數(shù)學(xué)教育的核心目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力，這種能力深刻體現(xiàn)在學(xué)生的思維品質(zhì)上。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要樹立知行合一的理念，深刻理解不同類型的習(xí)題所蘊(yùn)含的知識點(diǎn)，靈活選取數(shù)學(xué)思想與方法，尋找培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性、發(fā)散性、批判性、靈活性、創(chuàng)造性的方法與途徑。良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，為學(xué)生的終身發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

陶行知先生認(rèn)為：知是行之始，行是知之成。即懂道理是做事的基礎(chǔ)，做事情、有所行動，是懂道理的結(jié)果。在新的課程理念下，數(shù)學(xué)教學(xué)改革和發(fā)展的總趨勢就是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。中國科學(xué)院動物學(xué)家楊平發(fā)出質(zhì)疑：“現(xiàn)在，我們一不缺錢，二不缺儀器設(shè)備，三不缺勤奮努力，為什么到頭來原創(chuàng)性成果還比不過別人？”這個問題的根源是思維能力。而數(shù)學(xué)教育的核心追求是培養(yǎng)并提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

一、變式訓(xùn)練有利于思維深刻性的培養(yǎng)

思維的深刻性就是在解決問題時能夠深入探究問題的核心所在，以及問題間錯綜復(fù)雜的聯(lián)系。在學(xué)習(xí)中，部分學(xué)生往往對所學(xué)知識淺嘗輒止，對練習(xí)題目缺乏深度理解，僅是機(jī)械模仿，未能觸及問題的本質(zhì)，導(dǎo)致教材中的例題和習(xí)題的條件或結(jié)論改編一下，就不會做了。為了打破這種思維的惰性，教師需要著力培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，鼓勵學(xué)生主動思考，學(xué)會從多角度、多層次去理解和分析問題。在教學(xué)實(shí)踐中，教師可以通過變換題目的條件、結(jié)論或形式，讓學(xué)生在解決這些問題的過程中，不斷深化對知識點(diǎn)的理解，鍛煉其思維的靈活性和深刻性。

浙教版八年級上冊數(shù)學(xué)第9頁作業(yè)題第3題：如圖1，AD是△ABC的中線，DE⊥AC，DF⊥AB，E，F(xiàn)分別是垂足，已知AB=2AC，求DE與DF的長度之比。

解：∵AD是△ABC的中線

∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD

∴DE·AC＝DF·AB

又∵AB=2AC

∴DE=2DF

∴DE與DF的長度之比為2∶1

本習(xí)題是學(xué)了三角形中線概念后的一個練習(xí)題，而實(shí)質(zhì)上是考查了小學(xué)里學(xué)過的“等底等高三角形面積相等”這個知識點(diǎn)。為了強(qiáng)化這個知識點(diǎn)的落實(shí)，我把此題改編為：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，PF⊥AB于點(diǎn)F，PE⊥AC于點(diǎn)E，BD為△ABC的高線，BD＝8，求PF＋PE的值。

因?yàn)橛辛松鲜鲞@個習(xí)題做鋪墊，大部分學(xué)生會利用“等底等高三角形面積相等”這個知識點(diǎn)做出以下的解法，學(xué)生思維的深刻性得到了提高。

解：連結(jié)PA

∵S△ABC＝S△APB＋S△APC

∴AC·BD＝AB·PF＋AC·PE

又∵AB＝AC，

∴BD＝PF＋PE

∴PF＋PE＝8

因此，教師需要具備敏銳的洞察力，能夠快速識別并聚焦于解決問題的關(guān)鍵要素，有效確定解題策略。同時，教師還應(yīng)鼓勵學(xué)生挖掘潛藏于每一道習(xí)題背后的普遍規(guī)律與解題方法，并將這些規(guī)律、方法提煉出來，推廣應(yīng)用于解決更廣泛的一類問題。因此，變式訓(xùn)練有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性。

二、分類討論訓(xùn)練有利于思維嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)

思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)最基本的特點(diǎn)，表現(xiàn)在要求學(xué)生解題時思考縝密，問題討論全面，即對問題的討論不重復(fù)、不遺漏，要求學(xué)生的解題過程做到一步一步、有根有據(jù)地進(jìn)行推理，對數(shù)學(xué)結(jié)論的敘述既要精煉又要準(zhǔn)確。

杭州市中考數(shù)學(xué)試卷第16題（如圖3）：折疊矩形紙片ABCD時，發(fā)現(xiàn)可以進(jìn)行如下操作：①把△ADE翻折，點(diǎn)A落在DC邊上的點(diǎn)F處，折痕為DE，點(diǎn)E在AB邊上；②把紙片展開并鋪平；③把△CDG翻折，點(diǎn)C落在直線AE上的點(diǎn)H處，折痕為DG，點(diǎn)G在BC邊上，若AB=AD+2，EH=1，則AD=（ ）。

因?yàn)閷ⅰ鰽DE翻折后，點(diǎn)H可能落在點(diǎn)E下方，也可能落在點(diǎn)E上方。而試卷上的圖就是圖3，所以學(xué)生解題時很容易落下一個答案。而有的學(xué)生考慮得很全面，因?yàn)镃點(diǎn)的對稱點(diǎn)H在AB上，又因?yàn)镋H=1，所以點(diǎn)H所落位置有兩種。通過這樣的分析，答案就不會有疏漏了。

有位學(xué)生解答：設(shè)AD=x，則AB=CD=x+2。

（1）當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)E的下方時，在Rt△ADH中，根據(jù)勾股定理知∵DH2=AD2+AH2

∴（x+2）2=x2（x+1）2

∴x=3

（2）當(dāng)點(diǎn)H在點(diǎn)E的上方時，在Rt△ADH中，根據(jù)勾股定理知∵DH2=AD2+AH2

∴（x+2）2=x2+（x-1）2

∴x=3+2

綜上所述：AD=3+2或3。

對初中生來說，其抽象思維正處于形成和發(fā)展時期，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性往往不易做到，常常會出現(xiàn)顧此失彼、丟三落四的情況。而分類討論的訓(xùn)練有利于學(xué)生養(yǎng)成對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行自主探索與研究的習(xí)慣。思維的嚴(yán)謹(jǐn)性是在犯錯誤的經(jīng)歷中獲得的。因此，在教學(xué)中教師要適時地、有針對性地組織學(xué)生進(jìn)行分類討論訓(xùn)練，從而科學(xué)且有效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維活動，也可以利用學(xué)生解題時出現(xiàn)的漏解進(jìn)行剖析，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

三、一題多解的訓(xùn)練有利于思維發(fā)散性的培養(yǎng)

思維的發(fā)散性是一種善于從多個維度、多個層面、多條路徑去探索問題并尋求答案的思維特質(zhì)。在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域里，為了培育學(xué)生這種寶貴的思維品質(zhì)，教師要強(qiáng)化基礎(chǔ)知識的教學(xué)，幫助學(xué)生構(gòu)建堅實(shí)且完整的認(rèn)知框架。在解題實(shí)踐中，教師鼓勵學(xué)生敏銳捕捉題目中的關(guān)鍵信息，通過對比分析、聯(lián)想拓展等策略，倡導(dǎo)一題多解的探索精神，同時，引入一題多變的訓(xùn)練模式，讓學(xué)生在變化中尋求不變，在不變中洞察變化。

浙教版八年級上冊數(shù)學(xué)第18頁例3，求證：三角形的三個內(nèi)角的和等于180°。

已知：如圖4，∠A，∠B，∠C是△ABC的三個內(nèi)角。

求證：∠A+∠B+∠C=180°。

教學(xué)時，教師先讓學(xué)生剪好一個任意的三角形，為了證明三個內(nèi)角的和為180°，通過已有的知識，大家都知道平角為180°。然后引導(dǎo)學(xué)生將三角形的三個角撕下后拼在一起，使三個角的頂點(diǎn)和三條邊重合，看看能否拼成一個平角？學(xué)生有了動手實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，證明方法自然水到渠成。

學(xué)生A的證明：如圖4所示，在△ABC中，過點(diǎn)A引l∥BC。

∵l∥BC

∴∠B=∠1，∠C=∠2（內(nèi)錯角相等）

∵∠1+∠BAC+∠2=180°

∴∠A+∠B+∠C=180°

學(xué)生B的證明：

如圖5所示，延長BC到M，過點(diǎn)C作CN//AB。

∵CN//AB

∴∠A=∠ACN（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∠B=∠NCM（兩直線平行，同位角相等）

又∵∠ACN+∠NCM+∠ACB=180°（平角180°）

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）

即∠A+∠B+∠C=180°

只要將∠A，∠B，∠C這三個角拼在一起就可以了。在教學(xué)時，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生探索還有哪些解法，通過比較，選擇一種適合自己又便捷的解題方法。一題多解既能充分挖掘?qū)W生的潛能，又能培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。

四、辨析題的訓(xùn)練有利于思維批判性的培養(yǎng)

思維的批判性，其核心在于敏銳地察覺問題，勇于質(zhì)疑，并具備明辨是非的能力。為了培養(yǎng)學(xué)生的這種思維品質(zhì)，教師在教學(xué)過程中巧妙地設(shè)計一些容易引發(fā)混淆的概念，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的分析與辨別，通過對比和討論，幫助他們理清思路。教師還可以設(shè)置一些看似正確實(shí)則存在謬誤的判斷，以此激發(fā)學(xué)生的探究欲，促使他們主動思考、辨別真?zhèn)?。值得注意的是，學(xué)生在獨(dú)立思考的過程中，難免會出現(xiàn)認(rèn)知上的偏差或表面化的理解。面對這些問題，教師應(yīng)保持開放和包容的態(tài)度，及時給予鼓勵、引導(dǎo)和啟發(fā)。

杭州市中考數(shù)學(xué)試卷第17題：計算6÷（-），方方同學(xué)的計算過程：原式=6÷（-）+6÷e6a966784e04027a1100a96003c814c6= -12+18=6。請你判斷方方的計算過程是否正確，若不正確，請你寫出正確的計算過程。

點(diǎn)評：本題主要檢驗(yàn)了學(xué)生對有理數(shù)混合運(yùn)算順序的掌握情況。我們在解決這類問題時，首先遵循的是運(yùn)算的優(yōu)先級，即先處理括號內(nèi)的表達(dá)式，隨后，根據(jù)除法的運(yùn)算法則來執(zhí)行除法操作，學(xué)生正確的計算過程就水到渠成了。

原式=6÷（-）

=6÷（）

=6×（-6）

=-36

在教學(xué)中，教師要提倡讓學(xué)生在實(shí)際問題中去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，要敢于對現(xiàn)有結(jié)論進(jìn)行質(zhì)疑。

五、數(shù)形結(jié)合習(xí)題的訓(xùn)練有利于思維靈活性的培養(yǎng)

思維的靈活性就是面對事物變化時能夠迅速適應(yīng)，并靈活運(yùn)用已掌握的知識和經(jīng)驗(yàn)，以探索出解決問題的新路徑和新方法。這種品質(zhì)在課堂教學(xué)中尤為重要。因?yàn)椋處熯^分拘泥于解題模式的講授，往往會使學(xué)生陷入一種固定的思維模式，導(dǎo)致他們的思維變得僵化，缺乏變通。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，鼓勵他們勇于跳出固定的框架，敢于嘗試不同的方法和思路。

山東省濟(jì)南市數(shù)學(xué)中考題：如圖6，拋物線y＝－2x2＋8x－6與x軸交于點(diǎn)A，B，把拋物線在x軸及其上方的部分記為C1，將C1向右平移得到C2，C2與x軸交于點(diǎn)B，D，若直線y＝x＋m與C1，C2共有3個不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）

A．－2＜m＜ B．－3＜m＜－

C．－3＜m＜－2 D．－3＜m＜－

數(shù)形結(jié)合作為一種極具價值的數(shù)學(xué)思維方式，近年來在中考中占據(jù)了舉足輕重的地位，頻繁成為考查的焦點(diǎn)。解題時，要把問題的數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來，或者把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成圖形的性質(zhì)問題，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系問題，學(xué)生若用數(shù)形結(jié)合的思想，這個中考題就易解了。

如圖7，A（1，0），B（3，0），D（5，0）。l2的解析式為y＝－2（x2－8x＋15）（3≤x≤5）。當(dāng)直線l1與l2僅有一個公共點(diǎn)時，方程組y=-2（x2-8x+15）y=x+m僅有一組解。所以一元二次方程－2（x2－8x＋15）＝x＋m有兩個相等的實(shí)數(shù)根，即方程2x2－15x＋30＋m＝0的判別式為0。由此求得m＝－。當(dāng)直線l2經(jīng)過點(diǎn)B時，將（3，0）代入y＝x＋m，求得m＝－3。所以－3＜m＜－，故選D。

因此，在教學(xué)中，教師往往會用到數(shù)形結(jié)合的思想，即化抽象為直觀，化直觀為精準(zhǔn)，從而使問題得到解決，避免復(fù)雜的計算和推理，開放題的訓(xùn)練有利于思維靈活性的培養(yǎng)。

六、開放題的訓(xùn)練有利于思維創(chuàng)造性的培養(yǎng)

思維的創(chuàng)造性體現(xiàn)了一種勇于探索未知、敢于獨(dú)辟蹊徑的精神風(fēng)貌，它促使學(xué)生積極主動地發(fā)掘新事物，提出獨(dú)到的見解。這種思維品質(zhì)在思考過程中勇于突破框架，不斷追求最優(yōu)的解決方案。

杭州市中考數(shù)學(xué)試卷第8題：如圖8，已知點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界），設(shè)∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，則（ ）

A.（θ1+θ4）-（θ2+θ3）=30°

B.（θ2+θ4）-（θ1+θ3）=40°

C.（θ1+θ2）-（θ3+θ4）=70°

D.（θ1+θ2）-（θ3+θ4）=180°

本題考查的知識點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理和矩形的性質(zhì)。這類題型廣泛涵蓋了多個知識點(diǎn)，不僅考驗(yàn)學(xué)生解題技巧的靈活性，更對他們分析復(fù)雜問題和運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力提出了高標(biāo)準(zhǔn)的要求。開放題的形式有三種，即條件開放、結(jié)論開放和解題過程開放。因此在教學(xué)中，教師要重視開放性的習(xí)題訓(xùn)練，使學(xué)生能進(jìn)行由正及反、由此及彼、舉一反三。這類問題的練習(xí)有助于學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)思維中的多個關(guān)鍵品質(zhì)是相互依存、相互促進(jìn)的，它們共同構(gòu)成了學(xué)生思維能力提升的基石。其中，嚴(yán)謹(jǐn)性和發(fā)散性作為思維訓(xùn)練的基礎(chǔ)，而深刻性和批判性則是對這一過程的深化。在批判性思維的驅(qū)動下，思維的靈活性得以展現(xiàn)，它允許學(xué)生在面對復(fù)雜問題時靈活調(diào)整策略，尋找最佳路徑。最終，思維的創(chuàng)造性作為這些品質(zhì)融合與升華的結(jié)晶，代表了數(shù)學(xué)思維的高級階段，引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域不斷突破，追求卓越。

楊振寧先生曾深刻指出，一個學(xué)生的卓越之處，并非僅僅體現(xiàn)在其優(yōu)異的學(xué)業(yè)成績上，更為關(guān)鍵的是他們擁有非凡的思維方式。弗賴登塔爾則生動地比喻數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為一種實(shí)踐活動，強(qiáng)調(diào)這種學(xué)習(xí)如同學(xué)習(xí)游泳或騎自行車，單憑書本知識、教師講解或旁觀他人操作是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須親自參與其中，通過實(shí)踐來掌握?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)教育理論普遍認(rèn)同，數(shù)學(xué)能力是個體順利完成各類數(shù)學(xué)活動不可或缺的基石，它是在數(shù)學(xué)活動過程中形成和發(fā)展起來的。數(shù)學(xué)能力有強(qiáng)弱之分，這種區(qū)分主要是通過數(shù)學(xué)思維品質(zhì)來確定的。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，科學(xué)組織課堂教學(xué)，讓學(xué)生通過形式多樣化的數(shù)學(xué)活動，強(qiáng)化不同類型的習(xí)題訓(xùn)練，不斷提高學(xué)生的思維品質(zhì)。

（作者單位：杭州市余杭區(qū)仁和中學(xué)）

編輯：溫雪蓮