[摘 要] 愛因斯坦提出：“美，從本質(zhì)上來說都具有簡約性. ”數(shù)學(xué)學(xué)科擁有獨特的美，值得每一個人去深究. 文章從“簡約美”的概述出發(fā)，以“直線的傾斜角和斜率”為例，從“開門見山，新舊知識關(guān)聯(lián)”“問題引領(lǐng)，錘煉數(shù)學(xué)思維”“積極互動，促進猜想論證”“辨析拓展，深度理解本質(zhì)”四個方面展開教學(xué)實踐.

[關(guān)鍵詞] 簡約美;教學(xué)實踐;斜率

作者簡介：張輝（1977—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

>教學(xué)實踐

教材是教學(xué)設(shè)計的基本載體，教材編寫時受版面限制，必須將“簡約”這一理念落實到每個章節(jié)中，這就給教師的教學(xué)帶來了較大的空間. 例如，通過對教材的處理讓學(xué)生基于辨證視角客觀對待每一個問題，為獲得科學(xué)、簡約的結(jié)論奠定基礎(chǔ). 再例如，一些看似復(fù)雜的幾何問題，其核心是簡單圖形的組合. 只要我們逐層深入，剝?nèi)ケ硐?，揭示其本質(zhì)，就能將復(fù)雜問題簡約化. 這樣，課堂上便能充滿智慧的光芒.

數(shù)學(xué)“簡約美”的概述

1. 什么是數(shù)學(xué)“簡約美”

高中數(shù)學(xué)課堂中的“簡約美”主要是指將復(fù)雜的問題簡約化的過程，即將核心知識點作為主體，不斷向外拓展蔓延，長出細枝末節(jié)，讓學(xué)生通過對問題的探索建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的知識體系. 因此，簡約美模式下的數(shù)學(xué)教學(xué)可將一些抽象的問題形象化、復(fù)雜的問題簡約化，讓課堂教學(xué)更加輕松自如.

縱觀整個數(shù)學(xué)史的發(fā)展，隨著人類思維的成長，研究的數(shù)學(xué)內(nèi)容越來越深奧. 為了簡化深奧復(fù)雜的知識，人類采用了大量簡潔的數(shù)學(xué)符號語言（如公式、定理等）來描述復(fù)雜問題.

2. 追求“簡約美”課堂的必要性

隨著新課改的深入推進，單元整體教學(xué)、結(jié)構(gòu)化教學(xué)等模式引起了教育界的廣泛關(guān)注，追求“簡約美”的課堂，可幫助學(xué)生更好地厘清知識結(jié)構(gòu)，優(yōu)化知識體系，使教學(xué)更具整體性. 實踐發(fā)現(xiàn)，“簡約美”屬于核心素養(yǎng)背景下的一種重要教學(xué)模式，它在教學(xué)內(nèi)容與形式上都比傳統(tǒng)教學(xué)模式更清晰. 當(dāng)然，追求“簡約美”的課堂并非將課堂打造成“簡單”的課堂，而是在課堂中將復(fù)雜的問題“簡約化”，由此突出教學(xué)重點與難點，從而發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

從簡約的視角分析教學(xué)內(nèi)容

“直線的傾斜角和斜率”是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一. 新課標(biāo)對本節(jié)課的教學(xué)要求為：體會直線上任意兩點的坐標(biāo)、直線的傾斜角、直線的斜率之間存在怎樣的關(guān)系. 結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗和知識的特性，可以省略傳統(tǒng)的教學(xué)流程，采用“坡度比”來提煉斜率的概念. 將“斜率概念的提煉”與“通過兩點確定直線斜率”的教學(xué)內(nèi)容有機融合，更能突顯數(shù)學(xué)教學(xué)的“簡約性”.

基于知識展示過程來分析，本節(jié)課需要探索的核心問題是：什么是傾斜角？為什么將坐標(biāo)橫軸正向和直線向上方向構(gòu)成的角定義成傾斜角？斜率是什么？為什么這樣定義？從問題的視角出發(fā)，借助直線上的任意一點以及該直線的傾斜角，可以明確一條直線. 同樣地，利用兩個點，也能確定一條直線. 因此，課堂上主要探討的問題是：“直線的傾斜角α與直線上任意兩點的坐標(biāo)之間存在怎樣的關(guān)系？”

教學(xué)實踐

1. 開門見山，新舊知識關(guān)聯(lián)

師：通過對空間向量的探索，大家已經(jīng)初步建立了立體幾何的探索方法. 誰來說一說什么是解析幾何？解析幾何的發(fā)展歷程是怎樣的？請閱讀章引言，思考本節(jié)課將要探索的內(nèi)容是什么.

設(shè)計意圖 回顧舊知與閱讀章引言，一方面揭露解析幾何的發(fā)展歷程，促使學(xué)生形成用坐標(biāo)法探索問題的基本意識;另一方面引導(dǎo)學(xué)生從整體的視角來分析問題，從簡約的視角來探索內(nèi)容，進而實現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

2. 問題引領(lǐng)，錘煉數(shù)學(xué)思維

若將直線置于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，可用什么方法來刻畫這條直線具體處于什么位置？為了深入探討這一問題，教師精心設(shè)計了問題鏈. 通過知識的內(nèi)在邏輯，引導(dǎo)學(xué)生逐步了解和掌握知識要點，并發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

問題1 根據(jù)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，明確過一點可畫無數(shù)條直線，那么所畫直線之間存在的區(qū)別該如何刻畫呢？

問題2 關(guān)于直線的方向可如何理解？有沒有簡化方法？

問題3 有什么辦法來描述直線的方向？能否從數(shù)量的角度進行描述？

問題4 在一個平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫一次函數(shù)圖象是大家所熟悉的，除此之外，還有什么辦法可以描述直線的方向？

問題5 請在平面直角坐標(biāo)系中畫出具有不同傾斜角（銳角、鈍角、直角）的直線，并說明傾斜角的取值范圍.

設(shè)計意圖 問題1旨在引導(dǎo)學(xué)生明確直線的幾何要素. 問題2則促使學(xué)生理解直線方向的概念（直線的方向向上或向右）. 問題3旨在讓學(xué)生認(rèn)識到平面直角坐標(biāo)系是研究直線問題的基礎(chǔ)，理解探索直線的方向?qū)嶋H上就是研究直線與坐標(biāo)橫軸之間的夾角. 例如，在圖1中，通過將原點設(shè)為共同點來研究不同的直線. 問題4旨在引導(dǎo)學(xué)生了解直線傾斜角的概念. 問題5則致力于完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使他們明確直線傾斜角的取值范圍.

3. 積極互動，促進猜想論證

考慮到新舊知識間存在一些聯(lián)系，可引導(dǎo)學(xué)生從自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)提出猜想，即直線傾斜角的正切值與一次項系數(shù)相等. 通過對“點坐標(biāo)表示直線傾斜角的正切值”的探索，打破學(xué)生固有的思維模式，使課堂在簡潔中得到升華.

師：結(jié)合我們已有的知識，思考如何用坐標(biāo)來表示傾斜角，可以舉出一些例子來說明.

生1：三角函數(shù)涉及使用坐標(biāo)來刻畫角.

師：很好！談?wù)勀銈儗τ谑褂米鴺?biāo)刻畫傾斜角的想法，并說明理由.

生2：使用傾斜角的正切值來刻畫更為恰當(dāng)，因為過原點的直線上的任意點P（x，y）（x≠0）的縱、橫坐標(biāo)的比值為該直線傾斜角α的正切值，即tanα=. 這樣可以簡化原本復(fù)雜的問題.

師：很好！還有其他理由嗎？

生3：tanα是我們所熟悉的一次函數(shù)的自變量系數(shù)，將新舊知識關(guān)聯(lián)在一起比較容易理解.

師：當(dāng)一條直線不經(jīng)過原點時，該如何將其傾斜角“坐標(biāo)化”呢？

生4：如圖2所示，應(yīng)用平移法將原點O平移到O′的位置.

師：平移后的直線的方向與傾斜角都沒有發(fā)生變化，由此可想到之前所接觸的什么知識？

生（眾）：向量.

師：不錯，哪位同學(xué)能具體描述一下？

生5：在平移后的直線上任取點A（x，y），B（x，y）（x≠x），如果的方向朝上，那么該直線的方向向量為（x-x，y-y），同時過原點與該直線平行的直線的方向向量==（x-x，y-y）. 根據(jù)x≠x的條件，結(jié)合正切函數(shù)的定義，可得=tanα（α≠90°，0≤α<180°）.

師：如果的方向朝上，那么該如何坐標(biāo)化？

生6：同理得=tanα=（α≠90°，0≤α<180°）.

師：如果直線與坐標(biāo)橫軸恰好重合，會出現(xiàn)什么情況？

生7：上式依然成立，這種情況下的正切值與傾斜角均為零.

隨著探索的深入，傾斜角的概念越發(fā)清晰. 通過與教師的積極互動，學(xué)生清晰掌握了坐標(biāo)化傾斜角的具體操作方法.

設(shè)計意圖 問題鏈引導(dǎo)學(xué)生從個人經(jīng)驗出發(fā)，逐步克服思維障礙，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，并在主動探索、推理和概括的過程中構(gòu)建新知. 根據(jù)認(rèn)知發(fā)展規(guī)律可知，學(xué)生在接觸新知時，首先會嘗試用已有的知識去同化它，以達到認(rèn)知平衡. 如果無法同化，他們將調(diào)整現(xiàn)有的知識結(jié)構(gòu)，通過適應(yīng)新知來恢復(fù)認(rèn)知平衡. 在這一過程中，基于同化和順應(yīng)兩個維度，激勵學(xué)生在問題探索中構(gòu)建新知，在簡潔的背景下發(fā)展創(chuàng)新意識.

4. 辨析拓展，深度理解本質(zhì)

從認(rèn)知心理學(xué)的角度來看，概念學(xué)習(xí)不僅需要適當(dāng)?shù)耐卣梗诒匾獣r還需進行推論，這是“精細化”概念的過程. 想要進一步提升教學(xué)效果，就需要“深加工”概念的內(nèi)涵與外延，幫助學(xué)生構(gòu)建清晰的概念體系，對概念形成全面的理解.

探究直線斜率與取點之間的聯(lián)系，即“精細化”概念的過程，具體可從以下幾個角度進行教學(xué).

師：如圖3所示，請用網(wǎng)格內(nèi)的數(shù)據(jù)算出各條直線的斜率，并思考在沒有網(wǎng)格的情況下，可否獲得這些直線的斜率. 請與同伴討論，說說你的發(fā)現(xiàn)與猜想.

生8：關(guān)于直線斜率的計算，兩點的選擇方法存在多種，就算選擇了兩個相同的點，其計算順序也有所區(qū)別.

生9：不管選擇哪幾個點，獲得的斜率是相同的.

師：這些結(jié)論適用于一般情況嗎？說明理由.

學(xué)生通過合作與交流，以圖4為例，確認(rèn)了直線的斜率與直線上點的排列順序無關(guān). 同時，也有學(xué)生利用相似三角形的原理進行了證明.

設(shè)計意圖 如此設(shè)計，凸顯了知識發(fā)展的自然規(guī)律與學(xué)生思維發(fā)展的一般過程，彰顯了數(shù)學(xué)教學(xué)的“簡約美”.

幾點思考

1. 明確目標(biāo)是踐行“簡約”教學(xué)的基礎(chǔ)

課堂上的所有活動都應(yīng)圍繞教學(xué)目標(biāo)展開，而某些課堂之所以顯得冗長和拖沓，往往是因為教學(xué)目標(biāo)不夠明確，從而導(dǎo)致教學(xué)過程中主次不分明. 在“簡約美”教學(xué)理念的指導(dǎo)下，首先必須明確教學(xué)目標(biāo)，準(zhǔn)確把握課程標(biāo)準(zhǔn)和教材內(nèi)容，從宏觀的角度出發(fā)設(shè)計教學(xué)方案，使學(xué)生能夠在最短的時間內(nèi)，構(gòu)建起最完整且牢固的知識體系.

在本節(jié)課的教學(xué)準(zhǔn)備階段，教師從課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)內(nèi)容特性以及問題產(chǎn)生的角度進行了深入分析，從而確立了明確的教學(xué)目標(biāo). 課堂上的教學(xué)活動緊密圍繞這些目標(biāo)展開，確保每個問題都觸及學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，促使學(xué)生對新知的構(gòu)建既自然又樸實，且不失簡潔. 教學(xué)流程的主次分明，使得課堂的“簡約美”在強烈的節(jié)奏感中得以提升.

2. 重構(gòu)教材是增進“簡約美”的關(guān)鍵

教材是教學(xué)的依據(jù)，但教材的編寫需要考慮不同學(xué)情的接納性. 為了讓課堂教學(xué)更加簡約而自然，教師必須在深入了解學(xué)生情況的前提下，精心地重構(gòu)教材內(nèi)容，選擇與學(xué)生契合度更高的教學(xué)方法. 在課堂上，究竟應(yīng)該采用何種教學(xué)方式是一個值得深入探討的問題. 在“簡約美”教學(xué)理念的指導(dǎo)下，教學(xué)應(yīng)當(dāng)從“教教材”轉(zhuǎn)變?yōu)椤坝媒滩慕獭?，這是實現(xiàn)課堂簡約而不失深度的關(guān)鍵.

本節(jié)課，教材用“坡度比”這一具體情境抽象直線的斜率. 然而，教師基于學(xué)生的實際學(xué)習(xí)情況，決定跳過這一情境，轉(zhuǎn)而引導(dǎo)學(xué)生在復(fù)習(xí)已學(xué)知識的基礎(chǔ)上引入新主題. 教師鼓勵學(xué)生從他們現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過問題引導(dǎo)的方式逐步深入理解，取得了預(yù)期的教學(xué)效果.

3. 科學(xué)的方案是優(yōu)化教學(xué)的核心

多個環(huán)節(jié)構(gòu)成一節(jié)課，各個環(huán)節(jié)活動的開展都需圍繞“怎么教”而設(shè)計. 部分教師在某些教學(xué)環(huán)節(jié)上停留時間過長，這影響了整節(jié)課的教學(xué)進度. 這種做法顯然違背了簡約、自然的教學(xué)理念. 若要真正提升課堂的“簡約美”，必須深入了解學(xué)生的情況和課程內(nèi)容的特性，從而制定出科學(xué)合理的教學(xué)計劃. 這樣，每個教學(xué)環(huán)節(jié)都能做到既詳盡又精煉，有效提高教學(xué)質(zhì)量.

綜上所述，追求“簡約美”的數(shù)學(xué)課堂體現(xiàn)了新課改背景下數(shù)學(xué)教學(xué)回歸本質(zhì)的理念. 重要的是，在追求“簡約美”時，教師必須注重必要的教學(xué)環(huán)節(jié)，更不要為了追求形式上的“簡約美”而生硬套用，以免喪失教學(xué)的核心精神.