美籍?dāng)?shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》中把解題過程概括為“審題—探索—表達—回顧”四個環(huán)節(jié)，明確指出解題回顧是解題過程的最后一個環(huán)節(jié)，然而我們的學(xué)生和老師往往重視前面三個環(huán)節(jié)，而忽略了“解題回顧”這一重要環(huán)節(jié)，沒有發(fā)揮反思這一重要的教育功能.新課程標(biāo)準(zhǔn)中的問題解決部分也明確指出：“通過對解決問題過程的反思，獲得解決問題的經(jīng)驗.”這句話說明了反思的重要性，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開反思.數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力是反思，通過題后反思總結(jié)解題方法，明晰解題思路，提升解題能力.

1 反思的基本內(nèi)涵及學(xué)生反思的主要特征

中國自古就有“吾日三省吾身”“捫心自問”等經(jīng)典提法.反思的目的在于指導(dǎo)未來思維活動.反思是一種心理活動、一種認(rèn)識論方法、一種思維活動、一種能力、一個過程.題后反思就是學(xué)生在解決問題之后，對問題解答過程中的思維活動和結(jié)果進行自我梳理、自我探索、自我調(diào)整、自我評價.

作為學(xué)生，他們?yōu)槭裁床粫朴陬}后反思？從心理學(xué)的角度來分析，人體感覺器官接受到的刺激是非常多的，但人不可能清楚地感受到每一個作用于他的刺激，更不可能對作用于自己的眾多刺激都作出與之相對應(yīng)的反應(yīng).人們往往把自己感興趣的事物作為感知對象，而將其他的事物則當(dāng)作感知的背景.大多數(shù)學(xué)生把對解答過程的理解和問題的結(jié)果作為感知對象，從而被清楚地感知，但對于這個問題是如何解決的，解決問題的方法及思維過程往往被當(dāng)作感知的背景，只是很模糊的感知.這就是大部分學(xué)生能聽懂但不會做的原因.

2 題后反思的內(nèi)容

數(shù)學(xué)思維過程含有對象、過程、結(jié)果三個要素.解數(shù)學(xué)題后的反思也可以是對數(shù)學(xué)活動的對象、過程及結(jié)果進行反思.我們所說的題后反思可以分為：（1）總結(jié)性反思.對數(shù)學(xué)問題的通用解法進行總結(jié)、優(yōu)化、提升，形成通用的解題思路或數(shù)學(xué)思想方法.（2）錯誤性反思.對解題過程中的思維障礙、錯誤點進行梳理、整改，找到錯誤產(chǎn)生的原因，進而整合自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，防止今后碰到類似問題再次發(fā)生錯誤.（3）知識點反思.主要反思問題涉及的知識點、解題技能及思維方法.（4）生成性反思.旨在對數(shù)學(xué)問題的重新建構(gòu)，以及對解題方法的優(yōu)化、探究和引申.

3 培養(yǎng)學(xué)生解題反思的幾個方面

3.1 反思知識聯(lián)系，厘清知識結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是有序的，知識與知識之間是有聯(lián)系的.如，八年級的一次函數(shù)在本質(zhì)上其實就是七年級的二元一次方程；九年級的二次函數(shù)與x軸的交點情況與八年級的一元二次方程的根的情況相同等.因此，從整體上把握知識的結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生理解、領(lǐng)悟知識之間的固有聯(lián)系，從本質(zhì)上理解和把握數(shù)學(xué)知識，真正提升解決數(shù)學(xué)問題的能力.

例1 如圖1，⊙O是△ABC的外接圓，⊙O的半徑r=2，sin B=0.75，求弦AC的長.

本題很多學(xué)生的第一反應(yīng)是過點A作BC的垂線，這樣構(gòu)造的目的是聯(lián)想三角函數(shù)與直角三角形的關(guān)系，但是沒有把三角函數(shù)、直角三角形和圓周角定理三方面的知識緊密聯(lián)系在一起.事實上，連接AO并延長交⊙O于點D，連接CD即可.因此，讓學(xué)生去反思并厘清同一個問題中的知識在結(jié)構(gòu)上的相互聯(lián)系，對問題的解決有非常大的幫助.

3.2 反思一題多解，培養(yǎng)靈活思維

一道題做完以后，再引導(dǎo)學(xué)生探尋多種解法，從而確定最優(yōu)方案，掌握解決問題的通法和優(yōu)法.利用不同的方法解決同一類或同一個數(shù)學(xué)問題，可幫助學(xué)生深層次理解問題，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維，拓寬學(xué)生的知識視野，開闊思路，使學(xué)生的思維朝著靈活多變、縝密和創(chuàng)新的方向進化，大幅度提升學(xué)生的解題能力.

例2 如圖2，已知A（2，2），B（-4，2），C（-2，-1），D（4，-1），試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．

方法1：根據(jù)兩點間的距離公式，求出AB=CD，BC=AD.依據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，即可作出判斷.

方法2：構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理求出BC=AD，并由坐標(biāo)得出AB=CD，進而作出判斷.

方法3：由點A與點B的縱坐標(biāo)相等得出AB平行于x軸，同時計算出AB=6.同理可得CD平行于x軸，且CD=6.依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可作出判斷.

方法4：構(gòu)造Rt△BFC和Rt△AED，證明Rt△BFC≌Rt△AED，得到BC∥AD，BC=AD，即可作出判斷.

方法5：求出直線BC和直線AD的函數(shù)解析式，由解析式中k的值可得BC∥AD，進一步結(jié)合已知條件即可作出判斷.

方法6：求出AC的中點坐標(biāo)和BD的中點坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)AC與BD的中點重合，從而說明AC與BD互相平分.依據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可作出判斷.

教學(xué)中充分開展一題多解的教學(xué)后，再讓學(xué)生思考哪種方法最佳.這樣的反思過程能讓學(xué)生學(xué)會發(fā)散性反思，通過做極少的題目，達到復(fù)習(xí)鞏固的效果，能夠幫助學(xué)生從題海中解脫出來，并且解題思維更加靈活多變，解題方法也更加多種多樣.

3.3 反思問題本質(zhì)，提高抽象思維

問題解決后再次重新剖析問題，適時引導(dǎo)學(xué)生將某些題目進行適當(dāng)改變、延伸，促使學(xué)生抓住問題的本質(zhì)，探尋問題之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，探索一般規(guī)律，從而重新認(rèn)識數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及求知欲望，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的良好習(xí)慣，進而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，不斷提高思維的抽象程度.

例3 已知等邊三角形ABC，其邊長為a，兩個頂點A，B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連接OC，求OC長的最大值．

解：如圖3，連接OC，取AB的中點E，連接CE，OE，顯然OC≤OE+CE，當(dāng)O，C，E三點共線時OC最大.

例4 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正三角形ABC的邊長為2，點A從點O開始沿x軸的正方向移動，點B在∠xOy的平分線上移動，求點C到原點O的最大距離.

很多學(xué)生解答例4的時候跟例3的思考過程一樣，取AB的中點E，連接CE，OE（如圖5），當(dāng)O，C，E三點共線時OC取得最大值.然而為什么此時OC最大學(xué)生都說不清楚，因為OE的長不是定值，究其原因沒有抓住問題的本質(zhì).如圖6構(gòu)造△AOB的外接圓⊙H，因為圓周角∠AOB=45°，所以圓心角∠AHB=90°.因為AB=2，所以AH=BH=2.連接CH交AB于點E，進一步可得CH⊥AB，則EH=1，又CE=3，所以CH=1+3.因為OC≤OH+CH，而OH與CH的和是個定值，所以當(dāng)O，H，C三點共線時，OC的長度最大，此時OC=OH+CH=1+2+3.

例4的這種方法才是例3和例4這兩道題的通法，也是真正抓住了解決這類問題的本質(zhì).例3中，點E和△AOB的外心重合，且E又剛好是AB的中點，由于思維定勢，因此做例4時學(xué)生也會先去找AB的中點.由于例3中可以根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”確定OE的長不變，因此沒有必要畫出輔助圓.所以解答例4時學(xué)生也就想不到要構(gòu)造輔助圓，因而就不能像例3一樣將OC的長轉(zhuǎn)化成小于等于兩條固定線段的長度之和，找不到解決問題的突破口，抓不住問題的本質(zhì)，從而也就說不清楚為什么O，C，E三點共線時OC取得最大值.

3.4 反思解題關(guān)鍵，精確概括思維

數(shù)學(xué)的問題是千變?nèi)f化的，但是數(shù)學(xué)知識是不變的，所以在數(shù)學(xué)中經(jīng)常會碰到同一類型問題.如果能找到解決同一類問題的方法或規(guī)律，在解題上就能達到做一道、會一類、通一片的效果.

例5 如圖7，正方形OABC，ADEF的頂點A，D，C在坐標(biāo)軸上，點F在AB上，點B，E在函數(shù)y=1x（xgt;0）的圖象上，求點E的坐標(biāo).

例6 如圖8，P1是反比例函數(shù)y=kx（k＞0）在第一象限圖象上的一點，點A1的坐標(biāo)為（2，0），△P1OA1與△P2A1A2均為等邊三角形，求此反比例函數(shù)的解析式及點A2的坐標(biāo).

例7 如圖9，正方形A1B1P1P2的頂點P1，P2在反比例函數(shù)y=2x（x＞0）的圖象上，頂點A1，B1分別在x軸、y軸的正半軸上，再在其右側(cè)作正方形P2P3A2B2，頂點P3在反比例函數(shù)y=2x（x＞0）的圖象上，頂點A2在x軸的正半軸上，求點P3的坐標(biāo).

上述三道題，解題時首先都要緊緊抓住第一個特殊圖形的性質(zhì)，先求出雙曲線上點的坐標(biāo)，然后設(shè)所求點的橫坐標(biāo)，借助特殊圖形的性質(zhì)表示出該點的縱坐標(biāo)，最后把該點的坐標(biāo)代入到已知的解析式中即可.有了這樣的解題關(guān)鍵的反思，就可以解決相同類型的問題.

3.5 反思思維策略，掌握基本思想

當(dāng)學(xué)生解完題后，引導(dǎo)他們對自己的解題過程進行反思，進一步明確解題過程中用到的數(shù)學(xué)原理，提煉或加工解題的具體方法，歸納出一般的數(shù)學(xué)思想方法.

例8 求代數(shù)式x2+4+（12-x）2+9的最小值.

筆者在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生回憶并利用兩點之間的距離公式，把需要求解的問題轉(zhuǎn)化為求x軸上的動點P到兩定點A（0，2）和B（12，3）的距離之和的最小值，如圖10，然后根據(jù)兩點之間線段最短解決這一幾何問題.為了加深數(shù)形結(jié)合的思維策略，在學(xué)生反思之后，筆者馬上給出了一道難度有所上升的變式題：

例9 求代數(shù)式12|x-1|+（12-x）2+9的最小值.

學(xué)生有了解答例8的經(jīng)驗之后，依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，將這一問題轉(zhuǎn)化為求x軸上的動點P到點B（12，3）的距離與到點A（1，0）的距離一半的和的最小值，即求PB+PC的最小值，然后依據(jù)點到直線的距離中垂線段最短即可解決.

最后，再對這兩道題目進行反思，讓學(xué)生明白這兩題都是借助“形”的生動和直觀性來闡明“數(shù)”之間的聯(lián)系，即以“形”作為手段，以“數(shù)”為目的，用“形”解決“數(shù)”的問題，讓學(xué)生充分感受到數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的地位和作用.

3.6 創(chuàng)造性反思，拓展學(xué)生視野

一道典型例題解完以后，引導(dǎo)學(xué)生進行“一題多變”探索，可幫助學(xué)生更加系統(tǒng)、全面地掌握知識.教師應(yīng)充分發(fā)揮典型例題在知識層面和能力層面的輻射功能，從原題中挖掘出與原題無關(guān)，但會讓學(xué)生從更深的層面了解題目，提高學(xué)生思維深刻性的問題，讓學(xué)生思維開闊起來.

例10 如圖12，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC上兩個動點，∠EAF=45°，請說明BE+DF與EF的數(shù)量關(guān)系.

通過證明，可知BE+DF=EF.原題的解答本來可以到此為止，但實際上這題還能作更大的文章，可以引導(dǎo)學(xué)生進行以下思考：

（1）若BE+DF=EF，則∠EAF的度數(shù)是45°嗎？（題設(shè)與結(jié)論互換，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力.）

（2）連接EF，線段EF的長度何時最小，最小值是多少？此時，CE和CF有什么關(guān)系？當(dāng)點EF最短時，△AEF的面積為何值？△CEF的面積又是何值？此時△CEF的內(nèi)切圓半徑是多少？

（3）如圖13，連接BD，交AE于點M，交AF于點N，以BM，MN，DN為邊的三角形是什么三角形？請說明理由.

（4）如圖14，延長AE交DC的延長線于點G，延長AF交BC的延長線于點H，判斷△CGH的面積是否為定值？請說明理由.

（5）如圖15，當(dāng)點

E，F(xiàn)同時在直線CD上時，AE交BC的延長線于點P，連接PF，猜想DF，PF，BP三者的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

通過對上述問題的反思，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情會再次高漲.不僅讓學(xué)生從原題出發(fā)向內(nèi)發(fā)展思考新問題，也可以從原題出發(fā)向外變化發(fā)展思考新問題，不斷猜想并提出新的問題.學(xué)生的探究欲望再次飛揚，思維水平進一步提高.這樣不僅能拓展學(xué)生的視野，更能培養(yǎng)學(xué)生改編試題的能力，大大提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

總之，教師在教學(xué)中要重視對綜合性、典型性、解題思路獨特、解題過程中易發(fā)生錯誤的題目以及對學(xué)生創(chuàng)新能力和思維能力的培養(yǎng)有較大幫助的題目的反思.鼓勵學(xué)生反思，并巧妙利用反思，不斷思考解題過程中蘊含的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想，并能作出新的判斷.這樣就能不斷提升學(xué)生思維的層次，大大提高學(xué)生的解題能力.