2024年高考數(shù)學新課標Ⅱ卷第18題是一道聯(lián)系生活實際的概率統(tǒng)計決策問題，所考查的高中數(shù)學基本知識主要是概率與統(tǒng)計，當然也涉及高一數(shù)學簡單不等式背景的作差法等基本解題方法.這樣的命題方式雖然在全國卷中壓軸大題位置第一次出現(xiàn)，但類似問題其實已在高考試題中反復出現(xiàn)了（如2017年、2019年、2020年江蘇卷第23題），必須指出，近年來高考數(shù)學試題中，概率與統(tǒng)計部分還是有不少試題與這道題的命題方向大相徑庭的 （如2023年新高考Ⅰ卷的第21題是基于全概率公式的較為復雜概率與數(shù)列綜合問題；兩個隨機變量之間的線性擬合（2018年新高考Ⅱ卷第18題）研究、相關系數(shù)研究（2020年Ⅱ卷第18題）等等；兩個變量之間的獨立性檢驗（如2021年甲理第17題；2020年Ⅲ卷第18題）等等），所以畢業(yè)班的師生決不應該將復習的眼光局限于這道題的命題背景，而是應該按照《高中數(shù)學課程標準》的要求，結合教材，全面復習有關內容，方可以不變應萬變，猜題押題萬萬不可取.

【題目】（2024年高考數(shù)學新課標Ⅱ卷第18題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．

（1）若p=0.4，q=0.5，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．

（2）假設0lt;plt;q，

（?。槭沟眉住⒁宜陉牭谋荣惓煽?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？

（ⅱ）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？

【解析】（1）由題意要求，甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，∴比賽成績不少于5分的概率P=（1－0.63）（1－0.53）=0.686.

（2）（?。┤艏紫葏⒓拥谝浑A段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為P甲=1－（1－p）3q3，

若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為P乙=1－（1－q）3·p3，（基于對稱性，字母p，q交換即可），∵0lt;plt;q，

∴P甲－P乙=q3－（q－pq）3－p3+（p－pq）3

=（q－p）（q2+pq+p2）+（p－q）·（p－pq）2+（q－pq）2+（p－pq）（q－pq）

=（p－q）（3p2q2－3p2q－3pq2）

=3pq（p－q）（pq－p－q）=3pq（p－q）［（1－p）（1－q）－1］gt;0，∴P甲gt;Pv，應該由甲參加第一階段比賽.

（ⅱ）若甲先參加第一階段比賽，數(shù)學成績X的所有可能取值為0，5，10，15，

P（X=0）=（1－p）3+1－（1－p）3·（1－q）3，

P（X=5）=1－（1－p）3C13q·（1－q）2，

P（X=10）=1－（1－p）3·C23q2（1－q），

P（X=15）=1－（1－p）3·q3，

∴E（X）=151－（1－p）3q=15（p3－3p2+3p）·q

記乙先參加第一階段比賽，數(shù)學成績Y的所有可能取值為0，5，10，15，

同理（基于對稱性），可得E（Y）=15（q3－3q2+3q）·p，（將E（X）中p，q交換即得，∴E（X）－E（Y）=15［pq（p+q）（p－q）－3pq（p－q）］

=15（p－q）pq（p+q－3），

因為0lt;plt;q，則p－qlt;0，p+q－3lt;1+1－3lt;0，則（p－q）pq（p+q－3）gt;0，∴應該由甲參加第一階段比賽.

【評注】值得指出，本題第（1）小問從問題的反面入手處理問題對于第（2）小問的處理很有好處，第（2）小問的關鍵是計算出每一種具體情形下的概率和期望，采用最基本的作差法并因式分解（本題對考生熟練進行代數(shù)恒等變換能力要求較高）從而比較出大小關系，如果讀者充分注意到該問題的內在對稱性，則可以適當壓縮思維和具體書寫的過程，進而得到最后的結論也就沒有實質性困難了.

【類題變式1】（2021年新高考Ⅰ卷第18題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）B類．

【解析】（1）由題可知，X的所有可能取值為0，20，100．相應概率（過程略），所以X的分布列為：

（2）由（1）知，E（x）=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4；

若小明先回答B(yǎng)問題，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100．相應概率為P（Y=0）=1－0.6=0.4；P（Y=80）=0.6（1－0.8）=0.12；

P（X=100）=0.8×0.6=0.48．所以E（Y）=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6．

因為54.4lt;57.6，所以小明應選擇先回答B(yǎng)類問題．

【其他類型1】（2023年新高考第21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且P（Xi=1）=1－P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E∑i=1nXi=∑i=1nqi．記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求E（Y）．

【簡析】本題第一問直接考查全概率公式的應用，后兩問的解題關鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解，這類當前的概率僅與前一個狀態(tài)的概率密切關聯(lián)的問題頗有點高等數(shù)理統(tǒng)計里的“馬爾科夫過程”的味道，即使如此，所用解決問題的知識完全沒有超出高中課程標準．類似考題，如2019年新課標Ⅰ（理）等等.

【其他類型2】（2024年新高考Ⅰ卷，第14題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為"" .

【簡析】如何建立這道題解題的模型呢？我們認為，不妨可以這樣想：把乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6，8理解為椅子的序號，而把甲的卡片上分別標有數(shù)字1，3，5，7理解為要坐上椅子的人的編號，（每個人的編號大于椅子序號，則甲得1分，反之則甲得0分，四張椅子上序號比較的甲得分之和，

即表示甲的總得分），很顯然，坐上椅子的不同座法共有4！=24種，符合題意的情形有12種（具體枚舉過程，此處略），過所求的答案為12.

【評注】其實，這道題可以理解為加強版“田忌賽馬”問題；另外， 2024年新高考Ⅰ卷第19題的（1），（2）兩小問、甲卷（理）第16題等均可以從枚舉法實現(xiàn)突破.

【其他類型3】（2024年甲卷理，第17題）某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：

（1）填寫如下列聯(lián)表：

能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？

（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率p=0.5，設p-為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果p-gt;p+1.65p（1－p）n，則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（150≈12.247）

附：K2=m（ad－bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

【簡析】本題考查考生一樣本數(shù)據(jù)分析總體數(shù)據(jù)部分特征的能力，以及獨立性檢驗應用問題，這類試題其實不難，關鍵是要考生理清楚問題描述的數(shù)學核心要義，將有關的要求問題的具體要求恰當?shù)財?shù)學化，再利用學過的基本數(shù)學知識處理即可.類似考題如2022年新高考Ⅰ卷，第20題等等（條件概率以及獨立性檢驗應用問題）.

對于較為復雜的概率統(tǒng)計問題，一方面需要考生把握好心態(tài)，不要急躁，厘清過程；有時也可以充分利用問題的內在對稱性等等簡化處置的步驟，解題有法而無定法，而到底應該如何做，這就需要考生能夠結合具體問題機動靈活地解決它們了.

【作者簡介：江南大學理學院資深講師，高考數(shù)學試題研究專家，省級刊物發(fā)表文章三百余篇，多篇文章被人大書報資料中心轉載】

責任編輯 "徐國堅