二次函數(shù)是初中階段要求掌握的三大基本初等函數(shù)之一，在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中具有舉足輕重的地位，蘊(yùn)涵的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想豐富，是高中進(jìn)一步開(kāi)展函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)．筆者通過(guò)對(duì)“一圖”進(jìn)行添枝加葉，讓二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)走向縱深，帶動(dòng)學(xué)生思維的發(fā)展．本文呈現(xiàn)專題的教學(xué)簡(jiǎn)案，并給出教學(xué)反思，與更多的同行研討．

1 教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，學(xué)會(huì)運(yùn)用不同的方法確定二次函數(shù)解析式，理解二次函數(shù)與一元二次方程的相互聯(lián)系；

（2）親歷二次函數(shù)圖象融合幾何圖形的研究過(guò)程，進(jìn)一步提升觀察圖形、分析圖形的能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法；

（3）體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，學(xué)會(huì)重構(gòu)二次函數(shù)解決問(wèn)題．

2 重、難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn) 將常見(jiàn)幾何圖形融入二次函數(shù)圖象中發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題．

教學(xué)難點(diǎn)重構(gòu)二次函數(shù)解決問(wèn)題．

3 教學(xué)活動(dòng)

題目引入如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為D（1，-4），與y軸相交于點(diǎn)C（0，-3），與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）．

問(wèn)題1 求拋物線的解析式．

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)會(huì)求二次函數(shù)解析式為解決二次函數(shù)綜合題奠定基礎(chǔ)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式有三種常見(jiàn)形式（一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式），根據(jù)已知條件選擇合適的形式，本題已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，選用頂點(diǎn)式比較簡(jiǎn)單．

師生活動(dòng) 教師引領(lǐng)學(xué)生先回顧待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的基本步驟，列舉二次函數(shù)解析式常見(jiàn)的三種形式，知道一般式適合三點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)式適合頂點(diǎn)坐標(biāo)、交點(diǎn)式適合交點(diǎn)坐標(biāo)的解題通法，再由學(xué)生獨(dú)立完成，教師簡(jiǎn)單點(diǎn)評(píng)．

問(wèn)題2 求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

設(shè)計(jì)意圖二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸的交點(diǎn)特征是縱坐標(biāo)等于0，即y=0，把y=0代入二次函數(shù)解析式得一元二次方程ax2+bx+c=0，方程的解就是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把方程的解變成坐標(biāo)的形式，用從特殊到一般的邏輯，以數(shù)形結(jié)合思想為指導(dǎo)，為圖象作為聯(lián)系函數(shù)和方程、不等式的橋梁奠定基礎(chǔ)，探究并理解一元二次方程和二次函數(shù)的聯(lián)系．

師生活動(dòng) 學(xué)生觀察函數(shù)圖象，說(shuō)出二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的特征，列出方程求解，教師進(jìn)行個(gè)性化輔導(dǎo)．

問(wèn)題3 在x軸上是否存在點(diǎn)K，使KC+KD最短？如果存在，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

變式 在x軸上是否存在點(diǎn)K，使ΔKCD的周長(zhǎng)最?。咳绻嬖?，求出點(diǎn)K的坐標(biāo)，并求出周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

設(shè)計(jì)意圖 將飲馬問(wèn)題置于二次函數(shù)中，通過(guò)尋找對(duì)稱點(diǎn)，畫(huà)出所在直線，再用一次函數(shù)知識(shí)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，變式中還要構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求線段的長(zhǎng)．

師生活動(dòng) 教師與學(xué)生一起回顧飲馬問(wèn)題，它就是“兩點(diǎn)之間線段最短”的實(shí)際應(yīng)用，尋找函數(shù)圖象中與之關(guān)聯(lián)的兩個(gè)點(diǎn)及一條線，畫(huà)出圖形，再由學(xué)生獨(dú)立求直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)K的坐標(biāo)；變式題先給學(xué)生獨(dú)立思考5分鐘，找出它與問(wèn)題3的聯(lián)系與區(qū)別，選一位學(xué)生分享解題思路．

問(wèn)題4 如圖2，作直線BC，在直線BC下方的拋物線上找一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，與直線BC相交于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大長(zhǎng)度．

變式 如圖2，作直線BC，在直線BC下方的拋物線上找一點(diǎn)P，使ΔPBC面積最大，求P點(diǎn)的坐標(biāo)及ΔPBC面積的最大值．

設(shè)計(jì)意圖 將線段置于二次函數(shù)中，通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)造新的二次函數(shù)求最值，變式中將三角形置于二次函數(shù)中，通過(guò)“化斜為直”的方法分割三角形求面積的最大值．

師生活動(dòng)教師稍作提示，假設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，讓學(xué)生把P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，構(gòu)建新的二次函數(shù)求最值，教師再介紹“化斜為直”轉(zhuǎn)化思想，這里“斜”指的是與坐標(biāo)軸不平行的直線（線段），而“直”指的是與坐標(biāo)軸平行或垂直的直線（線段）．“化斜為直”轉(zhuǎn)化思想常用來(lái)解決函數(shù)綜合題中的線段長(zhǎng)度、幾何圖形面積最值或點(diǎn)的存在性問(wèn)題[1]．學(xué)生掌握好方法后小組合作探究變式題，派一個(gè)小組的代表展示成果．

問(wèn)題5 如圖2，若點(diǎn)T在拋物線上，且∠TCB=45°，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．

變式 如圖2，若點(diǎn)T在拋物線上，且∠TCB=15°，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．

設(shè)計(jì)意圖 將特殊的角置于二次函數(shù)中，求角的另一邊所在直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，變式中還用到了三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)，通過(guò)分類討論得到角的另一邊的兩種情況．

師生活動(dòng)先讓學(xué)生觀察ΔOBC的形狀，引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出直線CT，并求出T點(diǎn)的坐標(biāo)；變式題利用小組內(nèi)組員異質(zhì)的特點(diǎn)，組員在合作研討時(shí)互幫互助，分享自己的想法和疑問(wèn)，再通過(guò)小組合作，組員發(fā)揮各自的解決問(wèn)題能力和創(chuàng)造力，在組內(nèi)合力解決問(wèn)題．

問(wèn)題6 如圖3，連接BC，BD，CD，試判定ΔBCD的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由．

變式 ΔBCD與ΔCOA是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由．

設(shè)計(jì)意圖 將三角形問(wèn)題置于二次函數(shù)中，利用勾股定理及其逆定理求線段的長(zhǎng)并判斷三角形的形狀，變式中出現(xiàn)了三角形相似問(wèn)題，函數(shù)與幾何融合逐步走向縱深．

師生活動(dòng) 教師先讓學(xué)生回顧判定直角三角形的方法，再計(jì)算ΔBCD三邊的長(zhǎng)，判定出它的形狀；變式題讓學(xué)生獨(dú)立完成，教師簡(jiǎn)單評(píng)講．

問(wèn)題7 如圖4，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)H，使ΔHAC是等腰三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

設(shè)計(jì)意圖 將等腰三角形置于二次函數(shù)中，等腰三角形兩邊相等，利用勾股定理可表示線段長(zhǎng)，再用分類討論與方程思想求解．在分析題目過(guò)程中教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)的基本策略和方法，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性．

師生活動(dòng) 學(xué)生動(dòng)手操作容易畫(huà)出圖形，但學(xué)生不易想出計(jì)算方法，需要教師引導(dǎo)，最后的計(jì)算留給學(xué)生完成．

問(wèn)題8 點(diǎn)M為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使M，N，C，B構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

設(shè)計(jì)意圖 將平行四邊形置于二次函數(shù)中，分類討論可能出現(xiàn)的情況，利用平行四邊形邊及對(duì)角線的性質(zhì)，通過(guò)平移的方法求點(diǎn)的坐標(biāo)．要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)形結(jié)合思想的指引下，逐步完善原有知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并進(jìn)行有效遷移和應(yīng)用．

師生活動(dòng) 回顧平行四邊形的性質(zhì)，教師先分析其中的一種情況，剩余的情況由學(xué)生合作探究，教師協(xié)助各小組并進(jìn)行個(gè)性化輔導(dǎo)，最后點(diǎn)評(píng)兩個(gè)小組的成果．

問(wèn)題9 如圖6，點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），EF//BC交AC于點(diǎn)F，當(dāng)ΔECF面積最大時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)．

設(shè)計(jì)意圖 將幾何復(fù)合知識(shí)置于二次函數(shù)中，平行可得相似，利用相似三角形的面積方面的性質(zhì)重構(gòu)二次函數(shù)求解．通過(guò)動(dòng)態(tài)探究，讓學(xué)生進(jìn)一步感受到幾何圖形與函數(shù)圖象的內(nèi)在聯(lián)系，增加學(xué)生思考的深度和廣度．

師生活動(dòng) 教師沿著平行→相似→面積的思路，和學(xué)生合作思考，不斷尋找合適的解決問(wèn)題思路，從尋找解決問(wèn)題方法過(guò)程中鍛煉學(xué)生的創(chuàng)造性思維和能力，最后由學(xué)生對(duì)解法進(jìn)行總結(jié)反思．

4 教學(xué)反思

4.1 把握學(xué)情，尋找關(guān)聯(lián)點(diǎn)

在教學(xué)過(guò)程中，深入了解學(xué)生的學(xué)情是至關(guān)重要的．只有準(zhǔn)確分析學(xué)生的學(xué)業(yè)水平和學(xué)習(xí)需求，才能夠?yàn)樗麄兲峁└佑行У慕虒W(xué)．因此，在備課之初，教師應(yīng)該精準(zhǔn)地了解所任教班級(jí)學(xué)生的實(shí)際情況，以便根據(jù)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)設(shè)計(jì)．一圖一專題教學(xué)設(shè)計(jì)的核心思想，即要以學(xué)生為主體，以發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思維為導(dǎo)向，根據(jù)不同學(xué)生的需求尋找關(guān)聯(lián)點(diǎn)．通過(guò)將瑣碎零散的知識(shí)點(diǎn)整合為一圖一專題的形式，以便可以使教學(xué)更加精于心、簡(jiǎn)于形，避免無(wú)效勞動(dòng)和重復(fù)勞動(dòng)．這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)不僅可以減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，還可以幫助他們從“題海戰(zhàn)術(shù)”中跳出來(lái)，走向充滿張力、優(yōu)質(zhì)的高效課堂[1]．

本文結(jié)合二次函數(shù)特點(diǎn)，采用“一圖一專題”的形式，篩選一個(gè)綜合性較強(qiáng)的典型二次函數(shù)圖象為主線，從線段、角、三角形、四邊形等一系列知識(shí)點(diǎn)的串聯(lián)中逐步過(guò)渡到數(shù)學(xué)思想方法的歸納提升．讓學(xué)生在知識(shí)體系升華中提升思維，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)，提高教學(xué)效率．

4.2 精心選圖，發(fā)現(xiàn)生長(zhǎng)點(diǎn)

選圖應(yīng)以學(xué)生為主體，以促進(jìn)他們數(shù)學(xué)思維的發(fā)展為導(dǎo)向，并以不同學(xué)生獲得不同發(fā)展為目標(biāo)．因此，在選圖時(shí)注重質(zhì)而非量，遵循深入淺出的原則．一圖一專題的關(guān)鍵在于選圖，選取具有典型性、綜合性和延伸性的圖，可以以圖引題，以題引知識(shí)點(diǎn)和方法[2]．

本文以二次函數(shù)圖象為出發(fā)點(diǎn)，融入了多個(gè)幾何知識(shí)點(diǎn)，如飲馬問(wèn)題、線段長(zhǎng)度、三角形的周長(zhǎng)和面積等，滲透了數(shù)形結(jié)合思想和“化斜為直”的方法．通過(guò)精心選圖，引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)梳理的基礎(chǔ)上進(jìn)行過(guò)程和方法的提煉，從而真正達(dá)到既概括知識(shí)又總結(jié)數(shù)學(xué)思想的目的．

4.3 適當(dāng)變式，緊扣目標(biāo)點(diǎn)

變式問(wèn)題的設(shè)計(jì)應(yīng)促進(jìn)問(wèn)題的細(xì)化，讓學(xué)生更深層次地理解學(xué)習(xí)目標(biāo)，同時(shí)也鍛煉他們自主尋找解題方法的能力，增強(qiáng)他們的思維素質(zhì)．然而，變式問(wèn)題的設(shè)置必須服務(wù)于教學(xué)目標(biāo)，不能停留在簡(jiǎn)單變式上循環(huán)，以免導(dǎo)致課堂乏味．因此，需要在教學(xué)設(shè)計(jì)中合理地進(jìn)行問(wèn)題的變式，使其更有針對(duì)性、更具挑戰(zhàn)性，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)他們的思維發(fā)展，從而更好地達(dá)到教學(xué)目標(biāo)．

本文設(shè)計(jì)了一系列變式題目，如求三角形的周長(zhǎng)、面積等，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決更復(fù)雜的問(wèn)題，提高了他們的解決問(wèn)題能力．這些變式題目既豐富了教學(xué)內(nèi)容，又使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中不斷提升自己的數(shù)學(xué)能力．

參考文獻(xiàn)

[1]朱露璐．大單元視角下函數(shù)復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)踐與思考——以“二次函數(shù)圖象性質(zhì)及簡(jiǎn)單的幾何綜合”為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2023（23）：56-60

[2]蔡勇．以圖促教，以圖促學(xué)：“一圖一課”的教學(xué)案例[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（20）：30-31