數(shù)學(xué)作為初中階段的核心課程，其抽象性和邏輯性往往成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，而數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)學(xué)科特有的思維方式如同一座橋梁巧妙地連接了抽象的數(shù)學(xué)理論與直觀的圖形世界。隨著學(xué)生認(rèn)知能力的逐步提升，初中數(shù)學(xué)課程不再僅僅局限于簡單的數(shù)字運算與公式推導(dǎo)，而是向更深層次的概念理解和應(yīng)用拓展發(fā)展，數(shù)形結(jié)合思想在其中具有不可替代的作用。

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材將數(shù)形結(jié)合思想作為貫穿始終的重要教學(xué)理念，從基礎(chǔ)知識鋪墊開始逐步滲透這一思想方法，通過直觀圖形與抽象數(shù)學(xué)語言的有機結(jié)合，從引入階段的初步感受到發(fā)展階段的深入應(yīng)用，再到深化階段的綜合提升，層層遞進(jìn)，逐步深化學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解和應(yīng)用能力，系統(tǒng)地構(gòu)建了數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)體系。

數(shù)形結(jié)合，顧名思義即將數(shù)學(xué)中的“數(shù)”與“形”緊密結(jié)合，通過圖形的直觀展示來闡釋抽象的數(shù)學(xué)概念或者利用數(shù)學(xué)運算來揭示圖形背后的數(shù)量關(guān)系。這種方法不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能有效降低學(xué)習(xí)難度，幫助學(xué)生構(gòu)建牢固的數(shù)學(xué)知識體系。特別是在蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)形結(jié)合思想貫穿始終，從有理數(shù)的加減乘除到幾何圖形的性質(zhì)探索無一不體現(xiàn)著這一思想。

一、在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的實踐思路

（一）概念教學(xué)中的直觀呈現(xiàn)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想在概念教學(xué)中具有顯著的優(yōu)勢，其通過圖形與數(shù)字的結(jié)合將抽象的概念直觀化，從而幫助學(xué)生更好地理解和掌握。例如，在函數(shù)概念教學(xué)中，教師就利用數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生觀察石子落水所形成的一系列以落水點為圓心的同心圓波紋。學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)圓心位置固定但波紋的半徑在不斷向外擴展，同時覆蓋的面積也在逐漸增大。教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生明確這些變化中的變量半徑r（從圓心到波紋邊緣的距離）和面積S（波紋所覆蓋的區(qū)域）都在變化。接著，教師提出關(guān)鍵問題：“如果我們用S來表示面積，用r來表示半徑，那么你們認(rèn)為S和r之間可能存在怎樣的關(guān)系呢？”為了幫助學(xué)生直觀地理解S和r之間的關(guān)系，教師利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解析，首先讓學(xué)生繼續(xù)觀察湖面上的同心圓并指出：“隨著半徑r的增大，每一個新的同心圓都包含了之前所有的圓，因此面積S也在不斷增加?！比缓蠼處熢诤诎迳侠L制出幾個不同半徑的圓，并標(biāo)注出相應(yīng)的面積，引導(dǎo)學(xué)生觀察這些圖形和標(biāo)注并提問：“你們發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”

學(xué)生通過觀察很容易就能發(fā)現(xiàn)面積S隨著半徑r的增大而增大，通過這樣的方式引出函數(shù)的概念：“這種‘一個量隨著另一個量的變化而變化’的關(guān)系正是數(shù)學(xué)中非常重要的函數(shù)概念。在這里，面積S就是半徑r的函數(shù)，我們可以記作S=f（r）。”將抽象的函數(shù)概念直觀地為學(xué)生展現(xiàn)出來，降低了學(xué)生對其的理解難度。為了進(jìn)一步加深學(xué)生對函數(shù)關(guān)系的理解，教師利用教學(xué)輔助工具繪制出S關(guān)于r的函數(shù)圖象并解釋圖象上每一點所代表的含義。通過這樣的數(shù)形結(jié)合教學(xué)，學(xué)生不僅能夠直觀地看到函數(shù)關(guān)系的變化趨勢，還能深刻地理解函數(shù)的本質(zhì)和重要性。

（二）解題過程中的圖形輔助

解題無疑是檢驗學(xué)生知識掌握程度與思維能力的重要方式。然而面對復(fù)雜難懂的數(shù)學(xué)問題，尤其是那些抽象難解的題目，學(xué)生往往感到力不從心，此時數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)勢就顯現(xiàn)出來了。首先，圖形具有直觀性，能夠幫助學(xué)生快速地把握問題的關(guān)鍵信息，揭示數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在規(guī)律，減少因理解偏差而導(dǎo)致的錯誤。其次，圖形能夠幫助學(xué)生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系簡化為直觀的圖形關(guān)系，從而降低解題難度。最后，通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以更深入地理解數(shù)學(xué)概念和原理，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力。

1.以形解數(shù)

在以形解數(shù)的教學(xué)策略中，教師巧妙地跨越了數(shù)學(xué)抽象概念與學(xué)生直觀理解之間的鴻溝，圖形的直觀性可以將復(fù)雜抽象的代數(shù)語言轉(zhuǎn)化為易于學(xué)生接受和掌握的視覺幾何直觀。圖形作為數(shù)學(xué)表達(dá)的一種重要形式，以視覺的方式直接展現(xiàn)數(shù)學(xué)對象的空間結(jié)構(gòu)、位置關(guān)系及動態(tài)變化，這些往往是代數(shù)表達(dá)式難以直接傳達(dá)的。在以形解數(shù)的過程中，圖形成了一個強有力的工具，幫助學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念具象化，從而更容易被理解和記憶。

例如，在一次函數(shù)與圖象的教學(xué)中，教師以貼近學(xué)生生活的實例——“小李騎自行車上學(xué)的情景”為引子成功引入抽象的一次函數(shù)概念。教師首先通過描述小李每分鐘騎行200米前往1千米外的學(xué)校激發(fā)學(xué)生興趣并引導(dǎo)他們思考騎行時間與距離之間的關(guān)系，隨后引導(dǎo)學(xué)生將這一實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，即在平面直角坐標(biāo)系上繪制一次函數(shù)y=-200x+1000的圖象。通過確定關(guān)鍵點（如起點和終點）、繪制直線，學(xué)生直觀地看到了時間（x）與距離（y）之間的動態(tài)變化關(guān)系。在圖象繪制完成后，學(xué)生深入觀察圖象，通過討論直線的增減性、斜率及截距等特征幫助學(xué)生理解一次函數(shù)的性質(zhì)。這種直觀的教學(xué)方式讓學(xué)生深刻體會到數(shù)形結(jié)合的力量，即圖形能夠直觀展示數(shù)學(xué)關(guān)系的本質(zhì)。為了進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識，教師設(shè)計了一系列實際問題，如計算小李騎行特定時間后的剩余距離或確定到達(dá)特定距離所需的時間，此時學(xué)生就可以利用已繪制的一次函數(shù)圖象迅速而準(zhǔn)確地找到答案，體驗以形解數(shù)的便捷與高效。這一過程不僅加深了學(xué)生對一次函數(shù)概念及其性質(zhì)的理解，還培養(yǎng)了他們的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力。

2.以數(shù)解形

以數(shù)解形是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，它強調(diào)通過數(shù)值計算和分析來揭示和解決圖形問題中的規(guī)律和性質(zhì)。這種方法不僅幫助學(xué)生深入理解函數(shù)圖象與代數(shù)表達(dá)式之間的內(nèi)在聯(lián)系，還培養(yǎng)了他們的邏輯思維和問題解決能力。

在解決一次函數(shù)問題時，學(xué)生可能會遇到形如y=kx+b（其中k為斜率，b為截距）的代數(shù)表達(dá)式。通過計算斜率k的正負(fù)，學(xué)生可以直接判斷函數(shù)圖象的增減性：當(dāng)k>0時，圖象為增函數(shù)，從左至右上升（如圖1）。

當(dāng)k＜0時，圖象為減函數(shù)從左至右下降，此外截距b決定了圖象與y軸的交點位置，即當(dāng)x=0時，y=b（如圖2）。

這些基本的數(shù)值分析為學(xué)生繪制和理解函數(shù)圖象提供了直接依據(jù)。在解決涉及兩個一次函數(shù)圖象交點的問題時就可以利用數(shù)值計算求解圖象交點。例如，給定兩個一次函數(shù)y1=k1x+b1和y2=k2x+b2，求它們的交點坐標(biāo)。由于交點處兩個函數(shù)的y值相等，學(xué)生可以將這兩個方程設(shè)置為等式來求解x和y。聯(lián)立這兩個方程，即解方程組y1=k1x+b1y2=k2x+b2，得到x和y的數(shù)值解，從而確定交點的坐標(biāo)（如圖3）。

這種方法避免了直接觀察圖形可能帶來的誤差，確保結(jié)果的準(zhǔn)確性。分析函數(shù)圖象上的特殊點，一次函數(shù)圖象上除了與坐標(biāo)軸的交點外，還可能存在其他具有特殊意義的點，如最大值點（對于減函數(shù)）或最小值點（對于增函數(shù)，但一次函數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)通常無最值）。雖然一次函數(shù)本身不直接涉及這些點，但學(xué)生可以通過計算特定條件下的函數(shù)值來間接理解這些概念。例如，在解決實際問題時可能需要找到滿足特定條件（如距離、成本等）的x值，進(jìn)而通過函數(shù)表達(dá)式求出對應(yīng)的y值，這些點就是函數(shù)圖象上的特殊點。

在解題過程中，學(xué)生還應(yīng)將數(shù)值計算結(jié)果與圖形直觀性相結(jié)合，通過繪制函數(shù)圖象，學(xué)生可以直觀地驗證自己的計算結(jié)果是否正確，同時加深對函數(shù)性質(zhì)的理解。例如，在求解交點問題后，學(xué)生可以在坐標(biāo)系上標(biāo)出交點坐標(biāo)，觀察其是否確實位于兩個函數(shù)圖象的交點上。這種結(jié)合不僅提高了學(xué)生的解題能力，還培養(yǎng)了他們的幾何直觀和空間想象能力。

二、在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的實踐方法

（一）明確數(shù)形結(jié)合思想的重要性

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，它要求學(xué)生能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念與直觀的圖形相結(jié)合，通過圖形的輔助來理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，從而提高解題能力和數(shù)學(xué)思維能力。因此，教師要在日常教學(xué)中明確數(shù)形結(jié)合思想的重要性，首要任務(wù)是深刻領(lǐng)悟其在數(shù)學(xué)教育中的核心價值——數(shù)形結(jié)合。它不僅是數(shù)學(xué)中的一項基本工具，更是搭建抽象概念與直觀理解、理論知識與實際應(yīng)用之間不可或缺的橋梁。利用這一思想，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得以簡化為直觀的圖形表達(dá)，幫助學(xué)生直擊問題核心，顯著提升解題效率與準(zhǔn)確性。更重要的是，數(shù)形結(jié)合教學(xué)能夠激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)他們的空間想象與邏輯思維能力，促使他們學(xué)會從多角度審視問題，為創(chuàng)新思維的培養(yǎng)奠定堅實基礎(chǔ)。

在日常教學(xué)中，教師應(yīng)積極融入數(shù)形結(jié)合思想，依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想精心設(shè)計教學(xué)活動，讓學(xué)生親身體驗其獨特魅力，從而深刻認(rèn)識到其重要性并在學(xué)習(xí)過程中自然而然地運用這一強大的思想方法。

（二）深入挖掘教材資源

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中蘊含著豐富的數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)容，函數(shù)部分尤為凸顯數(shù)形結(jié)合思想的精髓。因此，教師應(yīng)主動挖掘這些資源，將數(shù)與形有機結(jié)合的知識點進(jìn)行串聯(lián)，以便于學(xué)生更好地在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想。如將函數(shù)解析式與直觀圖象緊密結(jié)合，形成一個完整的、系統(tǒng)化的知識體系。

從生活中的實例出發(fā)（以形解數(shù)中提到的石子落水與同心圓）引入函數(shù)概念，讓學(xué)生初步感受“一個量隨另一個量變化”的直觀現(xiàn)象，利用坐標(biāo)系繪制對應(yīng)的函數(shù)圖象，讓學(xué)生直觀感受數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系。

在講解函數(shù)性質(zhì)時，結(jié)合解析式與圖象特征深化理解，利用信息技術(shù)動態(tài)演示（如幾何畫板動態(tài)展示函數(shù)圖象隨參數(shù)變化的過程），增強直觀感受。教師鼓勵學(xué)生將實際問題抽象為函數(shù)模型，通過圖象分析輔助解題，培養(yǎng)學(xué)生的圖象意識和數(shù)形結(jié)合能力。

設(shè)計探究性問題與跨學(xué)科應(yīng)用，如“探索不同參數(shù)對函數(shù)圖象的影響”“設(shè)計滿足特定條件的函數(shù)模型”“經(jīng)濟學(xué)的供需關(guān)系”等，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的興趣和創(chuàng)新能力，使數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)教學(xué)中得到全面而深入的滲透。

（三）注重解題方法的指導(dǎo)

為了深化學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解與應(yīng)用，在教學(xué)時，教師可以采取一系列策略來引導(dǎo)學(xué)生畫圖解題并深入分析數(shù)與形之間的微妙關(guān)系。以函數(shù)為例，當(dāng)面對一個復(fù)雜的函數(shù)問題時，教師首先鼓勵學(xué)生不急于列出數(shù)學(xué)表達(dá)式，而是先靜下心來根據(jù)題目描述畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象或草圖。

比如，在解決一個關(guān)于二次函數(shù)最值的問題時，學(xué)生可以先根據(jù)給定的二次函數(shù)表達(dá)式利用對稱軸公式和頂點坐標(biāo)公式在坐標(biāo)系中大致描繪出函數(shù)的圖象輪廓。這個過程不僅幫助學(xué)生直觀地理解了函數(shù)的開口方向、對稱軸位置以及頂點坐標(biāo)等關(guān)鍵信息，還為他們后續(xù)列出并求解數(shù)學(xué)表達(dá)式提供了有力的支持。

在解題過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生深入分析數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，以解不等式組為例，雖然這看似與函數(shù)無直接關(guān)聯(lián)，但數(shù)軸作為數(shù)與形結(jié)合的典范工具在此處發(fā)揮了重要作用，指導(dǎo)學(xué)生將不等式組的每一個不等式都轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的一個區(qū)間，并用不同的顏色或標(biāo)記來表示。隨后通過觀察這些區(qū)間在數(shù)軸上的位置關(guān)系，學(xué)生可以直觀地得出解集的交集或并集。這種將不等式轉(zhuǎn)化為圖形的方法不僅簡化了問題，還讓學(xué)生深刻體會到數(shù)與形之間相互轉(zhuǎn)化的魅力。

在函數(shù)教學(xué)中類似的應(yīng)用不勝枚舉，比如，在求解函數(shù)零點或交點問題時，學(xué)生可以通過繪制函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸的交點來確定零點的位置。在探討函數(shù)增減性時，學(xué)生可以通過觀察函數(shù)圖象在不同區(qū)間的變化趨勢來得出結(jié)論。這些過程都充分展示了數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)教學(xué)中的重要性和實用性。

綜上所述，通過引導(dǎo)學(xué)生畫圖解題和深入分析數(shù)與形的關(guān)系，教師可以有效地幫助學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想方法，提高他們的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（四）強化練習(xí)與反饋

為了深入鞏固學(xué)生在數(shù)形結(jié)合思想方面的理解和應(yīng)用能力，我們可以設(shè)計一系列針對性的練習(xí)題并結(jié)合及時的反饋與指導(dǎo)機制以及學(xué)生間的互動交流來全面提升他們的學(xué)習(xí)效果。

例如，假設(shè)學(xué)校計劃在一個長方形的空地上建造一個花壇，花壇的形狀設(shè)計為拋物線型（即二次函數(shù)圖象的一部分）。已知花壇的底部寬度為8米且花壇的最高點距離地面3米，該最高點正好位于花壇底部的中點上方，學(xué)校想要知道在距離花壇底部邊緣2米處的地方花壇的高度是多少？首先建立函數(shù)模型，即假設(shè)花壇底部平行于x軸，且其中心點位于y軸的上方3米處（即y=3），花壇的底部兩端點可以視為拋物線與x軸的交點，其x坐標(biāo)分別為-4米和4米（因為寬度為8米且中心對稱），由此我們可以設(shè)拋物線的頂點式為y=a（x-0）2+3，其中a是待求的系數(shù)，利用給定的點（如x+4，y=0）代入方程求解a，其次求解系數(shù)a，代入點（4，0），得y=a（x-0）2+3，得a=-，因此花壇的拋物線方程為y=-x2+3，代入x=2，得y=（米）。

（五）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)形結(jié)合思想在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特別是提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣方面具有重要作用。在日常教學(xué)中，教師可以依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想使抽象的數(shù)學(xué)概念變得直觀生動。

例如，在函數(shù)教學(xué)中教師就可以設(shè)計一系列與函數(shù)相關(guān)的探索性任務(wù)，從簡單到復(fù)雜逐步深入設(shè)計教學(xué)任務(wù)，強化動手實踐環(huán)節(jié)，并注重思維引導(dǎo)和啟發(fā)，即通過設(shè)立問題來引導(dǎo)學(xué)生思考：“為什么這個函數(shù)圖象是這樣的形狀？”“你能從圖象中看出哪些函數(shù)性質(zhì)？”等激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，促使他們主動探究，鼓勵學(xué)生根據(jù)圖象進(jìn)行猜想，并嘗試通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)或?qū)嶒瀬眚炞C這些猜想，培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力和驗證能力，提高他們的數(shù)學(xué)思維水平。

教師要時刻關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，了解他們對數(shù)形結(jié)合思想的掌握程度以及存在的問題，針對不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和能力水平提供個性化的指導(dǎo)和幫助，并根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋和教學(xué)效果及時反思自己的教學(xué)策略和方法，根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化，幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)形結(jié)合思想。

三、總結(jié)

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有不可替代的重要性，系統(tǒng)地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想可以幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)概念，降低學(xué)習(xí)難度，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣并培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力。因此，教師應(yīng)通過明確重要性、挖掘教材資源、解題方法指導(dǎo)、強化練習(xí)與反饋等方式積極融數(shù)形結(jié)合思想于日常教學(xué)中，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有力支持，并在未來的教學(xué)中繼續(xù)深化數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，探索更多創(chuàng)新教學(xué)方法以適應(yīng)學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需求。

（作者單位：南京師范大學(xué)附屬中學(xué)丁家莊初級中學(xué)）

編輯：溫雪蓮