[摘 要] “拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”章節(jié)是高中數(shù)學(xué)圓錐曲線知識(shí)的關(guān)鍵部分，其探究過(guò)程可與橢圓、雙曲線等進(jìn)行類比，以明確核心概念. 在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)深入解析章節(jié)內(nèi)容，明確教學(xué)策略，并將其分為四個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行規(guī)劃. 研究者針對(duì)章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行微專題的深入探究，并據(jù)此提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 拋物線;幾何性質(zhì);數(shù)形結(jié)合;專題探究

作者簡(jiǎn)介：王惠清（1975—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲南通市高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀課評(píng)比一等獎(jiǎng)，南通市學(xué)科帶頭人.

教學(xué)解讀

“拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”章節(jié)是高中數(shù)學(xué)圓錐曲線知識(shí)的關(guān)鍵部分，是掌握拋物線概念不可或缺的基礎(chǔ)內(nèi)容. 在教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入理解其性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想方法. 在性質(zhì)的探究過(guò)程中，重視培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)與能力的全方位提升.

本章節(jié)主要探討拋物線的四個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)——范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)和離心率，以及這些性質(zhì)的應(yīng)用. 之前學(xué)生已了解橢圓、雙曲線等圓錐曲線的性質(zhì)，并掌握了探究方法. 建議本章節(jié)采用類比方法進(jìn)行教學(xué)，通過(guò)“探究生成、過(guò)程引導(dǎo)”的方式，結(jié)合重點(diǎn)內(nèi)容，分環(huán)節(jié)構(gòu)建教學(xué)過(guò)程.

微專題探究

關(guān)于“拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”的教學(xué)，建議采用微專題的方式，分為四個(gè)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生感知概念、深化理解、靈活運(yùn)用. 下面探究教學(xué)設(shè)計(jì).

1. 教學(xué)環(huán)節(jié)一——情境設(shè)計(jì)，課堂引入

本環(huán)節(jié)采用引入關(guān)鍵點(diǎn)的方法進(jìn)行教學(xué). 在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧先前對(duì)圓錐曲線的學(xué)習(xí)，并通過(guò)類比的方法確定研究方案;引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象來(lái)確定拋物線的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍，進(jìn)而明確其范圍特性.

預(yù)設(shè)問(wèn)題1：請(qǐng)大家類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)的探究過(guò)程，思考“應(yīng)研究拋物線y2=2px（p>0）的哪些幾何性質(zhì)？如何研究這些性質(zhì)？”

預(yù)設(shè)問(wèn)題2：觀察圖1所示的拋物線，你能確定該拋物線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍嗎？

教學(xué)引導(dǎo) 引導(dǎo)學(xué)生回顧橢圓、雙曲線的探究過(guò)程，確定拋物線需要探究的幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率等）. 同時(shí)，確立數(shù)形結(jié)合思想方法，以便后續(xù)從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度深入探究拋物線的性質(zhì).

引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察拋物線的圖形，關(guān)注其上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍，以及開(kāi)口方向. 例如，上述拋物線的開(kāi)口向右，其上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為x≥0.

教學(xué)建議 課堂引入環(huán)節(jié)，旨在確定后續(xù)的研究?jī)?nèi)容和方法，注意引導(dǎo)學(xué)生類比其他圓錐曲線. 在確定拋物線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍時(shí)，重視數(shù)形結(jié)合思想方法. 首先，從“形”的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生觀察拋物線的特征和開(kāi)口方向;接著，從“數(shù)”的角度入手，推導(dǎo)并確定其上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍. 在完成課堂引入環(huán)節(jié)后，務(wù)必進(jìn)行總結(jié)和概括，以形成“數(shù)形結(jié)合”分析的核心思路.

2. 教學(xué)環(huán)節(jié)二——觀察分析，感知概念

本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生初步理解拋物線的性質(zhì)和概念，初步探索其范圍和對(duì)稱性. 通過(guò)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，逐步引導(dǎo)學(xué)生深入探究和感知.

（1）“范圍”的探究

預(yù)設(shè)問(wèn)題1：觀察圖1所示的拋物線后，若從“數(shù)”的角度出發(fā)，結(jié)合拋物線的方程，應(yīng)如何確定拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍呢？

預(yù)設(shè)問(wèn)題2：對(duì)于拋物線y2=2px，是否可以直接確定其開(kāi)口方向，以及其上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍？

預(yù)設(shè)問(wèn)題3：若p>0，當(dāng)x的值增大時(shí)，拋物線y2=2px是否會(huì)向著開(kāi)口方向一直無(wú)限延伸呢？

教學(xué)引導(dǎo) 首先，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1所示的拋物線，讓學(xué)生初步了解并明確拋物線的幾何特性. 接著，分析拋物線的方程，清晰地理解參數(shù)p的重要性，即其符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向以及它所處的象限. 此外，拋物線的開(kāi)口方向決定其上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍.

對(duì)于p>0的情形，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合拋物線圖象來(lái)確定其性質(zhì)，出現(xiàn)其開(kāi)口方向與x軸的正方向相同;當(dāng)x的值增大時(shí)，y的值也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸.

（2）“對(duì)稱性”的探究

預(yù)設(shè)問(wèn)題1：觀察圖2所示的拋物線，其有幾條對(duì)稱軸？是否具有對(duì)稱中心？

預(yù)設(shè)問(wèn)題2：如何從“數(shù)”的角度來(lái)說(shuō)明拋物線y2=2px（p>0）的對(duì)稱性？

教學(xué)引導(dǎo) 引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察圖象，可以輕松地確定該拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，但不具備中心對(duì)稱的性質(zhì). 若從“數(shù)”的角度來(lái)講解其關(guān)于x軸對(duì)稱，則引導(dǎo)學(xué)生明晰在拋物線上任意取一點(diǎn)P（x，y），其關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′（x0，-y）也在拋物線上. 在教學(xué)中，可以引入具體的拋物線方程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證.

教學(xué)建議 在探究拋物線的“范圍”和“對(duì)稱性”時(shí)，建議充分利用數(shù)形結(jié)合思想方法，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度進(jìn)行分析和推導(dǎo). 通過(guò)審視圖象來(lái)確定拋物線的開(kāi)口方向、分布、形狀以及對(duì)稱性，并結(jié)合其方程進(jìn)行深入分析，以全面理解其性質(zhì).

3. 教學(xué)環(huán)節(jié)三——抽象概念，形成概念

本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生深入探究拋物線的頂點(diǎn)和離心率，采用的方法依舊是數(shù)形結(jié)合思想方法. 通過(guò)讓學(xué)生觀察圖象來(lái)探究拋物線的頂點(diǎn)，給出其定義，并幫助他們理解拋物線離心率的含義.

（1）“頂點(diǎn)”的探究

預(yù)設(shè)問(wèn)題1：進(jìn)一步觀察圖2所示的拋物線，其頂點(diǎn)是什么？

預(yù)設(shè)問(wèn)題2：拋物線y2=2px（p>0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是什么？p的取值是否會(huì)影響其頂點(diǎn)坐標(biāo)的取值？

教學(xué)引導(dǎo) 引導(dǎo)學(xué)生觀察拋物線，直觀識(shí)別其頂點(diǎn)是坐標(biāo)軸的原點(diǎn). 隨后，結(jié)合拋物線的方程，從“數(shù)”的角度驗(yàn)證其頂點(diǎn)為（0，0）.

（2）“離心率”的探究

預(yù)設(shè)問(wèn)題：給定離心率的定義，即拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離和點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離d的比，用e表示.

思考：對(duì)于y2=2px（p>0），請(qǐng)根據(jù)離心率的定義求解該拋物線的離心率. 另外，離心率的值是否受參數(shù)p的影響？

教學(xué)引導(dǎo) 引導(dǎo)學(xué)生明晰離心率的定義，并鼓勵(lì)他們根據(jù)定義自主計(jì)算拋物線的離心率. 重視計(jì)算過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)離心率e=1，顯然這一結(jié)果與拋物線的特征參數(shù)p無(wú)關(guān)，因此不受其影響.

教學(xué)建議 在研究拋物線的頂點(diǎn)和離心率的性質(zhì)時(shí)，同樣采用數(shù)形結(jié)合思想方法，引導(dǎo)學(xué)生從多角度進(jìn)行分析和判斷，以推導(dǎo)出結(jié)論. 對(duì)于離心率知識(shí)，不主張直接講解，而是鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)推理計(jì)算，自主得到結(jié)論.

4. 教學(xué)環(huán)節(jié)四——知識(shí)應(yīng)用，鞏固強(qiáng)化

本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，以加強(qiáng)和鞏固對(duì)拋物線性質(zhì)的理解. 建議在教學(xué)過(guò)程中詳細(xì)講解解題思路和方法，協(xié)助學(xué)生構(gòu)建有效的解題策略，并積累寶貴的解題經(jīng)驗(yàn).

預(yù)設(shè)問(wèn)題：如圖3所示，斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng).

教學(xué)引導(dǎo) 根據(jù)拋物線的方程可得它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1. 求線段AB的長(zhǎng)，建議采用“設(shè)而不求”的方法.

設(shè)A（x，y），B（x，y），點(diǎn)A，B到準(zhǔn)線的距離分別為d和d，由拋物線的定義可得AF=d=x+1，BF=d=x2+1，AB=AF+BF=x+x+2.

因?yàn)橹本€l的斜率為1，且過(guò)焦點(diǎn)F（1，0），所以直線l的方程為y=x-1. 聯(lián)立直線與拋物線的方程，整理得x2-6x+1=0.由韋達(dá)定理可得x+x=6，則AB=x+x+2=8. 所以，線段AB的長(zhǎng)是8.

教學(xué)建議 在探討拋物線與直線的相交問(wèn)題時(shí)，教學(xué)引導(dǎo)應(yīng)注重思維過(guò)程的闡述，并滲透“設(shè)而不求”的簡(jiǎn)化計(jì)算技巧，以構(gòu)建圓錐曲線綜合題的求解策略. 求解完成后，可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：若直線l不經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，AB=x+x+2是否依然成立？

專題探究思考

對(duì)“拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”的微專題探究，劃分為四個(gè)環(huán)節(jié)，整個(gè)教學(xué)過(guò)程著重于思維方向的引領(lǐng)與解題步驟的搭建，并始終貫徹?cái)?shù)形結(jié)合思想方法. 接下來(lái)，深入探討教學(xué)方面的思考，并提出一些教學(xué)建議.

1. 注意章節(jié)解讀

高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容豐富，涉及大量重要的知識(shí)點(diǎn)與考核要點(diǎn). 教師應(yīng)當(dāng)細(xì)致解讀各章節(jié)內(nèi)容，并系統(tǒng)梳理與整合知識(shí)點(diǎn)，這樣才能設(shè)計(jì)出合理的教學(xué)步驟. 章節(jié)解讀建議從以下三個(gè)維度展開(kāi)：首先，闡釋核心知識(shí)點(diǎn)，明確關(guān)鍵難點(diǎn);其次，依據(jù)教學(xué)大綱，明確教學(xué)目標(biāo)，涵蓋知識(shí)掌握、方法運(yùn)用以及核心素養(yǎng)的培養(yǎng);最后，基于章節(jié)內(nèi)容，設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)策略和教學(xué)環(huán)節(jié). 環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)遵循“情境引入—知識(shí)探索—應(yīng)用強(qiáng)化”的步驟順序，同時(shí)融入思想方法，注重提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

2. 注意數(shù)形結(jié)合

本章節(jié)是圓錐曲線知識(shí)體系的核心部分，其中數(shù)形結(jié)合是其核心思想和方法. 在拋物線的幾何性質(zhì)的教學(xué)中，這一點(diǎn)尤其需要得到強(qiáng)調(diào). 教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)過(guò)程中融入數(shù)形結(jié)合思想方法，引導(dǎo)學(xué)生逐步探索并總結(jié)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn). 例如，在探究拋物線的對(duì)稱性時(shí)，首先觀察圖象，然后利用方程來(lái)確定其對(duì)稱性;在推導(dǎo)拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，通過(guò)觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，隨后再通過(guò)方程來(lái)精確驗(yàn)證. 通過(guò)數(shù)形結(jié)合的探究和分析方法，教師可以指導(dǎo)學(xué)生掌握解題的精髓，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

3. 注意思維引導(dǎo)

在教授圓錐曲線相關(guān)知識(shí)時(shí)，教師應(yīng)重視學(xué)生的思維過(guò)程，并注重引導(dǎo)其思考. 建議通過(guò)提問(wèn)的方式設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，結(jié)合課程內(nèi)容提出探索性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析和思考，以得出結(jié)論. 在教學(xué)中，教師應(yīng)尊重學(xué)生的觀點(diǎn)，為他們提供足夠的思考空間，使他們能夠充分地進(jìn)行探索和自主分析. 教師應(yīng)在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候給予指導(dǎo)，幫助學(xué)生進(jìn)行總結(jié)和歸納. 如果課堂上出現(xiàn)了意見(jiàn)分歧，那么教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生共同分析和討論，自主完成探討和辨析，以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.

寫(xiě)在最后

對(duì)于“拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”這一章節(jié)的教學(xué)探究，建議深入分析并詳細(xì)解讀其內(nèi)容，有效整合相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，合理設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié). 在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，從“數(shù)”和“形”這兩個(gè)角度探究核心知識(shí). 教師應(yīng)精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考，密切關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展變化，并協(xié)助他們歸納知識(shí)的性質(zhì)，靈活應(yīng)用所學(xué)，同時(shí)致力于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).