摘要：尺規(guī)作圖考查學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.中考對(duì)作圖的考查，立足基礎(chǔ)，注重聯(lián)系實(shí)際，常與圖形的證明、計(jì)算等結(jié)合起來(lái)，既考查學(xué)生尺規(guī)作圖的動(dòng)腦動(dòng)手能力，又側(cè)重考查他們多方位、多角度、多層次探究問(wèn)題的發(fā)散思維能力.

關(guān)鍵詞：基本作圖；作三角形；對(duì)稱作圖；網(wǎng)格作圖；作內(nèi)切圓；作外接圓

尺規(guī)作圖就是用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)的作圖.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)尺規(guī)作圖提出了明確的要求：①能用尺規(guī)完成以下基本作圖.作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于與已知角；作一個(gè)角的角平分線；作一條線段的垂直平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線.②會(huì)利用基本作圖作三角形；已知三邊或兩邊及其夾角或兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形.③會(huì)利用基本作圖完成“過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓，作三角形的外接圓、內(nèi)切圓，作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形”.④在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫(xiě)出作法.由此可見(jiàn)，尺規(guī)作圖不僅是初中數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容，更是學(xué)習(xí)幾何、解決幾何問(wèn)題的一種十分有效方法與技巧[1].

近年來(lái)，幾何作圖題在各地的中考中已成為高頻考點(diǎn)，值得我們高度重視.下面以2022年部分省市中考試題為例進(jìn)行中考尺規(guī)作圖常見(jiàn)題型的剖析.

1 尺規(guī)基本作圖

例1 （2022年浙江省臺(tái)州市中考試題）如圖1，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與BC交于點(diǎn)D，連接AD.用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出劣弧AD的中點(diǎn)E.

（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法.）

解析：如圖2，E就是所要作的AD的中點(diǎn).

本題除上述作法外還有如下兩種作法，圖3、圖4中的點(diǎn)E分別為所求.

方法與技巧：本題主要考查了根據(jù)等腰三角形、切線的性質(zhì)用尺規(guī)作圖的基本方法作圖.本題的作圖用了3種方法，技巧主要體現(xiàn)在根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，可以作出AD的垂直平分線、∠ABD的角平分線和∠AOD的角平分線.

2 用尺規(guī)作三角形并證明

例2 （2022年浙江省杭州市中考模擬沖刺試題）

如圖5，已知△ABC，點(diǎn)D在邊BC上，

∠ADB＝2∠C.

（1）尺規(guī)作圖：作出點(diǎn)D.（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡.）

（2）若∠A＝∠B+∠C，求證：D是BC中點(diǎn).

（1）作法1：如圖6，點(diǎn)D即為所求.

作法2：如圖7，點(diǎn)D即為所求.

（2）證法一：如圖7，連接AD.

∵∠ADB＝2∠C，∠ADB＝∠CAD+∠C，

∴∠C＝∠CAD.

∴AD＝CD.

∵∠BAC＝∠B+∠C，

∠BAC+∠B+∠C＝180°，

∴∠A＝90°.

∵∠DAB＝90°-∠CAD，∠B＝90°-∠C，

∴∠DAB＝∠B.

∴AD＝BD.

∴CD＝BD.

∴D是BC中點(diǎn).

證法二：同證法一，∠C=∠CAD，AD=CD.

∵∠BAC＝∠B+∠C＝∠BAD+∠CAD，

∴∠BAD＝∠B.

∴AD＝BD.

∴CD＝BD.

∴D是BC中點(diǎn).

方法與技巧：用尺規(guī)作三角形是最常見(jiàn)的中考作圖題型.本題第（1）問(wèn)作圖的方法1，實(shí)際上就是過(guò)點(diǎn)D作出平行于△ABC邊AB的平行線；方法2是根據(jù)已知條件∠ADB=2∠C，實(shí)際上是運(yùn)用了三角形外角定理（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）.第（2）問(wèn)主要利用等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用了等量代換、線段相等的證明方法.

3 利用對(duì)稱特點(diǎn)作圖

例3 （2022年浙江省寧波市中考試題）圖8，圖9都是由邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)小等邊三角形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，分別按要求畫(huà)出圖形.

（1）在圖8中畫(huà)出等腰三角形ABC，且點(diǎn)C在格點(diǎn)上.（畫(huà)出一個(gè)即可.）

（2）在圖9中畫(huà)出以AB為邊的菱形ABDE，且點(diǎn)D，E均在格點(diǎn)上.

解析：（1）如圖10、圖11（答案不唯一）.

（2）如圖12.

方法與技巧：本題考查了軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的特點(diǎn)，只要熟練掌握特殊三角形與特殊四邊形的性質(zhì)就能夠準(zhǔn)確地在網(wǎng)格上畫(huà)出符合條件的圖形.

4 在網(wǎng)格上作圖

例4 （2022年哈爾濱市中考試題）如圖13，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)和線段EF的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上.

（1）在方格紙中畫(huà)出△ADC，使△ADC與△ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱（點(diǎn)D在小正方形的頂點(diǎn)上）；

（2）在方格紙中畫(huà)出以線段EF為一邊的平行四邊形EFGH（點(diǎn)G，H均在小正方形的頂點(diǎn)上），且平行四邊形EFGH的面積為4.連接DH，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DH的長(zhǎng).

解析：（1）如圖14.

（2）由圖14，可知

DH=32+42=5.

方法與技巧：網(wǎng)格內(nèi)的作圖問(wèn)題也是常見(jiàn)的中考作圖題，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)關(guān)鍵性的格點(diǎn)，挖掘出網(wǎng)格中隱含的數(shù)量關(guān)系.本題主要考查了考生利用軸對(duì)稱變換、平行四邊形的性質(zhì)作圖的動(dòng)手能力；求線段的長(zhǎng)度又能檢測(cè)考生能否靈活運(yùn)用勾股定理，準(zhǔn)確畫(huà)出圖形是解答本題的關(guān)鍵.

5 作內(nèi)切圓并求面積

例5 （2022年綏化市中考試題）已知△ABC（如圖15）.

（1）尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出△ABC內(nèi)切圓的圓心O.（只保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明.）

（2）如果△ABC的周長(zhǎng)為14 cm，內(nèi)切圓的半徑為1.3 cm，求△ABC的面積.

解析：（1）如圖16所示，O即為所求作的圓心.

（2）如圖17所示，連接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，D，E，F(xiàn)分別為垂足.

∵內(nèi)切圓的半徑為1.3 cm，

∴OD=OF=OE=1.3 cm.

∵AB+BC+AC=14 cm，

∴S△ABC=S△AOB+S△COB+S△AOC=12×AB×OD+12×BC×OE+12×AC×OF

=12×1.3×（AB+BC+AC）=12×1.3×14=9.1（cm2）.

故△ABC的面積為9.1 cm2.

方法與技巧：本題考查了利用角平分線的性質(zhì)用尺規(guī)作三角形內(nèi)切圓的技巧及運(yùn)用割補(bǔ)法求幾何圖形的面積等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，能夠?qū)⒔瞧椒志€的性質(zhì)與三角形的內(nèi)切圓相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.第（1）小題作圖的根據(jù)是“角平分線的交點(diǎn)即為三角形內(nèi)切圓的圓心”，故只要作出兩個(gè)角的角平分線即可；第（2）小題利用割補(bǔ)法，連接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，這樣將△ABC分成三個(gè)小三角形，這三個(gè)小三角形分別以△ABC的三邊為底，高為內(nèi)切圓的半徑，利用提取公因式法即可將周長(zhǎng)代入，進(jìn)而求出三角形的面積.

6 作外接圓并求值

例6 （2022年甘肅省平?jīng)鍪兄锌寄M試題）如圖18，圖19，已知銳角△ABC中，AC=BC.

（1）請(qǐng)?jiān)趫D18中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作∠ACB的平分線CD；作△ABC的外接圓⊙O.（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡.）

（2）在（1）的條件下，若AB=485，⊙O的半徑為5，則sin B=.（如需畫(huà)草圖，請(qǐng)使用圖19.）

解析：（1）如圖20所示.

（2）連接OA.

∵AC=BC，

∠ACB的平分線為CD，

∴AD=BD=12AB=245，

CD⊥AB.

∵⊙O的半徑為5，

∴OD=OA2－AD2=52－2452=75.

∴CD=CO+OD=5+75=325.

∴BC=BD2+CD2=2452+3252=8.

∴sin B=CDBC=3258=45

.

方法與技巧：本題主要考查尺規(guī)基本作圖，涉及到等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)，理解三角形外接圓的圓心是三角形各邊中垂線的交點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵.

第（1）問(wèn)，按照尺規(guī)作角平分線的步驟，即可作∠ACB的平分線CD，作出AC的中垂線交CD于點(diǎn)O，再以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑，畫(huà)圓即可；第（2）問(wèn)連接OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AD=BD=245，由CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC，進(jìn)而即可求解.

7 作幾何體的三視圖

例7 （2022年陜西省西安市鐵一中模擬試題）校園體育場(chǎng)的東側(cè)有一個(gè)由3個(gè)相同的立方塊搭建而成的升旗臺(tái)（如圖21），試畫(huà)出它的主視圖和俯視圖.

解析：圖21對(duì)應(yīng)的主視圖及俯視圖如圖22所示.

方法與技巧：本題旨在考查考生對(duì)空間與平面之間相互關(guān)系的理解與把握，側(cè)重考查幾何體與其三視圖、展開(kāi)圖之間的轉(zhuǎn)化能力.從正面看到的平面圖就是主視圖，從上往下看到的平面圖形則是俯視圖.

從全國(guó)范圍來(lái)看，與尺規(guī)作圖有關(guān)的題型有很多，近年來(lái)有些省市還推出了一些設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)意的新題型.尺規(guī)作圖考查的知識(shí)點(diǎn)多、范圍廣，涵蓋了各種題型，尤其是在解答題中，會(huì)作圖、準(zhǔn)確地作出圖形已成為解題的必備條件和突破口.因此，教師在平時(shí)的教學(xué)和復(fù)習(xí)備考中，要強(qiáng)化學(xué)生作圖的基本功訓(xùn)練，不僅要求學(xué)生會(huì)尺規(guī)作圖，還要求學(xué)生明白尺規(guī)作圖的道理[2].作圖的目的是為了解題，要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)下，激活思維，不斷開(kāi)拓思路，通過(guò)作圖和推理分析，能夠順利地找到解題的突破口與最優(yōu)方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]吳春林.淺談初中數(shù)學(xué)畫(huà)圖、作圖教學(xué)[J].數(shù)理化解題研究（初中版），2010（11）：21-22.

[2]趙淵.運(yùn)用尺規(guī)作圖培養(yǎng)學(xué)生的深度思維[J].新校園，2022（11）：19-20，38.