[摘 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 單元整體教學(xué)設(shè)計強調(diào)知識的系統(tǒng)性和內(nèi)在聯(lián)系，為提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力提供了機會. 在教學(xué)中，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的主體意識，引導(dǎo)他們自主探究，并運用數(shù)學(xué)思維思考問題，從而提高學(xué)生解決問題的能力，提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 單元整體教學(xué);思維能力;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

作者簡介：李大志（1986—），本科學(xué)歷，一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

目前，數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)方法和手段經(jīng)歷了顯著的變革，更加注重培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)思維能力. 然而，在傳統(tǒng)教學(xué)中，普遍存在重視思維結(jié)果而忽視思維過程的問題，這限制了學(xué)生思維能力的發(fā)展. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，大多數(shù)教師會安排學(xué)生自主探究以掌握知識和技能，但這種探究通常在教師的引導(dǎo)下進行，限制了學(xué)生思維的自由，使得探究活動僅限于表面. 那么，應(yīng)如何有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力呢？筆者認(rèn)為，采用單元整體教學(xué)法是一種行之有效的方式. 本文從單元整體教學(xué)的視角出發(fā)，探討如何促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升.

教學(xué)分析

在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及平面向量等知識，這為他們學(xué)習(xí)本節(jié)課打下了堅實的基礎(chǔ). 然而，學(xué)生的邏輯推理能力是有限的，他們獨立發(fā)現(xiàn)并證明數(shù)學(xué)公式存在一定難度. 因此，在實際教學(xué)過程中，教師不僅要為學(xué)生營造獨立思考和合作交流的機會與環(huán)境，還要設(shè)計有效的問題來引導(dǎo)學(xué)生持續(xù)地提出問題并解決問題. 這樣，學(xué)生才能學(xué)會運用數(shù)學(xué)思維來分析問題，從而提高他們的數(shù)學(xué)思維能力.

在本節(jié)課的教學(xué)中，教師應(yīng)從宏觀視角出發(fā)，幫助學(xué)生整合各個課時的內(nèi)容，構(gòu)建知識體系. 這樣，學(xué)生不僅能夠掌握兩角和（或差）的余弦公式，還能理解一系列相關(guān)公式，從而優(yōu)化他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并提升思維能力和思維品質(zhì).

教學(xué)過程

1. 新舊溝通，引入主題

問題1 前面我們學(xué)習(xí)了誘導(dǎo)公式，你能列舉一二嗎？

師生活動：學(xué)生表示，教師板書.

問題2 觀察這些誘導(dǎo)公式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師生活動：學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，它們都與任意角α的正弦值和余弦值有一定的關(guān)系.

問題3 誘導(dǎo)公式中的角是特殊角與任意角α的和（或差），那么，根據(jù)你的經(jīng)驗，你認(rèn)為接下來我們應(yīng)該探討什么問題呢？

師生活動：在上述問題的引導(dǎo)下，學(xué)生很容易聯(lián)想到當(dāng)兩個角均為任意角時，這兩角和（或差）的三角函數(shù)具有怎樣的恒等關(guān)系.

問題4 如果我們將誘導(dǎo)公式中的π，等特殊角，換成任意角β，那么α與β的和（或差）的三角函數(shù)是否也可以用α，β的三角函數(shù)來表示呢？如果可以，如何表示呢？

師生活動：學(xué)生根據(jù)他們的經(jīng)驗清楚地認(rèn)識到，α與β的和（或差）的三角函數(shù)可以用α，β的三角函數(shù)來表示，但他們不知道該如何表示. 因此，教師順利地引入了本節(jié)課的研究主題：研究“sin（α±β）= ？”“cos（α±β）=？”“tan（α±β）=？”.

設(shè)計意圖 教師以學(xué)生已經(jīng)理解并掌握的誘導(dǎo)公式為基礎(chǔ)，運用從特殊到一般的思想方法，直接引入本節(jié)課的研究主題，有效激發(fā)了學(xué)生的探究興趣.

2. 合作探究，證明公式

問題5 我們應(yīng)該采用怎樣的方法來研究這些問題呢？

師生活動：學(xué)生通過互動交流一致認(rèn)為，上述幾組公式的研究方法應(yīng)當(dāng)是相互關(guān)聯(lián)的. 因此，只要掌握了一組公式的研究方法，并運用聯(lián)系與變換的方法，便能夠推導(dǎo)出其他公式. 這樣，研究的范圍便可以有效地縮小至研究“sin（α±β）=？”或“cos（α±β）=？”. 在此基礎(chǔ)上，學(xué)生結(jié)合學(xué)習(xí)經(jīng)驗，聯(lián)想到將問題置于單位圓的背景下，利用三角函數(shù)的定義來展開研究.

問題6 你認(rèn)為，選擇研究哪一個比較好呢？是sin（α±β），還是cos（α±β）？你猜想的結(jié)果是什么？

師生活動：教師鼓勵學(xué)生獨立思考，并嘗試進行猜想. 大多數(shù)學(xué)生提出的猜想如下：sin（α±β）=sinα±sinβ. 然而，學(xué)生引入特殊值進行驗證后發(fā)現(xiàn)，該猜想不成立. 根據(jù)課堂生成，教師追問道：展開式只與sinα和sinβ有關(guān)嗎？學(xué)生通過誘導(dǎo)公式能夠輕松地聯(lián)想到，展開式還可能與cosα和cosβ有關(guān). 然而，它們之間具體存在何種關(guān)系，卻難以明確.

問題7 如果將α，β放入單位圓中，如何利用α，β構(gòu)造α±β？三角函數(shù)之間具有怎樣的聯(lián)系呢？

師生活動：教師鼓勵學(xué)生在單位圓中構(gòu)造α±β. 學(xué)生通過動手操作易發(fā)現(xiàn)，角α-β更易于研究，由此將研究范圍進一步縮小. 通過圖形的輔助，學(xué)生發(fā)現(xiàn)研究“cos（α-β）=？”更加便捷. 教師鼓勵學(xué)生運用他們所掌握的知識推導(dǎo)公式.

問題8 cos（α-β）=cosαcosβ+sinα·sinβ中的角是否有限制？該公式對任意角均成立嗎？

師生活動：學(xué)生通過引入特殊值進行驗證，發(fā)現(xiàn)該公式對任意角均成立.

問題9 幾何證明過程可能稍顯復(fù)雜，但若結(jié)合式子的結(jié)構(gòu)特性想一想，在我們之前所學(xué)的知識中，是否遇到過角度的余弦值呢？

師生活動：教師啟發(fā)學(xué)生利用向量法證明公式（證明過程略）.

設(shè)計意圖 通過逐步引導(dǎo)，學(xué)生的思維得以螺旋式上升，充分體驗向量方法的強大效用，并在此過程中培養(yǎng)出思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

問題10 如何推導(dǎo)“cos（α+β）=？”“sin（α±β）=？”“tan（α±β）=？”？如果這里的α=β，你又能得到怎樣的結(jié)果呢？

師生活動：教師激勵學(xué)生以團隊合作的方式進行研究，共同解決上述問題. 在學(xué)生遇到挑戰(zhàn)時，教師給予恰當(dāng)?shù)闹笇?dǎo). 最終，各團隊分享他們的發(fā)現(xiàn)和成果.

設(shè)計意圖 教師激勵學(xué)生將獨立思考與合作交流相結(jié)合，共同推導(dǎo)出其他公式. 通過親身體驗公式的推導(dǎo)過程，學(xué)生能夠更深入地理解相關(guān)知識和研究方法，從而促進知識體系的全面構(gòu)建. 這種做法旨在提升學(xué)生的自主探究能力，培養(yǎng)他們的合作精神和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3. 課堂小結(jié)，深化認(rèn)知

問題11 在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，你獲得了哪些成果？請從知識掌握、思維啟迪、技能提升等多個維度分享你的感悟和體會.

師生活動：學(xué)生先獨立思考和歸納總結(jié)，隨后相互交流.

設(shè)計意圖 教師安排時間供學(xué)生進行反思和回顧，引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)目的、學(xué)習(xí)方法以及學(xué)習(xí)成果等有效地串聯(lián)起來. 這樣的做法有助于學(xué)生理清問題的脈絡(luò)，深化對相關(guān)知識的理解，并促進學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的優(yōu)化以及數(shù)學(xué)思維能力的提升.

教學(xué)思考

1. 關(guān)注知識的整體性和關(guān)聯(lián)性，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

數(shù)學(xué)是一個整體，不同的數(shù)學(xué)知識之間存在重要的聯(lián)系. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的不僅在于讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，更在于讓他們理解并溝通這些知識之間的內(nèi)在聯(lián)系. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)注重知識之間的邏輯聯(lián)系，深入分析、重組和整合那些具有內(nèi)在聯(lián)系的內(nèi)容，從而構(gòu)建出更加完整的單元模塊. 這有助于單元教學(xué)順利進行，并能顯著提升課堂教學(xué)效果與學(xué)習(xí)質(zhì)量，同時有效增強學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

例如本節(jié)課教學(xué)，教師打破了課時教學(xué)的束縛，以單元教學(xué)的視角提出大問題：如何用α，β的三角函數(shù)來表示α±β的三角函數(shù)？揭示了兩角和與差的公式屬于同一系統(tǒng)，使學(xué)生更加深刻地理解了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，并促進了知識的融會貫通.

將單個知識點融入到整個知識體系中進行研究，不僅能夠凸顯知識間的內(nèi)在聯(lián)系，而且有助于提升學(xué)生的自主探究能力，有效培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性.

2. 關(guān)注學(xué)生的思維過程，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

眾所周知，數(shù)學(xué)知識可以通過講授來掌握，但數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)則需要在學(xué)習(xí)實踐中不斷積累和體驗. 因此，單元教學(xué)設(shè)計應(yīng)以學(xué)生為中心，注重展示學(xué)生的思維過程，引導(dǎo)他們經(jīng)歷知識的生成過程. 通過親身實踐，學(xué)生的思維品質(zhì)才能得以錘煉，思維能力才能得以提升.

例如本節(jié)課教學(xué)，在發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)公式的階段，教師以生為本，通過構(gòu)建問題鏈引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想、猜想、證明和反思，鼓勵學(xué)生恰當(dāng)?shù)刂貥?gòu)教學(xué)內(nèi)容，合理地進行調(diào)整，以充分激發(fā)他們的主動性和積極性，從而促進其思維能力的發(fā)展. 例如，教師并未直接引導(dǎo)學(xué)生研究兩角差的余弦公式，而是通過提問的方式，讓學(xué)生自己去感悟“為何要先探討cos（α-β）”和“怎樣研究cos（α-β）”的問題，從而在不知不覺中增強學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和思維能力. 當(dāng)然，在探索的過程中，學(xué)生難免會遭遇諸多難題. 教師應(yīng)適時提供指導(dǎo)，通過“教”與“學(xué)”的相互促進，助力學(xué)生的思維能力得以提升.

總之，在日常教學(xué)過程中，教師應(yīng)深入研究教學(xué)材料，并擅長從宏觀角度出發(fā)，對教學(xué)內(nèi)容進行恰當(dāng)而合理的整合. 這樣做不僅能夠展示知識的完整性和內(nèi)在聯(lián)系，還能協(xié)助學(xué)生構(gòu)建全面的知識架構(gòu)，并增強他們綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力. 此外，教師還應(yīng)創(chuàng)造條件，讓學(xué)生全面參與新知的探索過程，從而促進學(xué)生思維能力的發(fā)展.