[摘 要] 概念是數(shù)學(xué)的根基，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的關(guān)鍵途徑. 文章以“直線與平面垂直的判定”教學(xué)為例，從“問(wèn)題情境，引出主題”“深入探究，抽象概念”“討論交流，深化理解”“實(shí)驗(yàn)輔助，揭露定理”“應(yīng)用鞏固，夯實(shí)強(qiáng)化”“歸納總結(jié)，提煉升華”展開(kāi)研究，并從以下幾個(gè)方面談一些思考與感悟：情境是聯(lián)系生活與數(shù)學(xué)知識(shí)的橋梁，逐層深入可深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，關(guān)注思維發(fā)展是提升核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.

[關(guān)鍵詞] 概念教學(xué);核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)教學(xué)

作者簡(jiǎn)介：陳冠峰（1981—），本科學(xué)歷，高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

在科技和經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展的當(dāng)下，社會(huì)對(duì)人才的渴求已超越了單純的學(xué)業(yè)成績(jī)，更加重視個(gè)人素養(yǎng)的提升. 數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，在培養(yǎng)人才方面扮演著至關(guān)重要的角色. 那么，如何通過(guò)概念教學(xué)來(lái)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)呢？這無(wú)疑是一個(gè)值得我們深入探討和研究的課題. 掌握新課程改革的導(dǎo)向，將“立德樹(shù)人”的教育理念置于概念教學(xué)的核心，可以顯著推動(dòng)學(xué)生必備品格和關(guān)鍵能力的形成. 本文以“直線與平面垂直的判定”為例，探討如何利用概念教學(xué)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 問(wèn)題情境，引出主題

問(wèn)題1 在一個(gè)空間內(nèi)，一條直線與一個(gè)平面之間存在的位置關(guān)系有哪幾種？

問(wèn)題2 請(qǐng)自主列舉一些生活中直線和平面相交的情況.

問(wèn)題3 旗桿與地面之間存在怎樣的位置關(guān)系？教學(xué)樓與地面呢？

問(wèn)題4 如果將手中的數(shù)學(xué)教科書(shū)展開(kāi)并垂直放置在課桌上，那么書(shū)脊與桌面之間存在怎樣的位置關(guān)系？

問(wèn)題5 觀察圖1，此為我國(guó)古代用來(lái)計(jì)時(shí)的“日晷”，從這幅圖中能否探尋到線和面垂直的關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的日常生活實(shí)例，逐步引導(dǎo)學(xué)生直觀地理解線面垂直是線面相交的一種特殊情形. 通過(guò)深入思考和分析這系列問(wèn)題，學(xué)生不僅對(duì)直線與平面垂直的概念有了深刻的理解，還通過(guò)日晷的探究活動(dòng)，領(lǐng)略了數(shù)學(xué)文化的魅力，并體會(huì)到了數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值[1].

2. 深入探究，抽象概念

師：直線與平面垂直的例子在生活中數(shù)不勝數(shù)，關(guān)于這一關(guān)系該如何用標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述呢？現(xiàn)在，請(qǐng)大家觀看一段短視頻：將直角三角板ABC（點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)）靠放在墻角，與墻面重合，直角邊AC所在的直線與墻角地面的垂直線重合. 圍繞AC邊旋轉(zhuǎn)直角三角板，確保AC邊始終與墻角地面垂直.

問(wèn)題6 當(dāng)直角三角板ABC圍繞AC邊旋轉(zhuǎn)時(shí)，其BC邊與地面之間存在怎樣的位置關(guān)系？

問(wèn)題7 當(dāng)直角三角板ABC圍繞BC邊旋轉(zhuǎn)時(shí)，其AC邊與BC邊所構(gòu)成的角度會(huì)不會(huì)發(fā)生變化？

問(wèn)題8 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AC邊與地面上任意一條不過(guò)點(diǎn)C的直線之間存在怎樣的位置關(guān)系？

問(wèn)題9 如何根據(jù)以上情境抽象線面垂直的概念？

在學(xué)生自主探索抽象概念的過(guò)程中，教師可以提供以下指導(dǎo)：①你是如何理解線面垂直概念的？②類(lèi)比將異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線以探究線線垂直的方法，分析是否可以將線面垂直關(guān)系進(jìn)行類(lèi)似轉(zhuǎn)化？③鼓勵(lì)學(xué)生自主畫(huà)圖進(jìn)行探索和思考;④借鑒線線垂直、線面平行等定義，思考是否可以用一條直線與平面內(nèi)某條直線垂直來(lái)定義線面垂直關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖 短視頻的運(yùn)用及其引發(fā)的問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的直觀視覺(jué)感知，引導(dǎo)他們?cè)趩?wèn)題的驅(qū)動(dòng)下逐步深化思考，并自主實(shí)現(xiàn)具體與抽象概念之間的靈活轉(zhuǎn)換，從而歸納出線面垂直的定義. 通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)模式的實(shí)施，進(jìn)一步提升學(xué)生在課堂上的主動(dòng)參與度. 這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在通過(guò)課堂探究活動(dòng)，深入培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng).

3. 討論交流，深化理解

（1）辨析定義

問(wèn)題10 若一條直線與一個(gè)平面之間存在垂直關(guān)系，那么這條直線與該平面內(nèi)的任意直線之間存在怎樣的位置關(guān)系？

問(wèn)題11 怎樣用數(shù)學(xué)符號(hào)描述上述關(guān)系？

問(wèn)題12 如果將問(wèn)題10中的“任意直線”替換為“所有直線”或“無(wú)數(shù)條直線”，所形成的命題是否仍然成立？

設(shè)計(jì)意圖 前兩個(gè)問(wèn)題旨在激發(fā)學(xué)生深入思考，以加深對(duì)線面垂直概念的理解及其應(yīng)用范圍，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ);而問(wèn)題12則通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)定義進(jìn)行細(xì)致的辨析，進(jìn)一步加深對(duì)概念的理解，從而培養(yǎng)他們嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐袛嗄芰?

（2）正反對(duì)比

問(wèn)題13 列舉一些生活中線面相交卻不垂直的實(shí)例.

問(wèn)題14 （展示比薩斜塔）為何比薩斜塔與地面之間并非垂直關(guān)系呢？

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)分別應(yīng)用正例與反例，學(xué)生能夠?qū)W會(huì)從不同角度分析和思考問(wèn)題，從而更深入地理解定義的現(xiàn)實(shí)意義，并體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)與日常生活的緊密聯(lián)系.

（3）辨析思考

問(wèn)題15 若一條直線與一個(gè)平面垂直，則該直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直嗎？

學(xué)生通過(guò)使用三角板、筆和桌面進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，自主得到初步結(jié)論. 隨后，教師展示反例圖，以加深學(xué)生的理解，并揭示問(wèn)題的正確答案.

設(shè)計(jì)意圖 這是一次辨析討論，旨在深化學(xué)生對(duì)“線面垂直”定義的理解，讓學(xué)生真正掌握“線線垂直”是判定“線面垂直”的一種基本方法. 在問(wèn)題探索與反例的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生的思維能力得到了進(jìn)一步的提升.

4. 實(shí)驗(yàn)輔助，揭露定理

（1）觀察分析，思考定理

問(wèn)題16 如何判定直線與平面垂直的關(guān)系？

在分析這一問(wèn)題時(shí)，學(xué)生通常會(huì)經(jīng)歷以下思考過(guò)程：首先，盡管定義是判定的依據(jù)，但在實(shí)際應(yīng)用中卻面臨一些障礙;其次，如何將無(wú)數(shù)條直線垂直關(guān)系的驗(yàn)證簡(jiǎn)化為有限條直線垂直關(guān)系的驗(yàn)證;最后，探索新的途徑，例如研究相交線可能帶來(lái)更佳的結(jié)果.

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題16雖然簡(jiǎn)潔明了，但學(xué)生的思維過(guò)程卻相當(dāng)復(fù)雜. 隨著思考的深入，學(xué)生不僅會(huì)發(fā)現(xiàn)比“定義法”更為便捷和實(shí)用的判斷方法，還會(huì)進(jìn)一步培養(yǎng)出形成猜想和進(jìn)行驗(yàn)證的習(xí)慣. 這些步驟是探索真理不可或缺的路徑.

問(wèn)題17 觀察圖2，分別思考一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線、兩條直線之間成垂直關(guān)系，是否可以判定該直線與該平面也必然垂直.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察長(zhǎng)方體來(lái)分析線面垂直關(guān)系，并將探索的思路從“與一條直線垂直”擴(kuò)展至“與兩條直線垂直”. 該設(shè)計(jì)符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

（2）實(shí)操活動(dòng)，感知定理

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)安排：要求學(xué)生取出課前準(zhǔn)備好的三角形卡紙，如圖3所示，AD為△ABC的高，將該三角形沿著AD翻折，豎直立于桌面，DB，DC緊貼桌面. 此時(shí)AD和桌面之間的位置關(guān)系是怎樣的？若AD并非該三角形的高，這種位置關(guān)系還存在嗎？

學(xué)生在探索過(guò)程中，主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行思考：①AD與桌面之間是否垂直？②如何折疊才能讓AD與桌面保持垂直的位置關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生自主折疊卡紙，目的是讓學(xué)生通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)直觀地感知定理的特征，從而促進(jìn)其幾何直觀能力的發(fā)展. 通過(guò)揭示學(xué)生的思考過(guò)程，旨在培養(yǎng)他們的邏輯思維能力. 這樣的設(shè)計(jì)旨在豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并積累他們的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（3）概括總結(jié)，形成定理

通過(guò)小組合作與交流的方式，激發(fā)學(xué)生自主探討線面垂直判定定理的興趣. 每個(gè)小組指定一名成員將討論成果向全班展示，其他同學(xué)則負(fù)責(zé)提出建議和評(píng)價(jià). 教師在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候提供指導(dǎo). 一旦學(xué)生掌握了規(guī)范的書(shū)面表達(dá)，他們將從圖形和符號(hào)兩個(gè)角度對(duì)定理進(jìn)行闡述，從而深入理解將“線面垂直”轉(zhuǎn)化為“線線垂直”的重要性.

設(shè)計(jì)意圖 合作學(xué)習(xí)是一種集思廣益的活動(dòng)，通過(guò)相互啟發(fā)，學(xué)生的思維得以不斷完善. 鼓勵(lì)學(xué)生自主進(jìn)行討論，并深入探討線面垂直的定理，旨在激發(fā)他們的興趣和思考，同時(shí)提升他們歸納總結(jié)和抽象概括的能力. 此外，通過(guò)數(shù)學(xué)圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的描述，旨在進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，引導(dǎo)他們學(xué)會(huì)從不同的角度分析問(wèn)題，為構(gòu)建結(jié)構(gòu)化的思維模式打下基礎(chǔ).

問(wèn)題18 如果一條直線與平面內(nèi)的某條直線呈垂直關(guān)系，能否據(jù)此判定該直線與該平面也是垂直的呢？

問(wèn)題19 平面內(nèi)的兩條直線是否必然為相交關(guān)系？

針對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題，學(xué)生從反例的角度出發(fā)進(jìn)行分析，并通過(guò)模型擺放來(lái)驗(yàn)證，從而對(duì)線面垂直判定定理有更深入的理解.

設(shè)計(jì)意圖 辨析問(wèn)題的應(yīng)用，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)線面垂直判定定理的理解，特別是定理中所強(qiáng)調(diào)的“兩條相交直線”這個(gè)條件，使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到這個(gè)條件的必要性.

5. 應(yīng)用鞏固，夯實(shí)強(qiáng)化

例題 如圖4所示，已知V-ABC為一個(gè)三棱錐，其中AB=BC，AV=CV，AC的中點(diǎn)為點(diǎn)K，請(qǐng)證明線段AC與平面BVK垂直.

變式題1：如圖4所示，已知V-ABC為一個(gè)三棱錐，其中AB=BC，AV=CV，請(qǐng)證明VB與AC垂直.

變式題2：如圖5所示，若變式題1中的AB，BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，則EF與平面BVK之間存在怎樣的位置關(guān)系？若根據(jù)“BV與AC，EF垂直”這個(gè)條件，直接判定BV與平面ABC垂直，是否合理？

設(shè)計(jì)意圖 提出問(wèn)題及其變式旨在加強(qiáng)學(xué)生對(duì)線面垂直判定定理的理解，并進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，以促進(jìn)知識(shí)間聯(lián)系的建立，從而推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力的發(fā)展.

6. 歸納總結(jié)，提煉升華

引導(dǎo)學(xué)生自主提煉在課堂上獲得了哪些知識(shí)，強(qiáng)調(diào)“定義法”“定理判定法”等的注意事項(xiàng)，帶領(lǐng)學(xué)生提煉課堂中所探討的思想方法.

設(shè)計(jì)意圖 總結(jié)提煉的過(guò)程是知識(shí)、方法、思想的梳理過(guò)程，也是進(jìn)一步鞏固“四基”與“四能”的過(guò)程. 學(xué)生通過(guò)自主歸納，能夠提升思維層次，促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模與邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展.

思考與感悟

1.情境是聯(lián)系生活與數(shù)學(xué)知識(shí)的橋梁

概念本身具有高度的抽象性，若采用“灌輸式”的教學(xué)方法，學(xué)生僅能記憶概念的字面意義，對(duì)其起源、本質(zhì)、內(nèi)涵和外延一無(wú)所知. 當(dāng)這些概念應(yīng)用于實(shí)際情境時(shí)，便會(huì)出現(xiàn)諸多問(wèn)題[2]. 情境的應(yīng)用為枯燥的概念注入了生命力，使學(xué)生在生動(dòng)的生活場(chǎng)景中體驗(yàn)到概念形成的必要性和重要性，并對(duì)概念所揭示的生活意義有了清晰的理解. 因此，情境不僅是激發(fā)學(xué)生對(duì)概念產(chǎn)生直觀認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，也是連接生活與數(shù)學(xué)知識(shí)的紐帶.

2. 逐層深入可深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解

建構(gòu)主義理論強(qiáng)調(diào)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系. 考慮到學(xué)生思維發(fā)展的漸進(jìn)性，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)時(shí)應(yīng)堅(jiān)持“循序漸進(jìn)”的原則，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入理解概念的核心，深刻領(lǐng)會(huì)概念的內(nèi)涵. 在本節(jié)課中，教師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，通過(guò)一系列層層深入的問(wèn)題激發(fā)學(xué)生思考，幫助他們明確探索目標(biāo)，并有效地將新知整合到已有的知識(shí)體系中.

3. 關(guān)注思維發(fā)展是提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)是思維的體操. 在新課標(biāo)指導(dǎo)下，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心在于密切關(guān)注學(xué)生思維能力的成長(zhǎng)，這是促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵所在. 研究指出，引導(dǎo)學(xué)生的思維進(jìn)入“憤悱”狀態(tài)，能夠激發(fā)他們內(nèi)在的探索動(dòng)力，提升研究的成效. 這使得學(xué)生能在深入學(xué)習(xí)的過(guò)程中，深刻理解知識(shí)的精髓，提煉出有效的思考方法，并培養(yǎng)出優(yōu)秀的數(shù)學(xué)邏輯思維和抽象能力.

總之，“返璞歸真”是教育的最高境界. 在追求核心素養(yǎng)發(fā)展的當(dāng)下，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生在課堂中的參與程度、學(xué)習(xí)體驗(yàn)、經(jīng)驗(yàn)積累等，將“育人”理念作為教學(xué)的基本理念，以真正促使學(xué)生培養(yǎng)出終身可持續(xù)發(fā)展的必要品質(zhì)和關(guān)鍵能力.

參考文獻(xiàn)：

[1] 唐俊濤. 讓文科生“愛(ài)上”數(shù)學(xué)怎么那么難[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（7）：11-13.

[2] 楊西龍. 優(yōu)化數(shù)學(xué)概念教學(xué) 促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)：從“直線與平面垂直的判定”例談概念教學(xué)策略[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（7）：14-17.