摘要：本文中以“秋千的安全距離”作為項目學習的案例，通過綜合運用數(shù)學和物理的知識與方法解決真實問題.

關(guān)鍵詞：綜合與實踐；跨學科項目式學習；教學建議

“探索在不同的情境中從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，綜合運用數(shù)學和其他學科的知識從不同的角度尋求分析問題和解決問題的方法，……”這是《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》對初中階段綜合與實踐的目標要求.同時對課程實施還指出：“綜合與實踐領(lǐng)域的教學活動，以解決實際問題為重點，以跨學科主題學習為主.”本文中選擇學生熟知的秋千，以“秋千的安全距離”作為探究的項目，在八年級下學期，學生學習完“勾股定理”“平行四邊形”“一次函數(shù)”三章內(nèi)容的基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)了這個跨學科項目式學習案例.

1 教學分析

1.1 教材分析

本節(jié)課所用到的知識面較廣，內(nèi)容涉及人教版初中數(shù)學教科書“第十七章勾股定理”“第十八章平行四邊形”“第十九章一次函數(shù)”三章的內(nèi)容，具體如圖1所示.

1.2 學情分析

學生對秋千并不陌生，在生活中都見過并且體驗過蕩秋千，對蕩秋千是熟悉且感興趣的.

學生在本學段已經(jīng)學習了直角三角形的特殊性質(zhì)——勾股定理，矩形的性質(zhì)和判定方法，一次函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)等知識，會用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式.

為了準確地了解學生對與本節(jié)課有關(guān)基礎(chǔ)知識、基本能力的掌握狀況，設(shè)計了如下課前調(diào)研.

（Ⅰ）調(diào)研問題

問題1 在直角三角形ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊.

（1）若∠A=30°，a=1，則b=，c=.

（2）若∠A=60°，c=1，則a=，b=.

（3）若∠A=45°，a=1，則b=，c=.

問題2 如圖2，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點，連接AF，CE，求證：△BEC≌△DFA.

問題3 如圖3所示，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，若再添加一個條件，就能推出四邊形是矩形，你所添加的條件是（寫出一個條件即可）.

問題4 在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=kx+4的圖象與y軸交與點A，與x軸的正半軸交于點B，OA=2OB.

（1）求點A、點B的坐標；

（2）求一次函數(shù)的表達式.

（Ⅱ）調(diào)研結(jié)果統(tǒng)計

學生的答題結(jié)果統(tǒng)計如表1所示.

通過對測試數(shù)據(jù)以及學生的典型作答分析可知：本班學生已經(jīng)熟練地掌握了勾股定理的簡單應用及矩形的性質(zhì)和判定方法，但是對一次函數(shù)的應用不夠熟練，對數(shù)形結(jié)合思想的理解不夠深入.

1.3 教學重難點分析

本項目式學習采用的方法策略是探究式學法，啟發(fā)式教法.

教學重點：應用勾股定理、矩形的性質(zhì)和判定及一次函數(shù)解決實際問題.

教學難點：從現(xiàn)實情境中簡化變量，抽象出數(shù)學模型，提出解決問題的方案.

2 課前學習活動

前置任務(wù)：

任務(wù)一：請你用自己的語言描述對秋千安全距離的理解和認識.

任務(wù)二：對真實的秋千實地測量，并記錄數(shù)據(jù)，填寫表2.

設(shè)計意圖：通過對秋千的實地測量，為本課的研究提供原始數(shù)據(jù)，為學生的學習提供素材，同時提升學生的實踐能力.

3 課堂教學過程

3.1 感受生活，提出問題

教師由歡樂的動圖引出本節(jié)課主題——秋千，并展示學生蕩秋千時的美好瞬間.

問題1 如圖4，觀察到秋千有哪些組成元素？

教師引導學生從組成元素的角度去思考，忽略秋千的顏色、材質(zhì)、承重等物理屬性.

預設(shè)：繩子、座椅、框架、橫梁、轉(zhuǎn)軸.

教師引導學生忽略座椅寬窄、形狀等因素，只考慮秋千的前后擺動，將實物圖轉(zhuǎn)化為立體圖，進而抽象成平面圖，如圖5.

設(shè)計意圖：通過開放性的問題（問題1），逐步抽象出數(shù)學圖形，引導學生關(guān)注數(shù)學研究對象，提升抽象能力，形成模型意識.

問題2 蕩秋千的過程中可能存在哪些風險？

學生獨立思考后回答，并互相補充.

教師對產(chǎn)生風險的原因進行必要的追問，使學生理解前后方的風險主要由于其他人或障礙物進入了秋千擺動的范圍內(nèi).

預設(shè)：繩子老化、質(zhì)量差；座椅承重不足；用力過猛、速度過快導致跌落；前后擺動中撞到人；座椅高度不夠.

設(shè)計意圖：通過問題2，建立數(shù)學模型，展開對問題的研究.

問題3 你如何理解秋千的安全距離？

學生獨立思考后回答，并互相補充.

預設(shè)：秋千座椅距離地面的高度；秋千擺動到最高點時的水平移動距離.

教師對學生的回答作出評價，引入“防碰撞區(qū)域長度”，使學生明確秋千的安全距離.

活動1：學生根據(jù)自己的理解畫出秋千前后擺動的示意圖，如圖6，并標出秋千的安全距離.

追問：秋千的安全距離與哪些因素有關(guān)呢？

預設(shè)：秋千繩長、橫梁高度、秋千擺動角度.

學生獨立思考后回答，并互相補充.

跨學科闡釋：圖6是物理中的一種模型，叫做“擺”，它由擺線（OB）和一個物體（B）組成；同時，從物理角度來看，為什么秋千擺動過程中B是最高點？因為根據(jù)物理中的能量守恒定律可知，擺動過程中物體到達的高度不可能超過點B所在的高度.

設(shè)計意圖：通過問題3，引出本節(jié)課主題，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，為制定方案做準備.

3.2 分析數(shù)據(jù)，嘗試求解

活動2：請同學們利用課前測量的數(shù)據(jù)，對如何得到秋千的安全距離給出本組的求解方案，并結(jié)合圖形加以說明.

學生先獨立思考，之后以小組為單位交流討論，形成方案，最后展示匯報.

教師巡視，引導學生思考

不同方案.

預設(shè)：

方案1：直接測量.如圖7，將秋千拉起至最高點B，沿著鉛垂線在地面上作標記E，測量CE的長度.

方案2：利用幾何圖形的性質(zhì).如圖7，將秋千拉至最高點B，測量繩長OA、橫梁高度OC及秋千擺動至最高點時與地面的距離BE，從而通過勾股定理求解.

方案3：利用一次函數(shù)模型.如圖8，將秋千拉至最高點B，以CF所在直線為x軸，以CO所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，延長OB與地面交于點F，測量橫梁高度OC、秋千拉至最高點B時CF的長度、BE的長度，從而通過列出OF所在直線的解析式求解.

極少學有余力的學生可能提出其他求解方案，如相似三角形、三角函數(shù)等.

思考：上述幾種方案的共同點是對于較小型的秋千適用，但對于大型秋千，方案中需要的很多數(shù)據(jù)不可測量.如何使得求解方案更加一般化、更加準確化呢？

設(shè)計意圖：活動2讓學生在調(diào)查研究的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學生在現(xiàn)實情境中應用數(shù)學解決問題的能力.同時，通過小組合作，培養(yǎng)學生的團隊精神、溝通能力和實踐能力.

3.3 閱讀“國標”，初建模型

為避免在蕩秋千時前后方向發(fā)生碰撞，只考慮座椅擺動至最高點時的水平移動距離往往是不夠的，請同學們閱讀我國安全標準.

我國《無動力類游樂設(shè)施秋千》GB/28711標準中規(guī)定：防碰撞區(qū)域長度L應為秋千擺動至最高點時的水平移動距離加上2 250 mm（規(guī)定中默認繩索在秋千擺動至最高點時與垂直面的夾角為60°）；秋千的防碰撞區(qū)域?qū)挾萕應至少為1 750 mm.如果秋千座椅寬度超過500 mm，防碰撞區(qū)域?qū)挾冗€需增加秋千座椅實際寬度減去500 mm的數(shù)值，如圖9.

學生自主閱讀材料，結(jié)合圖示理解安全標準，并用自己的語言解釋標準.

追問：國家標準中對哪些量進行了限制？

設(shè)計意圖：讓學生獨立閱讀并解釋國家安全標準，培養(yǎng)他們的綜合閱讀能力、提取有效信息的能力，并為完善方案提供依據(jù).

問題4 在閱讀國家標準后，你能根據(jù)自己的數(shù)據(jù)準確地計算出秋千的安全距離嗎？

設(shè)計意圖：通過追問，了解學生對國家安全標準的掌握情況和理解程度.通過問題4，學生經(jīng)歷對比、分析的過程，在理解變量的基礎(chǔ)上，根據(jù)新的條件完善自己的方案.

活動3：學生對照標準，獨立思考后計算出秋千的安全距離，然后進行展示評價.

預設(shè)：如圖10，結(jié)合國家標準，利用繩長和30°角所對的直角邊是斜邊的一半，計算OD，BD的長度（單位：m），再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得秋千的安全距離d=CE+2.25.

追問：你能說明秋千的安全距離d和繩長l的一般關(guān)系嗎？

學生獨立思考，推理秋千的安全距離和繩長的關(guān)系，并用一般化的符號語言表達.

預設(shè)：d=32l+2.25.

設(shè)計意圖：通過追問，促使學生推理變量之間的一般關(guān)系并用符號語言表達，培養(yǎng)學生用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界的能力，同時結(jié)合國家安全標準來建立模型，發(fā)展學生的模型觀念.

3.4 小結(jié)

師生活動：學生交流本節(jié)課的收獲和感受，教師作出最后總結(jié).

設(shè)計意圖：通過學生的總結(jié)，了解學生對綜合實踐課的感受和收獲，同時幫助學生梳理這節(jié)課的思路，加深對數(shù)學活動課的體會

4 兩點思考

本節(jié)課學生經(jīng)歷實地測量、畫圖分析、交流討論、閱讀資料、計算推理的過程，達到了增強實踐能力，發(fā)展幾何直觀，提升抽象能力和推理能力；同時形成模型觀念，增強應用意識和創(chuàng)新意識.

4.1 項目式學習中的項目選擇

項目式學習中所涉及的問題主要是現(xiàn)實世界中具有開放性的問題，問題解決需將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.選擇項目的時候必須根據(jù)課標要求、教材及教學進度選題.宜考慮適齡學生的生活、學習及各種活動的實際問題；宜切實考慮到學生的城鄉(xiāng)生活環(huán)境、水平差異.同時要考慮開展項目學習的可行且充分的條件.需要數(shù)學教研組教師集思廣益、群策群力，精選最優(yōu)方案.

4.2 跨學科項目式學習中的“跨度”

項目式學習的關(guān)鍵是發(fā)掘合適的項目，要關(guān)注問題是否是跨學科的，涉及跨學科的項目式學習要考慮學習中的“跨度”問題.我們的做法是：在項目式學習的前置任務(wù)中作跨學科知識的鋪墊，在學生問題解決過程中作跨學科知識闡釋或現(xiàn)場學習，跨學科知識闡釋或現(xiàn)場學習不能喧賓奪主，宜避重就輕，學生了解或理解，不影響問題解決即可.