[摘 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維教學(xué)，課堂教學(xué)應(yīng)立足學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，為學(xué)生提供獨立思考和合作探究的時間和空間，引導(dǎo)學(xué)生主動參與知識建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，讓學(xué)生習(xí)得終身受益的關(guān)鍵能力. 在具體實施過程中，教師應(yīng)從學(xué)生的角度出發(fā)，精心構(gòu)建由淺入深、逐步精細(xì)化的思維框架，鼓勵學(xué)生積極主動探究新知，從而實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的思維能力，落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 自主探究;數(shù)學(xué)思維;理性思維;數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

作者簡介：徐金蘭（1975—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一，就是促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展. 站在學(xué)生的角度看思維發(fā)展，也就意味著思維從低階走向高階. 擺在數(shù)學(xué)教師面前的重要課題之一，是如何促進(jìn)學(xué)生的思維進(jìn)階. 顯而易見，學(xué)生的思維發(fā)展主要在課堂上進(jìn)行，而課堂教學(xué)設(shè)計的質(zhì)量直接決定學(xué)生思維境界的高度. 思維進(jìn)階是學(xué)生自己的事情，學(xué)生只有在充分體驗、主動學(xué)習(xí)的過程中才能實現(xiàn)思維進(jìn)階，這就需要教師構(gòu)建能夠保障學(xué)生自主定位、能夠讓學(xué)生主動探究的課堂. 因此，自主探究課堂的構(gòu)建與學(xué)生思維能力的提升之間存在著直接的因果聯(lián)系. 教師必須設(shè)計出具有鮮明自主性和探究性的課堂環(huán)境，以便為學(xué)生的思維能力提升奠定堅實的基礎(chǔ). 接下來，從解決問題的角度出發(fā)，探討筆者的一些實際操作和思考.

問題提出

高中數(shù)學(xué)中的問題常常以習(xí)題的形式出現(xiàn)，習(xí)題解答的過程很大程度上對應(yīng)著問題解決的過程. 解析幾何以其鮮明的數(shù)形結(jié)合思想和對數(shù)學(xué)知識方法的廣泛包容性，成為反映學(xué)生思維水平的有效工具. 相應(yīng)地，其教學(xué)活動能夠成為推動學(xué)生思維能力提升的關(guān)鍵途徑. 在解析幾何的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生應(yīng)被賦予自主探索的空間，這同樣為教師在教學(xué)設(shè)計與執(zhí)行方面提供了重要的指導(dǎo)思路.

例題 如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，且過點

，

，點P為橢圓上一點， 且點P在第四象限，點A，B分別為橢圓的左頂點和上頂點，連接PA，PB，分別交坐標(biāo)軸于點C，D.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）求△PCD面積的最大值.

例題是一道典型的解析幾何題，此類題目在平時教學(xué)中重點講解并練習(xí)過，但是從模擬考試效果來看，未達(dá)到預(yù)期效果. 考試后統(tǒng)計本班學(xué)生的得分結(jié)果，發(fā)現(xiàn)大約60%的學(xué)生在第（1）問中得到了滿分，而第（2）問的得分情況并不理想，幾乎沒有人能夠拿到滿分. 認(rèn)真分析學(xué)生的試卷，并與部分學(xué)生進(jìn)行訪談，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解題過程中存在以下幾個問題.

第（1）問，大多數(shù)學(xué)生能根據(jù)已知條件構(gòu)建關(guān)于a，b，c的方程組，不過在解方程組的過程中，部分學(xué)生因為運算錯誤而沒有得到答案. 當(dāng)然，也有學(xué)生對離心率及a，b，c之間的對應(yīng)關(guān)系的理解不夠深刻，沒有形成正確的解題思路.

第（2）問是一個動點問題，部分基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生看到動點問題就出現(xiàn)了畏難情緒，所以直接放棄解答;也有部分學(xué)生選擇引入點P的坐標(biāo)，但是引入后卻不知道如何表示△PCD的面積（即使表示出來也不知道如何轉(zhuǎn)化為代數(shù)式求最值），從而半途而廢;還有學(xué)生在解題時選擇設(shè)直線PB的斜率為k，試圖通過與橢圓方程聯(lián)立，從而求出點P的坐標(biāo)，但是因為感覺運算煩瑣，未能進(jìn)行到底.

從上述反饋來看，學(xué)生在解決此類問題時沒有形成適度模式化操作的經(jīng)驗?zāi)K，解題思路單一，數(shù)學(xué)運算能力不高，邏輯推理能力低下，缺乏轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合思想. 因此，教學(xué)中有必要“借題發(fā)揮”，充分挖掘題目背后的價值，助力學(xué)生提升解題能力，發(fā)展高階思維能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的自然生成.

問題解決

師：題設(shè)信息中出現(xiàn)了離心率、對于這一條件，我們在解題時一般如何處理？

生1：由于離心率e=，因此可以得到a，c之間的關(guān)系.

生2：也可以由=1-e2得到a，b之間的關(guān)系.

生3：橢圓的離心率可以轉(zhuǎn)化為a，c或a，b的比值，也可以將其看成直角三角形中一個銳角的三角函數(shù)值.

師：說得非常好，至于最終轉(zhuǎn)化為何種形式，需要結(jié)合題設(shè)中的其他信息做進(jìn)一步的選擇. 對于例題，你們認(rèn)為如何轉(zhuǎn)化可以達(dá)到簡化運算的效果呢？

教師預(yù)留時間供學(xué)生復(fù)習(xí)，最終明確：對于本題而言，將離心率轉(zhuǎn)化為a，b之間的關(guān)系，顯然比建構(gòu)關(guān)于a，b，c的方程組更高效，可以有效降低運算成本，提高解題效率.

教學(xué)說明 對于第（1）問，部分學(xué)生之所以沒有得到正確的答案，一是學(xué)生的計算能力較弱，二是在理解及處理離心率方面有所不足. 基于此，在講解第（1）問的過程中，教師通過創(chuàng)設(shè)開放性問題引導(dǎo)學(xué)生回顧離心率的處理方法，以此激活學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗，幫助學(xué)生構(gòu)建完善的思維體系，提高學(xué)生分析和解決問題的能力. 另外，學(xué)生得到多種轉(zhuǎn)化方法后，教師預(yù)留時間供學(xué)生思考最優(yōu)方式，以此培養(yǎng)學(xué)生的最優(yōu)意識，有效提升解題效率，促進(jìn)學(xué)生高階思維的發(fā)展.

師：你們認(rèn)為解決第（2）問的關(guān)鍵點在哪里？

生4：把△PCD的面積表示出來.

師：很好. 那么，應(yīng)如何表示呢？

（教師預(yù)留時間供學(xué)生思考，并交流自己的想法，以便學(xué)生通過再探究找到解題的突破口. ）

生5：最初我是這樣想的：先求出線段CD的長，再求出點P到CD的距離，最后表示出△PCD的面積. 不過沒有成功.

生6：我想分別求出線段PC，PD，CD的長，然后利用海倫公式表示出△PCD的面積，但感覺用這種方法運算比較煩瑣.

生7：能不能求出PC，PD的長以及∠P，用PC·PDsinP表示△PCD的面積呢？

師：看來△PCD面積的表示方法真是多種多樣，不過，不同的表示方法的運算量有所不同. 解題時不要急于動筆，應(yīng)該先合理預(yù)判解題方法，以免誤入歧途，影響解題效率. 在解決該題時，我們先要考慮如何簡約表示△PCD的面積，以便合理引入?yún)?shù)，高效解決問題. 你們認(rèn)為如何表示△PCD的面積更簡約呢？

生8：點P是一個動點，點C，D隨著點P的運動而運動，因此不妨設(shè)點P的坐標(biāo)，將△PCD的面積用點P的坐標(biāo)表示出來.

師：具體如何表示呢？

生8：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1，易求點A的坐標(biāo)為（-2，0），點B的坐標(biāo)為（0，1）. 設(shè)P（x，y），C（0，m），D（n，0），又P，A，C三點共線，所以=. 同理，點P，B，D三點共線，所以=. 所以，m=，n=. 所以，S=S-S=·AD·

y-AD·

y=

+2

·

-y

. 我做到這里就沒有繼續(xù)下去了，感覺運算太復(fù)雜了，很難求出其最值.

師：生8雖然沒有得到最終結(jié)果，但是在求C，D坐標(biāo)時用到了“三點共線”這個定理，非常精彩. 在考試過程中，也有許多同學(xué)采用了與生8同樣的思路，不過在處理二元分式時遇到了困難，最終半途而廢. 難道該方法真的行不通嗎？

生9：通分后可得

=·.觀察這個分式不難發(fā)現(xiàn)，它是由x-2y+2和-xy組成的. 如果能夠找到它們之間的聯(lián)系就好了.

師：很好，它們之間會有怎樣的聯(lián)系呢？結(jié)合橢圓方程的結(jié)構(gòu)特征，看看可以如何轉(zhuǎn)化呢？

（教師預(yù)留時間供學(xué)生思考，很快就有學(xué)生有了新的發(fā)現(xiàn).）

生10：（x0-2y0+2）2=（x+4y+4）+4（x0-2y0）-4x0y0=4（x0-2y0+2）-4x0y0，令t=x0-2y0+2≤+2=2+2，則-x0y0=-t，S=·=·=·（t-4）≤（2+2-4）=-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=-時取等號. 所以，△PCD面積的最大值為-1.

師：非常好，從整體出發(fā)，通過換元、消元等運算，構(gòu)造單元函數(shù)，順利地解決了問題. 整個過程思路清晰、運算嚴(yán)謹(jǐn)，展現(xiàn)了較強(qiáng)的分析和推理能力.

教學(xué)說明 數(shù)學(xué)課堂是學(xué)生的舞臺，只有當(dāng)學(xué)生積極參與時，課堂才能發(fā)揮最大的效用. 在教學(xué)中，若教師直接將自己所理解的“最優(yōu)答案”拋給學(xué)生，學(xué)生或許能夠理解這個“最優(yōu)答案”，但由于缺乏思考和探索的過程，他們很難形成深刻的印象. 這很容易導(dǎo)致“懂而不會”情況的發(fā)生. 基于此，教師應(yīng)從學(xué)生的視角出發(fā)，重視呈現(xiàn)學(xué)生的思考過程，順應(yīng)學(xué)生的思維進(jìn)行適度的啟發(fā)和點撥，以此幫助學(xué)生突破思維障礙，重拾解題信心，提升教學(xué)有效性.

師：以上方法雖然能夠順利地解決問題，但是雙變量最值問題處理起來過于復(fù)雜，對運算能力的要求較高，很容易陷入思維瓶頸. 那么，有沒有其他方法呢？

生11：結(jié)合已知條件，不妨設(shè)直線PB的方程為y=kx+1

. 這樣便轉(zhuǎn)化成了單變量最值問題，但是其結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，我不知道接下來該如何計算.

師：思路非常清晰，在解題時充分考慮了隱含條件k<-，可見生11考慮問題非常周到. 這里一定要設(shè)直線PB的斜率嗎？是否可以設(shè)直線PA的斜率呢？（學(xué)生積極思考）

生12：可設(shè)直線PA的斜率為k，不過將其與橢圓方程聯(lián)立，所得方程不缺常數(shù)項，這樣在求點P的坐標(biāo)時需要因式分解，顯然比設(shè)直線PB的斜率更復(fù)雜.

師：很好，通過對比分析易于發(fā)現(xiàn)，生11所用的方法是一個優(yōu)秀的方法，不過，為什么在最后化簡時會遇到困難呢？是否可以簡化呢？

生13：m=可以進(jìn)一步化簡，得到m=. 將其代入面積表達(dá)式可得S= -2·. 令t=1+2k<0，則f（t）=2≤2×=-1，當(dāng)且僅當(dāng)k=時取等號. 所以，△PCD面積的最大值為-1.

師：很好，看來運算時要多觀察、多分析，這樣能達(dá)到優(yōu)化運算的效果.

教學(xué)說明 在明確目標(biāo)的指引下引導(dǎo)學(xué)生積極參與解題過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生的思維向高層次進(jìn)階.

問題解決后，教師預(yù)留時間讓學(xué)生將以上兩種方法進(jìn)行對比分析，進(jìn)一步體會兩種方法的優(yōu)勢和不足，通過有效反思和歸納，幫助學(xué)生形成解決此類問題的一般思路，提高學(xué)生分析和解決問題的能力. 當(dāng)然，對于本題，其解法并不局限于以上兩種，教師還可以啟發(fā)運用化動為靜、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法來探索問題，以此通過多角度探索，幫助學(xué)生突破思維障礙，提升學(xué)生的解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的解題信心.

教學(xué)思考

在解析幾何問題面前，學(xué)生常常會有這樣的感受：一聽就會，一做就錯. 那么，在學(xué)習(xí)過程中，為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？其實這與教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式息息相關(guān). 從“教”的角度來看，部分教師習(xí)慣以自己的主觀意識為出發(fā)點，將自己認(rèn)為的最優(yōu)解題方法“灌輸”給學(xué)生，導(dǎo)致學(xué)生缺乏獨立思考和自主探究的經(jīng)歷，難以達(dá)到深刻的理解，使得學(xué)生在遇到相似的問題情境時依然一籌莫展. 從“學(xué)”的視角分析，受傳統(tǒng)講授式教學(xué)模式的影響，學(xué)生容易對教師產(chǎn)生依賴. 在教師的帶領(lǐng)下，學(xué)生能夠很漂亮地解決問題，但是獨立求解時卻束手無策. 另外，師生為了追求解題速度，常常在形成解題思路后便急于探索后面的問題，而忽略了對運算能力的有效訓(xùn)練，使得學(xué)生在運算過程中漏洞百出，直接影響解題效果. 因此，在實際教學(xué)中，教師要改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，給學(xué)生更多的時間展示自己，讓學(xué)生在探究中逐漸完善自己，切實提升學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不要急于求成，應(yīng)關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知起點，合理創(chuàng)設(shè)問題進(jìn)行適度的啟發(fā)和指導(dǎo)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體價值，這是學(xué)生在課堂上具有自主性的保障;讓學(xué)生親歷問題發(fā)現(xiàn)、分析、解決等過程，以此幫助學(xué)生積累豐富的活動經(jīng)驗，這是學(xué)生在課堂上具有探究性的保障. 在確保學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自主性和探究性的同時，他們便能在學(xué)習(xí)過程中有效地克服思維障礙，進(jìn)而推動自己的思維向更高層次發(fā)展.