【摘 要】將“尺規(guī)作圖”與“認識周長”相結(jié)合具有獨特的價值。尺規(guī)作圖雖然不能直接用于測量圖形的周長，但卻為測量圖形周長提供了一個全新的視角和方法，其利用與多邊形邊長等長的線段構(gòu)建了一條新的線段，將多次測量轉(zhuǎn)換成一次測量，不僅減少了分段測量中的誤差，還讓學生經(jīng)歷了求總量可以不必知道各分量具體數(shù)值的全新體驗，見識到推理的力量。為落實這一獨特價值，需要先引導學生厘清周長的數(shù)學本質(zhì)，突出邊線概念，然后創(chuàng)設(shè)測量情境，讓學生在問題解決中感悟體驗，從而使他們的思維產(chǎn)生突破性提升。

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖；周長；推理

對于“認識周長”的教學，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）提出要與“尺規(guī)作圖”相結(jié)合。其目的是為了加深對周長的理解嗎？倘若如此，那么是不是只要使用扣條制作一個三角形學具，使其展開后成為一條線段，就能夠讓學生“感知線段長度的可加性，并理解三角形的周長”？這樣的方法豈不是更加便捷？究竟什么才是周長？將“尺規(guī)作圖”嵌入周長的學習中具有怎樣的獨特價值？又能為學生帶來哪些新啟發(fā)？

一、什么是周長

（一）數(shù)學分析

不同版本的教材對周長的定義存在差異，如“封閉圖形一周的長度，是它的周長”（人教版）、“圖形一周的長度就是圖形的周長”（北師大版）。盡管表述有所不同，但都明確提出周長是長度。那么，“圖形一周”具體指的是什么呢？比如，圖1所示的多孔環(huán)形（陰影部分）的一周是指什么？圖2所示的五角星是否需要像“一筆畫”那樣遍歷圖形中的所有線段？

《幾何原本》雖然沒有直接定義圖形的周長，但在第一卷的第13條和第14條分別定義了邊界和圖形。即：“邊界是物體的邊緣”“圖形是被一個邊界或幾個邊界所圍成的”。［1］這里的“圖形”指的是封閉圖形，封閉圖形具有“邊界（Boundary）”，邊界使得圖形有了“內(nèi)”和“外”的區(qū)別。邊界的本質(zhì)是線，無論是直線還是曲線，都統(tǒng)稱為邊界線或邊線。有的圖形只有一條邊線，如圓；有的圖形則有若干條邊線，如三角形等多邊形。圖形中的線，如圖2中五角星內(nèi)部的線段，不屬于邊線，而多孔環(huán)形的內(nèi)外環(huán)線（如圖1）則都是邊線。一個封閉圖形的邊線總長度即是周長。

（二）教材分析

周長取決于圖形各邊線的長度，其前概念是邊線。因此，中國香港和中國臺灣的教材均采用“周界”一詞來表示封閉圖形所有的邊線。例如，臺灣通行版教材三年級上冊第5單元中有“周界”“周長”等概念。周界和周長是兩個既有聯(lián)系又有所區(qū)別的概念。簡單地說，周界指向圖形的邊線，學生可以通過畫、描、摸等方法認識周界。周長則指向邊線的總長度，可以通過工具進行測量。教材中給出的教學路徑是先認識“周界”，判斷一個點是在圖形的內(nèi)部、外部還是周界上，然后認識三角形的周長，進而概括出圖形周界的長度稱為周長。

人教版、北師大版等教材沒有“周界”的概念，而是直接學習周長。在實際教學中，教師可能會提出“描出圖形周長”這一不妥要求。因此，無論從數(shù)學本質(zhì)還是教學便利性的角度考慮，引入“周界”的概念都是有效的。如果擔心數(shù)學嚴謹性的不足，則可以用“一周邊線”來替代。建議教材將對周長的描述加上“邊線”二字，更新為：封閉圖形一周邊線的長度是周長。

二、為什么要將“尺規(guī)作圖”與“認識周長”結(jié)合

（一）數(shù)學分析

周長本質(zhì)上是線段的總長度，通過測量工具可以得到較為準確的數(shù)量。以多邊形周長的測量為例，如果使用以厘米為基本單位的直尺來測量各邊的長度，當邊長是整厘米數(shù)時，測量比較方便。但當邊長是非整厘米數(shù)時，如四邊形四條邊的長度分別是5.26厘米、4.32厘米、5.19厘米和4.25厘米時，使用普通直尺測量將產(chǎn)生4次誤差。相比之下，尺規(guī)作圖將不同方向的線段等長地轉(zhuǎn)移到同一條直線上，并將它們連接成一條線段，隨后使用直尺測量這條線段的長度，這樣測量得出的周長僅產(chǎn)生1次誤差。因此，尺規(guī)作圖能夠減少誤差，實現(xiàn)更精確的測量。

更重要的是，“尺規(guī)作圖”從測量方法的角度給學生“開了腦洞”。對于處于具體運算階段的小學生來說，他們的認知特點是具體和直接，最自然的測量物體長度的方式是直接測量。當測量結(jié)果不準確時，他們往往會認為“這條線段不對”，而不會考慮改變測量方法?！俺咭?guī)作圖”并沒有直接測量線段的長度，而是通過等距變換將多條線段轉(zhuǎn)換成一條等長的線段，本質(zhì)上是一種推理活動。學生通過這種經(jīng)歷，認識到“求總量不必知道各分量的具體數(shù)值”的獨特價值。這是他們在之前的學習中未曾接觸過的，是一種全新的數(shù)學思維方式，有利于培養(yǎng)學生的理性精神和創(chuàng)新意識。

（二）教材分析

關(guān)于“尺規(guī)作圖”在“認識周長”中的重要性，各版教材有不同的實施方式。不過，2022年版課標中還提供了相關(guān)樣例（如圖3），據(jù)此，今后的新教材都會將此內(nèi)容納入其中。在當今主要發(fā)達國家的教材中，將認識周長與尺規(guī)作圖相結(jié)合的做法并不常見，而中國教材的這種編排方式獨樹一幟，為數(shù)學教學提供了創(chuàng)新的范例。

三、學情調(diào)查

小學生對“邊界線”“一周”“周長”等概念的已有認知狀況如何？他們是否能聯(lián)想到將“尺規(guī)作圖”與測量聯(lián)系起來？為了解這些問題，筆者在教學前對三年級某班41名學生做了前測調(diào)查。

（一）“周長”的前概念調(diào)查

前測問題1：你知道什么是圖形的周長嗎？請你寫一寫。

調(diào)查結(jié)果顯示：有6名學生（約14.63%）采用畫圖來描述，如畫正方形、三角形等；有8名學生（約19.51%）使用文字表述，主要內(nèi)容包括“一個物體的外圍”“圖形一周的長”等；約65.86%的學生未能作答。由此可見，學生對“周長”有一定的認知基礎(chǔ)，但在表達上存在困難。

（二）“邊界線”的前概念調(diào)查

前測問題2：請你用水彩筆描一描下面圖形的邊界線。

調(diào)查結(jié)果顯示：學生對三角形、樹葉、五角星邊界線描畫的正確率分別為100%、100%和95.12%，正確率較高，表明學生對“邊界線”的理解有一定的生活經(jīng)驗和認知基礎(chǔ)。然而，在環(huán)形圖形的描畫上，學生間的分歧較大，除 1 名學生未作答外，24名學生（約58.54%）僅畫出外圈，16名學生（約39.02%）畫出了內(nèi)外兩圈?？梢?，超過半數(shù)的學生對邊界線的理解局限于圖形的外部。

（三）測量周長

前測問題3：（1）下圖中三角形的周長是多少？量一量，算一算。（2）如果只能量一次，你有什么辦法量出這個三角形的周長？

雖然前測卷中的三角形各邊長是整厘米數(shù)（3厘米、4厘米、5厘米），但能夠用直尺正確測量的學生并不多。在這三邊中，有一條邊測量正確（主要是水平方向的底邊）的有39名學生（約為95.12%），但三條邊都測量正確的僅有 16 名學生（約39.02%）。當邊的方向改變或測量次數(shù)增加，錯誤率也隨之升高。此外，在測量過程中想到用尺規(guī)作圖的僅有 2 名學生（約4.88%）。由此可見，為減少測量次數(shù)，在教學中有必要引入“尺規(guī)作圖”。

（四）周長的變式

前測問題4：在下圖的長方形中剪去一個方格（邊長是 1 厘米），周長會變小嗎？寫一寫你的想法。

調(diào)查結(jié)果顯示：有 12名學生（約29.27%）回答正確，其中有 7名學生通過計算方法比較變化前后的周長，有5 名學生通過平移方法說明周長不變。有18名學生（約43.90%）回答錯誤，主要原因有兩個：其一，認為圖形（面積）變小，所以周長減少；其二，量錯或數(shù)錯，未能正確計算圖形的所有邊。還有 11名學生（約26.83%）未作答。

通過上述調(diào)查可以發(fā)現(xiàn)：學生對“邊界線”的概念有一定的生活經(jīng)驗和認知基礎(chǔ)，總體掌握較好；對“周長”能進行直觀描述，但表達上存在困難，并且容易受到“面”的影響；對于周長的測量，隨著邊線方向的改變和測量次數(shù)的增加，正確率下降明顯。同時，學生很少主動想到尺規(guī)作圖與周長的聯(lián)系，因此在教學中需要教師進行點撥。

四、教學設(shè)計與分析

綜合上述分析，確立了以下教學目標。

（1）通過辨認圖形的內(nèi)部與外部，認識圖形的邊線和周長，并能夠進行測量。

（2）經(jīng)歷多邊形的測量過程，感悟“尺規(guī)作圖”的獨特性，初步感受等量代換思想，發(fā)展推理意識。

（一）判斷內(nèi)外，認識邊線

教師呈現(xiàn)秋季運動會情境（如圖4），引導學生討論投擲沙包時可能出現(xiàn)的問題：“沙包投向地面的圓形區(qū)域，可能會落在哪里？”學生基于已有經(jīng)驗，會想到沙包可能落在圓內(nèi)、圓外或邊界線上。師生小結(jié)：“這條線就是圓形區(qū)域的邊界線，它幫助我們區(qū)分圖形的內(nèi)部和外部。”教師運用課件動態(tài)演示：使用色塊填充圖形，區(qū)分內(nèi)部和外部。

【分析】根據(jù)前測結(jié)果，學生對邊界線的封閉性和邊緣性已有一定了解。因此，本環(huán)節(jié)通過呈現(xiàn)投擲沙包的情境，幫助學生理解邊界線的含義，并建立圖形的邊和面之間的聯(lián)系。借助課件的演示，學生可以清晰地看到邊界線將圓形分為圓內(nèi)和圓外兩部分，邊界線即為分界線。

（二）測量邊長，討論誤差

教師出示運動會場地圖（如圖5），組織學生討論：“運動會每個場地的周長是多少？”

學生經(jīng)過討論后交流：可以用直尺測量這三個圖形，量出各邊線的長度，然后再相加。

師：如果知道①號場地是長方形，你準備測量幾次？

生：測量2次就夠了。長方形的長和寬分別相等。

師：②號場地還有其他測量周長的方法嗎？

生：可以用平移法，把它移動成一個長方形。周長就是長方形的周長加上原來兩條線段的長度。

生：周長應(yīng)該是長方形的周長，移動后原來的線段沒有了，測量2次，就行了。

師：前兩個圖形的周長大家測量的結(jié)果都一致。為什么③號場地的周長，大家測量的結(jié)果各不相同呢？

生：③號場地的每條邊量出來都不是整數(shù)，是不是印錯了？

生：我測量出的長度分別是4.5厘米、3厘米、2.5厘米，周長是10厘米。

生：不對，應(yīng)該分別是4.5厘米、3.5厘米、2.5厘米，周長是10.5厘米。

……

師：看來③號場地的三條邊大家測量的結(jié)果不一樣。雖然每條邊誤差都不大，但是合在一起的周長差得還是挺明顯的。有沒有什么方法能夠減少測量次數(shù)，只測量1次呢？

【分析】度量屬性的教學，應(yīng)遵循確定度量對象、選擇度量方法、選擇度量單位、獲得度量結(jié)果的順序進行實施。［2］首先，學生需要明確周長是線段長度，可以借助直尺進行測量。其次，學生需要根據(jù)圖形邊線的特征選擇合適的策略，一般可以采用分段測量相加的方法。最后，學生需要選擇度量單位，有些邊線不是整厘米數(shù)，可以選擇以毫米為單位。不過類似③號場地的邊長即使以毫米為單位也會出現(xiàn)不同測量結(jié)果，需引導學生繼續(xù)思考。

（三）尺規(guī)作圖，等量代換

師：大家有沒有辦法使測量③號場地周長時的誤差小一些？

生：如果三角形能剪開來就好了。如果能把三角形的兩邊剪開，放平，就可以變成一條線段。

（教師展示用扣條制作的三角形，并展開變成一條線段，如圖6所示）

師：是不是像這樣把兩邊展開，將三角形的三條邊連成一條線段？看來我們的想法不謀而合，這樣只要測量1次就行了。那么，有沒有一種工具能像扣條一樣將線段進行旋轉(zhuǎn)呢？（展示圓規(guī)）你們會用嗎？誰愿意來試試？

（學生嘗試尺規(guī)作圖，取等長線段，測量周長，如圖7所示）

師：原來的三角形沒有字母標記，線段AB、線段BC、線段CD分別對應(yīng)三角形的哪一段？

生：線段BC是最長的，對應(yīng)三角形中最長的那條邊。線段CD是最短的，對應(yīng)三角形中最短的那條邊。剩下的那條就是線段AB。

師：這里的點D是怎么來的？

生：就是點A。從起點開始，又回到了起點。

師：除了以A為起點，還有什么方式可以畫出這樣的線段？（展示學生作品，如圖8所示）

師生小結(jié)：盡管起點不同，但都是從起點開始，又回到了起點，剛好一周。

【分析】學生通過將扣條展開聯(lián)想到尺規(guī)作圖，將三角形的三條邊放置到同一條直線上，構(gòu)建了一條新的線段。在此基礎(chǔ)上，教師引導學生討論兩個關(guān)鍵問題：（1）為什么三角形的周長就是線段AD的長度？（2）原來的三角形只有三個點，這里的第四個點是如何產(chǎn)生的？針對問題（1），學生通過“等量的等量相等”進行分析，在這一過程中促進了推理意識的發(fā)展。通過問題（2），學生進一步明確第四個點就是起點，從起點開始，又回到起點，周長就是封閉圖形一周邊線的長度。

如此，一方面幫助學生聚焦概念本質(zhì)，理解周長；另一方面幫助學生體驗“尺規(guī)作圖”能產(chǎn)生新事物，開拓了解決問題的新視角，有助于學生養(yǎng)成發(fā)散性思維，學會從多角度出發(fā)，創(chuàng)造性地解決問題。

（四）變式應(yīng)用，深化理解

教師再次呈現(xiàn)①號場地的格子圖，提問：“剛才①號場地的周長是10厘米，它占了幾格？”師生一起數(shù)出占6格。教師繼續(xù)提問：“現(xiàn)在要準備一個運動員休息區(qū)，同樣占6格。你們能否設(shè)計不同形狀的運動員休息區(qū)呢？周長會有變化嗎？”讓學生獨立思考，并交流他們的作品。

【分析】周長是一維線段的度量，需要從二維的面上提取出來，這兩個概念容易相互干擾，但又不可割裂。通過設(shè)計運動員休息區(qū)的環(huán)節(jié)，學生在周長和面積的不斷對比中，明確了研究的對象是邊線而不是面積，圖形里面的線段不是周長，周長與圖形的邊線有關(guān)，與面積無關(guān)。

作為小學生認識幾何圖形的一條新路徑，2022年版課標在小學階段對尺規(guī)作圖提出了三次要求，嵌入周長學習是其中之一 ［3］。尺規(guī)作圖的獨特價值不僅在于作圖本身，也不只是多了一種方法，而是給學生打開了一扇思考的窗，讓學生在經(jīng)歷測量與推理活動的過程中體驗了超越直接感知的理性力量，這對學生今后的學習與生活都將產(chǎn)生深遠的影響。

參考文獻：

［1］歐幾里得. 歐幾里得·幾何原本［M］.蘭紀正，朱恩寬，譯.西安：陜西科學技術(shù)出版社，2003.

［2］暢東燕，李懷軍，朱艷紅.深度理解周界的內(nèi)涵，自然生成周長的概念：“認識周長”單元起始課的教學與思考［J］.小學教學（數(shù)學版），2021（5）：11-15.

［3］劉加霞.小學階段“尺規(guī)作圖”功能定位、內(nèi)容邏輯及教學建議［J］.新教師，2023（12）：39-42.