【摘 要】混合運(yùn)算是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一。在教學(xué)中，學(xué)生應(yīng)在理解情境的基礎(chǔ)上，用合適的方式表征情境并列出綜合算式，這實(shí)際上就是在用數(shù)學(xué)的語言描述情境中的兩個(gè)或兩個(gè)以上的故事，建立模型并求解模型的過程。以北師大第四版教材三年級上冊“乘加混合運(yùn)算”為例，確定“混合運(yùn)算”單元模型意識的具體表現(xiàn)，構(gòu)建“乘加混合運(yùn)算”課時(shí)表現(xiàn)性目標(biāo)與任務(wù)設(shè)計(jì)，來進(jìn)行教學(xué)實(shí)施。

【關(guān)鍵詞】模型意識；混合運(yùn)算；情境意義；表現(xiàn)性任務(wù)

“混合運(yùn)算”是北師大第四版教材三年級上冊第一單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容。該單元采用“問題情境—建立模型—解釋與應(yīng)用”的敘述方式，通過“小熊購物”“買文具”“過河”等現(xiàn)實(shí)情境，生動(dòng)呈現(xiàn)了多種混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用模型。學(xué)生需深入理解這些情境，運(yùn)用合適的方式表征情境并列出綜合算式，這一過程本質(zhì)上是在用數(shù)學(xué)的語言描述情境中的兩個(gè)或兩個(gè)以上的故事，進(jìn)而建立模型并求解模型。

在實(shí)際的教學(xué)中，如何有效引導(dǎo)學(xué)生對情境、表征與數(shù)學(xué)符號進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從而在混合運(yùn)算的學(xué)習(xí)中發(fā)展模型意識？本文以北師大第四版教材三年級上冊“乘加混合運(yùn)算”為例，確定本單元模型意識維度和具體的表現(xiàn)性水平層次，從而實(shí)現(xiàn)具體課時(shí)的任務(wù)設(shè)計(jì)與實(shí)施過程。

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)確立與教學(xué)任務(wù)設(shè)計(jì)

該單元聚焦于混合運(yùn)算的教學(xué)，其涵蓋的運(yùn)算涉及多個(gè)基本運(yùn)算的并列關(guān)系或含有先后順序的多級運(yùn)算。在本質(zhì)上，這些運(yùn)算應(yīng)當(dāng)分步進(jìn)行計(jì)算，但若想要用一個(gè)綜合算式表示，就形成了混合運(yùn)算。為確?；旌线\(yùn)算的結(jié)果與分步計(jì)算的結(jié)果一致，需要明確現(xiàn)實(shí)情境中事件的順序，即哪些事件是先發(fā)生的，哪些事件是后發(fā)生的，據(jù)此構(gòu)建綜合算式，并確保綜合算式中的運(yùn)算順序與現(xiàn)實(shí)情境保持一致。

在這一過程中，關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生解讀現(xiàn)實(shí)生活情境、理解信息、識別關(guān)系的能力，從而確立事件發(fā)生的先后順序，以此來確定運(yùn)算順序。此外，學(xué)生還需學(xué)會(huì)將信息進(jìn)行表征，并用算式進(jìn)行表達(dá)，逐步領(lǐng)悟小括號的意義，明確小括號可以用來表示先算部分的作用，并加以靈活運(yùn)用。模型意識在本單元的具體表現(xiàn)如表1所示。

基于上述模型意識在該單元的具體表現(xiàn)，可構(gòu)建“混合運(yùn)算”單元中的“乘加混合運(yùn)算”課時(shí)表現(xiàn)性目標(biāo)與任務(wù)設(shè)計(jì)（如表2）。

二、表現(xiàn)性任務(wù)的實(shí)施

（一）自主購物，獨(dú)立表征信息

教師設(shè)計(jì)了學(xué)生熟悉的自主購物情境圖，情境圖中提供豐富多樣的購物信息，使學(xué)生能夠從中自主選擇并提出與加、減、乘、除相關(guān)的實(shí)際問題。通過教師提問，引導(dǎo)學(xué)生從購物情境出發(fā)，理解信息、識別關(guān)系并嘗試對信息進(jìn)行表征。

【教學(xué)片段1】

教師出示購物情境圖（如圖1）。

任務(wù)一：想一想，你想購買哪些物品？用簡單的圖畫表示出來。

學(xué)生自主活動(dòng)后進(jìn)行全班交流，教師呈現(xiàn)學(xué)生作品1（圖略）。

師：大家知道這個(gè)同學(xué)想買什么嗎？

生：他想買2個(gè)蛋糕和3個(gè)面包。

師：你們是怎么看出來的？

生：他畫了2個(gè)蛋糕和3個(gè)面包，一看就知道了。

教師呈現(xiàn)學(xué)生作品2，如圖2所示。

師：那這位同學(xué)想買什么呢？

生：他想買2包餅干，2個(gè)面包，還有2袋糖果。

師：你是怎么看出來的？

生：他雖然沒有畫出商品的樣子，也沒有寫名稱，但是他寫出了價(jià)格，我們也能看出是什么物品。

師：看來只要畫出關(guān)鍵信息，就能把故事講清楚。

設(shè)計(jì)意圖：鑒于學(xué)生第一次接觸此類情境圖，本環(huán)節(jié)教學(xué)進(jìn)度較為緩慢，旨在鼓勵(lì)學(xué)生自主選擇想購買的商品，并進(jìn)行初步的表征。在教學(xué)過程中，教師對學(xué)生的購物圖進(jìn)行對比分析，采用疊加呈現(xiàn)的方式，引導(dǎo)學(xué)生深入討論如何表達(dá)自己所想購買的商品。此過程旨在幫助學(xué)生感受到不同個(gè)體在表征同一事物時(shí)的差異性，并進(jìn)一步體會(huì)將現(xiàn)實(shí)情境抽象為數(shù)學(xué)模型的全過程。

（二）理解情境，呈現(xiàn)多元表征

通過一個(gè)生動(dòng)的“胖胖的購物故事”，引導(dǎo)學(xué)生對情境中信息的理解進(jìn)行多元表征。利用小組間討論和教學(xué)反饋，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對不同表征方式的認(rèn)識。

【教學(xué)片段二】

教師出示胖胖的購物情境圖（如圖3）。

活動(dòng)要求。

（1）圈一圈：圈出情境中的關(guān)鍵信息。

（2）畫一畫：畫出胖胖的購物故事。

（3）看一看：小組交流，你能看懂小組內(nèi)其他人畫的購物圖嗎？

學(xué)生根據(jù)活動(dòng)要求獨(dú)立完成，教師呈現(xiàn)學(xué)生作品3（圖略）。

師：大家能看懂這個(gè)同學(xué)畫的購物圖嗎？

生：他畫了4包花生和1個(gè)蛋糕，就是說胖胖要買這些商品。

教師呈現(xiàn)學(xué)生作品4，如圖4所示。

師：那這個(gè)同學(xué)的圖呢？他畫出胖胖想買的東西了嗎？

生：他圓圈里寫6，表示1個(gè)蛋糕的價(jià)格，長方形里寫7，表示每包花生的價(jià)格，也表示出了胖胖想買的商品。

師：那下面的大括號和問號是什么意思？

生：就是問買這些東西一共需要花多少元？

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)引入了胖胖的購物故事，旨在促使學(xué)生對這一情境進(jìn)行深入理解與分析。學(xué)生需明確胖胖的購物故事中包含了兩個(gè)獨(dú)立的購物線索，并具備準(zhǔn)確判斷這兩個(gè)線索發(fā)生先后順序的能力。此環(huán)節(jié)為后續(xù)進(jìn)行列式計(jì)算奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（三）列式計(jì)算，綜合基本模型

學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中對信息的理解與多元表征的基礎(chǔ)上，提取了幾個(gè)基本模型，并結(jié)合情境中事件發(fā)生的先后順序，以此合成綜合模型，列出相應(yīng)的算式。

【教學(xué)片段三】

活動(dòng)要求。

（1）根據(jù)提供的購物圖，列式計(jì)算胖胖需要支付的金額。

（2）在小組內(nèi)，說一說所列算式的具體含義。

教師根據(jù)學(xué)生回答列式：4×7=28（元），28＋6=34（元）。

師：大家能看懂這個(gè)算式嗎？

生：4×7表示胖胖要買4包花生，即要花4×7=28（元），因?yàn)檫€要加上1個(gè)蛋糕的錢，所以28＋6表示胖胖需要支付的金額。

師：這個(gè)同學(xué)發(fā)現(xiàn)胖胖的購物圖里包含了兩個(gè)購物信息，要計(jì)算其總金額。他先計(jì)算4包花生的金額，再加上1個(gè)蛋糕的金額。大家想一想，能不能把這兩個(gè)算式合并成一個(gè)綜合算式？

教師出示一名學(xué)生列的綜合算式：4×7+6=34（元）。

師：你是怎么想的？

生：根據(jù)購物圖和題目呈現(xiàn)的問題，我先算4包花生的金額，再加上1個(gè)蛋糕的金額。

師：說得真好，能結(jié)合你的綜合算式說明一下嗎？

生：先算4包花生的金額，就是先算4×7，再加上1個(gè)蛋糕的金額，就是再加6。

教師出示另一名學(xué)生列的綜合算式：6+4×7=34（元）。

師：你是怎么想的？

生：我是先算4包花生的金額，再加上1個(gè)蛋糕的金額。

生：他的意思是對的，但算式好像不對，容易讓人誤以為是先算6+4。

師：在這個(gè)購物故事里，要先算什么？

生：4×7。

師：有沒有辦法，能讓所有人都知道先算4×7？

生：用小括號把4×7括起來，讓大家知道要先算這個(gè)。

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生聚焦于綜合算式的運(yùn)算順序探討。值得注意的是，盡管算式6+4×7在不加小括號的情況下，其計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)實(shí)情境相對應(yīng)，但這是在學(xué)生已掌握“先算乘除法，再算加減法”運(yùn)算法則的前提下。因此，當(dāng)學(xué)生面對該算式的運(yùn)算順序產(chǎn)生困惑時(shí)，可適時(shí)引用“利用小括號來表示先算的部分”來解釋。

【教學(xué)片段四】

活動(dòng)要求。

（1）請你分享一個(gè)類似的購物故事。

（2）畫一畫：將你的購物圖畫出來。

（3）算一算：用綜合算式計(jì)算結(jié)果。

學(xué)生根據(jù)活動(dòng)要求獨(dú)立完成，教師呈現(xiàn)學(xué)生作品5，如圖5所示。

師：請這個(gè)同學(xué)來分享一下他的購物故事。

生：我想買2包花生、1個(gè)面包和1袋糖果。要先計(jì)算2包花生的金額，再分別加上1個(gè)面包和1袋糖果的金額。因此，我列出的算式為7×2+3+5。

教師呈現(xiàn)學(xué)生作品6，如圖6所示。

師：請這個(gè)同學(xué)也來分享一下他的購物故事。

生：我想買5包餅干和4個(gè)蛋糕，我先分別算出5包餅干和4個(gè)蛋糕的金額，為了保證4×5和4×6先算，我給它們都加上了小括號。

師：你們的講解很精彩，都考慮到了運(yùn)算順序的問題。

設(shè)計(jì)意圖：通過前述幾個(gè)活動(dòng)，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了理解情境、表征信息與問題的過程，對綜合乘、加兩種基本運(yùn)算的模型有了豐富的認(rèn)識。因此，在此活動(dòng)過程中，學(xué)生能夠自然地自主提出涉及乘加混合運(yùn)算的問題，并借助表征圖，從中抽象出多個(gè)基本運(yùn)算模型，進(jìn)而綜合這些基本模型，列出相應(yīng)的綜合算式。

三、教學(xué)思考

（一）深化理解，講好情境故事

在“混合運(yùn)算”單元的學(xué)習(xí)中，學(xué)生常忽略對現(xiàn)實(shí)情境的理解，僅追求按照規(guī)定的運(yùn)算順序快速計(jì)算結(jié)果。當(dāng)情境較復(fù)雜時(shí)，他們往往難以厘清運(yùn)算順序。究其原因，這源于學(xué)生未能明確問題中包含了幾個(gè)故事及這幾個(gè)故事發(fā)生的先后順序，更難以用算式準(zhǔn)確表達(dá)復(fù)雜情境。因此，本節(jié)課著重通過講故事的方式，引導(dǎo)學(xué)生多角度、反復(fù)地表達(dá)情境故事，從而在學(xué)生表達(dá)過程中發(fā)現(xiàn)情境包含的多個(gè)故事，明確這些故事發(fā)生的先后順序，為正確列出算式并按運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算奠定基礎(chǔ)。

（二）多元表征，強(qiáng)化數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)

在問題情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的過程中，學(xué)生需經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象。其中，對情境中信息的表征顯得至關(guān)重要。面對同一情境，不同的學(xué)生會(huì)呈現(xiàn)不同的表征。教師應(yīng)有序呈現(xiàn)從具體到抽象的多元表征，讓學(xué)生感受“數(shù)學(xué)化”與“抽象化”的過程。在這一過程中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生基于表征，嘗試用符號表達(dá)情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系。學(xué)生在分步列算式時(shí)，需要依托表征，挖掘情境中包含的多個(gè)故事，從中提取乘法和加法的基本模型，并列出對應(yīng)的算式。學(xué)生在列綜合算式時(shí)，也需要依托表征，明確情境中多個(gè)故事發(fā)生的先后順序，將乘法和加法的基本模型合并成乘加的復(fù)雜模型，并將多步算式合并成綜合算式。

（三）拓展遷移，感悟模型價(jià)值

遷移、拓展和重復(fù)使用數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)模型建立的核心活動(dòng)，在教學(xué)中，除了深入研究教材提供的購物故事外，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主設(shè)計(jì)有關(guān)乘加混合運(yùn)算的問題。學(xué)生在自主設(shè)計(jì)相應(yīng)問題的過程中，自然會(huì)對這節(jié)課經(jīng)歷的整個(gè)建模過程進(jìn)行反思，將乘加模型進(jìn)行解構(gòu)、重組并產(chǎn)生新的理解。在交流、解讀其他同學(xué)設(shè)計(jì)的問題中，不斷重復(fù)應(yīng)用、解釋乘加數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)化對乘加模型的理解與應(yīng)用，感受乘加模型可以解決一類問題。

參考文獻(xiàn)：

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