摘要：中考幾何壓軸題一般涵蓋了初中數(shù)學(xué)的多個(gè)幾何知識(shí)，設(shè)置的問題常常層層推進(jìn)，相互關(guān)聯(lián)，盡管解法多樣，但解題思路?？梢灶惐冗w移.通過找出已有問題與新問題的類似屬性，把已知問題的解題方法遷移到新問題的解決過程中，新問題常?？梢杂卸?教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷幾何圖形的生成過程，可以幫助學(xué)生深層次領(lǐng)悟問題的本質(zhì)，順利找到解題途徑.

關(guān)鍵詞：幾何綜合；解法探究；類比遷移；提升能力

1 試題呈現(xiàn)

（2022年武漢市四月調(diào)考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，∠ADC＝∠EDB，過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F，交AC于點(diǎn)G.

（1）如圖1，求證：△AGE∽△BDE；

（2）如圖2，若點(diǎn)G恰好與頂點(diǎn)C重合，求證：BD＝CD；

（3）如圖1，若CDCB＝1n，直接寫出AGAC的值.

2 解法探究

對(duì)于第（1）問，等腰直角三角形ABC中顯然有∠GAE＝∠DBE＝45°，由∠ACB＝90°和EF⊥AD，易得∠AGE＝∠ADC，而∠ADC＝∠EDB，所以∠AGE＝∠EDB，從而△AGE∽△BDE得證.

下面重點(diǎn)對(duì)第（2）問和第（3）問的解法作分析.

2.1 構(gòu)造三垂直圖形類比遷移

對(duì)于第（2）問，如圖3，點(diǎn)G恰好與頂點(diǎn)C重合，我們可以過點(diǎn)B作BC的垂線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.由∠ACB＝90°和EF⊥AD，可知∠CAD與∠ACF互余，∠BCH與∠ACF互余，則∠CAD＝∠BCH，所以△CAD≌△BCH，則有CD＝BH，∠ADC＝∠CHB.又∠ADC＝∠EDB，所以∠CHB＝∠EDB.結(jié)合∠DBE＝∠HBE＝45°和BE＝BE，可得△DBE≌△HBE，所以BD＝BH，于是BD＝CD.

對(duì)于第（3）問，如圖4，把第（2）問中的特殊圖形變成一般圖形，點(diǎn)G不與頂點(diǎn)C重合，其他條件都沒有發(fā)生變化，我們可以運(yùn)用第（2）問的方法類比推理.

過點(diǎn)B作BC的垂線交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，延長(zhǎng)BC與HG的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P.與上面第（2）問的方法對(duì)比，由原來的△CAD與△BCH全等，變成了△CAD與△BPH相似，而繼續(xù)保持△DBE≌△HBE.

假設(shè)CD＝1，則CA＝CB＝n，BH＝BD＝n-1.由△CAD∽△BPH，得PBCA=BHCD，即PBn=n-11，則PB=n2－n，PC=n2－2n.又由△PCG∽△ACD，可得CGCD=PCAC，即CG1=n2－2nn，于是CG=n－2，則AG=2.所以AGAC=2n.

第（2）問到第（3）問，由特殊到一般，都通過構(gòu)造三垂直，運(yùn)用全等及相似的知識(shí)，類比解法加以解決.

繼續(xù)探究，第（3）問能否構(gòu)造出與第（2）問類似的全等三角形來解決呢？其實(shí)點(diǎn)D從第（2）問的中點(diǎn)平移到一般位置，則點(diǎn)G也從點(diǎn)C處平移到一般位置，可以通過平移把第（2）問中的方法遷移過來，還原第（2）問中的全等三角形.

如圖5，過點(diǎn)B作BC的垂線交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作AD的垂線交BH于點(diǎn)I，則四邊形CIHG是平行四邊形.同理可得△CAD≌△BCI，△DBE≌△HBE.

若假設(shè)CD＝1，則BI＝1，CA＝CB＝n，BH＝BD＝n―1，HI＝n―2.又因?yàn)樗倪呅蜟IHG是平行四邊形，于是CG=n－2，AG=2.所以AGAC=2n.

這樣，通過平移構(gòu)造出類似第（2）問的三垂直圖形，兩次全等，很容易得到HI＝n―2，AG=2，問題得解.此方法構(gòu)圖巧妙、計(jì)算量小.

2.2 借助對(duì)頂角構(gòu)造等腰三角形類比遷移

對(duì)于第（2）問，如圖6，可以利用∠ADC＝∠EDB進(jìn)行分析.延長(zhǎng)AC與ED交于點(diǎn)P，發(fā)現(xiàn)△ADP是等腰三角形，C為線段PA的中點(diǎn).再過點(diǎn)A作AC的垂線交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.因?yàn)椤螦CB＝90°，AH⊥AC，所以CD∥AH，于是可得到線段CD是△PAH的中位線，AH＝2CD.

又由第（1）問中△AGE∽△BDE，可以推出∠AEC＝∠BED＝∠AEH，結(jié)合∠CAE＝∠HAE＝45°和AE＝AE，由“ASA”判定三角形全等的方法，可推出△CAE≌△HAE，所以AH＝AC.又因?yàn)榈妊苯侨切蜛BC中AC＝BC，根據(jù)等量代換可得BC＝2CD，即BD＝CD.

對(duì)于第（3）問，如圖7，點(diǎn)G不與頂點(diǎn)C重合，但是所有在第（2）問中運(yùn)用的條件屬性不變，第（2）問的解法可以直接遷移.

延長(zhǎng)AC與ED交于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AC的垂線交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，同理可得線段CD是△PAH的中位線，可得AH＝2CD，而△GAE≌△HAE，則AH＝AG.所以AG＝2CD.

假設(shè)CD＝1，則AG＝2，CA＝CB＝n.所以AGAC=2n.

2.3 通過平移角構(gòu)造等腰三角形類比遷移

對(duì)于第（2）問，如圖8，過點(diǎn)A作AH∥ED交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，由于∠EDB=∠AHC=∠ADC，所以△ADH是等腰三角形，又∠ACB=90°，所以C為線段DH的中點(diǎn)，即ＤH＝2CD.

因?yàn)锳H∥ED，所以DHBD=EABE.由第（1）問中△AGE∽△BDE，可以推出EABE=AGBD.所以DHBD=AGBD，即DH＝AG.又因?yàn)镽t△ABC中AG＝BC，所以BC＝2CD，即BD＝CD.

對(duì)于第（3）問，雖然問題發(fā)生了變化，但是類比第（2）問的方法后，發(fā)現(xiàn)條件均未發(fā)生改變，方法同樣可以遷移.

如圖9，過點(diǎn)A作AH∥ED交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，同理可得C為線段DH的中點(diǎn)，即ＤH＝2CD；DHBD=EAEB=AGBD，DH＝AG.所以AG＝2CD.

假設(shè)CD＝1，則AG＝2，CA＝CB＝n.所以AGAC=2n.

3 教學(xué)思考

3.1 分析問題關(guān)聯(lián)屬性，類比遷移思維方式

類比遷移是用已有解決問題的方法，根據(jù)問題之間的共同特征或相同的推理方法，獲得解決新問題的一種重要途徑.教學(xué)中，通過分析解題方法的類比遷移，并把這種解決問題的思維方式潛移默化地傳遞給學(xué)生，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

在2.1中解第（3）問時(shí)，通過平移構(gòu)造與第（2）問類似的三垂直圖形，巧妙構(gòu)圖，類比遷移解題方法，由特殊到一般，通過兩次全等輕松得解；2.2中借助對(duì)頂角構(gòu)造等腰三角形類比遷移解題方法亦可得解；2.3中通過平移角構(gòu)造等腰三角形類比遷移求解.因此，在尋找?guī)缀螇狠S題的解題途徑時(shí)，常可以分析幾個(gè)問題之間是否有關(guān)聯(lián)，新問題與前面的問題是否有相同屬性，前面問題的解決方法是否可以遷移到新問題的解決過程中.

3.2 經(jīng)歷圖形生成過程，提升數(shù)學(xué)思維能力

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，可以讓學(xué)生先經(jīng)歷幾何圖形的生成過程.試題主題干的表達(dá)是對(duì)一個(gè)幾何圖形的直觀描述，學(xué)生讀題后真正能否理解題意，首先要做三個(gè)層面的分析：

（ⅰ）“在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC”這句話確定了一個(gè)圖形“等腰直角三角形ABC”，且∠ACB＝90°，AC，BC是腰；

（ⅱ）“D，E分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，∠ADC＝∠EDB”表達(dá)的是點(diǎn)D在腰BC上，點(diǎn)E在斜邊AB上，且滿足∠ADC＝∠EDB；

（ⅲ）“過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F，交AC于點(diǎn)G”描述了過點(diǎn)E作EF⊥AD的作圖過程，明確垂足是F，EF與AC交于點(diǎn)G.

至此得到了這個(gè)試題對(duì)應(yīng)的幾何圖形，其中兩個(gè)直角三角形即Rt△ACD和Rt△AFG有一個(gè)公共角，△AGE與△BDE都含有45°角，第（1）問通過找另外一對(duì)相等角可證.

教學(xué)時(shí)，先不把題目提供的圖形直接給學(xué)生，而是讓學(xué)生自己通過對(duì)用文字語言和符號(hào)語言描述的幾何圖形的理解畫出圖形，這樣學(xué)生的思維就參與了圖形的生成過程，對(duì)幾何圖形就有了深層次的理解和領(lǐng)悟.學(xué)生畫出圖形后，可以對(duì)下面兩個(gè)層面做進(jìn)一步的分析與思考：

（ⅳ）“若點(diǎn)G恰好與頂點(diǎn)C重合”說明當(dāng)點(diǎn)G與頂點(diǎn)C重合時(shí)，得到特殊位置的圖形（圖2），判斷點(diǎn)D也具有特殊性，即BD＝CD；

（ⅴ）“若CDCB＝1n，再求AGAC的值”，這里設(shè)CDCB＝1n，因?yàn)閚的值不確定使得問題一般化，回到圖1的情況，此時(shí)AGAC的值能否確定呢？

這樣就生成了試題的第（2）問和第（3）問.在這個(gè)過程中，學(xué)生的思維活動(dòng)從對(duì)幾何圖形的感性認(rèn)識(shí)過渡到演繹推理，進(jìn)而對(duì)圖形的幾何特征的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行刻畫.學(xué)生經(jīng)歷了幾何圖形的生成過程和圖形數(shù)量關(guān)系的分析過程，感悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，其數(shù)學(xué)思維得到了提升.

4 結(jié)束語

中考幾何壓軸題問題的設(shè)置常常相互關(guān)聯(lián)，逐級(jí)遞進(jìn)延伸，類比遷移的方法是解決問題的基本途徑.教學(xué)中通過滲透類比的解題方法，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.在分析解決問題時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷幾何圖形的生成過程，可以獲得對(duì)問題深層次的理解和領(lǐng)悟，學(xué)生的思維活動(dòng)從對(duì)幾何圖形的直觀認(rèn)識(shí)過渡到對(duì)問題的推理論證，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.