[摘 要] 隨著新課改的深入實(shí)施，單元整體教學(xué)的研究日益受到重視. 研究發(fā)現(xiàn)，單元整體教學(xué)能夠以知識與技能、學(xué)科素養(yǎng)、思想方法等為模塊進(jìn)行設(shè)計(jì). 文章以“圓錐曲線與方程”的教學(xué)為例，從舊知回顧、新知探索、知識應(yīng)用以及課后拓展等方面，展開單元整體教學(xué)實(shí)踐與探索，旨在拋磚引玉.

[關(guān)鍵詞] 單元整體教學(xué);圓錐曲線;探索

作者簡介：王丹（1992—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾榮獲泰州優(yōu)質(zhì)課一等獎.

實(shí)施單元整體教學(xué)理念，主要遵循兩條主線：一是外顯的知識與技能，二是內(nèi)蘊(yùn)的思想方法或?qū)W科素養(yǎng). 因此，單元整體教學(xué)被劃分為以知識與技能為主導(dǎo)的模塊和以思想方法或?qū)W科素養(yǎng)為主導(dǎo)的模塊. 本文以“圓錐曲線與方程”單元中的第二節(jié)課——橢圓的教學(xué)為例，從舊知回顧、新知探索、知識應(yīng)用以及課后拓展等方面，展開單元整體教學(xué)實(shí)踐與探索.

單元整體教學(xué)的模塊設(shè)計(jì)

1. 以知識與技能為模塊的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生通過學(xué)習(xí)掌握適應(yīng)發(fā)展的必需基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)（簡稱“四基”）. 知識與技能雖然與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之間存在顯著差異，但它們無疑是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵媒介. 因此，教師應(yīng)注重學(xué)生的“四基”情況，關(guān)注知識與技能對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的作用.

圓錐曲線章節(jié)主要涵蓋了橢圓、拋物線和雙曲線等內(nèi)容. 從知識與技能的角度分析，這三種曲線的知識結(jié)構(gòu)彼此相近，它們之間存在著內(nèi)在聯(lián)系，具有統(tǒng)一性的特征. 大多數(shù)教材采用“總—分—總”的結(jié)構(gòu)，將這三個部分內(nèi)容有效地融合在一起. 在教學(xué)設(shè)計(jì)時，教師應(yīng)根據(jù)知識的特性和結(jié)構(gòu)特征來構(gòu)建教學(xué)框架（如圖1所示）.

2. 以思想方法或?qū)W科素養(yǎng)為模塊的單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)

研究揭示，隨著時間的流逝，學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識可能會逐漸模糊，然而，在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)的思想方法和學(xué)科素養(yǎng)卻能為學(xué)生帶來持久的益處. 因此，數(shù)學(xué)教育的核心在于培養(yǎng)學(xué)生思想方法和核心素養(yǎng). 在制定教學(xué)計(jì)劃時，教師應(yīng)站在更高的視角，運(yùn)用深刻的理論和思想來指導(dǎo)學(xué)生.

在圓錐曲線這一章節(jié)中，明線為知識的內(nèi)在統(tǒng)一性，暗線為用代數(shù)法探索幾何問題以及數(shù)形的辯證統(tǒng)一. 因此，教師在授課過程中，可以從思想方法的角度出發(fā)，重新梳理教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生從宏觀的視角理解學(xué)科知識. 經(jīng)過重新組織，本單元構(gòu)建了逐步深入的教學(xué)目標(biāo)（見圖2）.

教學(xué)分析

本節(jié)課是關(guān)于橢圓的第二課時，重點(diǎn)講解橢圓的四個基本幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點(diǎn)和離心率. 這些性質(zhì)是本單元乃至整個解析幾何領(lǐng)域不可或缺的基礎(chǔ). 橢圓的研究源于對三種圓錐曲線的探討，通過方法的遷移，能夠探究雙曲線和拋物線的性質(zhì). 整個學(xué)習(xí)過程緊密圍繞橢圓的研究方法展開，凸顯了橢圓章節(jié)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)性和關(guān)鍵性. 它為深入研究曲線性質(zhì)和提煉數(shù)學(xué)思想方法提供了重要支撐. 鑒于此，本節(jié)課的教學(xué)受到了筆者的特別關(guān)注. 接下來，筆者將向大家展示本節(jié)課的教學(xué)流程.

教學(xué)簡錄

1. 舊知回顧

師：大家一起回顧橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程.

在學(xué)生口頭描述的基礎(chǔ)上，教師借助幾何畫板展示焦點(diǎn)分別位于x軸和y軸上的橢圓圖形. 邀請學(xué)生到黑板上板書：MF1｜+MF2｜=2a｜，｜F1F2｜=2c. 教師操作幾何畫板，將橢圓的兩個焦點(diǎn)重合于一點(diǎn)，使學(xué)生直觀感知橢圓是如何轉(zhuǎn)變?yōu)閳A的.

設(shè)計(jì)意圖 建構(gòu)主義理論認(rèn)為，新知是在學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上逐步構(gòu)建起來的. 依據(jù)這一理論，在課堂伊始，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形，有效地激活學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為他們理解并吸收新知打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 使用幾何畫板展示橢圓到圓的演變，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系. 這種教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了單元整體性的理念.

2. 新知探索

師：該怎樣研究橢圓的幾何性質(zhì)呢？

生1：可從橢圓的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程等多個角度進(jìn)行分析.

問題1 橢圓的大小由誰決定？

為了探索這個問題，教師指導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板繪制橢圓，并展示其特征三角形.

設(shè)計(jì)意圖 通過引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板進(jìn)行繪圖和分析，使他們在直觀的環(huán)境中更深刻地理解決定橢圓大小的因素. 這種教學(xué)設(shè)計(jì)不僅能揭示問題的結(jié)論，更關(guān)鍵的是它能培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力. 學(xué)生將體驗(yàn)到圖形的直觀性相較于代數(shù)方法更直接和易于理解，從而進(jìn)一步促進(jìn)他們發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想方法.

師：通過操作幾何畫板并觀察橢圓圖形，分享一下你們的發(fā)現(xiàn)和收獲.

生2：橢圓一直處于矩形圈內(nèi)，矩形的長就是橢圓長軸的長，矩形的寬則為橢圓短軸的長，由此可確定橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍為-a≤x≤a，橢圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)范圍為-b≤y≤b.

師：這是通過肉眼觀察得出的結(jié)論，大家能否用代數(shù)方法來證明它呢？

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)旨在引導(dǎo)學(xué)生從圖形出發(fā)，探索橢圓的范圍. 代數(shù)方法的應(yīng)用意在驗(yàn)證結(jié)論是否正確. 該證明并不復(fù)雜，通過簡單變形標(biāo)準(zhǔn)方程即可完成. 鼓勵學(xué)生合作交流并板演，旨在深化學(xué)生對這部分內(nèi)容的理解，留下深刻的印象.

問題2 橢圓是不是對稱圖形？

通過幾何畫板的動態(tài)演示功能，學(xué)生可以觀察到橢圓圍繞x軸（見圖3）、y軸和原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（見圖4）的過程.

生3：觀察圖形的旋轉(zhuǎn)過程，發(fā)現(xiàn)橢圓關(guān)于x軸、y軸對稱，對稱軸為坐標(biāo)軸，也關(guān)于原點(diǎn)對稱，對稱中心為原點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 通過對橢圓形狀及其旋轉(zhuǎn)的觀察，學(xué)生不僅確認(rèn)橢圓是一個對稱圖形，而且還能理解其對稱性的本質(zhì)，從而達(dá)到不僅知其然，而且知其所以然的深度理解.

師：幾何畫板所演示的圖形特性，能否利用代數(shù)方法加以證實(shí)？

設(shè)計(jì)意圖 當(dāng)學(xué)生從“形”的角度對橢圓的對稱性有所了解后，再引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”的角度分析橢圓的對稱性，旨在培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題，從而提煉出數(shù)形結(jié)合思想.

問題3 橢圓上存在哪些特殊的點(diǎn)？

學(xué)生獨(dú)立思考后合作交流，得出橢圓的頂點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 橢圓的頂點(diǎn)對學(xué)生而言，比較容易獲得與理解，此問意在激活學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生客觀地表達(dá)自己的想法，教師僅需稍加點(diǎn)撥和整理即可.

生4：除了橢圓的頂點(diǎn)外，焦點(diǎn)也屬于特殊的點(diǎn).

師：不錯！從橢圓的光學(xué)特性來看，當(dāng)光線從一個焦點(diǎn)發(fā)射出來，經(jīng)過橢圓的反射后，會匯聚于另一個焦點(diǎn). 這是一個引人入勝的現(xiàn)象，有興趣的同學(xué)可以在課后進(jìn)行探索并加以證明.

設(shè)計(jì)意圖 本節(jié)課不探討橢圓的光學(xué)特性，但會強(qiáng)調(diào)焦點(diǎn)的光學(xué)特性的重要性，并鼓勵學(xué)生課后進(jìn)行研究，以培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性.

問題4 什么決定橢圓的扁平程度？

將學(xué)生依據(jù)學(xué)號的奇偶性分成兩組，指導(dǎo)學(xué)號為奇數(shù)的學(xué)生研究在相同坐標(biāo)系中具有相同焦點(diǎn)但長軸長不同的橢圓;同時指導(dǎo)學(xué)號為偶數(shù)的學(xué)生研究在同一坐標(biāo)系中長軸長相等但焦點(diǎn)位置不同的橢圓.

當(dāng)學(xué)生自主完成指定任務(wù)后，教師借助幾何畫板動態(tài)演示以上兩類情況，并組織全班學(xué)生進(jìn)行討論，獲得刻畫橢圓扁平程度的條件.

生5：如圖5所示，當(dāng)c不變時，a越接近c(diǎn)，橢圓越扁平;如圖6所示，當(dāng)a不變時，c越接近a，橢圓越扁平.

設(shè)計(jì)意圖 橢圓的離心率是一個相對抽象的概念，如果教師僅依靠講解來完成教學(xué)任務(wù)，可能會遇到一定的難度. 將課堂的主導(dǎo)權(quán)交給學(xué)生，鼓勵他們自主探究橢圓的扁平程度，可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并體現(xiàn)“以生為本”的教育理念，使學(xué)生對離心率有更深入的理解.

師：以上結(jié)論是大家結(jié)合圖象獲得的，有沒有哪位同學(xué)能用代數(shù)方法加以證明？

生6：利用a，c兩個基本量可以刻畫橢圓的扁平程度. 令橢圓的焦距與長軸長的比為e=，因?yàn)閍>c>0，所以0<e<1. e越接近1，c越接近a，b就越小，橢圓就越扁平;反之，e越接近0，c越接近0，b越接近a，橢圓就越接近于圓.

設(shè)計(jì)意圖 該探究活動以學(xué)生為中心，旨在培養(yǎng)他們的探索精神. 通過積極參與探索過程，學(xué)生不僅體驗(yàn)到了學(xué)習(xí)的成就感，還增強(qiáng)了自主發(fā)現(xiàn)新知的信心. 這種積極的體驗(yàn)激發(fā)了他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的濃厚興趣.

3. 知識應(yīng)用

例1 求橢圓4x2+9y2=36的長軸長、短軸長，以及頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，同時畫出該橢圓.

設(shè)計(jì)意圖 本例題旨在讓學(xué)生理解將待求方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程的重要性，這是解決相關(guān)問題的通用方法. 同時，本例題還旨在加深學(xué)生對橢圓知識的理解，為靈活應(yīng)用提供基礎(chǔ).

例2 分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：①長軸長為12，焦點(diǎn)位于x軸上，離心率是;②橢圓過點(diǎn)Q（0，8）與P（-6，0）.

例3 分析橢圓8x2+y2=32和橢圓+=1的扁平程度，闡明理由.

設(shè)計(jì)意圖 前兩道例題展示了圓錐曲線的基本題型，旨在檢驗(yàn)學(xué)生對橢圓幾何性質(zhì)的理解程度;第三道例題旨在加深學(xué)生對離心率在描述橢圓扁平程度方面的認(rèn)識，以鞏固知識基礎(chǔ)并構(gòu)建一個完整的知識體系.

4. 課后延伸

學(xué)有余力的學(xué)生可以在課后進(jìn)一步探究焦點(diǎn)的光學(xué)特性. 例如，設(shè)計(jì)并制作一個橢球形狀的鏡子，將其放置于日光下，仔細(xì)觀察焦點(diǎn)與橢球鏡之間的互動. 同時，可以在橢球鏡子的兩個焦點(diǎn)位置裝置發(fā)光的小燈泡，以便觀察產(chǎn)生的光學(xué)現(xiàn)象.

設(shè)計(jì)意圖 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識是教師的重要職責(zé)，鼓勵有能力的學(xué)生探索光學(xué)特性，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能提升他們的實(shí)踐和思維能力，對發(fā)展他們的探索能力至關(guān)重要，也是提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵途徑.

教學(xué)思考

單元整體教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生從宏觀視角審視問題的關(guān)鍵途徑，它對于揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系，以及幫助學(xué)生構(gòu)建全面的知識體系具有顯著的價值和深遠(yuǎn)的意義. 以本節(jié)課為例，教師可以在課堂的最后階段，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容按照知識模塊、方法模塊、數(shù)學(xué)思想模塊等進(jìn)行系統(tǒng)化的梳理、總結(jié)和歸納（參見圖7），從而為深入研究其他曲線打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

通過研究橢圓，學(xué)生不僅學(xué)會了從方程與圖象的角度研究曲線性質(zhì)的方法，還提升了自身的研究能力. 當(dāng)然，每個知識點(diǎn)都有其獨(dú)特之處，這些需要在后續(xù)的學(xué)習(xí)中逐漸發(fā)掘. 總之，基于單元整體設(shè)計(jì)教學(xué)活動，教師必須始終將整體教學(xué)理念置于首位. 這樣，學(xué)生能夠自始至終體驗(yàn)到新知與舊識之間的內(nèi)在聯(lián)系，為構(gòu)建一個完整的知識體系和培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).