[摘 要] 立體幾何知識(shí)具有較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性和抽象性，傳統(tǒng)教學(xué)模式難以將其直觀地傳遞給學(xué)生，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法清晰理解圖形的空間布局及其元素間的關(guān)系，從而產(chǎn)生較高的認(rèn)知負(fù)荷. 因此，基于負(fù)荷產(chǎn)生的原因，通過GeoGebra軟件的動(dòng)態(tài)展示功能，探索并優(yōu)化立體幾何教學(xué)中認(rèn)知負(fù)荷的策略. 文章以“基本立體圖形”教學(xué)為例，依據(jù)策略制定實(shí)驗(yàn)教學(xué)方案，并對(duì)實(shí)施效果進(jìn)行分析評(píng)估.

[關(guān)鍵詞] 認(rèn)知負(fù)荷理論;GeoGebra;立體幾何;基本立體圖形

《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》（下文簡(jiǎn)稱“雙減”）一經(jīng)發(fā)布，便迅速吸引了中國(guó)教育界的廣泛關(guān)注. “雙減”政策明確指出“確保學(xué)生在校內(nèi)學(xué)足學(xué)好”，這表明“雙減”政策的主陣地是課堂. 作為“雙減”政策的執(zhí)行者，教師必須認(rèn)識(shí)到課堂的關(guān)鍵作用，并學(xué)會(huì)優(yōu)化教學(xué)方法[1]. 在高中立體幾何的教學(xué)中，傳統(tǒng)的教學(xué)方式難以直觀傳授相關(guān)知識(shí). 探究其根本原因，在于立體幾何知識(shí)固有的高度抽象性和思維的隱蔽性，這導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中面臨較大的認(rèn)知負(fù)荷. 因此，教師可以借助動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件輔助立體幾何教學(xué)，將知識(shí)外顯化，思維可視化，以實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》針對(duì)立體幾何的教學(xué)提出了明確要求，即教師應(yīng)借助實(shí)物模型或計(jì)算機(jī)軟件來(lái)展示空間圖形，以便學(xué)生能夠更好地理解空間圖形的結(jié)構(gòu)特性，并掌握在平面上表示空間圖形的方法與技能[2]. 面對(duì)復(fù)雜且抽象的立體圖形，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中常常面臨較高的認(rèn)知負(fù)荷，這是影響學(xué)習(xí)成效的關(guān)鍵因素，也是教師在立體幾何教學(xué)中必須解決的問題. 如何借助數(shù)學(xué)軟件，將立體幾何中高度抽象性和復(fù)雜關(guān)聯(lián)性的知識(shí)內(nèi)容，以直觀的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，無(wú)疑是一項(xiàng)艱巨的挑戰(zhàn).

認(rèn)知負(fù)荷理論與GeoGebra軟件

在1988年，教育心理學(xué)家斯威勒（John Sweller）及其同事提出了認(rèn)知負(fù)荷理論. 該理論認(rèn)為，在學(xué)習(xí)或解決問題的過程中，學(xué)習(xí)者的大腦工作記憶對(duì)學(xué)習(xí)材料進(jìn)行加工，其資源是有限的;與此同時(shí)，大腦的長(zhǎng)期記憶則用于儲(chǔ)存已知的加工編碼信息，其資源則是無(wú)限的. 在工作記憶對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行信息處理和存儲(chǔ)的過程中所消耗的認(rèn)知資源，被稱為認(rèn)知負(fù)荷[3]. 總認(rèn)知負(fù)荷由內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷、外在認(rèn)知負(fù)荷以及關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷三個(gè)部分組成. 內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷由知識(shí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)者現(xiàn)有水平?jīng)Q定，當(dāng)學(xué)習(xí)材料繁雜，學(xué)習(xí)者缺乏相應(yīng)認(rèn)知水平，信息加工時(shí)會(huì)產(chǎn)生較高內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷，加重學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)[4]. 外在認(rèn)知負(fù)荷由教學(xué)設(shè)計(jì)決定，若教學(xué)材料的組織不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致外在認(rèn)知負(fù)荷過高，阻礙學(xué)習(xí). 關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷由學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力決定，是有利的認(rèn)知負(fù)荷[5]. 三種認(rèn)知負(fù)荷的和就是總認(rèn)知負(fù)荷. 為了確保學(xué)習(xí)效率，總認(rèn)知負(fù)荷必須低于工作記憶中可用的認(rèn)知資源容量. 一旦總認(rèn)知負(fù)荷超出工作記憶所能承受的范圍，學(xué)習(xí)者將面臨認(rèn)知困難，這將對(duì)學(xué)習(xí)成效產(chǎn)生負(fù)面影響.

在教學(xué)領(lǐng)域中，以認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，工作記憶的有限性為核心的認(rèn)知負(fù)荷理論，是影響力最大的理論框架之一[6]. 在教學(xué)過程中，降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷和外在認(rèn)知負(fù)荷，同時(shí)增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，是至關(guān)重要的. 這樣可以確保學(xué)習(xí)者所承受的認(rèn)知負(fù)荷總量達(dá)到最優(yōu)化水平，從而促進(jìn)有效學(xué)習(xí)的發(fā)生. 對(duì)于高中數(shù)學(xué)中那些復(fù)雜且高度抽象的知識(shí)點(diǎn)，單純依靠教師的口頭講解、板書和實(shí)物模型的傳統(tǒng)教學(xué)方法，顯然無(wú)法充分優(yōu)化學(xué)生所經(jīng)歷的認(rèn)知負(fù)荷. 然而，動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件憑借其3D動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)功能，能夠有效地減輕認(rèn)知負(fù)擔(dān)并提高學(xué)習(xí)效率. 因此，“將動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件作為優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷的有效工具”已成為一種必然趨勢(shì).

在2002年，美國(guó)亞特蘭大大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter開發(fā)了動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件GeoGebra. 這款軟件集幾何繪圖、代數(shù)運(yùn)算和數(shù)據(jù)處理等多種功能于一體，是動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)學(xué)科的重要工具. GeoGebra的兩大顯著特點(diǎn)在于：首先，它能夠同步展示幾何圖形與代數(shù)方程的變化，實(shí)現(xiàn)圖形與代數(shù)的無(wú)縫對(duì)接，極大地豐富教學(xué)資源;其次，軟件中的代數(shù)區(qū)、3D繪圖區(qū)、工作表和運(yùn)算區(qū)等多個(gè)模塊之間能夠相互關(guān)聯(lián)和互動(dòng)，確保教學(xué)材料的直觀展示[7]. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，GeoGebra相較于其他數(shù)學(xué)軟件而言，擁有開源免費(fèi)、易于學(xué)習(xí)以及強(qiáng)大的3D繪圖功能等顯著優(yōu)勢(shì). 其卓越的3D展示能力能夠從多個(gè)角度生動(dòng)地呈現(xiàn)立體圖形的空間結(jié)構(gòu)及其形態(tài)變化，有效地將抽象的數(shù)學(xué)概念具體化. 通過“數(shù)”與“形”的同步變化，學(xué)生能夠構(gòu)建起代數(shù)與幾何圖形之間的聯(lián)系，使得數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性變得直觀且易于操作[8]. 應(yīng)用軟件能夠使學(xué)生內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維變得顯性，從而直觀地感知學(xué)習(xí)材料，并進(jìn)一步優(yōu)化認(rèn)知負(fù)荷.

GeoGebra環(huán)境下優(yōu)化認(rèn)知負(fù)荷的立體幾何教學(xué)策略

依據(jù)認(rèn)知負(fù)荷理論，探討三種認(rèn)知負(fù)荷的成因，以GeoGebra軟件作為降低認(rèn)知負(fù)荷的有效手段，在立體幾何教學(xué)過程中減輕內(nèi)在和外在認(rèn)知負(fù)荷，同時(shí)提升關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷. 通過參考圖1所示的策略，可以優(yōu)化總體認(rèn)知負(fù)荷.

1. 結(jié)合教學(xué)內(nèi)容使用GeoGebra，分解內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷

內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷是原生性負(fù)荷，主要取決于教學(xué)內(nèi)容的復(fù)雜性以及學(xué)習(xí)者當(dāng)前的知識(shí)水平. 在立體幾何教學(xué)中，面對(duì)復(fù)雜且抽象的教學(xué)內(nèi)容，可以通過將教學(xué)內(nèi)容細(xì)分為若干主題來(lái)簡(jiǎn)化教學(xué). 對(duì)于選定的主題，進(jìn)一步規(guī)劃教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)方法和課時(shí)分配，從而明確各個(gè)階段的教學(xué)任務(wù). 一方面，通過合理安排教學(xué)課時(shí)和細(xì)化教學(xué)目標(biāo)，可以減少學(xué)生需要處理的信息量及其相互作用，從而降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷. 另一方面，將GeoGebra軟件的運(yùn)用融入教學(xué)，采用過程化的教學(xué)手段，將原本隱性的知識(shí)轉(zhuǎn)化為顯性，揭示不同元素之間的聯(lián)系，這有助于知識(shí)的遷移和理解，進(jìn)一步減輕學(xué)生的內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷.

2. GeoGebra直觀展現(xiàn)學(xué)習(xí)材料，降低外在認(rèn)知負(fù)荷

外在認(rèn)知負(fù)荷是由于教學(xué)材料設(shè)計(jì)不當(dāng)而造成的無(wú)效認(rèn)知負(fù)荷. 在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，若難以直觀形象地呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料，學(xué)生可能難以領(lǐng)會(huì)材料中各元素的含義，也難以梳理這些元素之間的聯(lián)系，這可能導(dǎo)致他們面臨較高的外在認(rèn)知負(fù)荷. 為了減輕外在認(rèn)知負(fù)荷，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)從展示角度和形式等多個(gè)維度優(yōu)化學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式. 適時(shí)運(yùn)用GeoGebra的3D繪圖和數(shù)形同步變化等功能，以科學(xué)和直觀的方式展示學(xué)習(xí)內(nèi)容，通過視覺化手段幫助學(xué)生直觀地感知材料中的元素特征及其邏輯關(guān)系，確保學(xué)習(xí)內(nèi)容的適宜呈現(xiàn)，從而降低外在認(rèn)知負(fù)荷.

3. 選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，增加關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷

關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷，作為一種對(duì)學(xué)習(xí)有益的負(fù)荷，具有雙重正面效應(yīng). 首先，它通過提供內(nèi)容豐富、形式多樣的課堂環(huán)境，能夠調(diào)整學(xué)生的心態(tài)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情，從而增加關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷;其次，運(yùn)用多樣化的教學(xué)方法能夠進(jìn)一步提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，同樣有助于增強(qiáng)關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷. 例如，在應(yīng)對(duì)枯燥且復(fù)雜的立體幾何知識(shí)時(shí)，利用GeoGebra的動(dòng)態(tài)演示功能，采用演示法教學(xué)，可以有效提升學(xué)生的專注度. 同時(shí)，借助GeoGebra設(shè)計(jì)的情境活動(dòng)，結(jié)合情境教學(xué)法、啟發(fā)式和探究式教學(xué)法，能夠激發(fā)學(xué)生在積極參與的教學(xué)環(huán)境中產(chǎn)生持續(xù)的認(rèn)知?jiǎng)恿? 將GeoGebra軟件融入教學(xué)過程，有助于營(yíng)造積極的課堂氛圍，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，并增加其關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷.

GeoGebra環(huán)境下基于認(rèn)知負(fù)荷理論的“基本立體圖形”教學(xué)

在《在一般觀念引領(lǐng)下探索空間幾何圖形的性質(zhì)（續(xù)）——“立體幾何初步”內(nèi)容分析與教學(xué)思考》一文中，章建躍強(qiáng)調(diào)信息技術(shù)在立體幾何教學(xué)中的關(guān)鍵作用. 例如，通過使用數(shù)學(xué)軟件繪制長(zhǎng)方體，并借助動(dòng)態(tài)演示技術(shù)，可以從多個(gè)角度觀察其結(jié)構(gòu)特征，從而清晰地理解點(diǎn)、直線和平面之間的位置關(guān)系[9]. 課程標(biāo)準(zhǔn)在立體幾何章節(jié)首次引入了“基本立體圖形”的概念. 這些立體圖形源于現(xiàn)實(shí)世界物體的抽象化，學(xué)生通過觀察周圍環(huán)境中的具體幾何體，能夠深入理解基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征，從而抽象出空間圖形的基本元素及其位置關(guān)系. 然而，高中生在學(xué)習(xí)基本立體圖形時(shí)，往往受到平面幾何知識(shí)的負(fù)遷移效應(yīng)、空間想象力的不足以及學(xué)習(xí)興趣的缺乏等多重主觀和客觀因素的影響，這使得他們?cè)谡J(rèn)知上面臨一定的挑戰(zhàn). 為了更有效地利用信息技術(shù)，需要找到方法，將這些高度抽象且關(guān)聯(lián)復(fù)雜的立體圖形知識(shí)，以一種易于學(xué)生理解和接受的方式傳授給他們. 依據(jù)上述教學(xué)策略，筆者設(shè)計(jì)了在GeoGebra環(huán)境下基于認(rèn)知負(fù)荷理論的“基本立體圖形”教學(xué)方案.

1. 教學(xué)內(nèi)容的整體設(shè)計(jì)

“基本立體圖形”教學(xué)內(nèi)容包括三節(jié)：基本立體圖形、立體圖形直觀圖、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積. 在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)重視探究各種幾何體的構(gòu)建過程，并從其結(jié)構(gòu)特征著手，清晰地界定空間幾何體中點(diǎn)、線、面之間的相互關(guān)系. 在教學(xué)時(shí)，應(yīng)遵循“定義—平面表示—面積與體積”的研究路徑，按照從具體實(shí)例到抽象概念的順序，將教學(xué)分解為3個(gè)階段. 表1詳細(xì)描述了這些階段任務(wù).

2. 學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式

在第一階段，學(xué)生在認(rèn)識(shí)基本立體圖形的過程中，可以借助GeoGebra軟件來(lái)展示棱柱、棱錐和棱臺(tái)的各個(gè)點(diǎn)、線、面. 這有助于學(xué)生清晰地理解數(shù)量關(guān)系以及圖形之間的聯(lián)系. GeoGebra軟件還能生動(dòng)地演示圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球體的形成過程，使學(xué)生能夠直觀地感知空間幾何體的構(gòu)建，從而加深對(duì)這些基本立體幾何圖形模型的理解.

進(jìn)入第二階段，當(dāng)學(xué)生開始學(xué)習(xí)空間幾何體的直觀圖時(shí)，GeoGebra軟件可以用來(lái)展示一個(gè)簡(jiǎn)易模型，例如窗戶在地上影子的變化，從而引入斜二測(cè)畫法的概念.

到了第三階段，為了深入理解空間幾何體的表面積和體積，GeoGebra軟件能夠直觀地展示圓臺(tái)的展開圖，幫助學(xué)生探究圓臺(tái)的表面積計(jì)算. 此外，通過GeoGebra呈現(xiàn)的3D動(dòng)態(tài)圖象，學(xué)生可以研究球體的體積公式，并領(lǐng)會(huì)極限化和以曲代直的數(shù)學(xué)思想.

根據(jù)每個(gè)教學(xué)階段的具體任務(wù)，從展示角度和形式等多個(gè)維度，科學(xué)地優(yōu)化學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式.

例如（見圖2），通過操作滑動(dòng)條，學(xué)生能夠動(dòng)態(tài)觀察圓臺(tái)的展開過程，從而歸納出圓臺(tái)的表面積公式. 通過改變圓臺(tái)的展示形式，有助于降低學(xué)生的外在認(rèn)知負(fù)荷.

3. 教學(xué)方法的選擇

在第一階段，利用GeoGebra展示物體的3D模型，初步探究立體幾何知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的興趣. 進(jìn)入第二階段，先觀察實(shí)物正方體，隨后利用GeoGebra展示正方體，引導(dǎo)學(xué)生嘗試在紙上畫出正方體的平面圖，從而增強(qiáng)學(xué)生的成就感. 到了第三階段，當(dāng)探討柱體、錐體和臺(tái)體的表面積公式時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生親自上臺(tái)展示這些立體幾何圖形的展開圖，從而更深入地理解立體幾何圖形的表面積公式. 在整個(gè)主題學(xué)習(xí)中，注重將日常生活中的實(shí)際情境與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，運(yùn)用問題驅(qū)動(dòng)法、探究教學(xué)法和啟發(fā)式教學(xué)法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情并提升他們的內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)力.

例如（見圖3），在GeoGebra環(huán)境中通過操作正方體模型來(lái)觀察其截面. 正方體中的紅點(diǎn)可以拖動(dòng)，允許用戶將其放置在正方體不同棱的不同位置上，有助于探索正方體的各種截面，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，并增強(qiáng)其對(duì)幾何結(jié)構(gòu)的理解和認(rèn)知.

實(shí)驗(yàn)與分析

1. 研究問題

本研究的目標(biāo)是探究“相較于傳統(tǒng)教學(xué)方法，運(yùn)用認(rèn)知負(fù)荷理論指導(dǎo)并利用GeoGebra軟件設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)是否能更有效地深化學(xué)生對(duì)基本立體圖形的理解？”研究假設(shè)提出：基于認(rèn)知負(fù)荷理論，在GeoGebra軟件環(huán)境中設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)相較于傳統(tǒng)教學(xué)，將更有利于提升學(xué)生對(duì)基本立體圖形的理解.

2. 研究對(duì)象

研究對(duì)象是樅陽(yáng)縣某學(xué)校高一年級(jí)中近一次月考班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)相近的兩個(gè)平行班，共100名學(xué)生. 其中，實(shí)驗(yàn)A班50人，對(duì)照A班50人. 兩個(gè)班級(jí)的學(xué)生性別比例相當(dāng)，平均成績(jī)也相近. 運(yùn)用SPSS軟件對(duì)這兩個(gè)班級(jí)學(xué)生最近一次月考成績(jī)進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，結(jié)果見表2. 由于兩個(gè)班級(jí)的水平?jīng)]有顯著差異，因此它們都適合作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象. 實(shí)驗(yàn)A班和對(duì)照A班的數(shù)學(xué)教學(xué)，均由原班級(jí)的同一位數(shù)學(xué)教師負(fù)責(zé)進(jìn)行.

3. 研究過程

實(shí)驗(yàn)時(shí)間為兩周，教學(xué)課題為基本立體圖形，總共7個(gè)課時(shí)，其中6個(gè)課時(shí)用于教學(xué)實(shí)驗(yàn)，1個(gè)課時(shí)用于后測(cè)，實(shí)驗(yàn)A班和對(duì)照A班最近一次月考成績(jī)用于前測(cè). 實(shí)驗(yàn)A班采用GeoGebra軟件輔助的認(rèn)知負(fù)荷理論指導(dǎo)下的實(shí)驗(yàn)教學(xué)方法，而對(duì)照A班則繼續(xù)采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法，不涉及任何動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用.

在開展教學(xué)實(shí)驗(yàn)之前，兩個(gè)班級(jí)的參與學(xué)生已經(jīng)在初中階段掌握了平面幾何知識(shí)以及部分立體圖形的相關(guān)知識(shí)，并能夠分析圖形的運(yùn)動(dòng)和變化屬性.

實(shí)驗(yàn)A班的教學(xué)設(shè)計(jì)主要基于之前提及的認(rèn)知負(fù)荷理論，將本單元教學(xué)劃分為3個(gè)階段. 實(shí)驗(yàn)A班的教學(xué)從對(duì)基本立體圖形的分類認(rèn)識(shí)入手，在GeoGebra軟件環(huán)境中，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)基本立體圖形結(jié)構(gòu)特征的直觀感知，并通過操作探究空間幾何體. 教學(xué)分為3個(gè)階段，共計(jì)6個(gè)課時(shí)，內(nèi)容包括以下6個(gè)課題.

（1）多面體的結(jié)構(gòu)特征. 借助GeoGebra軟件，直觀感知多面體（包括棱柱、棱錐和棱臺(tái)）的點(diǎn)、線、面及其相互關(guān)系，并歸納和抽象出多面體的結(jié)構(gòu)特征.

（2）旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征. 借助GeoGebra軟件，直觀感知旋轉(zhuǎn)體（包括圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球）的點(diǎn)、線、面及其相互關(guān)系，并歸納和抽象出旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征.

（3）平面圖形的直觀圖. 學(xué)習(xí)直觀圖的概念，通過觀察窗戶和地面的影子隨時(shí)間的變化，以及稻田在遠(yuǎn)距離視角下的形狀變化，引入斜二測(cè)畫法;學(xué)會(huì)繪制水平放置的平面圖形（包括圓、正方形、平行六邊形）的直觀圖.

（4）幾何體的直觀圖. 在掌握斜二測(cè)畫法和畫平面圖形的基礎(chǔ)上，嘗試?yán)L制立體圖形（正方體、正六棱柱、圓柱、球、簡(jiǎn)單組合體）的直觀圖. 概括繪制空間立體圖形的步驟：畫出軸線、底面、側(cè)面.

（5）多面體的表面積和體積. 利用GeoGebra軟件展示多面體的展開圖，促使學(xué)生理解多面體的表面積是圍成多面體各個(gè)面的面積之和;掌握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積公式，并運(yùn)用公式計(jì)算它們的表面積;理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式，根據(jù)條件計(jì)算底面面積和高，運(yùn)用公式求解多面體的體積.

（6）旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積. 利用GeoGebra軟件展示圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，以及側(cè)面展開圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，促使學(xué)生靈活運(yùn)用圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積公式，理解并掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的體積公式.

對(duì)照A班采用的是傳統(tǒng)教學(xué)方法. 教師首先引導(dǎo)學(xué)生觀察教材中的物體，讓他們識(shí)別形狀，并引導(dǎo)他們總結(jié)出多面體與旋轉(zhuǎn)體的定義. 在黑板上，教師繪制棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)以及球體，并詳細(xì)講解它們的定義和結(jié)構(gòu)特點(diǎn). 接著，學(xué)生通過觀察魔方（正方體），理解直觀圖的概念，并通過平行投影來(lái)研究斜二測(cè)畫法，學(xué)習(xí)運(yùn)用這種畫法來(lái)繪制幾何體. 最終，學(xué)生掌握簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積公式，并運(yùn)用這些公式進(jìn)行實(shí)際計(jì)算.

4. 數(shù)據(jù)收集

本次研究選取了實(shí)驗(yàn)A班和對(duì)照A班最近一次月考的成績(jī)作為前測(cè)數(shù)據(jù)，同時(shí)以針對(duì)基本立體圖形單元主題的試卷測(cè)驗(yàn)成績(jī)作為后測(cè)指標(biāo). 試卷內(nèi)容涵蓋幾何體的主要結(jié)構(gòu)特征、斜二測(cè)畫法、空間幾何體直觀圖的繪制，以及簡(jiǎn)單幾何體及其組合體的表面積和體積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn). 在收集并整理了兩班學(xué)生實(shí)驗(yàn)后的成績(jī)數(shù)據(jù)后，筆者運(yùn)用獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)方法，對(duì)實(shí)驗(yàn)A班與對(duì)照A班學(xué)生在成績(jī)上的差異進(jìn)行了顯著性分析.

5. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

運(yùn)用SPSS軟件，得到表3所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果. 從表3可以看到，實(shí)驗(yàn)后實(shí)驗(yàn)A班與對(duì)照A班在主題單元測(cè)試的平均成績(jī)分別為89.70和79.50. 通過獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)p<0.05，這表明實(shí)驗(yàn)A班與對(duì)照A班在實(shí)驗(yàn)后的成績(jī)上存在顯著差異. 從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，在GeoGebra環(huán)境下，依據(jù)認(rèn)知負(fù)荷理論設(shè)計(jì)的教學(xué)方法，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生對(duì)基本立體圖形的理解以及提升他們的數(shù)學(xué)成績(jī)具有積極效果.

討論

目前，絕大多數(shù)關(guān)于GeoGebra軟件的教學(xué)研究?jī)H限于以認(rèn)知理論為基礎(chǔ)進(jìn)行分析或調(diào)查，鮮有研究將認(rèn)知理論與GeoGebra軟件相結(jié)合，在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中探索其對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的影響. 然而，通過GeoGebra軟件的繪圖功能，可以直觀地展示復(fù)雜的立體幾何概念，從而優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷. 此外，現(xiàn)有研究已經(jīng)表明，GeoGebra軟件能夠降低內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷和外在認(rèn)知負(fù)荷，增加關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷. 這表明，合理運(yùn)用GeoGebra等信息技術(shù)工具，能夠平衡認(rèn)知負(fù)荷的總量，并有助于提升教學(xué)效果[10].

根據(jù)認(rèn)知負(fù)荷的產(chǎn)生原因和GeoGebra軟件的特點(diǎn)，從原因出發(fā)，借助GeoGebra軟件強(qiáng)大的3D繪圖功能和幾何代數(shù)同步展現(xiàn)特點(diǎn)，分解內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷、降低外在認(rèn)知負(fù)荷、增加關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷，形成GeoGebra環(huán)境下優(yōu)化認(rèn)知負(fù)荷的策略. 依據(jù)策略設(shè)計(jì)并執(zhí)行基本立體圖形的教學(xué)實(shí)驗(yàn). 實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，實(shí)驗(yàn)A班學(xué)生的總體成績(jī)相較于對(duì)照A班有顯著提升. 這一成效歸因于在立體幾何的入門學(xué)習(xí)階段，高中生在處理復(fù)雜且抽象的空間幾何體時(shí)，往往面臨過大的認(rèn)知負(fù)荷，這會(huì)干擾學(xué)習(xí)效率. 對(duì)于特定學(xué)習(xí)內(nèi)容，記憶中存在一個(gè)理想的認(rèn)知負(fù)荷量. GeoGebra軟件通過將平面幾何知識(shí)與立體圖形相結(jié)合，分解內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷，并通過直觀展示三維圖形減少外在認(rèn)知負(fù)荷. 此外，通過實(shí)驗(yàn)操作激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而增加關(guān)聯(lián)認(rèn)知負(fù)荷. 這種優(yōu)化總認(rèn)知負(fù)荷的方法，能有效提升教學(xué)效果.

研究成果表明，在GeoGebra軟件的支持下，基于認(rèn)知負(fù)荷理論的教學(xué)方法在立體幾何教學(xué)中顯示出適用性. 該方法通過調(diào)整和優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，能在一定程度上有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī). 本次教學(xué)實(shí)踐探索將認(rèn)知負(fù)荷理論與GeoGebra軟件相結(jié)合，應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂的可能性，為信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的整合提供了有益的參考. 此外，從認(rèn)知負(fù)荷的角度出發(fā)，本研究還提出了在GeoGebra環(huán)境下優(yōu)化學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷的立體幾何教學(xué)策略，旨在激發(fā)更廣泛的思考，為數(shù)學(xué)和物理教學(xué)中GeoGebra的應(yīng)用開拓新的視角.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國(guó)教育部. 中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教育階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的意見》[EB/OL].（2021-07-24）[2022-04-18].http：//www.moe.gov.cn/jyb_

xxgk/moe_1777/moe_1778/202107/t20210724_546576.html.

[2]中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京： 人民教育出版社，2020.

[3] 蔣榮清. 基于認(rèn)知負(fù)荷理論的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（1）：39-42+46.

[4] 楊麗恒，原文志，馬建宏. 基于認(rèn)知負(fù)荷理論的數(shù)學(xué)“翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)模式探究[J]. 教學(xué)與管理，2015（21）：102-104.

[5] 于泠，陳波. 認(rèn)知負(fù)荷理論指導(dǎo)下的并行計(jì)算實(shí)驗(yàn)教學(xué)探究[J]. 計(jì)算機(jī)教育，2016（12）：77-80.

[6] 張慧，張定文，黃榮懷. 智能教育時(shí)代認(rèn)知負(fù)荷理論發(fā)展、應(yīng)用與展望：“第十一屆國(guó)際認(rèn)知負(fù)荷理論大會(huì)”綜述[J]. 現(xiàn)代遠(yuǎn)程教育研究，2018（6）：37-44.

[7] 張志勇. 高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)：原則、途徑與策略：基于GeoGebra平臺(tái)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（7）：21-24+28.

[8] 羅建宇. 從融合到創(chuàng)新：基于Geo-Gebra的數(shù)學(xué)深度教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（2）：23-26.

[9] 章建躍. 在一般觀念引領(lǐng)下探索空間幾何圖形的性質(zhì)（續(xù)）：“立體幾何初步”內(nèi)容分析與教學(xué)思考[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（3）：2-7+21.

[10] 毛禧雯，何亞婷，李志偉. 認(rèn)知負(fù)荷理論和GeoGebra的數(shù)學(xué)教學(xué)策略[J]. 寧德師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2022，34（3）：322-326+336.