摘要：中考數(shù)學(xué)探究性問題是近年來出現(xiàn)的一種新題型，側(cè)重考查考生的歸納、猜想、探索和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的綜合能力.本文中結(jié)合浙江省部分地市最新中考試題，通過對題型的歸類與解析，探討和總結(jié)了探究性問題的答題方法與技巧.

關(guān)鍵詞：函數(shù)應(yīng)用型；數(shù)字規(guī)律型；拓展延伸型；證明圖形關(guān)系；數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化

近年來，浙江省各地的中考數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一些新穎別致、具有創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維的探究性題型，這類題型側(cè)重考查學(xué)生獨立思考、探索和探究問題、解決問題的綜合能力，充分體現(xiàn)了新課改“由知識向能力轉(zhuǎn)變”的改革精神.由于這類題型要求學(xué)生具有臨場閱讀、提取信息和進(jìn)行信息加工、處理以及解決問題的綜合能力，試題既沒有固定的模式，也沒有現(xiàn)成的答題方法和套路可用，所以大多數(shù)考生都因一時找不到解題思路和突破口而產(chǎn)生了懼怕、放棄的心理[1].因此，幫助學(xué)生在熟悉探究性問題題型的基礎(chǔ)上，樹立信心，消除畏難情緒，能在考場上鎮(zhèn)定快速地找到解題思路和突破口，是我們初中數(shù)學(xué)教師急待探討和解決的問題.

1 函數(shù)應(yīng)用型

例1 （2022年浙江省溫州市中考試題）根據(jù)以下素材（見表1），探索完成任務(wù)：

解析：任務(wù)1：以拱頂為原點，建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系，則頂點為（0，0），且經(jīng)過點（10，－5）.

設(shè)該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2（a≠0），

則有－5=100a，解得

a=－120.

故該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=－120x2.

任務(wù)2：由于水位再上漲1.8 m達(dá)到最高，燈籠底部距離水面至少1 m，燈籠長0.4 m，因此

懸掛點的縱坐標(biāo)y≥－5+1.8+1+0.4=－1.8.

所以懸掛點的縱坐標(biāo)的最小值是－1.8.

令y=－1.8，由－1.8=－120x2，解得x1=6或x2=－6.

故懸掛點的橫坐標(biāo)取值范圍是－6≤x≤6.

任務(wù)3：有以下兩種設(shè)計方案.

方案一：從拋物線頂點處開始懸掛燈籠.

由于－6≤x≤6，相鄰兩燈籠懸掛點的水平間距均為1.6 m，若頂點一側(cè)掛4盞燈籠，則1.6×4gt;6；

若頂點一側(cè)掛3盞燈籠，則1.6×3lt;6.

因此頂點一側(cè)最多可掛3盞燈籠.又掛滿燈籠后成軸對稱分布，可以共可掛7盞燈籠.

故最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo)是－4.8.

方案二：從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對稱軸的距離均為0.8 m.

若頂點一側(cè)掛5盞燈籠，則0.8+1.6×4gt;6；

若頂點一側(cè)掛4盞燈籠，則0.8+1.6×3lt;6.

因此頂點一側(cè)最多可掛4盞燈籠.

又掛滿燈籠后成軸對稱分布，所以共可掛8盞燈籠.

故最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo)是－5.6.

思路與技巧：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，熟練運用二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.其中任務(wù)1，以拱頂為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，即可用待定系數(shù)法求出解析式；

任務(wù)2，根據(jù)題意求出懸掛點的縱坐標(biāo)，再代入函數(shù)解析式即可求出橫坐標(biāo)的范圍；

任務(wù)三，分情況討論，有“從頂點處懸掛”和“從對稱軸兩側(cè)開始懸掛”兩種設(shè)計方案.

2 數(shù)字規(guī)律型

例2 （2022年浙江省嘉興市中考試題）設(shè)a5是一個兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1≤a≤9）.例如，當(dāng)a=4時，a5表示的兩位數(shù)是45.

（1）嘗試：

①當(dāng)a=1時，152＝225＝1×2×100＋25；

②當(dāng)a=2時，252＝625＝2×3×100＋25；

③當(dāng)a=3時，352＝1 225＝；

…………

（2）歸納：a52與100a（a+1）+25有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由.

（3）運用：若a52與100a的差為2 525，求a的值.

解析：（1）當(dāng)a=3時，352=1 225=3×4×100+25.

（2）a52與100a（a+1）+25相等.理由如下：

a52=（10a+5）2

=100a2+100a+25

=100a（a+1）+25.

（3）由a52與100a的差為2 525，得

100a2+100a+25－100a=2 525.

整理得100a2=2500，解得a=±5.

又1≤a≤9，所以a=5.

思路與技巧：本題考查的是數(shù)字的規(guī)律探究，按照“嘗試—歸納—運用”的順序與思路，運用完全平方公式、多項式乘法、平方根的含義等來設(shè)方程、解方程，其中充分理解題意、列出運算式或方程是破解本題的關(guān)鍵.

3 拓展延伸型

例3 （2022年浙江省寧波慈溪市中考模擬試題）

【證明體驗】（1）如圖5，在△ABC和△BDE中，點A，B，D在同一直線上，∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，求證：△ABC∽△DEB.

（2）如圖6，圖7，AD＝20，B是線段AD上的點，AC⊥AD，AC＝4，連接BC，M為BC中點，將線段BM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°至BE，連接DE.

【思考探究】①如圖6，當(dāng)DE=22ME時，求AB的長.

【拓展延伸】②如圖7，G是CA延長線上一點，且AG＝8，連接GE，∠G＝∠D，求ED的長.

（1）證明：∵∠A＝90°，

∠CBE＝90°，

∴∠C＋∠CBA＝90°，∠CBA＋∠DBE＝90°.

∴∠C＝∠DBE（同角的余角相等）.

又∠A＝∠D＝90°，

∴△ABC∽△DEB.

（2）解：①因為點M繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°至點E，M為BC中點，

所以△BME為等腰直角三角形，且BEBC=BMBC=12，

則BE=22ME.又DE=22ME，所以BE=DE.

如圖8，過點E作EF⊥AD，垂足為F，則BF＝DF.

由∠A＝∠CBE＝∠BFE＝90°，結(jié)合（1）得△ABC∽△FEB，則BFAC=BEBC=12.又AC＝4，則BF＝2.

故AB＝AD－BF－FD＝20－2－2＝16.

②如圖9，過點M作AD的垂線交AD于點H，過點E作AD的垂線交AD于點F，過點D作DP⊥AD，過點E作NP⊥DP，交AC的延長線于點N.

由M為BC中點，MH∥AC，得MHAC=BMBC=BHAB=12.

所以MH=12AC=2，BH＝AH.

由∠MHB＝∠MBE＝∠BFE＝90°，結(jié)合（1）可得△HBM∽△FEB.

又MB＝EB，所以

△MHB≌△BFE.

所以BF＝MH＝2，EF＝BH.

設(shè)EF＝x，則DP＝x，BH＝AH＝x，EP＝FD＝20－2－2x＝18－2x，GN＝x＋8，NE＝AF＝2x＋2.

易證得△NGE∽△PED，則有

PENG=PDNE，即18－2xx+8=x2x+2，解得x1=6，x2=－65（舍去），所以FD＝18－2x＝6.

故ED=EF2+FD2=62+62=62.

思路與技巧：本題是解三角形問題的拓展延伸，解題時要用到相似三角形的性質(zhì)與判定、同角的余角相等、旋轉(zhuǎn)、等腰三角形、全等三角形的性質(zhì)與判定等相關(guān)知識，牢固掌握并靈活運用這些知識點，通過分析題目的已知條件恰當(dāng)?shù)刈鞒鲚o助線，能根據(jù)三角形相似的性質(zhì)列出方程是解題的關(guān)鍵.

4 研究證明圖形關(guān)系型

例4 （2022年浙江省臺州市中考試題）圖10中有四條優(yōu)美的“螺旋折線”，它們是怎樣畫出來的呢？如圖11，在正方形ABCD各邊上分別取點B1，C1，D1，A1，使AB1=BC1=CD1=DA1=45AB，依次連接它們，得到四邊形A1B1C1D1；

再在四邊形A1B1C1D1各邊上分別取點B2，C2，D2，A2，使A1B2=B1C2=C1D2=D1A2=45A1B1，依次連接它們，得到四邊形A2B2C2D2；……如此繼續(xù)下去，便得到四條螺旋折線.

（1）求證：四邊形A1B1C1D1是正方形；

（2）求A1B1AB的值；

（3）請研究螺旋折線BB1B2B3……中相鄰線段之間的關(guān)系，寫出一個正確結(jié)論并加以證明.

解析：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠B=90°，又AB1=BC1=CD1=DA1=45AB，

∴AA1=BB1=15AB.

∴△AB1A1≌△BC1B1.

∴A1B1=B1C1，∠AB1A1=∠BC1B1.

又∠BC1B1+∠BB1C1=90°，

∴∠BB1C1+∠AB1A1=90°.

∴∠A1B1C1=90°.

同理，可證B1C1=C1D1=D1A1=A1B1.

∴四邊形A1B1C1D1是正方形.

（2）由AB1=BC1=CD1=DA1=45AB，設(shè)AB=5a，則AB1=4a.

∴B1B=AA1=a.

∴由勾股定理，得A1B1=17a.

∴A1B1AB=17a5a=175.

（3）結(jié)論1：螺旋折線BB1B2B3……中相鄰線段的比均為51717或175.

證明：因為AB1=45AB，所以BB1=15AB.

同理，B1B2=15A1B1，故B1BB1B2=ABA1B1=51717.

同理，可得B1B2B2B3=51717，……

故螺旋折線BB1B2B3……中相鄰線段的比均為51717或175.

結(jié)論2：螺旋折線BB1B2B3…中相鄰線段的夾角的度數(shù)不變（證明略）.

思路與技巧：本題考查了圖形變化關(guān)系的探究證明，涉及到正方形、三角形（相似與全等）的性質(zhì)與判定、勾股定理等知識，按照作圖方法的提示來研究和證明相鄰線段之間的關(guān)系是解題的突破口.

綜上所述，浙江省的中考數(shù)學(xué)探究性題型具有明顯的特征，大多是以“提出問題-探究問題-解決問題”為主線來設(shè)計的，解題也可以采用“操作-猜想-分析-實驗-推理-歸納-發(fā)現(xiàn)”這樣的思路來考慮.當(dāng)然，探究性問題中往往涉及代數(shù)與幾何交叉的多個知識點，綜合性很強(qiáng)[2]，這就要求我們在解題時要運用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想來研究問題，把相關(guān)的知識點串聯(lián)、貫通起來，這樣才能做到思路豁然，左右逢源，快速地找到解題的突破口.

參考文獻(xiàn)：

[1]趙亞軍.數(shù)學(xué)探究中彰顯問題意識[J].數(shù)學(xué)之友，2022（7）：36-37.

[2]周曉瑜.初中數(shù)學(xué)探究性問題開放性教學(xué)實踐與反思——以中考第一輪“圖形與幾何”復(fù)習(xí)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（6）：39-40.