[摘 要] 探究圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)具有極高的教學(xué)意義，有助于學(xué)生深刻理解知識(shí)，規(guī)范解題思路，完善知識(shí)體系. 研究者對(duì)圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行了深入分析，并結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行了詳細(xì)探討，同時(shí)據(jù)此提出了針對(duì)性的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線(xiàn);易錯(cuò)點(diǎn);討論;位置關(guān)系

作者簡(jiǎn)介：陳其樓（1982—），本科學(xué)歷，高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

探究綜述

圓錐曲線(xiàn)作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)之一，在歷年的高考試卷中均占有較高的分值，涵蓋的知識(shí)點(diǎn)眾多，既包括一般性的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，也涉及選拔性的復(fù)雜知識(shí)點(diǎn). 探究解析時(shí)需要教師引導(dǎo)學(xué)生全面總結(jié)歸納，關(guān)注其中的難點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn). 建議結(jié)合實(shí)例開(kāi)展易錯(cuò)點(diǎn)的解析探究，引導(dǎo)學(xué)生清晰地識(shí)別易錯(cuò)點(diǎn)的知識(shí)基礎(chǔ)，并掌握相應(yīng)的處理技巧，以形成有效的解析策略.

圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中存在眾多易錯(cuò)點(diǎn)，導(dǎo)致解析錯(cuò)誤的情況多種多樣，其中常見(jiàn)的有以下三類(lèi)：

一是忽略了直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交的特殊性. 例如，當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交時(shí)，雖然看似直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，但實(shí)際上，直線(xiàn)可能與雙曲線(xiàn)的同一支有兩個(gè)交點(diǎn).

二是忽略了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)特殊的位置關(guān)系. 在問(wèn)題中，如果未明確指出兩者的位置關(guān)系，那么就需要依據(jù)給定的條件進(jìn)行判斷.

三是忽略了對(duì)直線(xiàn)斜率是否存在的討論. 在處理圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，如果未明確指出直線(xiàn)斜率是否存在，那么必須考慮直線(xiàn)斜率不存在的情況，而不能直接假定其存在.

解讀指導(dǎo)

由于圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中存在眾多易錯(cuò)點(diǎn)，因此在探究復(fù)習(xí)時(shí)，教師應(yīng)重點(diǎn)指導(dǎo)學(xué)生，詳細(xì)解讀這些易錯(cuò)點(diǎn)，并指導(dǎo)他們掌握這些問(wèn)題的解決方法.

易錯(cuò)點(diǎn)1 忽略了直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交的特殊性.

直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交的特殊性容易被忽略.直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的綜合是數(shù)學(xué)中一個(gè)常見(jiàn)的問(wèn)題類(lèi)型，它們之間存在三種基本的位置關(guān)系：相交、相離和相切. 在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往會(huì)錯(cuò)誤地判斷相交的情況，特別是當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，容易漏解或誤解.

根據(jù)直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立并整理所得的方程ax2+bx+c=0的判別式Δ的符號(hào)可以直接判斷直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系：若a≠0，Δ>0，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交，且有兩個(gè)交點(diǎn);若a=0，Δ>0，則直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn);若a≠0，Δ=0，則直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切，有且只有一個(gè)交點(diǎn). 綜合上述情況，教師必須指導(dǎo)學(xué)生關(guān)注直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)僅有一個(gè)交點(diǎn)的情形，即a=0，Δ>0或a≠0，Δ=0. 此外，在解題指導(dǎo)時(shí)，可以融入數(shù)形結(jié)合思想，借助直觀的圖形來(lái)輔助學(xué)生進(jìn)行思考.

例1 過(guò)點(diǎn)（0，-1）且與雙曲線(xiàn)-=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有（ ）條.

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

易錯(cuò)點(diǎn)分析 本題探究的是過(guò)點(diǎn)（0，-1）且與雙曲線(xiàn)-=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有幾條，解題時(shí)容易忽略與雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)平行的情形. 直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，分為直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切和與漸近線(xiàn)平行兩種情形.

過(guò)程解析 根據(jù)雙曲線(xiàn)-=1，可得其漸近線(xiàn)的方程為y=±x.

情形1：該直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（0，-1），且與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，則存在兩條直線(xiàn)，分別為y=x-1，y=-x-1.

情形2：該直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（0，-1），且與雙曲線(xiàn)相切，可設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx-1.聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的方程，則有y=kx-1，

-

=1，整理可得（9-4k2）x2+8kx-40=0，Δ=（8k）2+4×40×（9-4k2）=0，解得k=±. 所以，切線(xiàn)方程為y=x-1或y=-x-1.

綜上可知，過(guò)點(diǎn)（0，-1）且與雙曲線(xiàn)-=1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有4條，答案為D.

解后反思 在探討直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)僅相交于一點(diǎn)的情況時(shí)，學(xué)生容易忽略a=0，Δ>0的情形，從而導(dǎo)致解題遺漏. 因此，在探究式教學(xué)中，教師應(yīng)借助圖形輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生深入理解特定情境，并在解題過(guò)程中重視對(duì)問(wèn)題條件的分析，給予針對(duì)性的指導(dǎo).

易錯(cuò)點(diǎn)2 忽略了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)特殊的位置關(guān)系.

在探討直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系時(shí)，學(xué)生容易忽略一個(gè)特殊情形：當(dāng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行時(shí)，它們僅有一個(gè)交點(diǎn). 在解題過(guò)程中，教師應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生密切關(guān)注此類(lèi)情形，并留意交點(diǎn)個(gè)數(shù).

例2 已知直線(xiàn)y=（a+1）x-1與曲線(xiàn)y2=ax恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.

易錯(cuò)點(diǎn)分析 本題求的是在確定直線(xiàn)與曲線(xiàn)僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的值. 曲線(xiàn)的形狀依賴(lài)于a值，它可以是直線(xiàn)，也可以是拋物線(xiàn). 在求解本題時(shí)，必須探討a的取值范圍，并特別留意直線(xiàn)與曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸平行的情形，即當(dāng)a=-1時(shí).

過(guò)程解析 由于a值決定曲線(xiàn)的具體形狀，因此必須對(duì)其值進(jìn)行詳細(xì)討論，具體如下.

當(dāng)a=0時(shí)，曲線(xiàn)y2=ax為直線(xiàn)y=0，顯然兩直線(xiàn)不平行或重合，必然有唯一的公共點(diǎn)（1，0），滿(mǎn)足條件. 因此，a=0.

當(dāng)a≠0時(shí)，聯(lián)立兩者的方程，有y=（a+1）x-1，

y2=ax，整理可得（a+1）2x2-（3a+2）x+1=0. 對(duì)于該方程，需要討論a值. 當(dāng)a=-1時(shí)，解得x=-1，y=-1，直線(xiàn)y=-1與曲線(xiàn)y2=-x有唯一的公共點(diǎn)（-1，-1），滿(mǎn)足條件. 所以，a=-1. 當(dāng)a≠-1時(shí)，可應(yīng)用二次函數(shù)的判別式確定其交點(diǎn)個(gè)數(shù). 即Δ=（3a+2）2-4（a+1）2=5a2+4a=0，則a=-. 此時(shí)直線(xiàn)y=x-1與曲線(xiàn)y2=-x相切，有唯一的公共點(diǎn)，滿(mǎn)足條件. 所以，a=-.

綜上可知，實(shí)數(shù)a的值有三個(gè)，分別為0，-1和-.

解后反思 在探討直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系時(shí)，需要注重兩個(gè)核心要素：①若參數(shù)a的值不確定，則需要對(duì)其進(jìn)行討論;②解析過(guò)程中要重視思路的引導(dǎo)，即幫助學(xué)生清晰地理解不同情形下的構(gòu)造方式，以及在這些情形下圖象之間的關(guān)系.

易錯(cuò)點(diǎn)3 忽略了對(duì)直線(xiàn)斜率是否存在的討論.

解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題的常規(guī)思路是：先設(shè)定直線(xiàn)的方程，然后通過(guò)聯(lián)立和整合方程，將其轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)之間的關(guān)系問(wèn)題，便于后續(xù)用“設(shè)而不求”和“整體代換”的方法求解. 但在求解之前，必須先探討直線(xiàn)的斜率是否存在.

例3 已知等軸雙曲線(xiàn)C：-=1（a>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn). 現(xiàn)過(guò)F的直線(xiàn)l交C的右支于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，l與C的兩條漸近線(xiàn)所圍成的三角形的面積為4，試回答下列問(wèn)題.

（1）求C的方程;

（2）若MN⊥FN，求MN.

易錯(cuò)點(diǎn)分析 本題探討雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)相交形成三角形的情形，題設(shè)兩問(wèn)，其中第（2）問(wèn)為垂直關(guān)系下求線(xiàn)段長(zhǎng)的問(wèn)題. 基本的解題思路是：根據(jù)題設(shè)條件繪制圖象，聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程，通過(guò)“整體代換”求解. 容易618c544b823d7a0068dd4f4948978331忽略的一個(gè)情形為：直線(xiàn)l的斜率不存在.

過(guò)程解析 首先解讀題設(shè)條件，根據(jù)曲線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系繪制如圖1所示的圖象.

第（1）問(wèn)（簡(jiǎn)答）：C的方程為-=1.

第（2）問(wèn)：先設(shè)直線(xiàn)l與C的右支的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M（x，y），N（x，y），其中x>0，x>0. 由第（1）問(wèn)可知，F(xiàn)（-2，0），F(xiàn)（2，0）. 現(xiàn)討論直線(xiàn)l的斜率是否存在.

當(dāng)直線(xiàn)l⊥x軸時(shí)，此時(shí)直線(xiàn)l的斜率不存在，顯然不滿(mǎn)足MN⊥FN，因此這種情況不符合題意.

當(dāng)直線(xiàn)l不與x軸垂直時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k（x-2），與雙曲線(xiàn)的方程聯(lián)立后整理可得（1-k2）x2+4k2x-4k2-2=0，由韋達(dá)定理得x+x=，xx=. 因?yàn)?（x+2，y），=（x-2，y），MN⊥FN，所以·=x-4+y=（1+k2）x-4k2x+4k2-4=0①. 由xx=可得x=，將其代入x+x=，得x+x=+x=，整理可得（k2-1）x-4k2x+4k2+2=0②. 綜合①和②，可得k2=7+4，所以MN=

x

-x==.

解后反思 本題的第（2）問(wèn)為核心之問(wèn)——設(shè)定垂直條件，求線(xiàn)段的長(zhǎng). 面對(duì)此問(wèn)，學(xué)生容易直接設(shè)定直線(xiàn)的方程來(lái)求解，忽略掉直線(xiàn)斜率不存在的情況. 這種解題習(xí)慣顯然是不正確的. 在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生掌握正確的解題步驟和規(guī)范的答題格式，以避免解答遺漏.

教學(xué)思考

探究圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)具有極高的教學(xué)意義，有助于學(xué)生深刻理解知識(shí)，規(guī)范解題思路，完善知識(shí)體系. 盡管忽略一些易錯(cuò)點(diǎn)可能不會(huì)影響后續(xù)的答案，但培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣對(duì)學(xué)生思維的塑造極為有益. 以下是一些教學(xué)建議.

建議1 重視易錯(cuò)點(diǎn)的解讀，加強(qiáng)知識(shí)理解.

圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)較多，部分內(nèi)容不易理解，教學(xué)中教師應(yīng)針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生深入探究易錯(cuò)點(diǎn)背后的原理，以充分整合知識(shí)，確保學(xué)生能夠透徹理解. 以直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的相交為例，可以通過(guò)分析參數(shù)a的取值和Δ的符號(hào)，判斷交點(diǎn)情形.

建議2 重視易錯(cuò)點(diǎn)的指導(dǎo)，強(qiáng)化思路分析.

在探究易錯(cuò)點(diǎn)時(shí)，建議通過(guò)結(jié)合具體實(shí)例來(lái)加強(qiáng)指導(dǎo)和強(qiáng)化理解. 這意味著要針對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)精選問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生深入分析解題思路，并深刻理解這些易錯(cuò)點(diǎn)，隨后再進(jìn)行解題策略的指導(dǎo). 這一過(guò)程一般分為以下三步：第一步，解析問(wèn)題，剖析條件;第二步，關(guān)注易錯(cuò)點(diǎn)，討論思考;第三步，把握易錯(cuò)點(diǎn)，構(gòu)建思路，轉(zhuǎn)化求解.

建議3 重視易錯(cuò)點(diǎn)的反思總結(jié)，拓展發(fā)散思維.

在解題教學(xué)中，鑒于考題種類(lèi)繁多且易錯(cuò)情形各異，教學(xué)過(guò)程難以全面覆蓋所有細(xì)節(jié)，因此需要教師引導(dǎo)學(xué)生在解題后進(jìn)行適度的反思與總結(jié)，以識(shí)別易錯(cuò)點(diǎn)的根本原因. 通過(guò)合理拓展和變式探究，激發(fā)學(xué)生的思維發(fā)散，從而增強(qiáng)他們解題的靈活性.

寫(xiě)在最后

圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)應(yīng)當(dāng)成為復(fù)習(xí)備考時(shí)講解的重點(diǎn). 為此，可以設(shè)立專(zhuān)門(mén)的易錯(cuò)點(diǎn)探究專(zhuān)題，引導(dǎo)學(xué)生明確易錯(cuò)點(diǎn)，深入挖掘錯(cuò)誤的根源，整理出清晰的解題思路和正確的解題步驟，從而形成有效的解題策略.