1 “拋物線”形問題

生活中有比較多的常見的問題與拋物線形有關(guān)，比如上拋的物體、噴泉、資金收入、隧道、拱形橋等.要解決這類拋物線形的問題，常常需要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將這些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來求解即可.

例1 如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水.噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）.如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝2 m，豎直高度為EF的長(zhǎng).下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2 m，高出噴水口0.4 m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）.其中h＝1.2，EF=0.7 m.

（1）求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；

（2）求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（3）若d＝3.2 m，灌溉車行駛時(shí)噴出的水（填“能”與“不能”）澆灌到整個(gè)綠化帶.

解：由題意可得H（0，1.2），A（2，1.6），且上邊緣拋物線的頂點(diǎn)為A，設(shè)拋物線解析式為y＝a（x-2）2+1.6，將H（0，1.2）代入，可得a=-110，即上邊緣的拋物線為y=-110（x-2）2+1.6.

由-110（x-2）2+1.6＝0，解得x1＝-2（舍去）或x2＝6，即OC＝6 m，所以上邊緣拋物線噴出水的最大射程OC為6 m.

（2）由（1）可得，H（0，1.2），上邊緣拋物線y=-110（x-2）2+1.6的對(duì)稱軸為x＝2，則點(diǎn)H關(guān)于該對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為（4，1.2），所以下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，則下邊緣的拋物線解析式為y=-110（x+2）2+1.6.將y＝0代入，可得-110（x+2）2+1.6＝0，

解得x1＝-6（舍去）或x2＝2，所以點(diǎn)B（2，0）.

（3）因?yàn)?＜3.2＜6，所以綠化帶的左邊部分可以灌溉到.由題意可得，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3.2+2＝5.2，

則F（5.2，0.7）.將x＝5.2代入y=-110（x-2）2+1.6中，得y=-110（5.2-2）2+1.6＝0.576＜0.7，所以灌溉車行駛時(shí)噴出的水不能澆灌到整個(gè)綠化帶.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了生活中關(guān)于二次函數(shù)類型的實(shí)際問題，這類問題的解決主要是依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及圖象特征，根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，求得二次函數(shù)的解析式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為有關(guān)二次函數(shù)常見的最值問題來解決是解題關(guān)鍵.

2 “生活、生產(chǎn)”實(shí)際問題

對(duì)于某些實(shí)際中的與“生活、生產(chǎn)”相聯(lián)系的問題，我們需要把實(shí)際中的這類問題，首先要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形式，然后結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)來研究這些實(shí)際生活問題.這也反應(yīng)了數(shù)形結(jié)合和方程思想在解決問題中的重要作用.

例2 某智能機(jī)器人生產(chǎn)廠家準(zhǔn)備對(duì)甲、乙兩款機(jī)器人進(jìn)行投資生產(chǎn)，根據(jù)前期市場(chǎng)調(diào)研情況發(fā)現(xiàn)，投資甲機(jī)器人一年后的收益y甲（單位：萬元）與投入成本x（xgt;0）（單位：萬元）的函數(shù)表達(dá)式為y甲=12x，投資乙機(jī)器人一年后的收益y乙（單位：萬元）與投入成本x（xgt;0）（單位：萬元）的函數(shù)表達(dá)式為y乙=-14x2+52x.

（1）若將2萬元資金投給乙機(jī)器人，一年后獲得的收益是多少？

（2）請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出兩函數(shù)圖象的簡(jiǎn)圖，并結(jié)合圖象分析怎樣選擇投資對(duì)象使獲得的收益更多？

（3）若該生產(chǎn)廠家共有活動(dòng)資金32萬元，計(jì)劃全部投入到甲、乙兩款機(jī)器人生產(chǎn)中，當(dāng)甲、乙兩款機(jī)器人分別投入多少萬元時(shí)，一年后獲得的收益之和最大？最大值是多少萬元？

解：（1）當(dāng)x=2時(shí)，

y乙=-14x2+52x=4（萬元）.

答：一年后獲得的收益是4萬元.

（2）直線y甲=12x過點(diǎn)（0，0），（2，1）.

畫出函數(shù)y甲=12x的簡(jiǎn)圖，如圖4.

拋物線y乙=-14x2+52x的對(duì)稱軸為x=5，頂點(diǎn)為5，254.當(dāng)x=0時(shí)，y乙=0，當(dāng)y=0時(shí)，解得x1=0，x2=10.

所以拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）（10，0）.

畫出函數(shù)y乙=-14x2+52x的簡(jiǎn)圖，如圖4.

直線y甲=12x與拋物線y乙=-14x2+52x的兩個(gè)交點(diǎn)為（0，0），（8，4）.由圖象可知：當(dāng)投入成本x=8萬元時(shí)，選擇投資生產(chǎn)甲、乙兩款機(jī)器人獲得的收益一樣；

當(dāng)投入成本0lt;xlt;8萬元時(shí)，選擇投資生產(chǎn)乙款機(jī)器人獲得的收益更多；當(dāng)投入成本xgt;8萬元時(shí)，選擇投資生產(chǎn)甲款機(jī)器人獲得的收益更多.

（3）設(shè)一年后獲得的收益之和為w，投入乙款機(jī)器人生產(chǎn)n萬元，則投入甲款機(jī)器人生產(chǎn)（32-n）萬元，

所以w=12（32-n）-14n2+52n=-14（n-4）2+20.故當(dāng)n=4時(shí)，w有最大值，最大值為20.

答：當(dāng)投入甲款機(jī)器人生產(chǎn)28萬元，投入乙款機(jī)器人生產(chǎn)4萬元，一年后獲得的收益之和最大，最大值是20萬元.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)以及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，要在求得一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式的基礎(chǔ)上，結(jié)合這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)以及與方程的關(guān)系來解決這類問題.

3 “幾何”問題

利用二次函數(shù)解決有關(guān)幾何問題，一定要認(rèn)真分析幾何圖形的特點(diǎn)，抓住圖形中的關(guān)鍵因素，在理解題意的基礎(chǔ)上，確定好變量，然后建立函數(shù)模型，構(gòu)建有關(guān)二次函數(shù)或者其他函數(shù)方程，再利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

例3 蔬菜大棚是一種具有出色保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它的出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間.如圖5，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線的一部分AED構(gòu)成（以下簡(jiǎn)記為“拋物線AED”），其中AB＝4 m，BC＝6 m，現(xiàn)取BC中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點(diǎn)E，OE＝7 m，若以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖6所示平面直角坐標(biāo)系.請(qǐng)結(jié)合圖形解答下列問題：

（1）求拋物線的解析式；y=-13x2+7.

（2）如圖7，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置LFGT，SMNR，其中L，R在拋物線AED上，若FL＝NR＝0.75 m，求兩個(gè)正方形裝置的間距GM的長(zhǎng).33-32.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，在讀懂題意的基礎(chǔ)上，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

4 結(jié)語

二次函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用問題是初中教學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，這種題型往往就是求解函數(shù)的最大值、最小值問題，經(jīng)常與實(shí)際生活中的“經(jīng)濟(jì)、交通、體育、生產(chǎn)、圖形設(shè)計(jì)”等問題相聯(lián)系，因此在處理這類問題時(shí)，可以貼合生活實(shí)際，合理轉(zhuǎn)化為所學(xué)的函數(shù)問題，然后利用函數(shù)的圖形和性質(zhì)來解決問題.這類問題對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高.