn)軸上的各點具有相同的角速度是關(guān)鍵.再由圖中確定P、Q兩點的半徑的關(guān)系，之后很容易利用描述圓周運動物理量之間的有關(guān)系式判斷出線速度和加速度的大小關(guān)系.

二、豎直平面內(nèi)的臨界問題

【例2】（2024·北京卷，7） 如圖2所示，光滑水平軌道AB與豎直面內(nèi)的光滑半圓形軌道BC在B點平滑連接.一小物體將輕彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，物體脫離彈簧后進入半圓形軌道，恰好能夠到達(dá)最高點C.下列說法正確的是（" ）

A. 物體在C點所受合力為零

B. 物體在C點的速度為零

C. 物體在C點的向心加速度等于重力加速度

D. 物體在A點時彈簧的彈性勢能等于物體在C點的動能

【解析】物體恰好能到達(dá)最高點C，則物體在最高點只受重力，且重力全部用來提供向心力，設(shè)半圓軌道的半徑為r，由牛頓第二定律得mg=ma=mv2r，解得物體在C點的加速度和速度分別為a=g、v=gr，選項AB錯誤、選項C正確；由能量守恒定律知，物體在A點時彈簧的彈性勢能等于物體在C點時的動能和重力勢能之和，選項D錯誤.

【答案】C

【賞析】豎直面內(nèi)圓周運動有兩類典型的臨界問題：一是繩球模型，通過最高點的臨界條件是重力提供向心力；二是桿球模型，通過最高點的臨界條件是速度為零.本題可等效為繩球模型.

三、圓錐擺模型

【例3】（2024·江蘇卷，11） 如圖3所示，細(xì)繩穿過豎直的管子拴住一個小球，讓小球在A高度處做水平面內(nèi)的勻速圓周運動，現(xiàn)用力將細(xì)繩緩慢下拉，使小球在B高度處做水平面內(nèi)的勻速圓周運動，不計一切摩擦，則（" ）

A. 線速度vA gt; vB

B. 角速度ωA lt; ωB

C. 向心加速度aA lt; aB

D. 向心力FA gt; FB

【解析】設(shè)繩子與豎直方向夾角為θ，繩子長度為l，小球所在平面距離頂點的豎直高度為h.則F向 = mgtanθ = ma，解得a = gtanθ，小球從A處到達(dá)B處θ增大，可知FA lt; FB、aA lt; aB，選項C正確、選項D錯誤.根據(jù)mgtanθ=mv2lsinθ=mω2lsinθ，解得v=sinθglcosθ，ω=glcosθ=gh，可知ωA lt; ωB、線速度大小無法判斷，選項A錯誤、選項B正確.

【賞析】本題考查模型建構(gòu)、問題解決等高階思維，可結(jié)合生活經(jīng)驗定性分析，力F大則小球位置高，力F的水平分力提供向心力，可迅速判斷出向心力FA lt; FB，進而判斷出aA lt; aB；若能觀察到兩位置轉(zhuǎn)動的半徑近似相等rA =rB，結(jié)合a=rω2=v2r，可快速判斷出vA lt; vB、ωA lt; ωB.

四、豎直平面內(nèi)圓周運動的非常規(guī)模型問題

【例4】（2024·全國甲卷17T）如圖4 所示，一光滑大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，

質(zhì)量為m的小環(huán)套在大圓環(huán)上，

小環(huán)從靜止開始由大圓環(huán)頂端經(jīng)Q點自由下滑至其底部，

Q為豎直線與大圓環(huán)的切點.則小環(huán)下滑過程中對大圓環(huán)的作用力大?。? ）

A. 在Q點最大

B. 在Q點最小

C. 先減小后增大

D. 先增大后減小

【解析】方法一（定量分析法）：設(shè)大圓環(huán)半徑為R，小環(huán)在大圓環(huán)上某處（P點）與圓環(huán)的作用力恰好為零，如圖5所示.設(shè)圖中夾角為θ，從大圓環(huán)頂端到P點過程，根據(jù)機械能守恒定律得mgR（1－cosθ）=12mv2，在P點，根據(jù)牛頓第二定律得mgcosθ=mv2R，聯(lián)立解得cosθ=23.從大圓環(huán)頂端到P點過程，小環(huán)速度較小，小環(huán)重力沿著大圓環(huán)圓心方向的分力大于小環(huán)所需的向心力，所以大圓環(huán)對小環(huán)的彈力背離圓心，不斷減小，從P點到最低點過程，小環(huán)速度變大，小環(huán)重力和大圓環(huán)對小環(huán)的彈力合力提供向心力，所以大圓環(huán)對小環(huán)的彈力逐漸變大，根據(jù)牛頓第三定律可知小環(huán)下滑過程中對大圓環(huán)的作用力大小先減小后增大，故選項C正確.

方法二（定性分析法）：在最高點，大環(huán)對小環(huán)的作用力遠(yuǎn)離圓心，在Q點大環(huán)對小環(huán)的作用力指向圓心，所以從最高點到Q點的過程中，大環(huán)對小環(huán)的作用力的方向發(fā)生的變化，應(yīng)為先同方向減小，減小到零再反方向增大，從Q點到最低點的過程中，由能量守恒和牛頓第二定律易知方向指向圓心且不斷增大，由牛頓第三定律，知小環(huán)下滑過程中對大圓環(huán)的作用力大小先減小后增大，故選項C正確.

【答案】C

【賞析】豎直平面的圓周運動，定量計算和分析常規(guī)模型通常是在最高點、最低點和與圓心等高的點， 而近幾年的高考題出現(xiàn)了考查不在這四個點的情況，

我們暫且稱之為非常規(guī)模型，

如本題，還有2023年湖南卷第8題、2023年河北卷壓軸第15題等，希望同學(xué)們復(fù)習(xí)圓周運動時對這類問題給以足夠的重視.若同學(xué)們在復(fù)習(xí)過程中研究過如下類似問題，本題會迅速選出答案.如圖6所示，一小球從半徑為R的固定光滑半圓軌道的最高點由靜止釋放，小球從什么位置脫離軌道？

五、圓周運動的創(chuàng)新設(shè)計

【例5】（2024·廣東卷，5）如圖7所示，在細(xì)繩的拉動下，半徑為r的卷軸可繞其固定的中心點O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動.卷軸上沿半徑方向固定著長度為l的細(xì)管，管底在O點.細(xì)管內(nèi)有一根原長為l2、勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，彈簧底端固定在管底，頂端連接質(zhì)量為m、可視為質(zhì)點的插銷.當(dāng)以速度v勻速拉動細(xì)繩時，插銷做勻速圓周運動.若v過大，插銷會卡進固定的端蓋，使卷軸轉(zhuǎn)動停止.忽略摩擦力，彈簧在彈性限度內(nèi).要使卷軸轉(zhuǎn)動不停止，v的最大值為（" ）

A. rk2m"" B. lk2m

C. r2km" D. l2km

【解析】由題意可知當(dāng)插銷剛卡緊固定端蓋時彈簧的伸長量為Δx=l2，根據(jù)胡克定律有有F=kΔx=12kl，插銷與卷軸同軸轉(zhuǎn)動，角速度相同，對插銷有彈力提供向心力，有12kl=mlω2，對卷軸有v=rω，聯(lián)立解得v=rk2m，故選項A正確

【答案】A

【賞析】本題最大的亮點是創(chuàng)新情境設(shè)置，是在全新的情境中考查圓周運動.對于這類問題，關(guān)鍵是從文字中提取信息，構(gòu)建高中物理模型.解答本題的關(guān)鍵點有二：一是構(gòu)建卷軸與插銷同軸轉(zhuǎn)動模型，二是挖掘出卷軸轉(zhuǎn)動停止的臨界條件.

六、圓周運動中的實驗問題

【例6】（2024·海南卷，14）水平圓盤上緊貼邊緣放置一密度均勻的小圓柱體，如圖8所示，圖9為俯視圖，測得圓盤直徑D = 42.02cm，圓柱體質(zhì)量m = 30.0g，圓盤繞過盤心O的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動時小圓柱體相對圓盤靜止.

為了研究小圓柱體做勻速圓周運動時所需要的向心力情況，某同學(xué)設(shè)計了如下實驗步驟：

（1）用秒表測圓盤轉(zhuǎn)動10周所用的時間t = 62.8s，則圓盤轉(zhuǎn)動的角速度ω = """rad/s（π取3.14）

（2）用游標(biāo)卡尺測量小圓柱體不同位置的直徑，某次測量的示數(shù)如圖10所示，該讀數(shù)d = """mm，多次測量后，得到平均值恰好與d相等.

（3）寫出小圓柱體所需向心力表達(dá)式F = """（用D、m、ω、d表示），其大小為" "N（保留2位有效數(shù)字）

【解析】（1）圓盤轉(zhuǎn)動10周所用的時間t = 62.8s，則圓盤轉(zhuǎn)動的周期為T=62.810s=6.28s，根據(jù)角速度與周期的關(guān)系有ω=2πT=1rad/s.

（2）游標(biāo)卡尺的精度為0.1mm，根據(jù)游標(biāo)卡尺的讀數(shù)規(guī)則有d=16mm＋2×0.1mm=16.2mm.

（3）小圓柱體做圓周運動的半徑為r=D－d2，則小圓柱體所需向心力表達(dá)式為F=mω2·（D－d）2.帶入數(shù)據(jù)有F = 6.1 × 10－3N.

【答案】（1）1；（2）16.2；（3） mω2·（D－d）2， 6.1 × 10－3

【賞析】本題以小圓柱隨圓盤勻速轉(zhuǎn)動構(gòu)建全新的實驗探究情境，考查的仍是課本分組實驗的實驗方法.第1問測周期的方法與單擺測周期的方法是相同，只是再通過周期與角速度的關(guān)系轉(zhuǎn)化成角速度；第2問考查是課本實驗中的游標(biāo)卡尺讀數(shù)問題；第3問用已知量和測量表達(dá)向心力并求數(shù)值，可以溯源到課本分組實驗探究向心力大小與半徑、角速度、質(zhì)量的關(guān)系.因此教材中的實驗原理和實驗方法是解答實驗題的思維起點，在此基礎(chǔ)上進行轉(zhuǎn)化和遷移便可將實驗題迎刃而解.所以同學(xué)們在實驗室中應(yīng)認(rèn)真做好所有的分組實驗，只有經(jīng)歷了完整的實驗過程，才能增加直觀感受，深化對實驗原理和方法的理解和應(yīng)用.

七、等效重力場中的圓周運動

【例7】（2024·河北卷，13）如圖11所示，豎直向上的勻強電場中，用長為L的絕緣細(xì)線系住一帶電小球，在豎直平面內(nèi)繞O點做圓周運動.圖中A、B為圓周上的兩點，A點為最低點，B點與O點等高.當(dāng)小球運動到A點時，細(xì)線對小球的拉力恰好為0，已知小球的電荷量為qqgt;0、質(zhì)量為m，A、B兩點間的電勢差為U，重力加速度大小為g，求：

（1）電場強度E的大小.

（2）小球在A、B兩點的速度大小.

【解析】（1）在勻強電場中，根據(jù)公式可得場強為

E=UL

（2）在A點細(xì)線對小球的拉力為0，根據(jù)牛頓第二定律得

Eq－mg=mvA2L

A到B過程根據(jù)動能定理得

qU－mgL=12mvB2－12mvA2

聯(lián)立解得 vA=Uq－mgLm vB=3Uq－mgLm

【答案】（1）UL；（2）Uq－mgLm，

3Uq－mgLm

【賞析】本題是在重力場和電場的疊加場中的繩球模型問題.帶電物體同時受到恒定的重力和電場力的問題，既可以用分解思想求解，也可以用合成思想求解，本題解析過程應(yīng)用的是分解的思想.合成思想就是將勻強電場和重力場合成為“等效重力場”，把一些復(fù)雜問題加以簡化，便于求解，同學(xué)們對于物體在重力作用下的運動是比較熟悉的，將電場和重力場的疊加場轉(zhuǎn)化為“等效重力場”后，物體在等效重力作用下的運動和在重力作用下的運動規(guī)律相似，便于把已有的知識和方法進行遷移運用，使問題快速解決.本題的等效重力為G′=qUL－mg，方向豎直向上.

八、圓周運動的動力學(xué)綜合問題

【例8】（2024·江西卷，14）雪地轉(zhuǎn)椅是一種游樂項目，其中心傳動裝置帶動轉(zhuǎn)椅在雪地上滑動.如圖12、13所示，傳動裝置有一高度可調(diào)的水平圓盤，可繞通過中心O點的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動.圓盤邊緣A處固定連接一輕繩，輕繩另一端B連接轉(zhuǎn)椅（視為質(zhì)點）.轉(zhuǎn)椅運動穩(wěn)定后，其角速度與圓盤角速度相等.轉(zhuǎn)椅與雪地之間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，不計空氣阻力.

（1）在圖12中，若圓盤在水平雪地上以角速度ω1勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)椅運動穩(wěn)定后在水平雪地上繞O點做半徑為r1的勻速圓周運動.求AB與OB之間夾角α的正切值.

（2）將圓盤升高，如圖13所示.圓盤勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)椅運動穩(wěn)定后在水平雪地上繞O1點做半徑為r2的勻速圓周運動，繩子與豎直方向的夾角為θ，繩子在水平雪地上的投影A1B與O1B的夾角為β.求此時圓盤的角速度ω2.

【解析】（1）轉(zhuǎn)椅做勻速圓周運動，設(shè)此時輕繩拉力為T，轉(zhuǎn)椅質(zhì)量為m，受力分析可知輕繩拉力沿切線方向的分量與轉(zhuǎn)椅受到地面的滑動摩擦力平衡，沿徑向方向的分量提供圓周運動的向心力，故可得

Tcosα=mω12r1

Tsinα =μmg

聯(lián)立解得 tanα=μgω12r1

（2）設(shè)此時輕繩拉力為T′，沿A1B和垂直A1B豎直向上的分力分別為

T1=T′sinθ

T2=T′cosθ

對轉(zhuǎn)椅根據(jù)牛頓第二定律得

T1cosβ=mω22r2

沿切線方向

T1sinβ=f=μFN

豎直方向有

FN+T2=mg

聯(lián)立解得 ω2=μgsinθcosβsinθsinβ+μcosθr2

【答案】（1）μgω12r1；（2）μgsinθcosβsinθsinβ+μcosθr2

【賞析】本題以雪地轉(zhuǎn)椅構(gòu)建生活實踐問題情境，考查同學(xué)們的模型構(gòu)建能力和應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題的能力.解答本題的關(guān)鍵是搞清做勻速圓周運動的軌道半徑和向心力的來源，再轉(zhuǎn)化為應(yīng)用牛頓第二定律解決問題.

九、圓周運動與動量能量的綜合問題

【例9】（2024·山東卷，17）如圖14所示，質(zhì)量為M的軌道靜止在光滑水平面上，軌道水平部分的上表面粗糙，豎直半圓形部分的表面光滑，兩部分在P點平滑連接，Q為軌道的最高點.質(zhì)量為m的小物塊靜置在軌道水平部分上，與水平軌道間的動摩擦因數(shù)為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力.已知軌道半圓形部分的半徑R=0.4m，重力加速度大小g=10m/s2.

（1）若軌道固定，小物塊以一定的初速度沿軌道運動到Q點時，受到軌道的彈力大小等于3mg，求小物塊在Q點的速度大小v；

（2）若軌道不固定，給軌道施加水平向左的推力F，小物塊處在軌道水平部分時，軌道加速度a與F對應(yīng)關(guān)系如圖15所示.

（?。┣螃毯蚼；

（ⅱ）初始時，小物塊靜置在軌道最左端，給軌道施加水平向左的推力F=8N，當(dāng)小物塊到P點時撤去F，小物塊從Q點離開軌道時相對地的速度大小為7m/s.求軌道水平部分的長度L.

【解答】（1）（1）根據(jù)題意可知小物塊在Q點由合力提供向心力有

mg+3mg=mv2R

代入數(shù)據(jù)解得 v=4m/s

（2）（?。┓椒ㄒ唬河蓤D15可讀得如下信息

F1=4N、a1=2m/s2；F2=8N，a2=6m/s2

小物塊滑動時，由牛頓第二定律，得

μmg=ma1

解得 μ=0.2

在F1和F2作用下，分別對整體和木板應(yīng)用牛頓第二定律，得

F1=（m+M）a1

F2－μmg=Ma2

聯(lián)立解得 M=m=1kg

方法二：根據(jù)題意可知當(dāng)F≤4N時，小物塊與軌道是一起向左加速，根據(jù)牛頓第二定律可知

F=（M+m）a

根據(jù)圖乙有

k=1M+m=0.5kg－1

當(dāng)外力Fgt;4N時，軌道與小物塊有相對滑動，則對軌道有

F－μmg=Ma

結(jié)合題圖15有

a=1MF－μmgM

可得 k=1M=1kg－1 b=－μmgM=－2m/s2

聯(lián)立以上各式可得 M=m=1kg μ=0.2

（ⅱ）由圖15可知，當(dāng)F2=8N 時，軌道的加速度為a2=6m/s2，小物塊的加速度為a1=μg=2m/s2，當(dāng)小物塊運動到P點時，經(jīng)過的時間為t，則由運動學(xué)公式得

v1=a1t

v2=a2t

在這個過程中系統(tǒng)機械能守恒、水平方向動量守恒，有

12mv21+12Mv22=12mv′21+12Mv′22+2mgR

mv1+Mv2=mv′1+Mv′2

聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得 t=1.5s（另一解不符合題意，舍去）

根據(jù)運動學(xué)規(guī)律，得

L=12a2t2－12a1t2

解得 L=4.5m

【答案】（1）4m/s；（2）（ⅰ）0.2，1kg；（ⅱ）4.5m

【賞析】本題通過板塊及豎直半圓軌道構(gòu)建學(xué)習(xí)探索問題情境.考查的必備知識包括運動學(xué)公式、牛頓運動定律、動量守恒定律、能量守恒定律等；關(guān)鍵能力主要考查信息獲取、模型建構(gòu)、推理論證等，體現(xiàn)綜合性.解答本題的關(guān)鍵點有二：一是建立正確的物理模型，二是從圖像中讀取有用信息.圓周運動與動量能量的綜合問題，圓周運動通常提供問題情境，或是綜合問題中的一個環(huán)節(jié)，考查的重點大多是動量問題或能量問題，如2024年高考安徽卷第14題、2024年高考浙江1月卷第18題、2024年高考湖南卷壓軸第15題等.

圓周運動做為高中物理的重要運動模型，同學(xué)們在復(fù)習(xí)時不僅要掌握相關(guān)的必備知識，還要認(rèn)真做近幾年各地高考真題，總結(jié)梳理考查的角度和方法，做到舉一反三，提升分析和解決該類問題的能力.

【作者簡介：中學(xué)物理高級教師，市級優(yōu)秀教師，主持省級課題兩個并獲一等獎，全國中學(xué)數(shù)理化名師俱樂部會員，華中師范大學(xué)考試研究院特聘研究員，中國教育專家網(wǎng)特邀專家，至善學(xué)院全國名師團成員，在北京、山東、河北、河南、云南、內(nèi)蒙、福建等地及至善事學(xué)院網(wǎng)絡(luò)平臺、學(xué)科網(wǎng)平臺舉辦教師培訓(xùn)講座多次.被《學(xué)習(xí)方法報》《課堂內(nèi)外》等報刊聘為特約編輯，被《中學(xué)生數(shù)理化》雜志作為2019年第3期封面人物推介】

責(zé)任編輯 李平安