【摘 要】引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“一般化”的思維過程是對其進(jìn)行早期代數(shù)思維滲透的核心。基于對二、三年級學(xué)生問題解決過程的分析，提出早期代數(shù)思維培養(yǎng)的四點(diǎn)建議：提供經(jīng)歷“一般化”的機(jī)會；明確“一般化”表達(dá)的內(nèi)容；探尋“一般化”表達(dá)的思路；教學(xué)“一般化”表達(dá)的方法。

【關(guān)鍵詞】有規(guī)律加法算式；早期代數(shù)思維；一般化規(guī)律

本刊上期刊發(fā)的《有規(guī)律加法算式問題的解決與早期代數(shù)思維培養(yǎng)的研究（上）》（以下簡稱“文1”）一文中，結(jié)合實(shí)證，闡述了學(xué)生在解決具體算術(shù)運(yùn)算問題時(shí)的正確率較高，解決需要通過觀察、比較、分析和歸納出規(guī)律的問題時(shí)正確率則明顯下降的現(xiàn)象，文1結(jié)合分析說明產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因在于缺乏對學(xué)生進(jìn)行早期代數(shù)思維的培養(yǎng)，他們難以從一系列特定實(shí)例中抽象出算式之間的共性及相互關(guān)系，以形成“一般化”的規(guī)律。引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“一般化”的思維過程是對其進(jìn)行早期代數(shù)思維滲透的核心。教師可從提供機(jī)會、明確內(nèi)容、探尋思路、教學(xué)方法四方面入手，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“一般化”的思維過程。

一、提供經(jīng)歷“一般化”的機(jī)會

“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”這類題目是對學(xué)生進(jìn)行早期代數(shù)思維深透的重要內(nèi)容之一。學(xué)生對規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程就是對具體內(nèi)容進(jìn)行“一般化”表達(dá)的過程。在小學(xué)低年級教學(xué)中，為學(xué)生提供經(jīng)歷“一般化”的機(jī)會，有助于代數(shù)思維的早期深透。

文1中的調(diào)查結(jié)果揭示了學(xué)生在解決如“32+3=，32+6=，32+9=……”這一組“有規(guī)律加法算式”中蘊(yùn)含什么規(guī)律的問題時(shí)所表現(xiàn)出的差異。具體而言，二、三年級學(xué)生在解決有具體數(shù)字參與的運(yùn)算問題時(shí)的正確率較高，解決需要通過觀察、比較、分析和歸納出規(guī)律才能解決的問題時(shí)正確率則明顯下降。為探尋這一現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，筆者首先對教材內(nèi)容進(jìn)行了梳理。梳理后發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)行人教版二、三兩個(gè)年級（共4冊）教材中，涉及加法計(jì)算的題目共有33道，其中包含了230道小題（如5+7=？為一道小題）。在這些內(nèi)容中，僅有一道題目要求學(xué)生觀察并探究算式的規(guī)律（如圖1），其他均給出具體數(shù)值，要求學(xué)生計(jì)算出具體的結(jié)果。這說明教材編者關(guān)注對學(xué)生加法計(jì)算技能的訓(xùn)練，而相對忽視引導(dǎo)學(xué)生通過計(jì)算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即“一般化”的過程。也就是說，如果按照教材進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生將因缺乏“一般化”的經(jīng)歷，而錯失讓早期代數(shù)思維萌芽的機(jī)會。因此，除建議教材編寫者在加法內(nèi)容中增加更多引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律的題目外，也期待廣大教師能結(jié)合日常教學(xué)為學(xué)生提供更多的機(jī)會，讓他們經(jīng)歷一般化的過程。如，教學(xué)7的組成時(shí)，不僅要引導(dǎo)學(xué)生知道“7可以分成幾和幾”，還要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)組成7的兩個(gè)數(shù)中，一個(gè)數(shù)變大，另一個(gè)數(shù)就變小，等等。讓學(xué)生在形成計(jì)算技能的同時(shí)，促進(jìn)早期代數(shù)思維能力的發(fā)展。

二、明確“一般化”表達(dá)的內(nèi)容

教學(xué)中，為助力學(xué)生早期代數(shù)思維的形成，教師還要有意識地幫助學(xué)生明RIbKsOBEd6kFMSpPw2LvEA2NMN2cjWRc3DQXTh9c1P4=確“一般化”表達(dá)的內(nèi)容。如，文1中的調(diào)查結(jié)果顯示，二、三年級學(xué)生在表達(dá)26分別加42、43、44……的系列算式規(guī)律時(shí)，只關(guān)注了算式中變化的部分，如“42、43、44……這一列的加數(shù)一個(gè)比一個(gè)大一”“結(jié)果一個(gè)比一個(gè)大一”，均未提到“26這個(gè)加數(shù)不變”。通過訪談得知，學(xué)生知道26不變，但認(rèn)為“這個(gè)26不變，所以不用寫出來”。這反映出學(xué)生在表達(dá)“一般化”規(guī)律時(shí)，并不清晰需要表達(dá)的內(nèi)容。

在描述“一般化”規(guī)律時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會從變與不變兩個(gè)角度進(jìn)行表達(dá)。其中，變與不變的既可以是具體的數(shù)，如文1算式中的第一個(gè)加數(shù)26始終不變，也可以是不同數(shù)量之間的關(guān)系，如第二個(gè)加數(shù)與和之間總是相差26的關(guān)系不變。

教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容幫助學(xué)生明確“一般化”規(guī)律所需表達(dá)的內(nèi)容。例如，在學(xué)生回答圖1中的問題“左邊的算式有什么規(guī)律？”時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生清楚：算式中“兩個(gè)加數(shù)的和都是99”是不變的，“兩個(gè)加數(shù)都是用同樣的兩個(gè)數(shù)字組成的”是不變的，“每個(gè)算式中的兩個(gè)加數(shù)都是兩位數(shù)，且每個(gè)兩位數(shù)兩個(gè)數(shù)字之和都等于9”也是不變的，這些不變都是表達(dá)規(guī)律的關(guān)鍵內(nèi)容。

同樣的，變化也是探尋數(shù)學(xué)規(guī)律，進(jìn)行“一般化”表達(dá)的重要內(nèi)容。依舊以圖1中的問題為例。題目中呈現(xiàn)了兩個(gè)算式：18+81=99，27+72=99。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)算式中的第一個(gè)加數(shù)分別是18與27，也就是說第一個(gè)加數(shù)發(fā)生了變化。分析并表現(xiàn)出這種變化就是在進(jìn)行“一般化”表達(dá)。如“從左往右看，將第一個(gè)加數(shù)18十位上的數(shù)增加1，個(gè)位上的數(shù)減少1，就變成了27”。而明確表述“十位上的數(shù)增加1與個(gè)位上的數(shù)減少1”的關(guān)系，就是對這種變化做出了“一般化”表達(dá)。根據(jù)此關(guān)系（或稱規(guī)律）可以繼續(xù)寫出第三個(gè)算式中的第一個(gè)加數(shù)是36。同理，也可以觀察兩個(gè)算式中的第二個(gè)加數(shù)，表達(dá)出相應(yīng)變化。

三、探尋“一般化”表達(dá)的思路

從文1調(diào)查結(jié)果來看，二、三年級無法發(fā)現(xiàn)規(guī)律的學(xué)生占比分別為27.30%和7.50%，無法完整發(fā)現(xiàn)規(guī)律的學(xué)生占比分別為72.97%和90.00%。這不僅反映出學(xué)生表達(dá)能力的欠缺，更揭示了學(xué)生在發(fā)現(xiàn)規(guī)律方面的能力不足。換言之，部分學(xué)生尚未掌握發(fā)現(xiàn)規(guī)律的有效方法。因此，在明確加法算式中的變與不變構(gòu)成的“一般化”表達(dá)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，學(xué)生還需學(xué)習(xí)如何對這些“一般化”的內(nèi)容進(jìn)行概括，即探尋“一般化”表達(dá)的思路。在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生按以下思路進(jìn)行思考。

1.探尋不變量。如，在發(fā)現(xiàn)一組加法算式中的規(guī)律時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生在觀察每一個(gè)加法算式的基礎(chǔ)上，對一組算式進(jìn)行比較。重點(diǎn)關(guān)注“第一個(gè)加數(shù)、第二個(gè)加數(shù)以及和”這三個(gè)部分，判斷其中是否存在不變的部分，或者根據(jù)這些數(shù)的特點(diǎn)判斷是否存在其他不變的關(guān)系。例如，判斷每個(gè)算式中的第一個(gè)加數(shù)各位數(shù)字的和是否保持不變等。這一過程實(shí)質(zhì)上是舍棄算式（或數(shù)）的個(gè)性，概括共性的過程，即為探尋不變量的思路。

2.探尋變化量及其相互關(guān)系?？梢苑殖蓛刹竭M(jìn)行：第一步找變化量，關(guān)注發(fā)生變化的部分。如，在探究一組加法算式的規(guī)律時(shí)，通過一組算式的對比，發(fā)現(xiàn)“第一個(gè)加數(shù)、第二個(gè)加數(shù)以及和”中哪些發(fā)生了變化，其即為變化量。第二步找變化關(guān)系。例如，在已知各算式中第一個(gè)加數(shù)不同（即第一個(gè)加數(shù)為變化量）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步觀察和比較下一個(gè)算式的第一個(gè)加數(shù)與上一個(gè)算式中的第一個(gè)加數(shù)是否存在某種固定的關(guān)系?！跋噜彽膬蓚€(gè)算式的第一個(gè)加數(shù)之間是否總是少幾（或多幾或幾倍等）”就是變化的關(guān)系。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生不斷經(jīng)歷探索關(guān)系的過程，探尋這些關(guān)系即為概括一般化規(guī)律的思路。

下面這道題要求學(xué)生在方框中填入合適的數(shù)（如圖2），并說一說（或?qū)懸粚懀┯惺裁匆?guī)律。

以這道題為例，根據(jù)上述探尋“一般化”表達(dá)的思路，可以這樣思考：（1）這組算式中是否存在不變量？通過觀察與計(jì)算，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)加數(shù)與和都是變化的，即不存在不變量。（2）這組算式中是否存在變化量？通過觀察與計(jì)算可知，兩個(gè)加數(shù)與和都是變化量。（3）變化量之間是否存在關(guān)系？在思考變化量之間的關(guān)系時(shí)，需進(jìn)一步思考：第一個(gè)加數(shù)10、11、13、14之間有什么關(guān)系？第二個(gè)加數(shù)21、23、25、27之間有什么關(guān)系？這些加數(shù)與算式的個(gè)數(shù)之間有什么關(guān)系？事實(shí)上，這組算式中蘊(yùn)含多個(gè)規(guī)律，如觀察第二個(gè)加數(shù)，將每個(gè)算式中的第二個(gè)加數(shù)進(jìn)行排列，即可形成一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為[an]=21+（n-1）×2。而學(xué)生需通過觀察比較來發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，并用他們熟悉的語言表達(dá)通項(xiàng)公式中的內(nèi)容。因此，尋找變化量及相互關(guān)系是概括一般化規(guī)律的重要思路。

四、教學(xué)“一般化”表達(dá)的方法

在文1調(diào)查過程中，發(fā)現(xiàn)眾多學(xué)生在表達(dá)規(guī)律時(shí)存在困難。他們不僅未能準(zhǔn)確揭示不變量，在表達(dá)變化量時(shí)，也不知道應(yīng)該怎么寫（如圖3、圖4）。

從圖3可知，該學(xué)生試圖寫出第二個(gè)加數(shù)的數(shù)列（注：數(shù)列末項(xiàng)錯誤地寫為52，根據(jù)規(guī)律應(yīng)為54）。換言之，該學(xué)生認(rèn)為這組數(shù)列蘊(yùn)含規(guī)律，只要將其列出，就表達(dá)出了規(guī)律。好像在說：“數(shù)就是這些數(shù)，是有規(guī)律的，請你自己看它的規(guī)律?！?/p>

圖4中，該學(xué)生認(rèn)為寫出“加3”即已表達(dá)出了規(guī)律，卻未深入思考“加3”的具體含義?；蛟S該學(xué)生認(rèn)為“加3”的含義不言而喻，更未考慮自己這樣表達(dá)是否便于他人理解。

實(shí)際上，在日常學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生很少或從未學(xué)習(xí)過如何表達(dá)此類規(guī)律，自然會感到困難。其實(shí)，教師對于如何引導(dǎo)學(xué)生清晰準(zhǔn)確地表達(dá)規(guī)律，也感到困惑，面臨雙重挑戰(zhàn)。一方面，客觀上數(shù)學(xué)規(guī)律在學(xué)生生活、學(xué)習(xí)中廣泛存在，且形式多樣，難以歸納出統(tǒng)一的表達(dá)方式；另一方面，學(xué)生的推理意識與模型意識的培養(yǎng)等都離不開對數(shù)學(xué)規(guī)律的表達(dá)，表達(dá)規(guī)律的能力是學(xué)生基本能力之一，必須予以高度重視。因此，研究“如何培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力”或“如何培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律的能力”是教師面臨的至關(guān)重要的課題。

如何來解決這一雙重挑戰(zhàn)？教師可以從具體的、相對簡單的規(guī)律入手，通過逐一表述各類具體規(guī)律，讓學(xué)生掌握表達(dá)規(guī)律的方法。這樣做是因?yàn)閷τ诰唧w的且性質(zhì)類似的數(shù)學(xué)規(guī)律，其表達(dá)方式必定存在某種統(tǒng)一性，即可以找到一般的表達(dá)思路或方法。學(xué)生通過表達(dá)相對簡單的規(guī)律，可以積累經(jīng)驗(yàn)、提升能力，進(jìn)而提高表達(dá)復(fù)雜規(guī)律的水平。對于本研究中的測試題，即“有規(guī)律加法算式”中規(guī)律的表達(dá)，可以按以下過程引導(dǎo)學(xué)生完成。

1.表達(dá)出不變量。當(dāng)加法算式中的一個(gè)加數(shù)或和作為不變量時(shí)，應(yīng)在表達(dá)中寫出這一不變量，并指出是哪一個(gè)加數(shù)不變或和不變。如“在這些算式中，第一個(gè)加數(shù)都是26”“第一個(gè)加數(shù)26是不變的”“每一個(gè)算式中的第一個(gè)加數(shù)都是26”，這些就是對不變量的清晰表述。

2.表達(dá)出變化量及相互關(guān)系。在表達(dá)變化量及關(guān)系時(shí)，應(yīng)先指出哪一個(gè)數(shù)是變化的，再描述其變化方式（怎么變化的）。在描述變化方式時(shí)，實(shí)際上是在表達(dá)變化量之間的關(guān)系。例如，在測試題目中，第一個(gè)加數(shù)都是26，而第二個(gè)加數(shù)是變化的，分別為42、45、48、51等。此時(shí)，需要表達(dá)為：“第二個(gè)加數(shù)是變化的，它從42開始，從上往下（或從左往右）相鄰兩個(gè)數(shù)依次都增加3?！币部梢员磉_(dá)為：“第二個(gè)加數(shù)是變化的，它從42開始，從上往下數(shù)是第幾個(gè)數(shù)，就增加（幾-1）個(gè)3。如第三個(gè)數(shù)就增加2個(gè)3，第四個(gè)數(shù)就增加3個(gè)3，以此類推?！痹诒磉_(dá)變化量的規(guī)律時(shí)，應(yīng)明確以下三點(diǎn)：（1）哪一個(gè)量（數(shù)）是變化的；（2）從哪一個(gè)數(shù)開始（即首項(xiàng)）；（3）“方向”是怎么樣的。這里的“方向”是指變化的方向。如從左往右、從上往下、從前到后等。在低年級教學(xué)中，可以鼓勵學(xué)生使用“每一個(gè)”“全部”“都是”“總是”等有助于表達(dá)出一般化的詞語，以強(qiáng)化規(guī)律的一般性。

特別值得注意的是，在規(guī)律的表達(dá)中，應(yīng)不斷引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多元表征的方式表達(dá)規(guī)律。在表達(dá)“不變量”時(shí)，不僅要用算式寫出不變量，還要用語言文字明確表達(dá)其不變性。在表達(dá)變化量及其相互關(guān)系時(shí)，可以結(jié)合圖形、符號（包括方框、箭頭等）以及語言文字來表達(dá)規(guī)律（如圖5）。

圖5中，學(xué)生已經(jīng)使用箭頭和“+3”等符號來表達(dá)第二個(gè)加數(shù)與和的變化規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，教師應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)這類學(xué)生用文字進(jìn)行表達(dá)。這樣做一方面可以進(jìn)一步厘清他們頭腦中的規(guī)律，提升他們的文字表達(dá)水平，另一方面也能幫助別人更好地理解他們想要表達(dá)的規(guī)律。

綜上所述，教師可以從“一般化是早期代數(shù)思維滲透的核心”這一觀點(diǎn)出發(fā)，給學(xué)生提供經(jīng)歷“一般化”的機(jī)會，讓他們理解“一般化”表達(dá)的內(nèi)容、探尋思路和方法，以此助力學(xué)生“代數(shù)思維”的形成，提升他們的核心素養(yǎng)。

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（浙江省杭州市錢塘區(qū)幸福河小學(xué)）