DOI：10.3969/j.issn.1671-489X.2024.22.171

摘 要 針對(duì)平面波斜入射理想介質(zhì)分界面理論公式過于復(fù)雜、學(xué)生不易理解的問題，設(shè)計(jì)平面波斜入射理想介質(zhì)分界面的電磁特性仿真實(shí)驗(yàn)。利用電磁仿真軟件HFSS對(duì)平面電磁波斜入射理想介質(zhì)進(jìn)行建模和仿真，繪制平行極化和垂直極化平面波的反射系數(shù)幅度曲線，仿真曲線與理論計(jì)算結(jié)果相符。以平行極化和垂直極化波全反射為例，給出透射波在一個(gè)截面上的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量分布圖，使得抽象的表面波概念和公式轉(zhuǎn)變?yōu)槿S圖形動(dòng)態(tài)演示，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，達(dá)到很好的課堂教學(xué)效果。實(shí)踐證明，該仿真實(shí)驗(yàn)有助于學(xué)生直觀且深入理解和掌握TE波、TM波的傳播特點(diǎn)與傳播規(guī)律。

關(guān)鍵詞 電磁場(chǎng)；電磁波；平面波斜入射理想介質(zhì)分界面；HFSS；仿真實(shí)驗(yàn)；仿真軟件

中圖分類號(hào)：G642.423 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2024）22-0-06

0 引言

平面波斜入射理想介質(zhì)分界面是電氣類、電子類與通信類專業(yè)基礎(chǔ)課電磁場(chǎng)和電磁波[1-2]的重要內(nèi)容，具有公式繁雜、推導(dǎo)復(fù)雜、概念抽象等特點(diǎn)。如TE波和TM波的電場(chǎng)與磁場(chǎng)分布公式，學(xué)生很難準(zhǔn)確地理解這些理論公式的物理圖像和物理內(nèi)涵，因此，采用公式推導(dǎo)的傳統(tǒng)教學(xué)方法難以取得良好的教學(xué)效果。為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生對(duì)平面波斜入射理想介質(zhì)表面物理意義有更深入的理解和認(rèn)識(shí)，在該教學(xué)環(huán)節(jié)引入電磁場(chǎng)仿真軟件進(jìn)行形象化的輔助講解，為學(xué)生構(gòu)建直觀的學(xué)習(xí)情景，可以極大地豐富課堂教學(xué)內(nèi)容，增強(qiáng)課堂教學(xué)效果。

隨著電磁仿真技術(shù)的發(fā)展，已有很多教學(xué)案例成功地將仿真軟件應(yīng)用到電磁場(chǎng)與電磁波課程教學(xué)中。目前已有的教學(xué)案例部分集中于利用MATLAB軟件簡(jiǎn)單呈現(xiàn)平面波傳播、平面波反射和折射[3-4]，

利用程序動(dòng)態(tài)展現(xiàn)三維矢量電場(chǎng)和磁場(chǎng)，其效果沒有專用電磁軟件仿真效果直觀和簡(jiǎn)潔。文獻(xiàn)[5]運(yùn)用3d Max進(jìn)行實(shí)體建模，運(yùn)用Unity 3d編輯動(dòng)畫，運(yùn)用GUI界面控制實(shí)現(xiàn)電磁波三維可視化。文獻(xiàn)[6]利用拋物方程（Parabolic Equation，PE）法獲取電磁波在對(duì)流層的仿真剖面圖。據(jù)了解，高校運(yùn)用這些軟件可視化演示平面波的教學(xué)案例較少。

HFSS是一款基于麥克斯韋方程組求解、采用有限元法的全波三維電磁仿真軟件，具有操作界面方便易用、參數(shù)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單和仿真精度高等特點(diǎn)。將HFSS仿真軟件用于可視化圖形演示的課程內(nèi)容主要集中在天線和微波器件[7-8]，到目前為止，還沒有發(fā)現(xiàn)利用HFSS軟件三維動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)理想介質(zhì)界面全反射的教學(xué)案例。為此，本文將科學(xué)研究中常用的電磁場(chǎng)仿真軟件HFSS應(yīng)用到電磁場(chǎng)和電磁波的課堂教學(xué)中，以平面波斜入射理想介質(zhì)分界面為例，通過創(chuàng)建仿真模型，對(duì)全反射時(shí)透射波特性和其中的關(guān)鍵信息進(jìn)行詳細(xì)介紹與分析，使學(xué)生能夠更深入、更透徹地理解TE和TM表面波的物理意義。

1 基本理論

斜入射的均勻平面電磁波，無論任何極化方式，都可以分解為垂直極化和平行極化兩種正交線極化波。因此，只要分別求得這兩種極化波的反射波和透射波，通過疊加原理，就可以獲得任意極化入射波的反射波和透射波。

1.1 垂直極化波

如圖1a所示坐標(biāo)系，理想介質(zhì)分界面z=0，入射面為xOz平面（y=0），電場(chǎng)矢量方向垂直入射面。

透射波的電磁場(chǎng)為[2]：

式中，θt是折射角，Ei0是入射波電場(chǎng)幅度，是區(qū)域2的波數(shù)，是區(qū)域2的波阻抗，ε2和μ2分別是區(qū)域2媒質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率，Tc是垂直極化波的透射系數(shù)。對(duì)于非磁性媒質(zhì)，μ1=μ2=μ0，反射系數(shù)Γc和透射系數(shù)Tc則可以分別表示為[2]：

ε1是區(qū)域1媒質(zhì)的介電常數(shù)，根據(jù)公式（3），令

公式（5）中θc稱為臨界角，當(dāng)入射角滿足

θc＜θi≤90° （6）

反射系數(shù)的模，即在界面發(fā)生全反射現(xiàn)象。值得注意的是，公式（5）成立的條件是ε2＜ε1。當(dāng)發(fā)生全反射時(shí)，根據(jù)折射定律，令介質(zhì)分界面的切向（x方向）波數(shù)為β，即：

β=k1sinθi=k2sinθt （7）

是區(qū)域1的波數(shù)，在發(fā)生全反射時(shí)，cosθt為純虛數(shù)，令

k2cosθt=-jα （8）

式中α＞0，利用公式（7）（8）（1）和（2），發(fā)生全反射時(shí)，區(qū)域2的電磁場(chǎng)可以表達(dá)為：

區(qū)域2的平均坡印廷矢量為：

由公式（9）（10）（11）可見，發(fā)生全反射時(shí)媒質(zhì)2中的透射波是沿+x方向傳播的，其相位常數(shù)為β；沿+z方向電磁場(chǎng)是指數(shù)衰減的，衰減常數(shù)為α；而平均坡印廷矢量比電磁場(chǎng)衰減更快，衰減常數(shù)為2α。也就是透射波只能分布在界面附近并沿著界面?zhèn)鞑?，因此把這種電磁波稱為表面波。電場(chǎng)Et和磁場(chǎng)Ht在x方向的分量有Etx=0，Htx≠0，

即縱向（x方向）電場(chǎng)為零而縱向磁場(chǎng)不為零，稱這種表面波為TE波，TE波在x方向的波長(zhǎng)為：

1.2 平行極化波

如圖1b所示坐標(biāo)系，理想介質(zhì)分界面z=0，入射面為xOz平面（y=0）。

透射波的電磁場(chǎng)為：

式中Tp是平行極化波的透射系數(shù)，對(duì)于非磁性媒質(zhì)，μ1=μ2=μ0，反射系數(shù)Γp和透射系數(shù)Tp則可以表示為：

由公式（15），要使Γp=0，必有

θB為布儒斯特角，公式（17）是平行極化波發(fā)生全透射的條件，此時(shí)。反射系數(shù)的模，平行極化波在界面發(fā)生全反射現(xiàn)象。當(dāng)ε2＜

ε1時(shí)，平行極化波臨界角計(jì)算公式、反射條件與垂直極化波的相同，即公式（5）（6）也適用平行極化波。發(fā)生全反射時(shí)，區(qū)域2的電磁場(chǎng)可以表達(dá)為：

區(qū)域2的平均坡印廷矢量為：

由公式（18）（19）和（20）可見，與垂直極化平面波發(fā)生全反射類似，平行極化的透射波也是一種表面波。電場(chǎng)Et和磁場(chǎng)Ht在x方向的分量有Etx≠0，Htx=0，即縱向電場(chǎng)不為零而縱向磁場(chǎng)為零，稱這種表面波為TM波。TM波的衰減常數(shù)、x方向的相位常數(shù)、x方向的波長(zhǎng)與TE波相同。

無論是垂直極化波還是平行極化波，本質(zhì)上都是TEM波，它們?cè)诮缑鏇]有發(fā)生全反射時(shí)，反射波和透射波的極化性質(zhì)沒有發(fā)生變化，理解反射波和透射波公式相對(duì)并不特別困難。發(fā)生全反射時(shí)，入射波是TEM波，透射波是TE波或TM波，入射波和透射波極化性質(zhì)發(fā)生改變，并引出表面波概念，此時(shí)透射波公式變得非常抽象，學(xué)生很難建立直觀的認(rèn)識(shí)。利用HFSS電磁仿真軟件建立三維平面波斜入射理想介質(zhì)表面仿真模型，將抽象的TE波和TM波動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)出來，有利于學(xué)生分析和理解平面波斜入射的特性。

2 仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.1 基于HFSS的平面波斜入射建模和仿真

基于HFSS仿真平面波斜入射步驟如下。

首先，利用HFSS創(chuàng)建兩個(gè)仿真區(qū)域的結(jié)構(gòu)圖并設(shè)置結(jié)構(gòu)參數(shù)。如圖2所示，區(qū)域1和區(qū)域2都是由邊長(zhǎng)L=15 mm的立方體組成的，區(qū)域1和區(qū)域2的分界面為xOy面，z軸垂直分界面，z軸的方向由區(qū)域1指向區(qū)域2，三維坐標(biāo)系的設(shè)置與圖1和圖2相同。區(qū)域2中在y=7.5 mm畫了一個(gè)平行xOz面、邊長(zhǎng)為15 mm的正方形，即在圖2中標(biāo)注1面作為透射波的觀測(cè)面，AB是觀測(cè)面與分界面的交線。

其次，設(shè)置區(qū)域材料屬性。區(qū)域1和區(qū)域2為理想介質(zhì)，即這兩個(gè)區(qū)域的電導(dǎo)率設(shè)置為0。區(qū)域1材料設(shè)置為真空，區(qū)域2的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為ε2=0.702ε0、μ2=μ0。ε0是真空的介電常數(shù)，μ0為真空的磁導(dǎo)率。

再次，設(shè)置邊界條件和激勵(lì)源。區(qū)域1和區(qū)域2垂直z軸的外表面分別設(shè)置為Floquet端口1和Floquet端口2。Floquet端口有兩個(gè)基本模式，模式1（TE00模）和模式2（TM00模）分別是垂直極化平面波模式和平行極化平面波模式。垂直x軸的兩個(gè)外表面分別設(shè)置為主從邊界條件，y軸兩個(gè)外表面也分別設(shè)置主從邊界條件，主從邊界條件可以模擬仿真單元結(jié)構(gòu)在x方向和y方向都是無窮大的情況。從邊界條件有兩個(gè)掃描角度Phi和Theta，

Phi與極化相關(guān)，設(shè)置Phi=0°，Theta是平面波的入射角。為了獲取反射系數(shù)幅度與入射角的關(guān)系，設(shè)置Theta為變量Thetai，在HFSS仿真軟件中掃描參數(shù)Thetai設(shè)置從0°～90°，步長(zhǎng)為1°，平面波的頻率f為20 GHz。

最后，運(yùn)行HFSS仿真模型，可以獲取反射系數(shù)幅度曲線。

2.2 反射系數(shù)幅度仿真結(jié)果與分析

利用公式（5）可以求得全反射的臨界角θc=

57°，利用公式（17）可以求得平行極化波的布儒斯特角θB=40°。利用HFSS軟件獲取模式1（TE00模、垂直極化平面波）反射系數(shù)幅度的仿真值，并利用公式（3）計(jì)算垂直極化平面波反射系數(shù)幅度的理論值。垂直極化平面波的反射系數(shù)幅度與入射角關(guān)系曲線如圖3a所示。

利用HFSS獲取模式2（TM00模、平行極化平面波）反射系數(shù)幅度的仿真值，并利用公式（15）計(jì)算平行極化平面波反射系數(shù)幅度的理論值，平行極化平面波的反射系數(shù)幅度與入射角關(guān)系曲線結(jié)果如圖3b所示。

由圖3可見，無論是垂直極化還是平行極化平面波反射系數(shù)幅度曲線，HFSS仿真結(jié)果和理論計(jì)算值相符。在平行極化波入射角θi=40°時(shí)，反射系數(shù)幅度，說明平行極化平面波在界面發(fā)生全透射，而垂直極化平面波在界面則不會(huì)發(fā)生全透射。垂直極化和平行極化平面波發(fā)生全反射的條件是入射角等于或者大于臨界角，即57°≤θi≤90°。當(dāng)入射角滿足該條件時(shí)，和，這兩種極化平面波都將在界面發(fā)生全反射現(xiàn)象。

2.3 垂直極化平面全反射仿真結(jié)果與分析

獲取兩種極化平面波反射幅度曲線后，需要?jiǎng)h去變量Thetai的參數(shù)掃描，將仿真變量Thetai設(shè)置為85°，也就是設(shè)定入射角θi=85°。設(shè)定好仿真變量Thetai后，需要對(duì)圖3模型再做一次全反射仿真模擬。理想導(dǎo)體發(fā)生全反射時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)沒有透射波。與理想導(dǎo)體表面的全反射不同，垂直極化平面波在界面發(fā)生全反射時(shí)，根據(jù)公式（9）（10）（11），區(qū)域2還存在復(fù)雜的透射波。根據(jù)公式（12），x方向的波長(zhǎng)計(jì)算值為λx=15 mm，波長(zhǎng)與1面的邊長(zhǎng)相同。

圖4a和圖4b分別是垂直極化平面波發(fā)生全反射時(shí)表面波電場(chǎng)、磁場(chǎng)在1面上的分布。需要說明的是，1面電場(chǎng)和磁場(chǎng)分布是動(dòng)態(tài)變化的，這里給出的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是某一瞬間的分布圖。圖4c是表面波的坡印廷矢量在1面上的分布。圖4中矢量大小用矢量的顏色和矢量的長(zhǎng)短來表示，矢量方向用箭頭的方向來描述。圖4a三維地展現(xiàn)了電場(chǎng)方向垂直1面，即電場(chǎng)只有y分量。圖4b中的磁場(chǎng)平行1面，磁場(chǎng)既有x分量又有z分量，沿著+z方向電場(chǎng)和磁場(chǎng)幅度是衰減的。坡印廷矢量方向也是電磁波傳播方向，從圖4c可以發(fā)現(xiàn)，電磁波傳播方向?yàn)?x方向，坡印廷矢量幅度在+z方向上比4a中的電場(chǎng)幅度和4b中磁場(chǎng)幅度衰減更快。1面上的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量分布特征分別與公式（9）（10）（11）描述的TE表面波一致。另外，從AB線段上容易發(fā)現(xiàn)，表面波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)傳播的相位相同。

2.4 平行極化平面全反射仿真結(jié)果與分析

圖5a和圖5b分別是垂直極化平面波發(fā)生全反射時(shí)表面波電場(chǎng)、磁場(chǎng)在1面上的分布。需要說明的是，1面電場(chǎng)和磁場(chǎng)分布是動(dòng)態(tài)變化的，這里給出的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是某一瞬間的分布圖。圖5c是表面波的坡印廷矢量在1面上的分布。圖5三維地展現(xiàn)了電場(chǎng)方向磁場(chǎng)平行1面，即電場(chǎng)只有y分量。圖5a中的磁場(chǎng)垂直1面，磁場(chǎng)既有x分量又有z分量，沿著+z方向電場(chǎng)和磁場(chǎng)幅度是衰減的。坡印廷矢量方向也是電磁波傳播方向，從圖5c可以發(fā)現(xiàn)，電磁波為+x方向，坡印廷矢量幅度在+z方向上比圖5a中的電場(chǎng)幅度和圖5b中磁場(chǎng)幅度衰減更快。1面上的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量分布特征分別與公式（18）（19）（20）描述的TE表面波一致。

比較TE表面波和TM表面波仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在界面的交線AB端點(diǎn)A和B上，圖4a中的電場(chǎng)方向和圖5b中的磁場(chǎng)方向都是+y方向且幅度最大；而在AB的中點(diǎn)上，圖4a電場(chǎng)方向和圖5b中的磁場(chǎng)方向都是-y方向且幅度最大。這表明圖4a中TE表面波的電場(chǎng)和圖5b中TM表面波的磁場(chǎng)相位相同，這與公式（9）（19）描述一致。圖4b中TE表面波的磁場(chǎng)與圖5a中TM表面波電場(chǎng)相位相反，是由于公式（10）和公式（18）符號(hào)相反，導(dǎo)致兩者的相位相差180°。另外，仿真結(jié)果顯示：TE表面波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)有同相位現(xiàn)象，即在某一空間位置，電場(chǎng)和磁場(chǎng)幅度同時(shí)出現(xiàn)最大值或者最小值。TM表面波也表現(xiàn)出同相位現(xiàn)象。通過觀察色標(biāo)的最大值，TE表面波電磁場(chǎng)和坡印廷矢量幅度比TM波要大。而這兩點(diǎn)從理論公式（9）（10）（11）（18）（19）

和（20）很難直觀看出來。

3 結(jié)束語

利用HFSS軟件對(duì)平面波的斜入射進(jìn)行建模和仿真，并繪制平行極化和垂直極化的反射曲線圖，給出入射角為85°時(shí)TE表面波和TM表面波電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量分布圖。這些反射曲線和分布圖與理論公式的結(jié)論相互印證。另外，通過分布圖還可以得出從理論公式中不能直接發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，比

如：TE表面波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)在空間的分布相位相

同；TE表面波的電磁場(chǎng)和能量幅度比TM表面波大。在平面波發(fā)生全反射時(shí)，通過HFSS三維動(dòng)態(tài)演示透射波，學(xué)生可以更直觀地理解TE表面波和TM表面波的物理意義。教學(xué)實(shí)踐表明，這種將理論公式與三維仿真相結(jié)合的教學(xué)方式可以極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)電磁波課程的興趣，豐富課堂教學(xué)內(nèi)容，達(dá)到良好的教學(xué)效果。

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*項(xiàng)目來源：國家自然科學(xué)基金地區(qū)項(xiàng)目“電子變壓器電感器的優(yōu)化設(shè)計(jì)及其可視化算法”（項(xiàng)目編號(hào)：51967015）。

作者簡(jiǎn)介：徐新河，博士，講師。