摘 要：探討了量子力學(xué)中一維無限深方勢阱能量本征態(tài)下粒子的動量分布問題，指出分立的動量分布符合不確定原理，通過分析函數(shù)在勢阱邊界點(diǎn)處的光滑性，指出分立的動量分布是精確解而連續(xù)的動量分布僅是近似解．

關(guān)鍵詞：一維無限深方勢阱；動量分布；不確定原理；傅里葉級數(shù)

中圖分類號：O 413.1" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A" 文章編號：1007-6883（2024）06-0025-03

DOI：10.19986/j.cnki.1007-6883.2024.06.004

量子力學(xué)中在一維無限深方勢阱的能量本征態(tài)下測量粒子動量的可能值和幾率的問題由來已久，泡利和朗道的著作中對此問題的表述存在明顯分歧，泡利采用分立的動量分布［1］，而朗道認(rèn)為勢阱內(nèi)粒子動量分布是連續(xù)的［2］，目前國內(nèi)主流教科書對這個(gè)問題的論述仍存在誤解，這對量子力學(xué)的教學(xué)造成不小的困擾．本文依據(jù)量子力學(xué)的最基本原理以及傅里葉級數(shù)展開的適用性辨析兩種觀點(diǎn)．

1 分立動量分布和連續(xù)動量分布

簡單起見，討論限于一維無限深方勢阱的基態(tài)，其能量本征函數(shù)空間部分如下：

[ψ1（x）=0" " " " " " " " " " " " nbsp; " xlt;0， xgt;a2asinπxa" " " " "0≤x≤a]． （1）

泡利之觀點(diǎn)認(rèn)為，在勢阱外部波函數(shù)恒為零，在勢阱內(nèi)部基態(tài)波函數(shù)可以展開為：

[ψ1（x）=-i2a（ei?π?ax-e-i?π?ax）" " " "0≤x≤a]． （2）

這可以看作是動量分別為[π?a]和[-π?a]的兩個(gè)平面波的疊加，那么在勢阱內(nèi)測量粒子的動量將測得[π?a]或[-π?a]兩個(gè)可能值，幾率各是1/2．

朗道之觀點(diǎn)出現(xiàn)在朗道和栗弗席茲合著的教科書《量子力學(xué)》習(xí)題中，采用具有連續(xù)動量本征值的動量本征函數(shù)展開一維無限深方勢阱的基態(tài)能量本征函數(shù)［2］，即

[ψ1（x）=12π?-∞∞c（p）ei?pxdp]， （3）

其中

[c（p）=0a2asinπxa12π?e-i?pxdx=πa?1+e-i?paπ2-p2a2?2，]

[c（p）2=4π?3acos2pa2?（p2a2-π2?2）2.]

此結(jié)果中動量值連續(xù)分布，在[p=±π?a]處，[c（p）2]出現(xiàn)峰值，其他動量值的出現(xiàn)幾率遠(yuǎn)小于此處，有論著認(rèn)為此結(jié)果可近似看作兩個(gè)分立動量的分布［3-4］．

2 辨析

分立動量分布還是連續(xù)動量分布存在原則上區(qū)別．按照量子力學(xué)中最基本的態(tài)疊加原理和測量理論，設(shè)想在一維無限深方勢阱的基態(tài)能量本征態(tài)上測量粒子的動量，若按照泡利之觀點(diǎn)，只能測得[π?a]或[-π?a]兩個(gè)可能值，幾率各是1/2，若按照朗道之觀點(diǎn)，則可能測到任意動量值，只是測得[p=±π?a]附近的幾率大些．在泡利之觀點(diǎn)中測不到[π?a]和[-π?a]兩個(gè)值以外的動量值，而在朗道之觀點(diǎn)中可以測到[π?a]和[-π?a]兩個(gè)值以外的動量值，這是“有還是沒有”的原則上的區(qū)別．

有國內(nèi)主流的教科書和研究論文認(rèn)為泡利之觀點(diǎn)是經(jīng)典物理的結(jié)論，違背了不確定原理［3，5］．事實(shí)上，這一論斷是錯誤的．可以證明，分立動量分布是符合不確定原理的．基態(tài)下，坐標(biāo)的平均值為

[x=0ax|ψ1|2dx=0ax（2asinπxa）2dx=a2]，

坐標(biāo)的均方偏差為

[（Δx）2=0a（x-x）2|ψ1|2dx=π2-612π2a2]，

動量的平均值為[p=0]，動量的均方偏差為

[（Δp）2=12（π?a-0）2+12（-π?a-0）2=（π?a）2]，

則有

[（Δx）2?（Δp）2=（π2-6）?212gt;?24]，

這完全符合不確定原理．泡利之觀點(diǎn)，即勢阱內(nèi)分立動量分布，并不違背任何量子力學(xué)的基本原理．

在朗道之觀點(diǎn)中，一維無限深方勢阱的基態(tài)能量本征函數(shù)在全空間都可以用連續(xù)動量本征函數(shù)展開，即連續(xù)的無窮多級傅里葉級數(shù)展開，如（3）式所示．全空間動量本征函數(shù)在任意位置都是光滑且可求導(dǎo)的，（3）式等號右邊連續(xù)譜動量本征函數(shù)疊加式在[x=0]和[x=a]處是可求導(dǎo)的，即光滑的，而（3）式等號左邊的是薛定諤方程的基態(tài)波函數(shù)，其在[x=0]和[x=a]處不可求導(dǎo)，即不光滑的，如在[x=0]處左側(cè)無限小處導(dǎo)數(shù)為0，而[x=0]處右側(cè)無限小處導(dǎo)數(shù)為[2aπa]．這意味著，從函數(shù)的光滑性上考慮，在[x=0]和[x=a]處（3）式等號左右兩邊并不完全一致．事實(shí)上，在傅里葉提出傅里級數(shù)時(shí)，拉格朗日就指出有棱角的函數(shù)無法做傅里葉級數(shù)展開［6-7］．所謂“有棱角”即為函數(shù)不光滑，存在導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的點(diǎn)．在這樣的點(diǎn)上，傅里葉級數(shù)的疊加只能無限逼近函數(shù)［6-7］．這意味著朗道之觀點(diǎn)中的連續(xù)的動量本征函數(shù)展開只是一個(gè)近似．相比之下，在泡利之觀點(diǎn)中，分立譜的動量波函數(shù)疊加態(tài)在勢阱內(nèi)外的一階導(dǎo)數(shù)與能量本征函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)保持一致性，是一個(gè)精確解．

從物理上看，上述兩種觀點(diǎn)的根本區(qū)別在于粒子運(yùn)動的空間不同，邊界條件不同，導(dǎo)致所采用的動量本征函數(shù)集合也不同．泡利之觀點(diǎn)認(rèn)為粒子運(yùn)動的空間限于勢阱內(nèi)部，運(yùn)動空間是有限的．有限空間中動量本征函數(shù)要采用箱式歸一化，即邊界條件為[ψ（0）=ψ（a）=0]，或者是環(huán)形邊界條件，即玻恩-卡門邊界條件，這導(dǎo)致動量分布是分立的．而朗道之觀點(diǎn)采用連續(xù)譜的動量波函數(shù)集展開，這就默認(rèn)了粒子在無限空間運(yùn)動，因?yàn)橹挥袩o限空間中粒子的動量分布才是連續(xù)的．事實(shí)上，依據(jù)薛定諤方程的解，無限深勢阱本質(zhì)上將粒子限制在了勢阱內(nèi)部，粒子不會出現(xiàn)在勢阱外部，泡利之觀點(diǎn)中動量本征函數(shù)的邊界條件與粒子運(yùn)動的物理空間一致．由于薛定諤方程和態(tài)疊加原理是量子力學(xué)的最基本原理，這就意味著朗道之觀點(diǎn)中用無限空間連續(xù)動量的本征函數(shù)集展開無限深方勢阱能量本征函數(shù)是不妥的，其不當(dāng)之處在于所采用的動量本征函數(shù)的邊界條件與微觀粒子運(yùn)動的實(shí)際物理空間邊界條件不一致．

3 結(jié)論

本文展示了一維無限深方勢阱能量本征函數(shù)的分立動量分布和連續(xù)動量分布，首先證明了分立動量分布符合不確定原理，接著通過分析函數(shù)在邊界點(diǎn)處的光滑性，指出分立的動量分布是精確解而連續(xù)的動量分布僅是近似解，最后對動量本征函數(shù)邊界條件與粒子運(yùn)動空間的一致性做了討論．

值得一提的是，泡利和朗道都是理論物理大師，都是諾貝爾獎獲得者，但就本文所討論的問題而言，顯然泡利更加權(quán)威．泡利是量子力學(xué)的創(chuàng)始人之一，本文所述的泡利之觀點(diǎn)就出自泡利所著的《泡利物理學(xué)講義-波動力學(xué)》的正文，這本書是全世界公認(rèn)的最權(quán)威的量子力學(xué)教科書．而所謂朗道之觀點(diǎn)是出自朗道和栗弗席茲合著的教科書《量子力學(xué)》的習(xí)題，習(xí)題中的觀點(diǎn)很難說就是朗道自己的觀點(diǎn)．此外，蘇聯(lián)教材對國內(nèi)早期的教科書影響較大，甚至被奉為圭臬，這種趨勢現(xiàn)在已經(jīng)扭轉(zhuǎn)．兼聽則明，本文所述之問題已經(jīng)很清楚了，泡利之觀點(diǎn)簡單明了，物理原理清晰，教學(xué)中更容易幫助學(xué)生理解態(tài)疊加原理，理應(yīng)提倡．

參考文獻(xiàn)：

［1］Wolfgang Pauli．Pauli Lectures on Physics，Vo1．5：Wave Mechanics［M］．Cambridge：The MIT Press，1973：23-24．

［2］朗道，栗弗席茲．量子力學(xué)［M］．6 Ed．北京：高等教育出版社，2008：58-59．

［3］周世勛，陳灝，肖江．量子力學(xué)教程［M］．3版．北京：高等教育出版社，2022：25-26．

［4］倪宏慈．關(guān)于同一問題的兩種不同解法［J］．大學(xué)物理，1994，13（7）：19-22．

［5］姜志存．一維無限深勢阱內(nèi)粒子的動量概率分布［J］．大學(xué)物理，1994，13（7）：17-18．

［6］吳文?。澜缰麛?shù)學(xué)家傳記［M］．北京：科學(xué)出版社，1995：738-748．

［7］萊永升．FFT：跨越百年的傳奇［J］．系統(tǒng)控制漫談，2022，2：63-80．

A Discussion of the Discrete and Continuous Momentum"Distribution of Energy Eigenstates in the One-Dimensional"Infinite Square Well

LI Yun

（College of Physics and Electronic Engineering，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong， 521041）

Abstract： This paper discusses the momentum distribution of a particle in energy eigenstates of the one-dimensional infinite square well．It demonstrates that the discrete momentum distribution is consistent with the uncertainty principle．By analyzing the smoothness of the functions at the boundary points of the well，this study points out that the discrete momentum distribution is an exact solution while the continuous momentum distribution is only an approximation．

Key words： one-dimensional infinite square well；momentum distribution；the uncertainty principle；Fourier series

責(zé)任編輯 朱本華