[摘 要] 核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，需充分尊重學(xué)生個(gè)體之間客觀存在的差異，并明確實(shí)施差異化教學(xué)是實(shí)現(xiàn)新課標(biāo)要求的基本方法. 文章以“橢圓定點(diǎn)、定值與范圍”的習(xí)題教學(xué)為例，提出學(xué)情調(diào)查是差異化教學(xué)的基礎(chǔ)，優(yōu)選教學(xué)內(nèi)容是差異化教學(xué)的關(guān)鍵，過(guò)程評(píng)價(jià)是差異化教學(xué)的核心.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);差異化;橢圓

基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度“協(xié)同創(chuàng)新”專(zhuān)項(xiàng)課題“核心素養(yǎng)導(dǎo)向差異數(shù)學(xué)實(shí)踐范式研究”（Fjxczx23-006）.

作者簡(jiǎn)介：蔡明溪（1981—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出：數(shù)學(xué)教育的核心在于促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生的個(gè)性化差異，并通過(guò)差異化教學(xué)策略來(lái)支持每位學(xué)生的個(gè)性化成長(zhǎng). 實(shí)踐證明，差異化教學(xué)能夠有效地將“育人”理念貫徹到每位學(xué)生身上. 教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，創(chuàng)新設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，根據(jù)學(xué)生的個(gè)體差異實(shí)施有針對(duì)性的教學(xué)，確保每位學(xué)生都能在課堂上取得適合自己水平的進(jìn)步，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的“立德樹(shù)人”宗旨，并真正地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

學(xué)情調(diào)查是差異化教學(xué)的基礎(chǔ)

差異化教學(xué)旨在滿足學(xué)生個(gè)體間客觀存在的差異，其實(shí)施的前提是深入了解每位學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平. 習(xí)題課作為新課程的延伸活動(dòng)，旨在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所掌握的知識(shí)和解題策略來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，從而加深對(duì)知識(shí)和技能的理解，提升思維層次，并為培養(yǎng)扎實(shí)的數(shù)學(xué)思維打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

傳統(tǒng)意義上的習(xí)題教學(xué)模式雖然能為師生共同探索解決問(wèn)題，但學(xué)生之間客觀存在的差異導(dǎo)致他們?cè)趹?yīng)對(duì)各種數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)時(shí)，會(huì)表現(xiàn)出個(gè)體偏好，并展現(xiàn)出不同的能力水平. 為了深入了解學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，并為設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)提供依據(jù)，教師可以在課前通過(guò)調(diào)查的方式收集并統(tǒng)計(jì)學(xué)生在各個(gè)領(lǐng)域的能力. 習(xí)題課的調(diào)查通常以問(wèn)題為“引子”，通過(guò)對(duì)學(xué)生解題思維狀況的分析，獲得真實(shí)的學(xué)情. 在本節(jié)課開(kāi)始之前，教師精心設(shè)計(jì)了三個(gè)問(wèn)題，供學(xué)生自主選擇并解答.

問(wèn)題1 如圖1所示，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)A與點(diǎn)B分別為橢圓+=1的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M恒保持MB⊥AB，將點(diǎn)A，M連接起來(lái)，與橢圓相交于點(diǎn)P，求證：·恒為定值.

問(wèn)題2 如圖2所示，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中的一條直線l與橢圓+=1相交于點(diǎn)A，B，且過(guò)該橢圓的右焦點(diǎn)F. 如果直線l與坐標(biāo)橫軸是非重合的關(guān)系，那么在坐標(biāo)橫軸上是否存在定點(diǎn)C使得坐標(biāo)橫軸恒平分∠BCA？若存在，寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明為什么.

問(wèn)題3 如圖3所示，已知平面直角坐標(biāo)系xOy中存在三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，P，這三點(diǎn)均在橢圓E：+=1上運(yùn)動(dòng)，且恒滿足·=0. 若線段AB上存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，且恒滿足·=0，那么

的取值范圍是什么？

設(shè)計(jì)意圖 上述三個(gè)問(wèn)題是根據(jù)課標(biāo)要求、教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生常犯的錯(cuò)誤類(lèi)型以及思維障礙點(diǎn)，按照由淺入深的梯度設(shè)計(jì)的. 學(xué)生在課前根據(jù)自己的實(shí)際認(rèn)知水平挑選一道題目進(jìn)行解答. 課代表將解答問(wèn)題1、問(wèn)題2、問(wèn)題3的學(xué)生分別歸納到第1組、第2組、第3組進(jìn)行統(tǒng)計(jì). 這種安排旨在準(zhǔn)確掌握學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，為課堂教學(xué)提供有價(jià)值的參考.

優(yōu)選教學(xué)內(nèi)容是差異化教學(xué)的關(guān)鍵

工欲善其事，必先利其器. 讓每一名學(xué)生都能成為合格的人才，是每一位教育工作者都在不斷思考和探索解決的問(wèn)題[1]. 想要真正提高差異化教學(xué)的效益，就要在充分了解學(xué)情的基礎(chǔ)上優(yōu)選教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生在典型、層次清晰的問(wèn)題中逐漸拔高思維，發(fā)展核心素養(yǎng). 優(yōu)選教學(xué)內(nèi)容主要從以下幾個(gè)方面著手.

1. 逐層遞進(jìn)，鋪設(shè)臺(tái)階

此為針對(duì)第1組學(xué)生而設(shè)定的教學(xué)方案，之所以如此計(jì)劃，是因?yàn)檫x擇問(wèn)題1的學(xué)生的基礎(chǔ)普遍偏弱，教學(xué)重點(diǎn)在于動(dòng)態(tài)處理問(wèn)題與設(shè)立參數(shù)上. 問(wèn)題1明確提出了一條動(dòng)直線和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，核心目標(biāo)是解決與這些動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的定值問(wèn)題. 結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況和教學(xué)目標(biāo)，教師可以為這部分學(xué)生設(shè)計(jì)以下例題，為他們的思維發(fā)展搭建“腳手架”.

引例1 如圖4所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓+=1的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，點(diǎn)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，k，k分別為AP，BP的斜率，求證：k·k恒為定值.

本題難度適中，僅存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，學(xué)生能夠輕松發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用“設(shè)參法（設(shè)點(diǎn)P）”來(lái)解決問(wèn)題.

引例2 如圖5所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一個(gè)橢圓+=1，點(diǎn)C為該橢圓的上頂點(diǎn)，一條過(guò)原點(diǎn)的直線與該橢圓相交于點(diǎn)A，B，明確k，k分別為CA，CB的斜率，那么k·k的值是多少？

本題將引例1內(nèi)的橢圓的“長(zhǎng)軸”轉(zhuǎn)化為“動(dòng)直線”，對(duì)學(xué)生的思維能力提出了更高的要求. 本題可應(yīng)用“k參法”揭露動(dòng)直線方程，再借助韋達(dá)定理獲得k·k的值為-.

設(shè)計(jì)意圖 根據(jù)第1組學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)計(jì)上述兩道引例，一方面，鞏固他們的知識(shí)基礎(chǔ);另一方面，激發(fā)他們的潛能. 通過(guò)解決這兩道引例，學(xué)生將掌握運(yùn)用“設(shè)參法”解決問(wèn)題的技巧，這有助于培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，并為提高核心素養(yǎng)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2. 先學(xué)后教，適當(dāng)啟發(fā)

此為針對(duì)第2組學(xué)生設(shè)定的教學(xué)方案. 盡管這組學(xué)生在認(rèn)知方面存在一定的不足，但他們已經(jīng)展現(xiàn)出了良好的思維能力. 只要教師能夠提供恰當(dāng)?shù)膯l(fā)，就能夠引導(dǎo)他們找到解決問(wèn)題的途徑. 實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生自主先學(xué)，可激發(fā)學(xué)生的思維，增加點(diǎn)撥的效果. 教師帶領(lǐng)學(xué)生提煉問(wèn)題2中的核心信息，要求學(xué)生自主描述解決問(wèn)題的突破口. 在學(xué)生自主探究的基礎(chǔ)上，教師再給予適當(dāng)點(diǎn)撥，以逐步提升學(xué)生的思維能力.

當(dāng)學(xué)生解答完問(wèn)題2后，教師應(yīng)有針對(duì)性地提出變式問(wèn)題，為學(xué)生的思維搭建階梯，使他們能夠在現(xiàn)有基礎(chǔ)上進(jìn)一步提升思維能力. 重要的是，教師需要確保學(xué)生擁有足夠的思考時(shí)間和空間，鼓勵(lì)他們?cè)谧晕以u(píng)價(jià)和相互評(píng)價(jià)的過(guò)程中積極思考，以此加深對(duì)問(wèn)題的理解，并減少認(rèn)知上的偏差.

變式題1 如圖6所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一個(gè)橢圓+=1，點(diǎn)C為該橢圓的上頂點(diǎn)，一條直線l與該橢圓相交于點(diǎn)A，B，明確k，k分別為BC，AC的斜率，且k·k=-1，求證：直線l恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖 變式題1以問(wèn)題2為母題，通過(guò)對(duì)問(wèn)題條件與結(jié)論的互換，培養(yǎng)學(xué)生的靈活思維. 本題的解題思路與原題高度相似，先設(shè)直線l的方程為y=kx+m，將所設(shè)方程代入橢圓的方程內(nèi)，再利用韋達(dá)定理對(duì)等式k·k=-1進(jìn)行化簡(jiǎn)，如此獲得直線l恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為

0，-

.

變式題2 如圖7所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一個(gè)橢圓+=1，點(diǎn)C，D分別為該橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)B為該橢圓上與C，D不重合的動(dòng)點(diǎn)，AC，BD相交于點(diǎn)A. 已知k，k分別是BC，AC的斜率，且k·k= -，求證：點(diǎn)A必定位于一條定直線上.

在教師的點(diǎn)撥下，學(xué)生運(yùn)用“設(shè)參法（設(shè)點(diǎn)B）”，結(jié)合條件k·k=-，通過(guò)“交軌法”獲得點(diǎn)A恒位于y=3這條直線上，由此避免了復(fù)雜的二元二次方程運(yùn)算過(guò)程，簡(jiǎn)化了運(yùn)算難度.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)對(duì)問(wèn)題2中直線條件的改變引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生進(jìn)一步理解斜率間的等量關(guān)系. 此變式題應(yīng)用三條動(dòng)直線、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)和兩個(gè)定點(diǎn)，進(jìn)一步提升了問(wèn)題的難度，為這一層次的學(xué)生帶來(lái)了新的挑戰(zhàn).

3. 以學(xué)定教，全面發(fā)展

此為針對(duì)第3組學(xué)生設(shè)定的教學(xué)方案. 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)以教師的“傳授”為主，這種“注入式”的教學(xué)模式難以調(diào)動(dòng)學(xué)生自主探索的積極性，更難激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). 在核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)“學(xué)習(xí)共同體”的教學(xué)理念. 這一理念倡導(dǎo)將具有不同認(rèn)知水平和專(zhuān)長(zhǎng)的師生融合成一個(gè)共同體，緊密?chē)@學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)行協(xié)作與互動(dòng). 在這一過(guò)程中，學(xué)生主動(dòng)展示自己的思維過(guò)程，并在同伴的啟發(fā)下相互學(xué)習(xí)，取長(zhǎng)補(bǔ)短. 同時(shí)，教師提供必要的指導(dǎo)和支持，以促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng).

第3組學(xué)生的認(rèn)知能力較為突出，思維層次也相對(duì)較高. 針對(duì)他們，教師可在問(wèn)題3的基礎(chǔ)上，開(kāi)展互動(dòng)和交流活動(dòng). 在這一過(guò)程中，教師應(yīng)扮演好引導(dǎo)者的角色，努力激發(fā)學(xué)生的潛能，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維，并為他們建立扎實(shí)的邏輯推理能力打下基礎(chǔ).

問(wèn)題3的解題方法主要有以下三種，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生合作交流、展示與分享.

解法1 設(shè)參數(shù)k，利用方程思想，借助“交軌法”獲得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為“以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓”，由題設(shè)條件可得

-，2+

為

的取值范圍.

解法2 設(shè)參數(shù)k，利用數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)圓的定義獲得點(diǎn)Q的軌跡，最后得到問(wèn)題的答案[2].

解法3 設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，在消元的基礎(chǔ)上，利用轉(zhuǎn)化思想，根據(jù)圓的定義獲得點(diǎn)Q的軌跡，最后得到問(wèn)題的答案.

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題3的難度較高，盡管一些認(rèn)知能力較強(qiáng)的學(xué)生在課前嘗試去解決這道題，但能夠靈活運(yùn)用上述三種方法解題的學(xué)生卻寥寥無(wú)幾. 因此，教師在課堂上以團(tuán)隊(duì)合作的方式，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮自己的長(zhǎng)處，將自己的所感、所想展示出來(lái)，在取長(zhǎng)補(bǔ)短的基礎(chǔ)上建構(gòu)學(xué)習(xí)共同體. 如此設(shè)計(jì)，為師生的積極互動(dòng)提供了機(jī)會(huì)，學(xué)生在師生、生生之間的拓展性對(duì)話與交流中不斷完善認(rèn)知體系，重塑思維.

過(guò)程評(píng)價(jià)是差異化教學(xué)的核心

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的課堂教學(xué)需將傳統(tǒng)意義上的“終結(jié)性評(píng)價(jià)”模式轉(zhuǎn)化為“過(guò)程性評(píng)價(jià)”模式，此為促進(jìn)學(xué)生長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的基礎(chǔ)，也是發(fā)揮課堂長(zhǎng)久教學(xué)效應(yīng)的基本方法. 實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，教師結(jié)合學(xué)生客觀存在的差異性，設(shè)置差異化的評(píng)價(jià)機(jī)制，可讓每個(gè)認(rèn)知層次的學(xué)生都能感受到學(xué)習(xí)帶來(lái)的成就感，由此產(chǎn)生更強(qiáng)烈的表現(xiàn)欲，為推動(dòng)學(xué)力發(fā)展服務(wù).

為了提升學(xué)生對(duì)過(guò)程性評(píng)價(jià)的認(rèn)識(shí)，教師可激勵(lì)他們?cè)谡n后通過(guò)小組合作的方式，將學(xué)習(xí)的全過(guò)程、心路歷程以及感悟整理成數(shù)學(xué)小論文，并在班級(jí)中進(jìn)行分享. 這一做法旨在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和對(duì)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的理解.

總之，核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)學(xué)差異化教學(xué)的研究任重而道遠(yuǎn)，這是一種關(guān)注學(xué)生個(gè)體長(zhǎng)期發(fā)展變化的教學(xué)模式，對(duì)學(xué)生的必備品格與關(guān)鍵能力的發(fā)展具有重要意義. 在這樣的課堂氛圍中，學(xué)生能夠體驗(yàn)到尊重、理解和促進(jìn)，這正是新課程改革的核心方向之一，也是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的重要策略.

參考文獻(xiàn)：

[1] 謝志琴. 因材施教，實(shí)施差異化教學(xué)[J]. 學(xué)周刊，2019（9）：27.

[2] 陳玉娟，季建生. 基于數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的習(xí)題課教學(xué)：從學(xué)習(xí)者差異原則談起[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（7）：50-53.