直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng).主要包括：借助空間形式認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.直觀想象主要表現(xiàn)為：建立形與數(shù)的聯(lián)系，利用幾何圖形描述問題，借助幾何直觀理解問題，運用空間想象認識事物.

在初中階段的函數(shù)學習中，二次函數(shù)是相對較難的內(nèi)容，它與二次式、一元二次方程、一元二次不等式有著緊密聯(lián)系.二次函數(shù)是描述勻變速問題的基本模型，其變化規(guī)律、增減性、對稱性、最大（?。┲怠⒘泓c等特性很難從函數(shù)解析式上觀察出來，二次函數(shù)圖象的延展性、連續(xù)性、對稱性、頂點、與坐標軸的交點等非常直觀地將二次函數(shù)在“數(shù)”方面的隱性特征外化出來，為二次函數(shù)相關(guān)問題的解決提供了直觀模型.在深入理解函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，借助拋物線的直觀形象發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題、探索和形成解題思路往往是解決二次函數(shù)相關(guān)問題的思維基礎(chǔ).

初中階段正是學生幾何直觀和空間觀念發(fā)展的關(guān)鍵時期，受知識水平、思維能力、活動經(jīng)驗的限制，他們的直觀想象能力表現(xiàn)出明顯的差異，在利用函數(shù)圖象解決問題方面表現(xiàn)出不同的層次.

1 看圖識圖，直接感知

關(guān)于直觀，西方哲學家普遍認為，直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的直接洞察；徐利治教授認為，直觀就是借助于經(jīng)驗、觀察所產(chǎn)生的對事物關(guān)系的直接的感知與認識.關(guān)于直觀想象素養(yǎng)，普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）將其劃分為三級水平，水平一的主要表現(xiàn)為：能夠在熟悉的情境中，體會圖形與數(shù)量的關(guān)系，能夠通過圖形直觀認識數(shù)學問題；能夠用圖形描述和表達熟悉的數(shù)學問題、啟迪解決這些問題的思路，體會數(shù)形結(jié)合.

拋物線是學生熟悉的圖形，借助拋物線的直觀形象，學生不難直接感知開口方向、對稱軸、頂點、拋物線與坐標軸的交點，進一步可以由形到數(shù)“讀”出函數(shù)的增減性、最值、相應方程解的情況或不等式的解集，相關(guān)代數(shù)式的取值范圍，初步體會數(shù)與形的聯(lián)系，這是借助二次函數(shù)圖象解決問題的第一重境界.

案例1 如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝1，則下列結(jié)論中，錯誤的是（" ）.

A.a＜0

B.c＞0

C.b2-4ac＞0

D.a-b+c＜0

本題直接給出了函數(shù)圖象，四個選項的正誤可以比較直觀地從圖象上觀察得到，不需要進行太多的推理和計算.

2 想圖畫圖，數(shù)形結(jié)合

直觀想象素養(yǎng)的二級水平的主要表現(xiàn)為：能夠在關(guān)聯(lián)情境中，想象并構(gòu)建相應的幾何圖形；借助圖形提出數(shù)學問題，發(fā)現(xiàn)圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系，探索圖形的運動規(guī)律;能夠借助圖形性質(zhì)探索數(shù)學規(guī)律，解決實際問題或數(shù)學問題；能夠形成數(shù)形結(jié)合的思想，體會幾何直觀的作用和意義.

二次函數(shù)與二次多項式、一元二次方程、二次不等式直接相關(guān)，在與二次函數(shù)相關(guān)聯(lián)的問題情境中，想象和構(gòu)造函數(shù)圖象，運用數(shù)形結(jié)合思想，通過幾何直觀和空間想象探尋相關(guān)問題的解題思路，描述和解決相關(guān)數(shù)學問題是借助二次函數(shù)圖象解決問題的第二重境界.

案例2 若拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過第四象限的點（1，-1），則關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情況是（" ）.

A.有兩個大于1的不相等實數(shù)根

B.有兩個小于1的不相等實數(shù)根

C.有一個大于1另一個小于1的實數(shù)根

D.沒有實數(shù)根

從“數(shù)”的角度看，本題考查一元二次方程根的情況，從“形”的角度思考，實際上是考查拋物線與x軸的交點位置，根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象，答案十分明顯（選項C正確）.

案例3 若二次函數(shù)y＝|a|x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（m，n），B（0，y1），C（3-m，n），D（2，y2），E（2，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（" ）.

A.y1＜y2＜y3

B.y1＜y3＜y2

C.y3＜y2＜y1

D.y2＜y3＜y1

本題沒有給出二次函數(shù)圖象，問題中涉及到的字母較多，直接計算y1，y2，y3的值顯然費時費力，走入誤區(qū).如果仔細審題，發(fā)現(xiàn)A與C兩點的縱坐標相等，從而得到拋物線的對稱軸，畫出函數(shù)的大致圖象，在圖象上描出B，D，E三點，再由B（0，y1），D（2，y2），E（2，y3）與對稱軸的距離，即可判斷y1＞y3＞y2.

案例4 小愛同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)y＝-（|x|-1）2進行了探究.在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如圖2的函數(shù)圖象.請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：

（1）觀察探究：

①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；

②直接寫出方程-（|x|-1）2＝-1的解；

③若方程-（|x|-1）2＝a有四個實數(shù)根，直接寫出a的取值范圍.

（2）延伸思考：

將函數(shù)y＝-（|x|-1）2的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)y1＝-（|x-2|-1）2+3的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當2＜y1≤3時，自變量x的取值范圍.

解析：（1）

①該函數(shù)的其中一條性質(zhì)為“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱”.

②方程-（|x|-1）2＝-1的解為x＝-2或x＝0或x＝2.

③結(jié)合圖象，若方程-（|x|-1）2＝a有四個實數(shù)根，則a的取值范圍是-1＜a＜0.

（2）將函數(shù)y＝-（|x|-1）2的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，可得到函數(shù)y1＝-（|x-2|-1）2+3的圖象（見圖3）.

當2＜y1≤3時，自變量x的取值范圍是0＜x＜4且x≠2.

本題背景較為新穎，主要考查學生的數(shù)學活動經(jīng)驗和直觀想象能力.第（1）問借助圖形直觀不難解答，第（2）問在比較兩個函數(shù)解析式的基礎(chǔ)上畫出平移后的圖象，觀察圖象即可得到問題的解.

3 無圖構(gòu)圖，轉(zhuǎn)化建模

前面兩種境界都是在二次函數(shù)背景下，在熟悉或者關(guān)聯(lián)的情境中運用圖象直觀解決當前知識范疇之內(nèi)的問題，以識圖解題、構(gòu)圖解題為手段.直觀想象素養(yǎng)的最高境界就是在綜合復雜的情境中，在理解數(shù)學各分支之間聯(lián)系的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造性地建立數(shù)學的直觀模型，綜合利用圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系解決問題.

案例5 （2021年廣東省中考試題節(jié)選改編）已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的一個解，且對任意實數(shù)x，都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.求a，b，c的值.

分析：本題表面上是二次方程和二次不等式問題，條件比較隱含，但如果跳出不等式范疇，轉(zhuǎn)換視角，用函數(shù)觀點看不等式，結(jié)合函數(shù)圖象解決問題，則可以柳暗花明.

解析：如圖4所示，在同一直角坐標系中畫出直線y=4x-12和拋物線y=2x2-8x+6.

容易發(fā)現(xiàn)直線與拋物線有唯一公共點（3，0），

除此以外，拋物線y=2x2-8x+6恒處于直線y=4x-12上方.由于對任意實數(shù)x，都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6，

所以當x=3時，

0≤ax2+bx+c≤0.

于是，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點（3，0）.

設y=ax2+bx+c=a（x+1）（x-3），則

y＝ax2-2ax-3a.

又ax2-2ax-3a≥4x-12恒成立，即不等式ax2-（2a+4）x+（12-3a）≥0恒成立，所以a＞0且Δ≤0.

整理得（a-1）2≤0，且a＞0，則a=1.

因此容易得到a＝1，b＝-2，c＝-3.

利用函數(shù)圖象可以驗證上述結(jié)論正確.

本題將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用直線和拋物線的直觀形象，通過探索拋物線與直線的位置關(guān)系來解決不等式問題，體現(xiàn)了幾何直觀的獨特魅力.

數(shù)學是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學，“形”和“數(shù)”是同一事物的兩個不同方面，對數(shù)學問題的思考往往需要憑借直觀想象.直觀想象是以直觀表象為思維起點，以數(shù)形結(jié)合為思維方式，以構(gòu)建直觀模型為創(chuàng)新特點.利用函數(shù)圖象解決問題，首先要充分認識函數(shù)圖象的基本特征，學會看圖識圖，直接感知圖象所呈現(xiàn)的基本信息；其次是要學會利用數(shù)形結(jié)合去思考問題，想圖畫圖，借助圖象解決相關(guān)聯(lián)的數(shù)學問題；最后就是構(gòu)建數(shù)學問題的直觀模型，探索解決問題的思路，利用圖象描述、分析、解決數(shù)學問題，達到借助函數(shù)圖象解決數(shù)學問題的最高境界.