【摘 要】應(yīng)用意識(shí)作為小學(xué)階段學(xué)生核心素養(yǎng)之一，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要意義。教師以人教版教材六年級(jí)下冊(cè)“比例”單元為例，從單元整體出發(fā)，通過“細(xì)化素養(yǎng)表現(xiàn)，明確單元目標(biāo)；創(chuàng)設(shè)主題情境，規(guī)劃學(xué)習(xí)路徑；基于真實(shí)問題，開展實(shí)踐作業(yè)”等方式，為應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)提供具體路徑。

【關(guān)鍵詞】應(yīng)用意識(shí)；比例；單元整體

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022年版課標(biāo)”）明確指出：“應(yīng)用意識(shí)主要是指有意識(shí)地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題?！睉?yīng)用意識(shí)和日常生活息息相關(guān)，數(shù)學(xué)教材中也融入了大量與實(shí)際生活緊密相關(guān)的內(nèi)容。盡管在教學(xué)中教師似乎一直在培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，但是否有效地培養(yǎng)了這一意識(shí)卻難以明確。因此，本文以人教版教材六年級(jí)下冊(cè)“比例”單元為例，探討以下問題：應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)如何在單元目標(biāo)中具體體現(xiàn)？如何將比例的意義、正反比例等知識(shí)的學(xué)習(xí)與實(shí)際解決問題建立有效的聯(lián)系？如何讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)作為一種通用的科學(xué)語(yǔ)言，在其他學(xué)科中的應(yīng)用價(jià)值？筆者從單元整體視角出發(fā)，通過設(shè)計(jì)以主題為中心的任務(wù)和基于真實(shí)問題的實(shí)踐活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的有效發(fā)展。

一、細(xì)化素養(yǎng)表現(xiàn)，明確單元目標(biāo)

相較于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)應(yīng)用意識(shí)的表述，2022年版課標(biāo)進(jìn)行了如下修訂：修改了“感悟現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題”以及“應(yīng)用意識(shí)有助于用學(xué)過的知識(shí)和方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題”；補(bǔ)充了“初步了解數(shù)學(xué)作為一種通用的科學(xué)語(yǔ)言在其他學(xué)科中的應(yīng)用”。這些調(diào)整表明，2022版課標(biāo)對(duì)應(yīng)用意識(shí)的表述更為科學(xué)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)知識(shí)與解決問題之間的聯(lián)系，促進(jìn)跨學(xué)科的應(yīng)用。

（一）深入理解教材結(jié)構(gòu)，梳理單元內(nèi)容

人教版教材六年級(jí)下冊(cè)“比例”單元包括比例的意義和基本性質(zhì)、正比例和反比例、比例的應(yīng)用三個(gè)部分。這個(gè)單元整合并提升了之前學(xué)習(xí)的除法、分?jǐn)?shù)、比和方程等相關(guān)知識(shí)。從應(yīng)用層面來看，它涉及小學(xué)階段的許多問題，例如速度、時(shí)間和路程，單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)，以及歸一、歸總、面積、倍比等應(yīng)用問題。學(xué)生應(yīng)學(xué)會(huì)選擇合適的策略，認(rèn)識(shí)和應(yīng)用最基本的一次函數(shù)正比例和反比例。此外，本單元的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生從關(guān)系與結(jié)構(gòu)的角度整體分析和解決問題，提升解決問題的策略和方法。

（二）細(xì)化應(yīng)用意識(shí)表現(xiàn)，確立單元目標(biāo)

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程來看，數(shù)學(xué)的應(yīng)用可以分為兩大類：一是數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，即用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)本身的問題；二是數(shù)學(xué)外部的應(yīng)用，包括日常生活、職業(yè)場(chǎng)所中的應(yīng)用和跨學(xué)科的應(yīng)用。針對(duì)應(yīng)用意識(shí)，筆者將其分為現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化和數(shù)學(xué)知識(shí)現(xiàn)實(shí)化兩個(gè)方面。圍繞“比例”單元，具體表現(xiàn)在能夠初步運(yùn)用函數(shù)知識(shí)去認(rèn)識(shí)、描述、分析問題，并能用函數(shù)思想去解決問題。確定單元目標(biāo)為：結(jié)合具體情境理解比例的意義，多角度建立比例關(guān)系，從變與不變的角度認(rèn)識(shí)比例；在具體情境中理解正反比例、比例尺的意義，認(rèn)識(shí)生活中放大與縮小的現(xiàn)象；認(rèn)識(shí)正反比例關(guān)系的圖像，能用比例知識(shí)描述生活中兩個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系；能運(yùn)用比例的相關(guān)知識(shí)，分析數(shù)量關(guān)系，并解決生活中的實(shí)際問題；能應(yīng)用比例尺的意義，正確求解圖上距離、實(shí)際距離和比例尺。此外，從跨學(xué)科的角度，感悟比例相關(guān)知識(shí)與其他學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系，感悟比例相關(guān)知識(shí)在科學(xué)中的應(yīng)用，如“水”“空氣”“小小工程師”等單元，并能在綜合問題中應(yīng)用比例知識(shí)解決問題。（具體內(nèi)容如表1）

通過上述分析，教師能夠理解和把握應(yīng)用意識(shí)的內(nèi)涵和具體表現(xiàn)，明確“比例”單元教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)路徑，在教學(xué)中有的放矢。

二、創(chuàng)設(shè)主題情境，規(guī)劃學(xué)習(xí)路徑

應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光去觀察現(xiàn)實(shí)世界，并主動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。因此，通過創(chuàng)設(shè)真實(shí)的情境，引導(dǎo)學(xué)生提出問題顯得更為重要。在“比例”單元中，教材重視呈現(xiàn)真實(shí)問題情境，如國(guó)旗、火箭、銷售、圓柱容器等，但這些情境彼此孤立，難以讓學(xué)生在一節(jié)課或幾節(jié)課完整理解兩個(gè)量之間的關(guān)系。那么，是否可以設(shè)計(jì)一個(gè)貫穿該教學(xué)過程始終的主題，將應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)能力發(fā)展有機(jī)結(jié)合呢？

（一）創(chuàng)設(shè)主題情境，經(jīng)歷問題解決過程

以“果汁中的學(xué)問”這一學(xué)生熟悉的主題情境作為統(tǒng)領(lǐng)，對(duì)現(xiàn)實(shí)情境、數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境進(jìn)行融合（如圖1）。通過關(guān)鍵任務(wù)的布置，從學(xué)生已知的濃縮果汁和水的比為1∶4出發(fā)，設(shè)置一系列驅(qū)動(dòng)性問題，如“三杯果汁中哪一杯更甜？”“怎么調(diào)配出口感最佳的果汁？”“300 毫升的果汁應(yīng)該裝在什么樣的瓶子中？”等。這些問題能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入探究，使學(xué)生理解比例在生活中的應(yīng)用，幫助學(xué)生更全面地感知比例相關(guān)知識(shí)和其他學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系。每個(gè)問題都讓學(xué)生經(jīng)歷“生活問題—數(shù)學(xué)問題—分析、表征數(shù)量關(guān)系—判斷相關(guān)量的比例關(guān)系—解決問題—反思回顧”的完整學(xué)習(xí)過程，積累利用數(shù)學(xué)概念解決問題的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展應(yīng)用比例知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

（二）規(guī)劃學(xué)習(xí)路徑，理解意義強(qiáng)化應(yīng)用

在確定主題情境后，設(shè)計(jì)一系列具有邏輯關(guān)聯(lián)且逐步深入的問題，作為每課時(shí)的驅(qū)動(dòng)任務(wù)。通過這些問題，學(xué)生能在“果汁中的學(xué)問”中發(fā)現(xiàn)“許多的量—變化的量—識(shí)別兩組變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是成正比例還是成反比例—應(yīng)用這種共變關(guān)系解決問題”，學(xué)會(huì)用比例的眼光認(rèn)識(shí)周圍的事物，用正反比例函數(shù)的概念來描述生活中的數(shù)量關(guān)系，用“變與不變”思想來解決實(shí)際問題，并通過貼近生活的復(fù)雜情境來感知數(shù)學(xué)和其他學(xué)科之間的聯(lián)系，從而全面發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。

1.多角度觀察，理解比例意義

從具體情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度和層面進(jìn)行思考，這有助于促進(jìn)他們對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的深入理解。例如，在“比例的意義”教學(xué)中，提出“三杯果汁中哪一杯更甜？”的問題（如圖2）。學(xué)生首先會(huì)嘗試使用除法解決問題，即比較1毫升果汁對(duì)應(yīng)多少毫升水（或1毫升水對(duì)應(yīng)多少毫升果汁），通過比較發(fā)現(xiàn)比值相等，從而揭示比例的意義——計(jì)算并觀察相應(yīng)量的比值是否相等。

同時(shí)，讓學(xué)生利用比例的概念找出其他比例關(guān)系。如：①號(hào)果汁∶①號(hào)水=②號(hào)果汁∶②號(hào)水；①號(hào)果汁∶②號(hào)果汁=①號(hào)水∶②號(hào)水；①號(hào)果汁∶（①號(hào)果汁+①號(hào)水）=②號(hào)果汁∶（②號(hào)果汁+②號(hào)水）；等等。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生結(jié)合具體情境理解比例的意義，從多角度建立比例關(guān)系，從量的“變與不變”的角度認(rèn)識(shí)比例。在列出多角度比例后，學(xué)生通過猜想驗(yàn)證，自然而然發(fā)現(xiàn)比例的基本性質(zhì)，達(dá)成前文表1中的具體表現(xiàn)和單元教學(xué)目標(biāo)。

2.多材料對(duì)比，深化函數(shù)思想

在正比例和反比例的教學(xué)中，充分利用學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過數(shù)形結(jié)合，尋找量的變化規(guī)律，并通過一系列對(duì)比聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)思想。例如，在解決“怎么調(diào)配出口感最佳的果汁？”的問題時(shí)，教師通過呈現(xiàn)果汁飲料一般口感最佳時(shí)，果汁∶水=1∶8的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注水的數(shù)量是怎么隨著果汁數(shù)量的變化而變化的，讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)用函數(shù)的眼光去觀察數(shù)量關(guān)系中的“變與不變”，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量背后的不變關(guān)系，理解正比例的意義。在解決“300毫升的果汁應(yīng)該裝在什么樣的瓶子中？”的問題中，學(xué)生根據(jù)正比例的研究經(jīng)驗(yàn)，從探究中發(fā)現(xiàn)反比例的意義。

此外，教師可利用多組材料的對(duì)比，辨析正、反比例的區(qū)別和聯(lián)系（如圖3）。通過“果汁中的學(xué)問”探究對(duì)各種量的判斷、比較，學(xué)生逐漸明晰正、反比例函數(shù)的概念，理解常量、變量與變量間的關(guān)系，以及如何用數(shù)學(xué)表達(dá)式來表示等，從而達(dá)成前文表1中有關(guān)正、反比例的單元目標(biāo)。

3.多維度探究，綜合解決問題

在應(yīng)用比例解決問題時(shí)，教學(xué)不應(yīng)僅局限于學(xué)了正比例就用正比例解決問題，學(xué)了反比例就用反比例解決問題。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在開放的實(shí)際問題中，根據(jù)自己的興趣，主動(dòng)調(diào)查數(shù)據(jù)，應(yīng)用比例知識(shí)解決問題，從而培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。例如，在解決“NFC（非濃縮還原果汁）果汁比濃縮還原果汁好嗎？”這一綜合應(yīng)用問題中，學(xué)生先進(jìn)行調(diào)查研究，從價(jià)格、口感、營(yíng)養(yǎng)價(jià)值和保質(zhì)期等多個(gè)角度，運(yùn)用比例的相關(guān)知識(shí)分析數(shù)量關(guān)系，綜合分析和解決問題。

三、基于真實(shí)問題，開展實(shí)踐作業(yè)

2022年版課標(biāo)提出：“初步了解數(shù)學(xué)作為一種通用的科學(xué)語(yǔ)言在其他學(xué)科中的應(yīng)用，通過跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)建立不同學(xué)科之間的聯(lián)系?！薄氨壤眴卧慕虒W(xué)內(nèi)容和日常生活及其他學(xué)科有著緊密的聯(lián)系，如地圖繪制、建筑設(shè)計(jì)、商業(yè)領(lǐng)域的成本與收益關(guān)系和工業(yè)生產(chǎn)中的原材料配比等。在教學(xué)中，教師應(yīng)重視實(shí)踐作業(yè)的布置，促使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)化過程，感受比例內(nèi)容和其他學(xué)科及生活問題之間的聯(lián)系，從而逐步擴(kuò)大數(shù)學(xué)的應(yīng)用范疇。

（一）單學(xué)科實(shí)踐，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

在教完新知后，可以設(shè)計(jì)基于正反比例模型的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生嘗試解決。例如，提供4個(gè)直角三角形實(shí)物（需學(xué)生自行測(cè)量），三條邊長(zhǎng)度分別為3、4、5；6、8、10；8、10、12；15、20、25（單位：厘米）。任務(wù)包括：（1）判斷這些三角形是否可以通過放大或縮小某個(gè)三角形得到；（2）自行制作一個(gè)放大或縮小后的三角形。完成這一實(shí)踐作業(yè)能夠讓學(xué)生經(jīng)歷“測(cè)量數(shù)據(jù)—多角度發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)之間的比例關(guān)系—運(yùn)用比例知識(shí)判斷并制作放大或縮小后的圖形”的過程，從而有效積累運(yùn)用比例知識(shí)解決問題的經(jīng)驗(yàn)和方法。

（二）跨學(xué)科實(shí)踐，感悟數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用

開展“探索生活中的比例”主題實(shí)踐活動(dòng)，在探究中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用，如黃金分割比例圖在美學(xué)上的重要性，以及特定比例在其他領(lǐng)域中的意義和價(jià)值。此外，還可以整合小學(xué)階段其他學(xué)科的內(nèi)容。例如，設(shè)計(jì)簡(jiǎn)易過山車模型（結(jié)合三年級(jí)科學(xué)中的物體的運(yùn)動(dòng)單元），任務(wù)包括：（1）從比例的角度確保軌道的安全性（如長(zhǎng)度與高度比、彎道半徑和速度比等）；（2）考慮過山車的整體造型美觀；（3）使用比例尺繪制過山車平面圖，并動(dòng)手制作過山車模型。通過這一實(shí)踐活動(dòng)，可以將數(shù)學(xué)、科學(xué)、美術(shù)和勞動(dòng)等學(xué)科有機(jī)融合，指向一個(gè)實(shí)際問題的解決。同時(shí)，學(xué)生在三年級(jí)初步了解過山車的基礎(chǔ)上，用六年級(jí)的比例知識(shí)深入解析過山車的動(dòng)能、速度、軌道設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)以及乘客體驗(yàn)等方面的內(nèi)容，確保過山車的趣味性、安全性和可靠性。

總之，從單元整體出發(fā)，細(xì)化素養(yǎng)表現(xiàn)，能夠更準(zhǔn)確地理解和把握應(yīng)用意識(shí)的內(nèi)涵和具體表現(xiàn)。這有助于將學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與單元、課時(shí)教學(xué)目標(biāo)有效銜接，為應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)提供具體路徑。通過實(shí)踐作業(yè)的設(shè)計(jì)，則能有效增強(qiáng)知識(shí)與實(shí)際生活的聯(lián)系，確保學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的發(fā)展得到有效落實(shí)。

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（浙江省杭州市筧橋小學(xué)）