[摘 要] 在核心素養(yǎng)的背景下，數(shù)學(xué)課堂上常常出現(xiàn)一種令人困惑的現(xiàn)象：學(xué)生在課堂上的互動表現(xiàn)良好，似乎已經(jīng)掌握了教學(xué)內(nèi)容，然而課后的反饋結(jié)果卻并不盡如人意. 這種現(xiàn)象被形象地稱為“懂而不會”. 那么，該如何解決這一問題呢？研究者以高三復(fù)習(xí)中的變式教學(xué)為例，具體從概念變式深化概念理解、過程變式強化定理理解、變式應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)思維三個方面展開探索與研究.

[關(guān)鍵詞] 懂而不會;核心素養(yǎng);復(fù)習(xí)教學(xué)

作者簡介：宋美麗（1977—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

導(dǎo)致高中數(shù)學(xué)“懂而不會”現(xiàn)象的原因眾多，主要受教師的專業(yè)能力、學(xué)生的理解能力以及教學(xué)環(huán)境等多重因素的綜合影響. 從教育者的角度分析，如何確保學(xué)生不僅理解而且能夠熟練運用知識呢？這是值得深入探索的問題. 本文旨在探究“懂而不會”現(xiàn)象的成因，并以高三復(fù)習(xí)課程為具體案例，通過幾個實例，從概念變式、定理變式以及例題變式三個層面進行深入的探索與分析.

高三復(fù)習(xí)“懂而不會”現(xiàn)象的成因

高三復(fù)習(xí)對高考成績具有決定性的影響. 然而，盡管一些學(xué)生在課堂上看似理解了授課內(nèi)容，但在課后作業(yè)的反饋中卻常常表oFw8i4pBEhmfxHUUXKBqig==現(xiàn)出思維上的混亂和錯誤. 即便是一些已經(jīng)解答過的題目，在重新測試時，他們?nèi)匀粫概c之前相同的錯誤. 這不僅給學(xué)生帶來了困擾，也在很大程度上給教師帶來了難題.

1. 教師層面

經(jīng)過深思熟慮，筆者對這些現(xiàn)象進行了深入研究，發(fā)現(xiàn)眾多教師在努力提升教學(xué)效果的過程中，雖然廣泛搜集資料以設(shè)計課程，卻往往忽視了教材的重要性. 事實上，在新課程改革的背景下，數(shù)學(xué)教材本身已經(jīng)提供了許多高質(zhì)量的例題. 若要從根本上簡化形式并提高教學(xué)效率，教師應(yīng)以教材為核心，選取其中的經(jīng)典例題作為切入點，通過變式方法對這些例題進行深入拓展和延伸，從而提升學(xué)生的思維能力.

2. 學(xué)生層面

一些學(xué)生對知識的掌握仍然停留在零散的點狀階段，未能從單元整體的視角構(gòu)建起知識體系，因此難以形成結(jié)構(gòu)化的思維模式，對知識間的內(nèi)在聯(lián)系理解不足. 同時，部分學(xué)生對知識的理解僅停留在表層，無法深入掌握其核心要義，導(dǎo)致在解題時只能進行機械性的模仿，無法靈活應(yīng)對復(fù)雜綜合的問題. 為了真正理解數(shù)學(xué)，必須具備將新舊知識相互關(guān)聯(lián)的能力，并構(gòu)建起一個完整的知識網(wǎng)絡(luò). 此外，還有學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中缺乏主動性，課堂參與度不高，缺少及時的反思和總結(jié)，這導(dǎo)致他們無法既“懂”又“會”.

突破“懂而不會”現(xiàn)象的策略

1. 概念變式深化概念理解

概念是數(shù)學(xué)思維的基石，是數(shù)學(xué)知識體系的基本組成單元，亦是構(gòu)建數(shù)學(xué)大廈的“地基”. 對數(shù)學(xué)概念的深刻理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效的關(guān)鍵. 若學(xué)生對這些概念存在理解上的偏差，他們在進行運算和推理時，無疑會遇到各種難題. 具體來說，即便學(xué)生能夠準(zhǔn)確無誤地復(fù)述概念，若未能領(lǐng)會其深層含義及其應(yīng)用范圍，這將不可避免地對與該概念相關(guān)的進一步學(xué)習(xí)造成障礙，甚至對整個數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建產(chǎn)生負面影響.

在核心素養(yǎng)的背景下，如何加深學(xué)生對概念的理解深度？這是目前迫切需要解決的問題. 經(jīng)驗表明，概念變式設(shè)計可以從搜集錯題、分析錯題、明確目標(biāo)和設(shè)計變式這四個維度進行. 在變式設(shè)計方面，必須緊密圍繞核心概念，以核心概念為焦點，激發(fā)學(xué)生自主探索概念的起源和演變，從而推動學(xué)習(xí)能力的提升.

案例1 “橢圓的定義”教學(xué).

（1）分析學(xué)生的易錯點

問題：已知平面上的動點P和兩個定點F（0，-5），F(xiàn)（0，5）的距離之和恒為10，那么動點P的軌跡是（ ）

A. 圓 B. 橢圓

C. 線段 D. 直線

對于此題，大約50%的學(xué)生選擇的是“橢圓”這個選項. 實際上，“線段”才是本題的正確答案. 該錯誤產(chǎn)生的根本原因在于學(xué)生未能真正理解橢圓的定義. 實際上，橢圓還需要滿足一個條件：一個動點與兩個定點的距離之和大于兩定點間的距離. 例如本題，若動點P的軌跡是橢圓，則必須具備

PF+

PF>

F

F，也就是2a>2c這個條件. 而本題所提供的條件為

PF+

PF=

F

F，因此動點P的軌跡是線段而非橢圓.

針對學(xué)生所展現(xiàn)的問題，設(shè)計變式教學(xué)便有了明確的依據(jù). 學(xué)生的問題主要在于未能清晰理解橢圓定義中2a>

F

F的內(nèi)涵. 因此，接下來的教學(xué)目標(biāo)變得明確：教師從2a>

F

F的本質(zhì)出發(fā)，分別從2a=

F

F與2a<

F

F兩個角度設(shè)計變式，以助于學(xué)生辨析概念的內(nèi)涵，并掌握概念的本質(zhì).

（2）具體層面的變式

從語義學(xué)的視角出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過文字、圖形和符號這三種數(shù)學(xué)語言來理解概念之間的轉(zhuǎn)換與對應(yīng)關(guān)系. 調(diào)查結(jié)果顯示，學(xué)生對類似于“2a=2c（2a=

F

F）”的符號并不理解. 因此，筆者決定先引導(dǎo)學(xué)生探索a，c的內(nèi)涵，即從三種數(shù)學(xué)語言著手增強學(xué)生對橢圓概念的理解.

變式1 文字語言：橢圓是指在一個平面內(nèi)，與兩個定點F，F(xiàn)的距離之和為常數(shù)2a，且滿足2a>

F

F的點的軌跡.

變式2 圖形語言（見圖1）.

變式3 符號語言：

FM+

FM=2a（2a>

F

F）.

（3）抽象層面的變式

變式1 若常數(shù)2a=

F

F，則動點軌跡是什么圖形？（答案：線段）

變式2 若常數(shù)2a<

F

F，則動點軌跡是什么圖形？（結(jié)論：無法構(gòu)成圖形）

在變式探索的過程中，要求學(xué)生在深入理解字母a，c內(nèi)涵的前提下，通過畫圖來探索2a，2c之間的大小關(guān)系，從中發(fā)現(xiàn)關(guān)系變化導(dǎo)致不同結(jié)論，并用數(shù)學(xué)語言描述動點軌跡的三種情況：橢圓、線段以及無圖形. 這樣的變式探索有助于學(xué)生清晰地認識概念，克服理解與應(yīng)用之間的障礙，即所謂的“懂而不會”的問題.

設(shè)計意圖 低起點的教學(xué)方法能夠讓學(xué)生隨著問題的逐步深入，思維得到逐步提升. 隨著a，c內(nèi)涵的逐步揭露，學(xué)生對橢圓的理解變得更加明確. 在此基礎(chǔ)上，結(jié)合變式教學(xué)，學(xué)生能夠真正深入理解橢圓的概念，并掌握其原理.

2. 過程變式強化定理理解

公式與定理是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，例如等差數(shù)列的前n項和公式、誘導(dǎo)公式，以及正弦定理和余弦定理等，它們揭示了數(shù)學(xué)現(xiàn)象背后的本質(zhì)規(guī)律. 公式和定理通常以符號化的形式展現(xiàn)，它們具有高度的抽象性. 盡管一些學(xué)生能夠記憶并默寫出這些公式或定理，但他們往往難以靈活運用，從而導(dǎo)致“懂而不會”現(xiàn)象的發(fā)生. 殊不知，公式和定理是數(shù)學(xué)學(xué)科中承載知識的關(guān)鍵元素，它們對于深入理解知識的核心和提升學(xué)術(shù)能力至關(guān)重要. 在教學(xué)過程中，我們應(yīng)當(dāng)特別重視對公式和定理的變式探究，確保學(xué)生不僅了解這些基礎(chǔ)知識是什么，而且明白它們背后的原理.

案例2 “二項式定理”的復(fù)習(xí)教學(xué).

在展示二項式定理（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生回憶二項式定理的推導(dǎo)過程：

（a+b）n指有n個（a+b）相乘，也就是從n個（a+b）中取a或b，需確保展開式的每一項都能滿足如下條件：an-kbk（k∈{0，1，…，n}）. 可將該條件理解為如下問題：從n個括號內(nèi)擇取k（k≤n）個括號以提取“b”，然后將剩余的“a”與之相乘. 具體可從以下幾個環(huán)節(jié)入手進行：

①從n個括號內(nèi)擇取k（k≤n）個括號以提取“b”，情況存在C種;②從剩余括號內(nèi)提取“a”，情況存在C種;③結(jié)合分步計數(shù)原理可知，總共存在C·C=C種擇取方法. 因此，an-kbk的系數(shù)是C（k∈{0，1，…，n}），Can-kbk（k∈{0，1，…，n}）為（a+b）n展開式的通項.

變式1 展開二項式（a+b+c）10后合并同類項，形成的項數(shù)有______.

變式2 展開式子（x+x2+y）5，其中含有x5y2的項的系數(shù)是______.

設(shè)計意圖 變式1的應(yīng)用意在進一步深化學(xué)生對二項式定理的認識. 變式2的解決需要通過應(yīng)用二項式定理來展開并得出結(jié)論. 對于那些學(xué)有余力的學(xué)生，他們可以利用三項式定理迅速地得到結(jié)果：（x2）xy=xy為（x2+x+y）5展開式的通項，與x5y2對比，可知2n+n=5，5-n-n=2，解得n=2，n=1. 由此可確定CC=30為含有x5y2的項的系數(shù).

3. 變式應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)思維

變式教學(xué)，如一題多解和一題多變，是培養(yǎng)靈活思維和深化學(xué)生對知識理解的關(guān)鍵策略. 在核心素養(yǎng)的背景下，高考試題的許多原型都能在教材中找到. 因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，教師應(yīng)有意識地回歸教材，利用教材中的例題進行變式教學(xué). 通過引導(dǎo)學(xué)生采用不同的方法來論證同一問題，揭示各種論證方法所體現(xiàn)的條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，從而揭示問題中蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法. 這樣的教學(xué)方式有助于發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，拓寬解題思路，促進學(xué)生認知能力在橫向和縱向兩個維度上的發(fā)展.

隨著時間的推移，學(xué)生所積累的知識可能會逐漸消退，但他們在解決問題過程中培養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維和提煉的數(shù)學(xué)思想方法，卻如同深植于腦海的技能，將對學(xué)生多方面的能力產(chǎn)生長遠的影響. 因此，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)不應(yīng)僅僅局限于“就題論題”的層面，而應(yīng)超越教材中的經(jīng)典例題，結(jié)合學(xué)生的實際情況、教學(xué)背景以及考試要求，對原題進行創(chuàng)新性的變式和拓展. 通過這種方式，學(xué)生能夠在“萬變不離其宗”的變式練習(xí)中，培養(yǎng)出扎實的數(shù)學(xué)思維能力，從而獲得終身可持續(xù)發(fā)展的學(xué)習(xí)能力.

案例3 “橢圓參數(shù)方程求最值”的例題教學(xué).

例題 已知直線l：4x-5y+40=0，橢圓C：+=1，橢圓上距離直線最近的點是什么？并求出最小距離.

這是一道典型的例題，主要涵蓋了直線與橢圓位置關(guān)系的相關(guān)知識點. 學(xué)生一旦掌握了本題的解題技巧和知識本質(zhì)，無論題目如何變化，都能夠靈活應(yīng)對.

變式1 已知直線l：x=t+2，

y=2-2t（t是參數(shù)），曲線C：+=1.

（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的參數(shù)方程;

（2）若過曲線C：+=1上的任意點P作與直線l：x=t+2，

y=2-2t夾角成30°的直線，交點為A，AP的最大值與最小值分別是多少？

本題對教材例題的條件進行了變式處理. 若設(shè)點P與直線l之間的距離為d，那么AP的值為2d，由此可將問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生所熟悉的形式，解題便毫無障礙可言.

變式2 已知平面直角坐標(biāo)系xOy中的曲線C的參數(shù)方程是x=3cosθ，

y=sinθ，θ為參數(shù)，直線l的方程為x+4y-4-a=0.

（1）如果a=-1，直線l與曲線C的交點坐標(biāo)是什么？

（2）如果曲線C上的點與直線l之間的最大距離為，那么a的值是多少？

本題是教材例題的逆向變式，旨在確定最大距離的同時，反過來分析參數(shù)的數(shù)值. 若學(xué)生對原題有扎實的理解，便能輕松地找到解題的途徑. 分析學(xué)生的解題情況，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生的失分原因在于未能討論表達式d=中的“4+a”的符號.

設(shè)計意圖 數(shù)學(xué)是思維的體操. 以教材中的例題為核心，通過變式方法拓展例題資源，這不僅能夠加深學(xué)生對知識點的理解，為他們?nèi)蘸箪`活應(yīng)對各類復(fù)雜問題打下堅實的基礎(chǔ);同時，這種方法還能促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的成長，引導(dǎo)他們從宏觀、結(jié)構(gòu)化的視角分析問題，揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，并掌握解決問題的策略. 當(dāng)然，學(xué)生才是課堂上真正的主人. 在教學(xué)過程中，教師應(yīng)避免代替學(xué)生思考，而應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)造更廣闊的時間和空間，讓他們在自主探索的過程中摘掉“懂而不會”的帽子.

總之，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)“懂而不會”的現(xiàn)象，說明教學(xué)并未達到預(yù)期效果. 在核心素養(yǎng)的背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)將“會”作為基本目標(biāo)，通過設(shè)計變式教學(xué)來全面提升思維品質(zhì)和能力. 教學(xué)應(yīng)確保學(xué)生不僅在字面上理解概念、公理、定理等的含義，而且能夠隨著例題的變化，真正掌握并運用這些知識. 這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有效措施.