【摘 要】模型意識是小學(xué)階段學(xué)生核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)之一，模型意識的培養(yǎng)可提升小學(xué)生運用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界的能力。根據(jù)學(xué)生認(rèn)知特點和思維水平，模型意識可以劃分為“感悟模型、使用數(shù)學(xué)模型表示現(xiàn)實情境、依托數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實問題”三個維度。理解模型意識，有助于教師從整體、結(jié)構(gòu)化的視角解讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，從而全面、系統(tǒng)地設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)，體驗從生活現(xiàn)象抽象到數(shù)學(xué)模型的過程，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。

【關(guān)鍵詞】模型意識；教材；加法模型；現(xiàn)實情境

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）明確指出：“模型意識主要是指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑；能夠認(rèn)識到現(xiàn)實生活中大量的問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，有意識地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋?！保?］10數(shù)學(xué)模型作為解決“個例問題”到“一類問題”的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，需要遵循“感悟模型—創(chuàng)建模型—應(yīng)用模型”的認(rèn)知路徑。據(jù)此，模型意識可劃分為以下三個維度：第一，感悟模型。學(xué)生需要在“個例問題” 解決的過程中感悟模型的結(jié)構(gòu)特征，知道解決同類問題時，可歸結(jié)于某一個典型模型（樣例）［2］。第二，使用數(shù)學(xué)模型表示現(xiàn)實情境，即能識別生活中數(shù)學(xué)模型應(yīng)用場景，進行交流、解釋和解決問題。第三，依托數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實問題。學(xué)生能夠理解模型的各部分關(guān)系，根據(jù)具體情境選擇或調(diào)整基礎(chǔ)模型，對生活現(xiàn)象進行分析和研究。

理解模型意識，有助于教師從整體、結(jié)構(gòu)化的視角解讀教材中的相關(guān)內(nèi)容。以北師大第五版教材一年級上冊“5以內(nèi)數(shù)加與減”單元為例，其學(xué)業(yè)要求為“能描述四則運算的含義，知道減法是加法的逆運算……”［1］19基于模型意識與學(xué)業(yè)要求，教師可圍繞以下三個方面的問題展開思考：（1）教材如何借由解決問題的過程，幫助學(xué)生初步感知加、減法模型？（2）在哪些情境下，引導(dǎo)學(xué)生使用加法模型或減法模型進行情境識別，并進行交流、解釋？（3）如何依托數(shù)學(xué)模型解決實際問題，既加深學(xué)生對加、減法意義的理解，又讓他們體會兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系？以下將結(jié)合教材內(nèi)容進行具體論述。

一、感悟模型

數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)始于對“個例問題”的探討。因此，在選擇“個例問題”時，應(yīng)側(cè)重于典型的、常規(guī)的素材幫助學(xué)生理解信息，提出問題，并在多元表征中構(gòu)建結(jié)構(gòu)，知道在解決同類問題時可轉(zhuǎn)化為某一典型模型。以加法模型為例（如圖1），教材結(jié)合“一共有多少”這一現(xiàn)實問題，按照“識別—表征—抽象—概括”［3］四個層次，引導(dǎo)學(xué)生初步感知加法模型。

（一）識別

作為學(xué)習(xí)加法的起點，教材精心設(shè)計了兩個貼近學(xué)生生活的現(xiàn)實情境。通過引導(dǎo)學(xué)生說一說這些情境內(nèi)容，幫助學(xué)生識別信息，提出問題。情境1通過動態(tài)展示女孩手中的鉛筆數(shù)量變化，即左邊圖中的女孩一只手里有3支鉛筆，另一只手里有2支鉛筆，右邊圖中的女孩將左右手中的筆合起來，引導(dǎo)學(xué)生體會加法“合并”的含義；情境2則通過熊貓的不同活動，即3只熊貓在吃竹子，2只熊貓在玩球，讓學(xué)生通過畫符號操作或頭腦中操作感悟“合并”的含義。這些情境原型均貼近學(xué)生的日常生活，因此，當(dāng)學(xué)生被問及圖中有哪些信息時，他們自然能結(jié)合生活經(jīng)驗，聯(lián)想到“一共有多少”的問題。

（二）表征

多元表征是對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和關(guān)系的多維度描述，表征的過程既是思考的過程，也是建模的過程。從教材中人物角色的生動演繹和對話中，可以看到教材通過情境1中的“實物操作”和情境2中的“畫圖”來表征問題情境和信息，使學(xué)生直觀感受到“兩部分合起來”即為求“一共是多少”。此外，在教學(xué)中教師應(yīng)鼓勵學(xué)生說一說表征過程中數(shù)3、2、5在特定情境中的含義，這有助于他們建立信息和問題之間的聯(lián)系。因此，借助實物操作、畫圖和語言描述等方式表征問題情境和信息，能很好地促進學(xué)生對信息的整合與關(guān)聯(lián)，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)關(guān)系。

（三）抽象

在理解問題和信息的關(guān)系結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，學(xué)生需運用數(shù)學(xué)形式表達(dá)，抽象出數(shù)學(xué)模型并予以合理解釋。鑒于這是學(xué)生初次接觸運算，教材直接呈現(xiàn)了加法算式，引導(dǎo)學(xué)生將算式中的每一部分與情境圖相對應(yīng)，說一說每一部分所表示的現(xiàn)實意義，并介紹加號、等號和算式的讀法等基礎(chǔ)知識。隨后，鼓勵學(xué)生將所學(xué)知識回歸現(xiàn)實情境，進行檢驗和解釋。

（四）概括

在解決一系列“一共有多少”問題的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了識別情境、進行表征與抽象等思維活動，構(gòu)建起加法關(guān)系。這一過程使學(xué)生深刻認(rèn)識到，當(dāng)面對需要將兩部分合并起來的實際問題時，可以用加法來進行計算，從而初步感知加法模型的本質(zhì)與應(yīng)用。

二、使用數(shù)學(xué)模型表示現(xiàn)實情境

實踐是深化理解概念的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，學(xué)生需在給定情境中使用數(shù)學(xué)模型識別問題，并將其整合到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)更完善。教材根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點和認(rèn)知水平，有層次地編寫了一系列結(jié)構(gòu)相同但情境不同的加法問題，如“合并型、添加型、原來型、比較型”等加法問題（如表1）。

每種情境承載著不同的教育意義?！昂喜⑿汀眴栴}，盡管兩部分并未實際合并，學(xué)生需基于“一共有多少”的問題，在心理上或概念上將圖中的“左右、上下、前后”等兩部分合并起來?！疤砑有汀眴栴}，則通過情境中的添加或移入等操作，使學(xué)生直觀理解起始量和變化量的合并。“原來型”問題，則需學(xué)生結(jié)合情境，發(fā)現(xiàn)結(jié)果量與變化量合起來即為起始量。“比較型”問題，需引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合情境理解較小量和較大量，認(rèn)識到較小量與相差量合起來即為較大量。

這些多樣化的素材和類型，給師生共建和抽象數(shù)學(xué)模型提供了幫助，激發(fā)學(xué)生自主運用加法知識，深化對加法意義的理解，讓學(xué)生深刻體會到加法模型在解決生活中一類問題的廣泛性與普適性。在解決問題的過程中，學(xué)生充分經(jīng)歷“意義理解—識別表征—抽象概括”的思維過程，感悟到數(shù)學(xué)作為認(rèn)識、理解、表達(dá)現(xiàn)實世界的強大工具和語言，深入領(lǐng)會建模的價值與意義。

三、依托數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實問題

數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)并非僅停留于抽象和結(jié)構(gòu)化的提煉層面，它還需融入應(yīng)用模型的解釋、解答等多維度的實踐，以便更深入地探索基本模型與變式模型之間的內(nèi)在關(guān)系，從而深化對基本模型的理解，感受數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值。［4］ 因此，在教材編排上，自加、減法的初步引入起，就要有意識地通過“一圖兩式”和“一圖三式”的設(shè)計，讓學(xué)生在具體情境中深化對加、減法意義的理解，體會加、減法之間的關(guān)系，為其后續(xù)深入學(xué)習(xí)加法模型奠定堅實的基礎(chǔ)。

（一）“一圖兩式”啟迪對加減關(guān)系的感悟

在設(shè)計“得數(shù)為0或算式中有0的加、減法”的例題中，教材呈現(xiàn)了在同一情境下，利用加、減法寫出“一圖兩式”的例題（如圖2）。通過計數(shù)器上的直觀演示，學(xué)生見證了從5個珠子中撥走1個珠子，變成一邊4個珠子和一邊1個珠子的過程。學(xué)生可以根據(jù)“一共5個珠子，分走1個，還剩4個”的撥珠子過程寫出減法算式“5-1=4”；同時，通過觀察發(fā)現(xiàn)，將“左邊的4個珠子和右邊的1個珠子合起來即原來的5顆珠子”，從而得出對應(yīng)的加法算式“4+1=5”。通過計數(shù)器上的撥珠子活動，學(xué)生不僅直觀感知到“加法是將兩部分合并”，而“減法是從總的里面去掉一部分”，還加深了對加、減法運算意義的理解，初步建立了總量與分量之間的關(guān)聯(lián)意識，首次從相互依存的角度把握了加、減法的內(nèi)在聯(lián)系，感受加中有減、減中有加，增強了模型意識。

（二）“一圖三式”啟迪對模型價值的感悟

在“10的加減法”教學(xué)中，學(xué)生首次接觸到“一圖三式”的挑戰(zhàn)（如圖3）。他們需從圖3中獲得“左邊有8只小雞，右邊有2只小雞”的信息，并據(jù)此信息建立加法或減法關(guān)系，從而生成兩個加法算式和兩個減法算式。在此過程中，學(xué)生首先要根據(jù)圖中的信息識別這是加法的合并型情境，其次利用加法意義將左右兩邊小雞只數(shù)合并，得到“8+2=10”或“2+8=10”兩個加法算式。通過直觀體驗，學(xué)生深刻認(rèn)識到，無論是8+2還是2+8，其結(jié)果都是10只小雞，都是由8和2這兩部分合并成的，只是觀察的角度不同，沒有實質(zhì)的差別。此過程滲透了加法交換律，深化了對加法意義的理解。當(dāng)學(xué)生理解8和2都包含于10之中時，他們便能根據(jù)事件發(fā)生順序的互逆性，以減法形式來表征，即將10作為一個整體，分為8和2兩部分。學(xué)生需將其中的一個部分看作未知，如將左邊的8只小雞看作是未知，從而構(gòu)建減法問題結(jié)構(gòu)“共有10只小雞，右邊有2只小雞，左邊有幾只小雞？”并寫出算式“10-2=8”。同理，可得出另一個減法算式“10-8=2”。

在結(jié)合情境解釋加、減法運算及其結(jié)果的實際意義時，學(xué)生體會到加、減法之間的緊密聯(lián)系。如圖4所示，8和2兩個部分合并成整體10，同時從10這個整體中，去掉8得到2，或去掉2得到8。在學(xué)習(xí)過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過畫一畫三個數(shù)的關(guān)系圖，深入理解3個量之間的關(guān)系，體會到只要將其中的任意一個量作為未知，即可產(chǎn)生三種不同的問題結(jié)構(gòu)，從而整體把握問題結(jié)構(gòu)，形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)識。

同理，表1中的每種加法問題情境，都可因未知量的不同而衍生出3個不同的問題結(jié)構(gòu)（包含加法和減法運算），這有助于學(xué)生依據(jù)重要信息構(gòu)建思維結(jié)構(gòu)，提升發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力。學(xué)生逐漸認(rèn)識到，問題的分類不再局限于加法和減法，而應(yīng)依據(jù)問題結(jié)構(gòu)和情境來描述。在解決問題時，學(xué)生意識到加入的情境不一定就是加法，而分離或拿走的情境也不一定意味著減法［5］。通過建立總量與分量的關(guān)系，學(xué)生還能理解減法實為求解“分量”的問題，從而將減法問題納入“加法模型”中，豐富對“模型”的認(rèn)識，初步感悟“總量=分量+分量”模型的價值。

總之，理解模型意識的內(nèi)涵，有助于教師深入解讀教材中與模型意識相關(guān)的例題和練習(xí)，從而全面、系統(tǒng)地設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)。讓學(xué)生在解決問題的過程中，體驗從生活現(xiàn)象抽象到數(shù)學(xué)模型的過程，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，逐步形成模型意識。

參考文獻：

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［2］方齊珍.模型意識：內(nèi)涵、目標(biāo)與教學(xué)要領(lǐng)［J］.福建教育，2024（6）：40-44.

［3］章勤瓊，陳肖穎.小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識的內(nèi)涵、表現(xiàn)與教學(xué)：兼論核心素養(yǎng)的表現(xiàn)性目標(biāo)［J］.課程·教材·教法，2024，44（1）：106-113.

［4］費嶺峰.發(fā)展小學(xué)生模型意識的內(nèi)涵及其教學(xué)思考［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2024（1/2）：15-18.

［5］范德沃爾，卡普，貝-威廉姆斯.美國中小學(xué)數(shù)學(xué)教師實踐手冊：第10版［M］.張晶，侯慧穎，施銀燕，等譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2023.