新教材編排特點(diǎn)及其使用建議

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)、確立核心素養(yǎng)導(dǎo)向、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)及設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化課程等要求。這些新要求在一年級(jí)上冊(cè)主要體現(xiàn)在“數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象”“數(shù)概念的一致性”“加減法的‘相等模型’”以及“情境育人”等方面。那么，如何幫助一線教師讀懂和使用好新教材？本期特邀劉加霞教授和她的研究團(tuán)隊(duì)圍繞這些變化介紹新教材的編排特點(diǎn)，并提出相應(yīng)的使用建議，為廣大教師落實(shí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求，使用好新教材提供教學(xué)參考。

【摘 要】抽象是思維活動(dòng)的基礎(chǔ)。自然數(shù)概念的形成需經(jīng)歷抽象的過(guò)程：數(shù)詞+量詞描述、準(zhǔn)符號(hào)表示、符號(hào)表示和普適階段。人教版教材在編排數(shù)概念內(nèi)容時(shí)，強(qiáng)調(diào)“直觀呈現(xiàn)數(shù)概念的抽象階段；‘后繼數(shù)’是數(shù)概念的抽象本質(zhì)；數(shù)概念蘊(yùn)含了兩個(gè)重要數(shù)學(xué)思想”，以突出數(shù)的抽象過(guò)程。在數(shù)概念教學(xué)時(shí)，要重視數(shù)數(shù)時(shí)強(qiáng)調(diào)“一一對(duì)應(yīng)”思想、設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)、多種方式記錄數(shù)數(shù)的過(guò)程，為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、為學(xué)生能夠抽象出數(shù)概念積累素材。

【關(guān)鍵詞】數(shù)概念；抽象；教材編排特點(diǎn)；教學(xué)建議

數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)課程理念的基本物化形式。2024年9月小學(xué)數(shù)學(xué)開(kāi)始使用與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022年版課標(biāo)”）相配套的新教材。2022年版課標(biāo)中明確提出關(guān)于“數(shù)與運(yùn)算”的內(nèi)容要求：“初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)?！蹦敲?，什么是抽象？新教材如何體現(xiàn)“數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象”？用好新教材有哪些建議？本文結(jié)合人教版教材一年級(jí)上冊(cè)“20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行具體分析。

一、抽象的三個(gè)層次：簡(jiǎn)約階段、符號(hào)階段與普適階段

抽象是思維活動(dòng)的基礎(chǔ)，只有當(dāng)個(gè)體具備了相應(yīng)的抽象能力，才能從感性認(rèn)識(shí)中獲取事物（事件或?qū)嵨铮┑谋举|(zhì)特征，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)向理性思維的躍升。數(shù)學(xué)抽象貫穿于數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開(kāi)數(shù)學(xué)抽象的逐步深化，而數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)生也遵循一定的邏輯順序，即不同層次的抽象階段。

抽象過(guò)程可以劃分為簡(jiǎn)約階段、符號(hào)階段和普適階段。簡(jiǎn)約階段著重于“把握事物的本質(zhì)，把繁雜的問(wèn)題簡(jiǎn)約化、條理化，能夠清晰地表達(dá)”。符號(hào)階段則涉及“去掉具體的內(nèi)容，使用概念、圖形、符號(hào)、關(guān)系來(lái)表述已經(jīng)簡(jiǎn)約化了的事物在內(nèi)的一類事物”。普適階段則指“通過(guò)假設(shè)或推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般的意義上解釋具體事物”。［1］1“數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象”也經(jīng)歷這三個(gè)階段。另外，在具體數(shù)概念的抽象過(guò)程中，還會(huì)經(jīng)歷更具體、特有的過(guò)程：數(shù)詞+量詞描述、準(zhǔn)符號(hào)表示、符號(hào)表示和普適階段。人教版教材在編排時(shí)沒(méi)有刻意強(qiáng)調(diào)“簡(jiǎn)約階段”，因?yàn)樗鶖?shù)的對(duì)象限制在“物理屬性都相同”的一類事物。如四朵花、四個(gè)南瓜等，所數(shù)的對(duì)象都是“花”或“南瓜”，每類對(duì)象的物理屬性相同。

人類對(duì)數(shù)量多少的感知可能早于語(yǔ)言的形成，但將數(shù)量的多少抽象為數(shù)概念的過(guò)程卻相當(dāng)不易。數(shù)概念的形成來(lái)源于對(duì)數(shù)量本質(zhì)的抽象，即“數(shù)量多與少”。從數(shù)概念發(fā)展的角度看，將對(duì)數(shù)量的感知抽象為數(shù)字符號(hào)表達(dá)是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，主要包含以下四個(gè)階段，如表1所示。

表1 數(shù)概念的抽象階段

[階段 解釋 舉例 第一階段：用“數(shù)詞+量詞”描述數(shù)量多少 帶量詞的數(shù)字僅是對(duì)現(xiàn)實(shí)事件的一種記錄，并未抽象為“數(shù)”。該階段又可以分為兩個(gè)層級(jí)：數(shù)量在五個(gè)以內(nèi)時(shí)，人們能通過(guò)直覺(jué)感知事物的多少；五個(gè)以上時(shí)，則通過(guò)計(jì)數(shù)來(lái)確定數(shù)量的多少 能直覺(jué)地感知“四個(gè)南瓜”比“三個(gè)南瓜”多；

能夠用五個(gè)蘋(píng)果、五根手指、五個(gè)涂色圓圈等描述現(xiàn)實(shí)事物的數(shù)量 第二階段：舍棄現(xiàn)實(shí)背景，用準(zhǔn)數(shù)字符號(hào)表示數(shù)的大小 去除“量詞”及“事件”，僅保留“數(shù)”，并按照“五進(jìn)制、十進(jìn)制”原則用數(shù)字符號(hào)表示，從“數(shù)量多少”轉(zhuǎn)化為“數(shù)的大小” 僅有十進(jìn)制的“準(zhǔn)符號(hào)系統(tǒng)”，如古埃及象形數(shù)、用漢語(yǔ)表示的數(shù)和羅馬數(shù) 第三階段：舍棄現(xiàn)實(shí)背景，用數(shù)字符號(hào)表示大小關(guān)系 去除“量詞”及“事件”，僅保留“數(shù)”，并按照“十進(jìn)制、位值制”原則用數(shù)字符號(hào)表示，“數(shù)量多少”轉(zhuǎn)化為“數(shù)的大小”；數(shù)除了表示“順序、大小”之外，沒(méi)有任何其他含義，所有的符號(hào)構(gòu)成一個(gè)集合，即數(shù)集，從而形成真正的數(shù)概念 十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)系統(tǒng)：借助“位值”原則，僅用0～9這十個(gè)數(shù)字，即可以表示所有的自然數(shù) 第四階段：運(yùn)用抽象出的數(shù)字符號(hào)，即普適階段 抽象出的數(shù)字符號(hào)可以表示現(xiàn)實(shí)世界中具有不同屬性事物的數(shù)量，也可以表示事物的位置或順序，甚至可以表示數(shù)軸上的點(diǎn) 如“5”既可以表示5個(gè)蘋(píng)果或其他物體的數(shù)量，也可以表示排列中的第5個(gè)蘋(píng)果，還可以表示數(shù)軸上從原點(diǎn)開(kāi)始的第5個(gè)點(diǎn) ]

各版本教材在抽象出數(shù)概念時(shí)基本遵循了上述四個(gè)階段，對(duì)于前兩個(gè)階段學(xué)生已有較為豐富的經(jīng)驗(yàn)，因此教材并未進(jìn)行過(guò)多介紹。但在第三階段，仍需借助半抽象、半直觀的“幾何圖形示意圖”作為學(xué)習(xí)支架，進(jìn)一步抽象出數(shù)概念。例如，將“五個(gè)蘋(píng)果、五根手指”等用“擺五個(gè)圓片、小棒”來(lái)表示。

二、關(guān)于“數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象”的教材編排特點(diǎn)

人教版教材一年級(jí)上冊(cè)涉及數(shù)的認(rèn)識(shí)主要有“5以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)和加、減法”“6～10的認(rèn)識(shí)和加、減法”“11～20的認(rèn)識(shí)”三個(gè)單元。學(xué)習(xí)內(nèi)容主要包括從事物數(shù)量角度抽象出數(shù)的基數(shù)含義、數(shù)的序數(shù)含義、數(shù)的組成、數(shù)的順序、數(shù)的大小比較以及加減法運(yùn)算，這些內(nèi)容以數(shù)數(shù)貫穿于始終，突出計(jì)數(shù)單位“一”“十”的作用。從教材內(nèi)容編排而言，它提供特殊的直觀模型和關(guān)鍵提示語(yǔ)為邏輯主線，凸顯“數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象”和“數(shù)概念的一致性”。

（一）直觀呈現(xiàn)數(shù)概念的抽象階段，突出數(shù)的抽象過(guò)程

1.教材內(nèi)容編排基本呈現(xiàn)數(shù)概念抽象的四個(gè)階段

人教版教材在數(shù)的認(rèn)識(shí)內(nèi)容編排上主要呈現(xiàn)了“數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景—數(shù)的抽象過(guò)程—數(shù)的生活運(yùn)用”三個(gè)環(huán)節(jié)。例如，“5以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”是第一次正式建立數(shù)概念的單元，教材以“新農(nóng)村”主題圖為現(xiàn)實(shí)背景，從主題圖中的不同類事物的數(shù)量抽象出1～5各數(shù)，即體現(xiàn)了抽象的“數(shù)詞+量詞”階段（四個(gè)南瓜）到符號(hào)階段（數(shù)“4”）的過(guò)渡。進(jìn)一步追問(wèn)“4還可以表示生活中哪些事物的個(gè)數(shù)”這一開(kāi)放性問(wèn)題，讓學(xué)生感受抽象出來(lái)的數(shù)能表示很多不同類事物的個(gè)數(shù)，即體現(xiàn)抽象的普適階段。由不同類現(xiàn)實(shí)事物的數(shù)量到抽象的數(shù)，這一抽象過(guò)程人教版教材采用了“結(jié)構(gòu)化涂色卡”這一學(xué)具，該學(xué)具承載著豐富的育人價(jià)值。

2.借助“結(jié)構(gòu)化涂色卡”直觀模型，突出數(shù)的抽象過(guò)程

數(shù)的抽象過(guò)程首先是在具體的現(xiàn)實(shí)背景中能感知和描述數(shù)量，然后脫離現(xiàn)實(shí)背景，用數(shù)字符號(hào)表示數(shù)量的多少。那么，如何讓學(xué)生感知“脫離現(xiàn)實(shí)背景”呢？人教版教材在“5以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”和“6～10的認(rèn)識(shí)”中分別引入“5×1結(jié)構(gòu)化涂色卡”（如圖1）和“5×2結(jié)構(gòu)化涂色卡”（如圖2），作為感知“脫離現(xiàn)實(shí)背景”的認(rèn)知支架。

在1～5各數(shù)的抽象中，教材提供“5×1結(jié)構(gòu)化涂色卡”，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，因?yàn)椤八目孟蛉湛薄八膫€(gè)南瓜”的數(shù)量都與“5×1結(jié)構(gòu)化涂色卡”中的“4個(gè)涂色的圓”的數(shù)量對(duì)應(yīng)，所以可以用數(shù)“4”表示；而在6～10各數(shù)的抽象中，教材遷移1～5各數(shù)抽象的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在“5×2結(jié)構(gòu)化涂色卡”上，建立實(shí)物數(shù)量與“涂色的圓”數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并抽象出各個(gè)數(shù)。

可以看出，“結(jié)構(gòu)化涂色卡”不僅是讓學(xué)生感悟“數(shù)是數(shù)量的抽象”的橋梁，更是滲透以“5個(gè) ”“10個(gè)”作為認(rèn)識(shí)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)，將其他數(shù)都與“5”“10”作比較，體會(huì)數(shù)的順序與大小關(guān)系。強(qiáng)化以“五”“十”為標(biāo)準(zhǔn)，這既為理解十進(jìn)制做鋪墊，也為學(xué)習(xí)乘法、圖形面積作孕伏。因此，人教版教材這次新增的“結(jié)構(gòu)化涂色卡”是重要的學(xué)習(xí)工具，它遠(yuǎn)比讓學(xué)生邊數(shù)數(shù)、邊擺圓片（或小棒）更有教育價(jià)值。

（二）強(qiáng)調(diào)“后繼數(shù)”是數(shù)概念的抽象本質(zhì)

數(shù)量的“多與少”，最簡(jiǎn)單、最樸素的表達(dá)形式體現(xiàn)為“多一個(gè)”或“少一個(gè)”，“加1”是自然數(shù)及其運(yùn)算的核心，“1”是最為關(guān)鍵、基礎(chǔ)且樸素的計(jì)數(shù)單位。數(shù)學(xué)家皮亞諾建立了自然數(shù)的序數(shù)理論，即規(guī)定某一特定數(shù)（如1或0）為起始數(shù)，起始數(shù)“加1”得到第二個(gè)數(shù)即起始數(shù)的“后繼數(shù)”，通過(guò)連續(xù)地“加1”就可以得到無(wú)限多個(gè)“后繼數(shù)”。所有抽象出的數(shù)構(gòu)成自然數(shù)集，在該集合中存在最小的數(shù)，所有數(shù)之間存在序關(guān)系、大小關(guān)系。

1.用多種學(xué)具直觀表示“加1”，滲透計(jì)數(shù)單位“一”

人教版教材在認(rèn)識(shí)數(shù)的過(guò)程中，特別強(qiáng)調(diào)“后一個(gè)數(shù)是由前一個(gè)數(shù)‘加1’得到的”，在數(shù)數(shù)過(guò)程中滲透數(shù)的順序和大小關(guān)系，同時(shí)也滲透加法運(yùn)算，即加法運(yùn)算的本質(zhì)是“加1”。例如，“5以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)和加、減法”和“6～10的認(rèn)識(shí)和加、減法”都特別強(qiáng)調(diào)“加1”（如圖3）。

在圖3中，盡管小正方體和計(jì)數(shù)器均為實(shí)物，但它們是具有特殊意義的學(xué)具，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律。例如：“一顆珠子，可以用1表示；一顆珠子上再撥一顆珠子就是兩顆，可以用2表示……”“一個(gè)小正方體可以用1表示，兩個(gè)小正方體可以用2表示，2里面有兩個(gè)1……”基于學(xué)具表示的數(shù)量抽象為數(shù)，進(jìn)而可以描述“1再添1就是2，2再添1就是3……”“2里面有兩個(gè)1，3里面有三個(gè)1……”。據(jù)此可以發(fā)現(xiàn)，圖3所示的“撥一撥，數(shù)一數(shù)”活動(dòng)實(shí)際上是符號(hào)抽象層面的學(xué)習(xí)活動(dòng)，其目的在于運(yùn)用1～5之間“加1”的內(nèi)在規(guī)律，描述1～5的數(shù)概念，滲透“個(gè)（一）”作為計(jì)數(shù)單位，為后續(xù)學(xué)習(xí)“十”作為計(jì)數(shù)單位奠定基礎(chǔ)，而計(jì)數(shù)器是發(fā)現(xiàn)1～5數(shù)之間“加1”內(nèi)在規(guī)律的重要學(xué)具，小正方體是滲透“一”作為計(jì)數(shù)單位的重要學(xué)具。

2.從借助“量的多少”逐漸過(guò)渡到借助“數(shù)的順序”判斷數(shù)的大小，滲透數(shù)的大小關(guān)系的傳遞性

人教版教材根據(jù)數(shù)的認(rèn)識(shí)的三個(gè)單元，先后出現(xiàn)三次“數(shù)的大小”內(nèi)容，而比較數(shù)的大小的策略從“量”過(guò)渡到“序”的同時(shí)，滲透數(shù)的大小關(guān)系的傳遞性。例如，在“5以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”中首次出現(xiàn)“比大小”，是在“猴子分水果”的情境中借助“一一對(duì)應(yīng)”策略，用數(shù)量多少判斷數(shù)的大小。在“6～10的認(rèn)識(shí)”中再次出現(xiàn)“比大小、第幾”，是在“頭對(duì)齊”的多行中分別排列5～9個(gè)小正方體（如圖4），借助數(shù)量多少判斷數(shù)的大小的同時(shí)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)的大小關(guān)系的傳遞性；在“11～20的認(rèn)識(shí)”中第三次出現(xiàn)“比大小”，是借助11～20“數(shù)的順序”，在判斷數(shù)的大小的同時(shí)，滲透數(shù)的大小關(guān)系的傳遞性。

（三）強(qiáng)調(diào)數(shù)概念蘊(yùn)含了兩個(gè)重要數(shù)學(xué)思想：十進(jìn)制、位值制

受到手指計(jì)數(shù)習(xí)慣的影響，大多數(shù)民族在抽象數(shù)概念時(shí)普遍采用“十進(jìn)制”，這是一種非常樸素的數(shù)學(xué)思想。然而，創(chuàng)造出位值制卻頗具挑戰(zhàn)。若計(jì)數(shù)單位無(wú)限多個(gè)，是否需要?jiǎng)?chuàng)造出無(wú)數(shù)符號(hào)來(lái)表示？智慧的人類發(fā)明了依靠符號(hào)所在“位置”來(lái)表示數(shù)值大小，即同一個(gè)數(shù)字符號(hào)在不同的位置上可表示不同的值，這就是數(shù)概念中的位值制思想［1］10。因此，人教版教材在“11～20的認(rèn)識(shí)”單元特別增設(shè)了“10的再認(rèn)識(shí)”這一課時(shí)，旨在讓學(xué)生初步感受“十進(jìn)位值制”思想，即“10”這個(gè)符號(hào)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。

1.通過(guò)不同層次的學(xué)具，凸顯“十”作為計(jì)數(shù)單位的創(chuàng)造過(guò)程

隨著數(shù)的不斷變大，需要?jiǎng)?chuàng)造更多的“計(jì)數(shù)單位”，而“十”是學(xué)生需要認(rèn)識(shí)的第一個(gè)創(chuàng)造出來(lái)的計(jì)數(shù)單位（用“一”表示個(gè)數(shù)是人的本能）。為了幫助學(xué)生理解“十”的創(chuàng)造過(guò)程，教材利用可以“打捆”的小棒滲透十進(jìn)制思想，同時(shí)利用能夠標(biāo)識(shí)“數(shù)位”的計(jì)數(shù)器和數(shù)位表滲透位值制思想（如圖5），凸顯“10”的兩重含義：10個(gè)一、1個(gè)十。

2.探究“10”的符號(hào)意義，感悟位值制思想

教材提示學(xué)生探究“10中的‘1’和‘0’分別表示什么？”（如圖6）學(xué)生在解釋“10”的符號(hào)意義過(guò)程中，理解不同數(shù)位上的數(shù)表示不同的計(jì)數(shù)單位意義，從而再次感悟位值制思想。

教材在“5以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”和“6～10的認(rèn)識(shí)”中，注重?cái)?shù)的抽象過(guò)程，并滲透十進(jìn)制、位值制思想。在“11～20的認(rèn)識(shí)”中則強(qiáng)調(diào)數(shù)的符號(hào)意義，其基礎(chǔ)仍然是數(shù)數(shù)和數(shù)的抽象過(guò)程。然而，教材中關(guān)于“數(shù)的大小比較”已經(jīng)超越了量的多少比較，借助于數(shù)的順序進(jìn)行大小比較。在后續(xù)“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”“萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”的大小比較中，逐步轉(zhuǎn)變?yōu)楦鶕?jù)數(shù)的符號(hào)意義（比較相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)）進(jìn)行比較。由此可見(jiàn)，在數(shù)量抽象為數(shù)，再用符號(hào)表示數(shù)的過(guò)程中，引入十進(jìn)制和位值制后，符號(hào)獲得了數(shù)學(xué)意義，而這種數(shù)學(xué)意義本質(zhì)上也是“量”的意義，但表達(dá)的是不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)量。因此，筆者認(rèn)為“數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，符號(hào)是對(duì)數(shù)量抽象的表示”。

三、用好新教材實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)的幾點(diǎn)建議

教材是教師和學(xué)生開(kāi)展教與學(xué)活動(dòng)的重要資源，讀懂教材能有效地確定教什么以及怎么教。著名特級(jí)教師于永正說(shuō)：“這法，那法，不會(huì)鉆研教材就沒(méi)法?！边@充分說(shuō)明了鉆研教材的重要性，而教材分析是中小學(xué)教師的一項(xiàng)基本功。［2］如前文所述，數(shù)數(shù)貫穿于“20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”，那么，教學(xué)時(shí)如何借助數(shù)數(shù)過(guò)程，讓學(xué)生感悟“數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象”呢？

（一）數(shù)數(shù)時(shí)強(qiáng)調(diào)“一一對(duì)應(yīng)”思想

“一一對(duì)應(yīng)”思想是最樸素、最重要的數(shù)學(xué)思想之一，是數(shù)概念的產(chǎn)生、比較數(shù)量多少（數(shù)的大?。┮约皵?shù)的順序的基礎(chǔ)。例如，在教學(xué)圖2中的數(shù)“6”的抽象時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在“5×2結(jié)構(gòu)化涂色卡”上對(duì)與魚(yú)的數(shù)量相同的圓進(jìn)行涂色。當(dāng)學(xué)生數(shù)出6條魚(yú)，并在“5×2結(jié)構(gòu)化涂色卡”上對(duì)6個(gè)圓進(jìn)行涂色時(shí)，6條魚(yú)、6個(gè)圓都可以用數(shù)“6”來(lái)表示，即點(diǎn)數(shù)時(shí)，數(shù)到幾就是幾。這里的“數(shù)到幾”的“幾”是數(shù)量，“就是幾”的“幾”是數(shù)，通過(guò)這種方式，滲透“數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象”。

教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)借助日常生活中的實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)到“一一對(duì)應(yīng)”思想無(wú)處不在。例如，每人坐1把椅子，一個(gè)小組有4人就需要4把椅子、有5人就需要5把椅子；如果只有4把椅子而有5人，則必然有1人沒(méi)有椅子坐。這是“搶椅子”游戲原理，也是后續(xù)學(xué)習(xí)加減法的基礎(chǔ)。

（二）設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)數(shù)的興趣

當(dāng)數(shù)量較少時(shí)，具有挑戰(zhàn)性的數(shù)數(shù)任務(wù)主要包括兩類：一類是尋找個(gè)數(shù)“幾”的所有物品。例如，在教室里找一找個(gè)數(shù)為“4”的物品，看誰(shuí)找得多。這個(gè)任務(wù)具有一定的挑戰(zhàn)性，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。另一類是游戲性活動(dòng)。例如，比眼力游戲：教師閃現(xiàn)一下個(gè)數(shù)為“2”的物品，然后看誰(shuí)能說(shuō)出是2；隨后是4個(gè)、5個(gè)等，物品的擺放順序可以是“散亂的”，也可以是“排成一行的”，讓學(xué)生猜一猜再數(shù)一數(shù)來(lái)驗(yàn)證“自己的眼力”。

當(dāng)數(shù)量較多時(shí)，給學(xué)生提供熟悉的、有趣的、多樣化的數(shù)數(shù)素材，讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)數(shù)興趣。數(shù)數(shù)素材的來(lái)源主要有兩條途徑：一是教材。教師應(yīng)挖掘教材中主題圖，引導(dǎo)學(xué)生按照一定的順序觀察，培養(yǎng)分類意識(shí)，能夠分辨可數(shù)物品的類別。二是學(xué)生身邊的環(huán)境。教師引導(dǎo)學(xué)生數(shù)身邊的物品，如桌椅、書(shū)本等?？傊?，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)身邊熟悉物品的個(gè)數(shù)，看誰(shuí)數(shù)得又快又準(zhǔn)、看誰(shuí)數(shù)的物品更多等，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察周圍世界，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)數(shù)活動(dòng)無(wú)處不在。

（三）多種方式記錄數(shù)數(shù)的過(guò)程，同伴之間“相互讀懂”并驗(yàn)證數(shù)數(shù)結(jié)果

數(shù)數(shù)的方式可以多樣化，那么，如何記錄數(shù)數(shù)的過(guò)程呢？學(xué)生可以在涂色卡上涂色，也可以用擺小棒、畫(huà)圓圈等方式表示所數(shù)物品的數(shù)量。多樣化的記錄方式為學(xué)生相互交流“數(shù)數(shù)過(guò)程”提供了素材。利用這些素材組織學(xué)生相互讀懂、相互評(píng)價(jià)數(shù)的對(duì)錯(cuò)，并感悟“數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象”。在交流過(guò)程中，學(xué)生再次認(rèn)識(shí)到數(shù)數(shù)不考慮數(shù)的對(duì)象，只關(guān)注它們的個(gè)數(shù)，個(gè)數(shù)相同就用同一個(gè)數(shù)字符號(hào)表示，進(jìn)而感悟“個(gè)”是數(shù)數(shù)的基本單位。

“十”是第二個(gè)計(jì)數(shù)單位，學(xué)生對(duì)“10”的理解存在三個(gè)階段：原始階段，即將10理解為10個(gè)一，并不認(rèn)為十是一個(gè)單位，當(dāng)涉及以十為單位的事物時(shí)，他們?nèi)詴?huì)逐個(gè)計(jì)數(shù)；中級(jí)階段，即將10理解為由10個(gè)一組成的單位，但仍需依靠實(shí)物或具體表征來(lái)完成以十為單位的計(jì)數(shù)任務(wù)；高級(jí)階段，即無(wú)須實(shí)物或具體表征的幫助，就能解決以十和一為單位的任務(wù)，能將兩位數(shù)看作是由幾個(gè)十和幾個(gè)一組成的不同發(fā)展水平。為此，在教學(xué)中應(yīng)為學(xué)生提供可操作的、直觀化的學(xué)具，幫助學(xué)生從原始階段逐漸發(fā)展到高級(jí)階段。例如，為學(xué)生提供三個(gè)層次的直觀化學(xué)具，即無(wú)結(jié)構(gòu)的直觀化學(xué)具（打散的小棒、第納斯木塊）、有結(jié)構(gòu)的直觀化學(xué)具（十根1小捆、百根1大捆的小棒）、有結(jié)構(gòu)的半直觀半抽象學(xué)具（計(jì)數(shù)器）等，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到在“無(wú)結(jié)構(gòu)”轉(zhuǎn)化為“有結(jié)構(gòu)”的過(guò)程中，需要?jiǎng)?chuàng)造新的計(jì)數(shù)單位，而新的計(jì)數(shù)單位與數(shù)量多少有關(guān)。

參考文獻(xiàn)：

［1］史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第1輯）：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象［M］.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2008.

［2］吳立寶，王光明，王富英.教材分析的幾個(gè)視角［J］.教育理論與實(shí)踐，2016，36（23）：39-42.

（北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)與科學(xué)教育學(xué)院）