【摘要】為提高電動(dòng)助力轉(zhuǎn)向（EPS）系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提出一種基于超前滯后校正器的優(yōu)化方案。首先，基于轉(zhuǎn)向系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論建立EPS系統(tǒng)狀態(tài)空間方程并求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)；其次，基于系統(tǒng)傳遞函數(shù)推導(dǎo)出開環(huán)傳遞函數(shù)，并通過仿真分析超前滯后校正器對(duì)EPS系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律；最后，對(duì)EPS系統(tǒng)的超前滯后參數(shù)進(jìn)行正向開發(fā)設(shè)計(jì)。仿真結(jié)果表明，校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)的幅值裕度、相角裕度和截止頻率較校正前有明顯改善，設(shè)計(jì)的超前滯后校正器可大幅提高EPS系統(tǒng)穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：電動(dòng)助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng) 車輛模型 超前滯后校正 穩(wěn)定性

中圖分類號(hào)：U463.44+4" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" "DOI： 10.20104/j.cnki.1674-6546.20230533

Research on Stability of Automotive EPS System Based on Lead-Lag Corrector

Xia Dingkuan， Shao Xiong， Li Gen， Si Jiayu， Chen Jianfeng

（BYD Auto Industry Corporation Limited， Shenzhen 518000）

【Abstract】The phase angle lead characteristic and the amplitude attenuation characteristic of the lag network can be used to improve the performance of the lead and lag corrector system. Therefore， for the stability of Electric Power Steering （EPS） system， an optimization scheme based on lead and lag corrector is proposed. Firstly， the state space equation of EPS system is established based on the steering system dynamics theory and the system transfer function is obtained. Secondly， the open loop transfer function is derived based on the system transfer function， and the influence of the lead and lag corrector on the stability of EPS system is analyzed by simulation. Finally， forward development and design are deployed for lead and lag parameters development. The results show that the amplitude margin， phase Angle margin and cutoff frequency of the open loop transfer function after correction are obviously improved compared with that before correction， and the designed lead lag corrector can greatly improve the stability of EPS system.

Key words：" Electric Power Steering （EPS） system， Vehicle model， Lead-lag correction， Stability

【引用格式】 夏鼎寬， 邵雄， 李根， 等. 基于超前滯后校正器的汽車電動(dòng)助力轉(zhuǎn)向系統(tǒng)穩(wěn)定性研究[J]. 汽車工程師， 2024（9）： 38-43+48.

XIA D K， SHAO X， LI G， et al. Research on Stability of Automotive EPS System Based on lead-Lag Corrector[J]. Automotive Engineer， 2024（9）： 38-43+48.

1 前言

操縱穩(wěn)定性是汽車領(lǐng)域的重要研究課題之一，轉(zhuǎn)向系統(tǒng)對(duì)駕駛員的力反饋?zhàn)饔脤?duì)汽車操縱穩(wěn)定性有很大影響[1]。汽車電動(dòng)助力轉(zhuǎn)向（Electric Power Steering，EPS）系統(tǒng)能夠提供轉(zhuǎn)向助力、減輕駕駛員操縱負(fù)擔(dān)，提高汽車轉(zhuǎn)向性能、駕駛舒適性和主動(dòng)安全性。EPS系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)在于可通過軟件算法改變助力電機(jī)輸出力矩，調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的力反饋特性[2]。因此，對(duì)EPS系統(tǒng)進(jìn)行有效控制尤為重要。

國內(nèi)在EPS系統(tǒng)穩(wěn)定性研究方面取得了不少成果。呂威等[3]提出利用雙二階濾波器對(duì)轉(zhuǎn)矩傳感器的轉(zhuǎn)矩信號(hào)進(jìn)行處理，進(jìn)而提升EPS系統(tǒng)穩(wěn)定性。姜平等[4]利用單神經(jīng)元自適應(yīng)PID控制算法以及對(duì)轉(zhuǎn)矩傳感器的轉(zhuǎn)矩信號(hào)進(jìn)行相位超前補(bǔ)償?shù)姆椒▉砀纳艵PS系統(tǒng)性能。吳峰等[5]基于PID控制設(shè)計(jì)了一種電機(jī)電流閉環(huán)控制方法，使EPS系統(tǒng)的控制性能達(dá)到預(yù)期要求。季學(xué)武等[6]采用實(shí)際微分的相位補(bǔ)償方法進(jìn)一步改善了EPS系統(tǒng)的工作性能。

目前，一般通過標(biāo)定EPS系統(tǒng)中控制策略的關(guān)鍵參數(shù)來滿足系統(tǒng)的性能要求，需耗費(fèi)大量資源。同時(shí)，EPS系統(tǒng)的控制策略開發(fā)也缺乏正向開發(fā)的理論支撐。為使EPS系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)良好的控制效果，系統(tǒng)在不同工況下，既要衰減高頻信號(hào)，改善穩(wěn)態(tài)性能，又要保證電機(jī)的響應(yīng)速度。但僅依靠降低助力電機(jī)的響應(yīng)速度或減小助力增益無法使系統(tǒng)達(dá)到良好的穩(wěn)定性，因此需要利用合理的控制算法來進(jìn)一步改善。

超前滯后校正器在保證系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能要求的前提下，可同時(shí)提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度[7]。本文引入超前滯后校正器對(duì)EPS系統(tǒng)進(jìn)行分析，在建立EPS系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型和狀態(tài)空間模型基礎(chǔ)上，分析超前滯后校正器對(duì)EPS系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律，進(jìn)而提出超前滯后正向開發(fā)方法，并通過仿真驗(yàn)證該方法對(duì)于EPS系統(tǒng)穩(wěn)定性改善的有效性。

2 超前滯后機(jī)理

超前滯后校正器由超前校正環(huán)節(jié)和滯后校正環(huán)節(jié)組成[8]：利用超前校正環(huán)節(jié)可改善系統(tǒng)的相位裕度，提高系統(tǒng)響應(yīng)速度的同時(shí)改善穩(wěn)定性；利用滯后校正環(huán)節(jié)提高開環(huán)增益可改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。該校正方法兼有超前校正和滯后校正的優(yōu)點(diǎn)。

如圖1所示，滯后校正的效果類似低通濾波，衰減系統(tǒng)中頻（3～30 Hz）信號(hào)，使輸出的助力力矩平滑，但需盡量不改變低頻段（0～3 Hz）的幅頻和相頻特性。超前校正主要提高高頻（10 ～100 Hz）的相位裕度，使系統(tǒng)穩(wěn)定。

根據(jù)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，選取如下的傳遞函數(shù)作為超前滯后的設(shè)計(jì)公式：

[Qff（s）=s2+2ξωns+ωn（s+p1）（s+p2）?p1p2ωn] （1）

式中：s為復(fù)變量，ξ為阻尼比，ωn為無阻尼振蕩頻率，[p1]為一階極點(diǎn)，[p2]為二階極點(diǎn)。

該校正器有4個(gè)優(yōu)化參數(shù)，分別為阻尼比ξ、無阻尼振蕩頻率ωn、一階極點(diǎn)[p1]、二階極點(diǎn)[p2]，4個(gè)優(yōu)化參數(shù)分別對(duì)系統(tǒng)的頻域特性產(chǎn)生不同的影響，通過分析這些影響因素，可改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 EPS系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型建立

本文對(duì)EPS機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行簡化，突出系統(tǒng)的主要因素，減少系統(tǒng)中機(jī)械元件的數(shù)量，并在此基礎(chǔ)上建立EPS系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。

3.1 EPS系統(tǒng)機(jī)械動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)EPS系統(tǒng)機(jī)械部分進(jìn)行簡化分析，分別建立轉(zhuǎn)向盤-管柱、轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)角傳感器、電機(jī)、齒條動(dòng)力學(xué)模型。

駕駛員向轉(zhuǎn)向盤施加力矩，轉(zhuǎn)向盤與上管柱之間為剛性連接，其動(dòng)力學(xué)方程為：

[Td=Js?θs+Bs?θs+Ks（θs-θp）] （2）

式中：[Td]為轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)矩，[ Js]為轉(zhuǎn)向盤和轉(zhuǎn)向輸入軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，[Bs]為轉(zhuǎn)向盤和轉(zhuǎn)向輸入軸阻尼系數(shù)，[θs]為轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角，[θp]為小齒輪轉(zhuǎn)角，[ Ks]為力矩傳感器扭桿剛度。

轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)角傳感器檢測(cè)到的轉(zhuǎn)矩由上管柱與中間軸之間的角度差決定，可建立如下表達(dá)式：

[Ts=Ks?（θs-θp）] （3）

[θp=xrrp] （4）

式中：Ts為力矩傳感器測(cè)量值，[xr]為齒條位移，[rp]為小齒輪半徑。

則轉(zhuǎn)向盤與上管柱之間的動(dòng)力學(xué)方程為[9]：

[Td-Ts=Js?θs+Bs?θs] （5）

助力電機(jī)的旋轉(zhuǎn)方向跟隨電磁轉(zhuǎn)矩方向，并帶動(dòng)中間軸運(yùn)動(dòng)，為EPS系統(tǒng)提供助力，動(dòng)力學(xué)方程為：

[Tm=Jm?θm+Bm?θm+Km?（θm-imθp）] （6）

[Tmex=Km?（θm-imθp）] （7）

則其動(dòng)力學(xué)方程表達(dá)式為：

[Tm-Tmex=Jm?θm+Bm?θm] （8）

式中：[Tm]為電機(jī)轉(zhuǎn)矩（電磁力產(chǎn)生），[Jm]為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，[Bm]為電機(jī)軸轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼系數(shù)，[θm]為電機(jī)轉(zhuǎn)角，[Km]為電機(jī)軸扭桿剛度，[im]為同步帶減速比，[Tmex]為電機(jī)輸出扭矩。

齒輪齒條執(zhí)行器通過齒輪齒條機(jī)構(gòu)的作用將經(jīng)由中間軸傳遞的轉(zhuǎn)向力矩變?yōu)轵?qū)動(dòng)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)橫拉桿運(yùn)動(dòng)的作用力，即將小齒輪的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為齒條的直線運(yùn)動(dòng)[10]。齒輪齒條執(zhí)行器負(fù)責(zé)連接中間軸與轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，其動(dòng)力學(xué)方程為：

[mr?xr+Br?xr+Kr?xr=Ts?η2rp+FAr] （9）

[FAr=Tmex?2π?im?η1h] （10）

式中：r為齒條相關(guān)變量，[mr]為齒條質(zhì)量（加上車輪等效），[xr]為齒條位移，[Br]為齒條阻尼系數(shù)，[Kr]為齒輪齒條的剛度，[FAr]為電機(jī)輸出軸輸出的助力，[η1]為絲杠傳動(dòng)效率，[η2]為齒輪齒條傳動(dòng)效率，h為滾珠絲杠螺母導(dǎo)程。

EPS系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中具體參數(shù)取值如表1所示。

3.2 建立EPS系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)空間模型

將2.1節(jié)建立的EPS系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)化為如下形式：

[θs=-KsJs?θs-BsJs?θs+KsJs?rp?xr+1Js?Td] （11）

[Xr=η2?Ks?h2rp?[h2?mr+Jm?（2π?im）2?η1]?θs-" " " " [Kr?pr2+η2?Ks]?h2pr2?[h2?mr+Jm?（2π?im）2?η1]?xr-" "[h2?Br+Bm?（2π?im）2?η1]h2?mr+Jm?（2π?im）2?η1?xr+ 2π?im?η1?h[h2?mr+Jm?（2π?im）2?η1]?Tm] （12）

選取狀態(tài)變量[x=[θs，θs，xr，xr]T]，選取系統(tǒng)輸入變量[u=Td，TmT]，選取系統(tǒng)輸出變量[y=Ts]，寫成狀態(tài)空間表達(dá)式：

[x=Ax+Buy=Cx+Du] （13）

則：

[A=01-KsJs-BsJs00η2?Ks?h2rp?[h2?mr+Jm?（2π?im）2?η1]000KsJs?rp001Kr?pr2+η2?Ks?h2pr2?[h2?mr+Jm?（2π?im）2?η1] h2?Br+Bm?（2π?im）2?η1h2?mr+Jm?（2π?im）2?η1]，[B=001Js00002π?im?η1?hh2?mr+Jm?（2π?im）2?η1，C=Ks0-Ksrp0，D=00。]

將狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)，計(jì)算公式為：

[Gss（s）=G1（s），G1（s）=C（sI-A）-1?B+D] （14）

其中，

[G1（s）=Ts（s）Td（s）， G2（s）=Ts（s）Tm（s）] （15）

式中：G1（s）為無電機(jī)助力，僅有轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)矩輸入時(shí)，以轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)角傳感器的轉(zhuǎn)矩測(cè)量值為輸出、轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)矩為輸入的傳遞函數(shù)；G2（s）為無轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)矩，僅有電機(jī)助力力矩輸入時(shí)，以轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)角傳感器轉(zhuǎn)矩測(cè)量值為輸出、電機(jī)助力力矩為輸入的傳遞函數(shù)。

4 超前滯后作用頻域影響因素分析

4.1 開環(huán)傳遞函數(shù)推導(dǎo)

在對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析時(shí)，通常采用頻域分析手段并以頻域指標(biāo)為分析根據(jù)，故需分析開環(huán)傳遞函數(shù)幅頻相頻特性與系統(tǒng)性能指標(biāo)之間的關(guān)系。圖2所示為EPS系統(tǒng)控制框圖。

EPS系統(tǒng)工作時(shí)，在轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)矩[Td]與電機(jī)助力力矩[Tm]共同作用下，轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)角傳感器測(cè)得二者相互作用下的轉(zhuǎn)矩可以表示為：

Ts=G1（s）Td+G2（s）Tm （16）

[Tm，ref=H（s）Ts] （17）

式中：Tm，ref為目標(biāo)電機(jī)轉(zhuǎn)矩，H（s）為EPS系統(tǒng)控制算法。

由圖2可知，轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)角傳感器測(cè)得的轉(zhuǎn)矩與電機(jī)助力力矩存在以下關(guān)系：

[Tm=H（s）]Gm（s）T（s） （18）

式中：Gm（s）為電機(jī)傳遞函數(shù)，T（s）為力矩傳感器測(cè)量值。

由圖2可知，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

[Gopen_loop（s）=-G2（s）H（s）]Gm（s） （19）

假設(shè)電機(jī)的傳遞函數(shù)Gm（s）為一階延遲環(huán)節(jié)，響應(yīng)滯后為T=0.01 s，則Gm（s）計(jì)算的公式為：

Gm（s）[=1Ts+1] （20）

由式（6）可得：

[Tm（s）=Jms2+Bms+Km（1-imθp）] （21）

由式（13）和式（15）可得到[G2（s）]：

[G2（s）=Ks（rps-xr）Jmrps2+Bmrps+Kmrp（1-imθp）] （22）

4.2 助力增益影響的頻域模型分析

實(shí)際應(yīng)用中，EPS系統(tǒng)中助力增益的變化會(huì)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性產(chǎn)生一定影響，本文分析開環(huán)傳遞函數(shù)時(shí)考慮助力增益，并將其作為常數(shù)項(xiàng)處理。

EPS系統(tǒng)中通常會(huì)引入低頻增益來更好地實(shí)現(xiàn)電機(jī)助力。為實(shí)現(xiàn)手感輕便而增大低頻增益，會(huì)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，本文通過仿真分析低頻增益[KL]對(duì)EPS系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

令H（s）=[KL]，表示EPS控制算法只有低頻助力，控制器傳遞函數(shù)即開環(huán)傳遞函數(shù)為：

[Gopen_loop（s）=-G2（s）KLGm（s）] （23）

依據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)，分別繪制低頻增益[KL]為0.5、3.0時(shí)的開環(huán)傳遞函數(shù)伯德圖，如圖3所示。

根據(jù)圖3可得到[KL]影響下的系統(tǒng)幅值裕度和相角裕度，如表2所示。

由表2可知，低頻增益越大，幅值裕度和相角裕度越小，系統(tǒng)穩(wěn)定性越差。因此，低頻增益雖然能提高轉(zhuǎn)向手感輕便性，但使系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。

4.3 超前滯后校正器影響分析

僅依靠低頻增益無法滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性要求，超前滯后校正器則可在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度[11]。

在低頻增益基礎(chǔ)上加入超前滯后補(bǔ)償后的EPS系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)Gcom可表示為：

[H（s）=KLGcom（s）] （24）

[Gopen_loop（s）=-G2（s）KLGcom（s）Gm（s）] （25）

在加入低頻增益的EPS系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上，繪制加入和未加入超前滯后校正器的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)伯德圖，如圖4所示。

根據(jù)圖4可得到加入超前滯后校正器后系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度，如表3所示。

由表3可知，加入超前滯后校正器后，幅值裕度和相角裕度增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性提高。

5 超前滯后正向開發(fā)

本文從系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和原理出發(fā)，設(shè)計(jì)超前滯后校正網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。對(duì)前文獲得的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)進(jìn)行頻域分析，利用正向開發(fā)方法進(jìn)行校正環(huán)節(jié)的參數(shù)設(shè)計(jì)，并分析校正器對(duì)EPS系統(tǒng)的影響，然后通過仿真驗(yàn)證該方法設(shè)計(jì)的合理性，流程如圖5所示。

在EPS系統(tǒng)中，被控對(duì)象為電機(jī)，輸入和輸出分別為轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角和電機(jī)輸出力矩。通過對(duì)實(shí)際工況下的電機(jī)施加掃頻信號(hào)，可得到電機(jī)輸出數(shù)據(jù)。使用MATLAB中自帶的系統(tǒng)辨識(shí)功能對(duì)得到的輸入、輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)，可得到目標(biāo)傳遞函數(shù)。

利用MATLAB編寫正向開發(fā)腳本，可以實(shí)現(xiàn)求取超前滯后校正參數(shù)的功能。以預(yù)期相角裕度45°為設(shè)計(jì)指標(biāo)，求解結(jié)果如下：

[GLe（s）=0.122 3s+10.006 308s+1] （26）

[GLa（s）=0.277 8s+10.600 9s+1] （27）

[Gc（s）=0.122 3s+10.006 308s+1?0.277 8s+10.600 9s+1] （28）

式中：[GLe（s）]為超前校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)，[GLa（s）]為滯后校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)，[Gc（s）]為超前滯后校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。

對(duì)得到的校正環(huán)節(jié)結(jié)合EPS系統(tǒng)目標(biāo)傳遞函數(shù)進(jìn)行頻域分析，其校正前、后效果如圖6所示。

由圖6可得到系統(tǒng)校正前、后的幅值裕度、相角裕度及截止頻率，如表4所示。

系統(tǒng)校正前后的對(duì)比伯德圖如圖7所示。

由表4和圖7分析可知，校正后開環(huán)傳遞函數(shù)的幅值裕度和相角裕度明顯提升，截止頻率較原系統(tǒng)有一定的降低，對(duì)EPS系統(tǒng)具有明顯的改善作用，符合超前滯后校正的規(guī)律，證明了由正向開發(fā)方法設(shè)計(jì)的超前滯后校正器的有效性。

6 結(jié)束語

本文通過建立EPS系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)空間模型，分析了超前滯后校正器對(duì)EPS系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并利用正向開發(fā)方法對(duì)系統(tǒng)的超前滯后參數(shù)進(jìn)行正向開發(fā)設(shè)計(jì)。結(jié)論如下：

a.低頻增益雖然能提高轉(zhuǎn)向手感輕便性，但系統(tǒng)的穩(wěn)定性會(huì)變差；

b.在引入助力增益的EPS系統(tǒng)基礎(chǔ)上加入超前滯后校正器，可有效改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性；

c.利用正向開發(fā)方法對(duì)校正器的參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，校正后的系統(tǒng)性能明顯改善，符合預(yù)期設(shè)計(jì)指標(biāo)。

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（責(zé)任編輯 白 夜）

修改稿收到日期為2024年7月8日。