【摘 要】搭配問題（又稱笛卡爾積模型）是典型的整數(shù)乘法情境之一?；谖墨I修訂形成學生解決搭配問題的策略水平分析框架，在學生初步學習了等組模型及倍的概念后，先分為兩部分四個問題深入研究，再通過問卷和訪談調查分析學生搭配策略水平層次，最后提出相應建議：（1）可在二年級引入搭配問題的教學，豐富學生的乘法認識；（2）宜分課時教學搭配問題，先達成加法—乘法過渡水平的認識，再在此基礎上進行反思、優(yōu)化，確保更多學生受益；（3）倡導推理的課堂文化，勿急于將問題類型化。

【關鍵詞】搭配問題；策略水平；分析框架；乘法模型

一、 問題提出

在《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中，數(shù)與代數(shù)是學生數(shù)學學習的重要領域。在小學階段包括“數(shù)與運算”和“數(shù)量關系”兩個主題?！皵?shù)量關系”的教學，重點在于讓學生感悟加法模型和乘法模型的意義。相較于加法模型，乘法模型理解起來更為復雜。Greer曾歸納出四類典型的整數(shù)乘法問題情境［1］276-295，具體包括：（1）等組模型，如每盤有4個桃子，3盤共有多少個桃子？（2）倍數(shù)模型，如小猴子有4個桃子，大猴子的桃子數(shù)量是小猴子的3倍，大猴子有多少個桃子？（3）笛卡爾積模型，在我國教材中通常稱為搭配問題，如3件上衣和4條褲子可以搭配出多少套不同的套裝？（4）長方形面積模型，如一個長方形長4厘米，寬3厘米，求它的面積。這四類模型分布在小學數(shù)學的不同學段中。其中，等組模型本質上是基于部分—整體關系的分析，屬于加法性質的解釋。而搭配問題對學生的挑戰(zhàn)較大。有研究指出，即使第三學段的學生也未必能完全理解和解決這類問題。［2］

當前，一些教材將搭配問題移至二年級，要求學生通過有序枚舉解決問題，甚至期望學生將其與乘法表征相關聯(lián)。這樣的教材設計是否能實現(xiàn)預期的效果和目標呢？在實際教學中，筆者發(fā)現(xiàn)了一些形式化掌握的現(xiàn)象。例如，學生可能只會解決采用典型句式陳述的搭配問題（如前面提到的衣服搭配褲子），但無法識別非典型的搭配問題，或者將句式相似但非搭配問題的誤認為是搭配問題。此外，一些學生雖然能夠列出乘法算式，卻無法說明算式的意義。因此，有必要研究：二年級學生是如何理解搭配問題的？教師應如何幫助他們逐步掌握這一乘法模型？

二、相關研究

（一）搭配問題的內容分析

在當前的教學實踐中，搭配問題通常與等組模型聯(lián)系在一起，將乘法運算解釋為相同加數(shù)相加。如在“衣服搭配褲子”情境中，3件上衣和4條褲子通過有序搭配可得到：4條褲子（搭配第1件上衣）+ 4條褲子（搭配第2件上衣）+ 4條褲子（搭配第3件上衣）= 4×3=12（套）套裝。這種解釋與觀察到的學生解決問題的實際行為相吻合。但搭配問題的數(shù)學意義不止于此。

Vergnaud將乘法問題分為三類結構：度量同構、度量的積以及多重比例問題。［3］其中，度量的積涉及兩個度量空間M1和M2，它們共同映射出第三個新的度量空間M3，包含搭配和長（正）方形面積兩個子類，其圖式表征如圖1所示。以圖1（b）為例：橫邊表示上衣數(shù)量，按“1件”為單位度量，共有3件；縱邊表示褲子數(shù)量，按“1條”為單位度量，共有4條；兩者復合成的平面表示新數(shù)量——套裝，按“1套”為單位度量，可得出4×3套套裝。

在“度量的積”這一結構中，涉及兩個不同量綱的數(shù)量相乘產(chǎn)生一個新數(shù)量的過程。這里一個數(shù)量源自上衣集合，另一個數(shù)量來自褲子集合，并通過乘法運算，產(chǎn)生了一個新的集合——套裝集合。因此，搭配問題可以這樣理解：1件上衣和1條褲子構成1套套裝。套裝的數(shù)量與上衣的件數(shù)和褲子的條數(shù)分別成正比，如圖2所示。這種對乘法復合及比例關系的理解，對學生后繼學習乘法內容具有重要的促進作用。

（二）學生解決乘法問題的策略水平分析

學生在解決乘法問題時所采用的策略往往反映出他們對乘法模型的理解和思維發(fā)展的程度。Clark和Kamii通過“鰻魚問題”（倍數(shù)模型）對1～5年級的學生進行訪談，將他們的乘法思維發(fā)展水平劃分為五個水平層級，具體分析如表1所示。［4］ Jacob和Willis通過文獻研究，也歸納出學生乘法認知發(fā)展的五個階段：一一對應計數(shù)、加法性合成思考、一多對應計數(shù)、乘法關系以及算子運算。其中加法性合成與一多對應計數(shù)仍被視為加法思維的范疇，一多對應計數(shù)階段更是標志著學生思維發(fā)展水平從加法思維向乘法思維過渡。一旦學生認識到乘法關系，便意味著他們已經(jīng)進入了乘法思維階段。而能夠進行算子運算的學生，則被視為完全具備乘法思維。［5］

上述兩個分析框架具有一致性，均表明學生在建構和理解乘法模型的過程中，從加法思維逐步過渡到乘法思維。然而，目前的研究尚未利用搭配問題來探究學生的思考過程，因此尚不清楚學生在學習搭配問題時思維上的變化。本研究旨在整合現(xiàn)有的評估框架，觀察和分析本地學生在課堂情境中解決搭配問題時的認知變化，探究他們對搭配模型的理解可能達到的水平，以及在理解過程中遇到的難點，從而為教師精準設計教學提供參考依據(jù)。

三、研究設計

（一）研究對象

本研究選定杭州市一所普通公辦小學二年級某班共36名學生作為研究對象，其中男生19名，女生17名。該班級學生使用的是浙教版教材，并且在學習搭配問題前，已經(jīng)掌握了乘法的基礎知識，包括乘法的初步認識（等組模型）、表內乘法以及倍的初步認識。擔任教學的教師畢業(yè)于師范專業(yè)，具有8年教齡。

（二）教學過程

本研究將“搭配問題”的教學分為兩個課時。第一課時重在讓學生通過自主探索和同伴交流，掌握有序搭配的方法。這一方面已有許多精彩的教學案例［6］，在此不贅述。第二課時則引導學生對搭配方法進行深入反思，并嘗試將他們的理解提升到乘法思維水平。具體教學分為兩部分。

第一部分設置了兩個相關聯(lián)的問題，相當于例題，目的是在數(shù)值較大且存在倍數(shù)關系的情況下，引導學生運用更簡潔高效的乘法策略。具體問題如下。

問題1：有4件上衣和5條褲子，1件上衣搭配1條褲子，一共可以搭配出幾套不同的服裝？

問題2：有8件上衣和5條褲子，1件上衣搭配1條褲子，一共可以搭配出幾套不同的服裝？

第二部分為學生獨立練習環(huán)節(jié)，同樣設置了兩個問題，其中一個問題相對常規(guī)，另一個問題則刻意改變了常規(guī)的敘述方式，并增加了一些干擾信息。具體問題如下。

問題3：一家商店的三明治是可以自己搭配的。

可選的面包有3種：

可選的餡料有4種：

一共可以搭配出多少種不同口味的三明治？

問題4：圖書館新到3本不同的科學雜志和6本不同的故事書。1個同學可以借2本讀物。如果從科學雜志和故事書里各選1本，一共有多少種不同的借法？

（三）編碼研究

第二課時結束后，研究團隊收集了學生提交的包含四個問題的作業(yè)紙，共32份有效問卷，然后對有效問題進行編碼和訪談。

首先，團隊瀏覽了全部學生采用的解題策略，并根據(jù)這些策略對先前的評估框架進行了整合與調整（如表2）。接著，第三作者根據(jù)學生平時的表現(xiàn)，挑選出好、中、弱的學生各3名。第一作者和第三作者共同對這些學生的作業(yè)進行編碼，以方便分析該評估框架對學生答案的覆蓋面。然后，對于那些表達不夠明確尤其是僅提供乘法算式作業(yè)紙的學生，第一作者和第三作者與他們進行了面對面訪談，以確保了解學生的解題思路。最后，第一作者和第三作者分別對全部32名學生的作業(yè)進行了編碼，對于采用不止一種解題策略的作業(yè)，按照最高水平的策略進行評分。計算結果顯示，第一作者和第三作者兩位編碼者的歸類一致性指數(shù)為0.875。對于編碼結果不一致的作業(yè)，邀請第二作者加入討論，共同確定了最終的編碼結果。

四、研究結果

（一）整體情況

經(jīng)過兩個課時的學習，大多數(shù)二年級學生能夠有效地解決搭配問題。超過60%的學生達到了乘法水平（主要為乘法水平1），具體數(shù)據(jù)如表3所示。

（二）不同水平策略在課堂中的變化

學生解決搭配問題的策略變化體現(xiàn)了Siegler所描述的“疊波”現(xiàn)象［8］，即學生同時掌握多種策略，這些策略相互競爭，整體上呈現(xiàn)出優(yōu)化和進步的趨勢。如圖3所示，在第二課時中，加法水平策略僅在問題1中出現(xiàn)，隨后很快被淘汰。加法—乘法過渡水平的策略明顯減弱，逐漸被更高級的乘法水平策略所取代。乘法水平1策略逐漸成為主流，大多數(shù)學生能夠將搭配問題與等組模型聯(lián)系起來，將集合A（或B）中每個元素的可搭配數(shù)量看作第一個乘數(shù)，集合A（或B）中元素的個數(shù)看作第二個乘數(shù)，建立搭配問題的乘法結構。約20%的學生開始展現(xiàn)出乘法水平2的理解，能夠超越具體計算，基于不同搭配數(shù)量之間的關系進行增倍推理，預測搭配結果。

然而，研究者也注意到，課堂上一直存在處于前結構水平的學生，具體分析將在下一小節(jié)中展開。

（三）不同學生策略水平變化分析

問題1的解題表現(xiàn)可以視為本節(jié)課學生的起點水平。一個具有啟示性的現(xiàn)象是：在起點低于加法—乘法過渡水平的8名學生中，有7名整節(jié)課的學習都處于前結構水平，如圖4變化類型1、變化類型2；而起點達到加法—乘法過渡水平的21名學生中，有17名從問題2開始即進入并保持在乘法水平，如圖4中的變化類型3、變化類型4；另外3名起點為乘法水平的學生中，有2名始終保持在乘法水平，1名在遇到問題4這樣的變式問題時，會重新回到加法—乘法過渡水平尋求解題方法，如變化類型5。由此，可以推斷：加法—乘法過渡水平是一個關鍵的認知階段。在未達到這一水平之前，學生難以理解乘法結構，即使模仿乘法計算，也無法發(fā)展乘法思維。同時，剛剛開始形成乘法思維的學生在遇到困難時，也需要回到這一水平重新反思和整理自己的經(jīng)驗，以便進一步提升。

此外，一些學生在解決搭配問題4時，策略水平出現(xiàn)退步，甚至急劇下降至前結構水平。一方面，這說明搭配問題對二年級學生確實具有一定的難度，他們需要更多的解題經(jīng)驗才能形成有效的概括，更好地掌握乘法模型；另一方面，這也提醒教師在進行教學和評價時，要謹防問題類型化，以免掩蓋學習中的工具性理解。

五、教學啟示

盡管本次研究的樣本規(guī)模較小，可能無法全面反映所有二年級學生的思維狀況，且研究數(shù)據(jù)是在課堂環(huán)境中收集的，無法排除學生間有相互借鑒的可能性，但研究結果依然提供了一些值得關注的學習證據(jù)。首先，大多數(shù)二年級學生具備了有效解決常規(guī)搭配問題的能力，超過60%的學生能夠達到乘法水平；其次，加法—乘法過渡水平是學生發(fā)展中的一個關鍵時期，在此期間，“可迭代的單位”概念的形成是學生理解搭配問題數(shù)量結構、發(fā)展乘法思維的基礎。基于這些研究結論，筆者提出以下教學建議。

（一） 在二年級引入搭配問題的教學

本研究表明，只要給予學生操作和反思的機會，二年級學生解決搭配問題是完全可能的，他們生成乘法水平理解的可能性也相當大。目前，大多數(shù)教材都是在二年級開始乘法教學，但通常僅將乘法與等組模型相聯(lián)系，對乘法的解釋僅停留在相同加數(shù)相加的水平上，這不利于學生乘法思維的發(fā)展。將搭配問題融入教學，可以豐富學生對乘法的理解，并更好地與后續(xù)學習內容銜接。

（二）分課時教學搭配問題

從理解和建構乘法模型的角度出發(fā)，建議教師分課時教學搭配問題。第一課時應側重于操作實踐，在實際操作的基礎上，讓學生認識一個集合中每個元素的搭配情況是相同的（如4件上衣搭配5條褲子，每件上衣都可以搭配出5套服裝；3種面包搭配4種餡料，每種面包都可以搭配出4種三明治……），從而初步抽象出“可迭代的單位”概念。第二課時則注重反思，鼓勵學生在不依賴具體操作的情況下，預期搭配后的數(shù)量結構，并采用乘法來解釋和解決問題。至于這兩課時是集中進行，還是分散安排，甚至跨學期實施，可以進一步探索。需要注意的是，那些尚未達到加法—乘法過渡水平的學生，在后續(xù)學習中會遇到困難。

（三）倡導推理意識，樹立積極的數(shù)學觀

在搭配問題的學習過程中，筆者發(fā)現(xiàn)許多二年級學生傾向于將解決問題等同于列式計算，急于列出算式，而忽略了對情境意義的深入分析（如表2中前結構水平示例）。因此，迫切需要營造一個鼓勵推理的課堂文化，幫助學生樹立積極的學習信念。教師可以采取以下措施：（1）給予學生充足的時間讀題，并討論題目的意思，而不是急于進入“識別問題類型—提取標準算法”的程式；（2）鼓勵學生嘗試不同的方法來解決問題，充分體驗通過實物操作、畫圖、枚舉等手段進行分析和說理的過程。有研究表明，當學生在解決問題時，意識到“不一定非要進行算術運算，而只要思考問題，并向他人解釋自己的思考過程，就常常會從沮喪轉變?yōu)榕d奮和迷戀”［9］。這正是吸引學生深度參與數(shù)學學習、發(fā)展數(shù)學思維的關鍵所在。

參考文獻：

［1］GROUWS D A.Handbook of research on mathematics teaching and learning［M］. New York：Macmillan Publishing Company，1992.

［2］HART K M.Children’s understanding of mathematics：11-16［M］.Windsor：NFER-Nelson，1981：23-47.

［3］LESH R，LANDAU M. Acquisition of mathematics concepts and processes［M］. New York：Academic Press，1983：127-174.

［4］CLARK F B，KAMII C. Identification of multiplicative thinking in children in grades 1-5［J］. Journal for research in mathematics education，1996，27（1）：41-51.

［5］JACOB L，WILLIS S.Recognising the difference between additive and multiplicative thinking in young children［C］.Sydney：24th Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia，2001.

［6］朱志明，江益珍.巧妙滲透 凸顯精彩：特級教師吳正憲“搭配中的學問”教學片段賞析［J］.教學月刊·小學版（數(shù)學），2011（9）：31-32.

［7］STEFF L P. Schemes of action and operation involving composite units［J］. Learning and individual difference，1992，4（3）：259-309.

［8］SIEGLER R S. Emerging minds：the process of change in children’s thinking［M］. New York：Oxford University Press，1996：86-87.

［9］NUNES T，BRYANT P. Using mathematics to understand the world［M］. London： Routledge，2022：116.