如何在教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的模型意識

在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中，抽象、推理和模型構(gòu)成了其三大基本思想。其中，模型思想的構(gòu)建是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將“模型思想”細分為小學(xué)階段的“模型意識”和初中階段的“模型觀念”。因此，指向模型意識的教學(xué)，將成為小學(xué)數(shù)學(xué)教師落實課程標(biāo)準(zhǔn)的重要途徑。章勤瓊教授與他的團隊長期致力于素養(yǎng)導(dǎo)向的單元整體教學(xué)理論與實踐的研究。本期特刊發(fā)他們的部分研究成果，探討如何在教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的模型意識，為廣大教師落實課程標(biāo)準(zhǔn)要求，提升學(xué)生核心素養(yǎng)提供有價值的教學(xué)參考。

【摘 要】數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本方式，模型意識的培養(yǎng)有助于學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，增強數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，為現(xiàn)實生活中的問題提供有效的解決方案。根據(jù)小學(xué)生的認知特點和思維水平，模型意識可以劃分為感悟模型、使用數(shù)學(xué)模型表示現(xiàn)實情境、依托數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實問題三個維度。教學(xué)中，教師需要深度挖掘教材，明確模型教學(xué)內(nèi)容；凸顯學(xué)生體驗，深化模型意識培養(yǎng)；優(yōu)化評價方式，關(guān)注學(xué)生建模過程。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)素養(yǎng)；模型意識；數(shù)學(xué)模型；建模過程

模型意識是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。模型意識的培養(yǎng)，有助于學(xué)生初步感知與領(lǐng)悟數(shù)學(xué)模型的普適性，獲得多層次的數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)表達和社會溝通能力［1］。同時，模型意識能增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，有助于他們更好地體會和理解數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。深入探究模型意識的內(nèi)涵與維度，對教師精準(zhǔn)把握其本質(zhì)，科學(xué)制定培養(yǎng)策略具有重要意義。

一、模型意識的內(nèi)涵解讀

數(shù)學(xué)模型作為概念框架系統(tǒng)，旨在通過形式化的數(shù)學(xué)符號和語言，構(gòu)建、解釋和描述選定情境。在數(shù)學(xué)建模過程中，學(xué)生能夠識別復(fù)雜現(xiàn)象的內(nèi)在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，運用數(shù)學(xué)方式與現(xiàn)實世界交流。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)、不等式以及各種圖表、圖形，都屬于數(shù)學(xué)模型。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》首次將“發(fā)展學(xué)生的模型思想”列為數(shù)學(xué)課程的十大核心概念之一。模型思想指“針對問題構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過對數(shù)學(xué)模型的研究來解決實際問題的一種數(shù)學(xué)思想”［2］。模型思想的建立是“學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑”。它要求學(xué)生通過簡化、抽象和創(chuàng)建模型，運用數(shù)學(xué)概念、原理和工具，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并借助數(shù)學(xué)模型提供解決問題的方案。2022年版課標(biāo)將“模型思想”細分為小學(xué)階段的“模型意識”和初中階段的“模型觀念”。小學(xué)階段的“模型意識”聚焦于“對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟”。在數(shù)學(xué)教育中，“意識”一詞通常涉及對數(shù)學(xué)概念、原理及方法的理解，對數(shù)學(xué)問題的敏感性和洞察力，以及運用數(shù)學(xué)模型解決一類問題的準(zhǔn)備狀態(tài)。模型意識指個體能夠有意識地運用數(shù)學(xué)的概念、原理和思維方法，用數(shù)學(xué)語言對實際問題進行概括性表達，并以數(shù)學(xué)建模為基本途徑理解、描述以及解決現(xiàn)實世界中的一類問題。［3-4］其內(nèi)涵包括以下三個方面：第一，模型的感性認識，即認識到數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實情境簡化的本質(zhì)的描述，具備解決一類問題的能力；第二，模型的識別與應(yīng)用，即在特定情境下，能夠迅速識別數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用場景，并主動采用數(shù)學(xué)的方式進行描述、解釋和解決問題；第三，模型的創(chuàng)建，即將模型意識作為認知工具，經(jīng)歷建模的過程，應(yīng)用數(shù)學(xué)對現(xiàn)實世界的現(xiàn)象進行表達、分析、預(yù)測及深入探究。

模型思想與模型意識緊密相連，通過比較兩版課標(biāo)的要求，二者均強調(diào)增強數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。然而，從本質(zhì)而言，模型思想側(cè)重于運用數(shù)學(xué)的概念、原理和思維方法講述現(xiàn)實世界中的故事，體現(xiàn)模型素養(yǎng)的整體要求。而模型意識則強調(diào)數(shù)學(xué)思考，更加突出小學(xué)生的認知特點和思維水平，是小學(xué)階段模型思想滲透的階段性、整體性表述，激勵學(xué)生主動運用模型思想來解決現(xiàn)實問題。

二、模型意識的維度分析

模型意識作為小學(xué)階段重要的核心素養(yǎng)，主要表現(xiàn)為“知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑；能夠認識到現(xiàn)實生活中大量的問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，有意識地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋”。結(jié)合模型意識內(nèi)涵，依據(jù)“感悟模型—創(chuàng)建模型—應(yīng)用模型”這一認知路徑，模型意識可劃分為三個維度：“感悟模型”“使用數(shù)學(xué)模型表示現(xiàn)實情境”以及“依托數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實問題”。各維度釋義及特征描述如表1所示。

以北師大第五版教材一年級上冊“5以內(nèi)數(shù)加與減”單元為例，該單元遵循“問題情境—建立模型—解釋與應(yīng)用”的敘述方式，結(jié)合“一共有多少？”“還剩下多少？”等現(xiàn)實情境引入加減法概念，引導(dǎo)學(xué)生初步建立加法和減法模型，并基于這些模型探索多樣化的計算策略，解決實際問題。模型意識在該單元的具體表現(xiàn)如表2所示。

三、模型意識的教學(xué)策略

（一）深度挖掘教材，明確模型教學(xué)內(nèi)容

教材是模型意識培養(yǎng)的重要載體，因此對教學(xué)內(nèi)容的深入理解和把握對于教師制定全面、系統(tǒng)的培養(yǎng)策略至關(guān)重要。北師大第五版教材中，數(shù)學(xué)模型相關(guān)內(nèi)容在各個年級均有所體現(xiàn)，且分布均衡，體現(xiàn)了模型意識培養(yǎng)的整體性、階段性和一致性。通過對各分冊教材中數(shù)學(xué)模型內(nèi)容的統(tǒng)計與分析（主要內(nèi)容如表3），可以明確地認識到數(shù)學(xué)模型教學(xué)內(nèi)容在不同年級和領(lǐng)域的側(cè)重點。

總體而言，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域是形成模型意識的重要載體，其中以加法模型和乘法模型尤為顯著，學(xué)生需在具體情境中運用數(shù)量關(guān)系解決問題，感悟加法模型和乘法模型的意義。此外，該領(lǐng)域還包括方程模型和函數(shù)模型，學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號、經(jīng)歷用字母表示數(shù)、構(gòu)建代數(shù)式及列方程等抽象過程，體會數(shù)學(xué)的抽象性。在“圖形與幾何”領(lǐng)域，學(xué)生通過對圖形的認識與測量、圖形的位置與運動的學(xué)習(xí)，借助數(shù)形結(jié)合的思想初步構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，進而形成空間觀念和幾何直觀。在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域，學(xué)生則需通過多樣化的實例和數(shù)形結(jié)合，嘗試?yán)斫鈹?shù)據(jù)的統(tǒng)計意義，如從現(xiàn)實問題出發(fā)，嘗試“以一個數(shù)代表一組數(shù)”的表征方式，深入理解統(tǒng)計量的“代表”意義，并在這一過程中真正理解平均數(shù)是一個良好的代表量，從而在實踐中體會用數(shù)學(xué)概念解決實際問題的路徑。“綜合與實踐”領(lǐng)域則通過主題學(xué)習(xí)和項目式學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生對數(shù)學(xué)應(yīng)用過程的認識。

教師應(yīng)整體解讀教材，深刻理解數(shù)學(xué)模型教學(xué)內(nèi)容，把握模型意識培養(yǎng)目標(biāo)的整體性與進階性，明確教材中的數(shù)學(xué)概念、原理和方法，并自覺將模型意識的培養(yǎng)融入日常教學(xué)之中。同時，教師還需識別模型教學(xué)的要素，識別教材中與模型意識培養(yǎng)緊密相關(guān)的內(nèi)容，依據(jù)不同的模型思想，設(shè)計建模任務(wù)或項目，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中，運用數(shù)學(xué)知識構(gòu)想、創(chuàng)建和使用數(shù)學(xué)模型。

（二）凸顯學(xué)生體驗，深化模型意識培養(yǎng)

1.關(guān)聯(lián)現(xiàn)實世界，創(chuàng)設(shè)真實生活情境

精心創(chuàng)設(shè)“體驗性真實”的生活情境，讓學(xué)生經(jīng)歷解決實際問題的過程來發(fā)展模型意識。然而，在將現(xiàn)實情境數(shù)學(xué)化時，所需的數(shù)量關(guān)系和操作步驟往往超出了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的范疇。與傳統(tǒng)的問題解決相比，數(shù)學(xué)建模問題要求學(xué)生深入理解情境，自主構(gòu)建和發(fā)展其獨特的數(shù)學(xué)思想或概念體系，進而形成可推廣、可重用的關(guān)系系統(tǒng)。這一過程往往伴隨著復(fù)雜程序或概念工具的生成。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)明確數(shù)學(xué)問題，利用有意義的情境來激發(fā)學(xué)生的建模意識，促使他們進行超越情境現(xiàn)實和日常經(jīng)驗的數(shù)學(xué)思考。通過創(chuàng)建情境的“現(xiàn)實模型”，學(xué)生能夠從中抽象出數(shù)學(xué)問題，并以對他們個人而言有意義的方式進行數(shù)學(xué)化。

在教學(xué)“5以內(nèi)數(shù)加與減”時，從第一個情境“一共有多少？”入手，通過“數(shù)鉛筆”（如圖1）和“數(shù)熊貓”（如圖2）兩個生動的場景，呈現(xiàn)動態(tài)的合并過程。這些場景作為學(xué)生學(xué)習(xí)加法的起點，是加法“移入”概念的原型。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)從多個角度提供加法背景，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷、體驗“合起來”的實物演示過程，探究計算“一共幾支鉛筆？”或“一共幾只熊貓？”的方法，從而全面理解“合并”的含義。

2.經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程，關(guān)注抽象和應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型的教學(xué)本質(zhì)在于“‘?dāng)?shù)學(xué)化’，即通過建立數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的雙向聯(lián)系，形成初步的模型意識”［5］。數(shù)學(xué)建模的理想化過程被描述為一個通過使用數(shù)學(xué)來解決實際問題的循環(huán)過程。為構(gòu)建符合情境的現(xiàn)實模型，需深入理解現(xiàn)實背景，簡化復(fù)雜問題，這一過程涉及多重假設(shè)的設(shè)立，識別關(guān)鍵要素的影響，創(chuàng)建有意義的表征。首先，為了創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)實模型中構(gòu)建數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，經(jīng)歷分析、抽象和概括的過程，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并獲取相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)果。接著，需對所得數(shù)學(xué)結(jié)果及整個建模過程進行解釋和驗證，評估模型的擬合性和適用性，獲得科學(xué)的數(shù)學(xué)模型。最后，將數(shù)學(xué)模型返回現(xiàn)實情境，應(yīng)用其創(chuàng)建的數(shù)學(xué)模型解決同類現(xiàn)實問題（如圖3）。

整個過程學(xué)生必須經(jīng)歷兩次數(shù)學(xué)化。第一次為抽象，即從現(xiàn)實情境中識別和分析變量，借助抽象和概括等方式將問題映射到熟悉的數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)運算，進而創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型；第二次為應(yīng)用，即通過遷移和拓展，將創(chuàng)建的數(shù)學(xué)模型推廣到解決一類問題的實踐中。

在“一共有多少？”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生能夠借助直觀操作（如畫圖、計數(shù)）得到鉛筆和熊貓的總數(shù)，但在數(shù)學(xué)表達上卻顯得力不從心。教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生將算式中的每一部分與情境圖相對應(yīng)，解釋其表達的意義，在“數(shù)鉛筆”的過程中引出加法問題并予以解答，深刻理解加法的本質(zhì)意義，明確加法計算的使用情境，進而建立起加法模型。教材還呈現(xiàn)了試一試“停車”問題（如圖4），進一步拉近了加法與現(xiàn)實生活的距離，深化了學(xué)生對加法模型的理解，促使他們逐步學(xué)會運用加法模型解決現(xiàn)實生活中的問題。

3.拓展模型應(yīng)用，感悟模型價值

遷移、拓展和重復(fù)運用創(chuàng)建的數(shù)學(xué)模型，乃是數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)方法的核心活動，在此過程中，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實價值。［6］為在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，教師應(yīng)設(shè)計一系列與創(chuàng)建和應(yīng)用模型相關(guān)的非常規(guī)問題情境。在這些情境中，學(xué)生將不斷探索、驗證和改進數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，最終形成能夠應(yīng)用于多種情境的數(shù)學(xué)模型，從而提升他們運用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實問題的能力。教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生找一找生活中的加法問題，用語言描述和解釋，并提出解決方案，以此強化加法模型與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，加深學(xué)生對加法模型的理解與應(yīng)用。

（三）優(yōu)化評價方式，關(guān)注學(xué)生建模過程

2022年版課標(biāo)明確倡導(dǎo)發(fā)揮評價的育人導(dǎo)向作用，倡導(dǎo)多樣化的評價方式，以深入了解學(xué)生的學(xué)習(xí)過程與發(fā)展變化。傳統(tǒng)教學(xué)評價的載體——測試和作業(yè)評價，在指向模型意識發(fā)展的教學(xué)評價中，需進一步聚焦于學(xué)生的建模表現(xiàn)與問題解決能力。這要求教師確立明確的評價標(biāo)準(zhǔn)，運用多元化的評價方式，構(gòu)建有效的反饋機制，以全面評價學(xué)生的建模表現(xiàn)與模型意識的發(fā)展?fàn)顩r。

首先，確立明確的評價標(biāo)準(zhǔn)至關(guān)重要。依據(jù)2022年版課標(biāo)中的學(xué)段目標(biāo)和學(xué)業(yè)要求，模型意識的主要評價指標(biāo)可確立為：（1）能夠掌握現(xiàn)有模型的相關(guān)知識；（2）在特定情境中，能夠全面執(zhí)行數(shù)學(xué)建模過程的各個環(huán)節(jié)；（3）能夠批判性地分析給定模型的適用性［7］；（4）能夠運用已有模型解決一類問題。針對“5以內(nèi)數(shù)加與減”的教學(xué)內(nèi)容，模型意識的評價指標(biāo)可具體確定為：（1）能夠結(jié)合具體情境解釋加、減法運算模型及其運算結(jié)果的實際意義；（2）能夠運用算式、畫圖等方式，表示簡單情境中的加法關(guān)系或減法關(guān)系，并解決簡單問題；（3）能夠解決與5以內(nèi)數(shù)加、減法密切相關(guān)的簡單實際問題。

其次，采用多樣化的評價方式。學(xué)生模型意識的形成與發(fā)展要經(jīng)歷從感性到理性、從具體到抽象的過程。因此，教學(xué)評價應(yīng)重視學(xué)生在建模過程中的實際表現(xiàn)，而非僅僅關(guān)注單一的測評結(jié)果。學(xué)生的課堂討論、活動報告、書面作業(yè)等可以作為評價學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與使用，處理各種復(fù)雜信息時數(shù)學(xué)思維發(fā)展的重要反饋。觀察學(xué)生在建模中的表現(xiàn)，分析學(xué)生的活動報告和書面作業(yè)，為評價學(xué)生當(dāng)前的思維方式、數(shù)學(xué)建模和概念系統(tǒng)的發(fā)展提供依據(jù)，特別是在使用符號、識別變量、表征信息、創(chuàng)建關(guān)系以及解決問題等方面的發(fā)展。

參考文獻：

［1］ENGLISH L D， WATTERS J J. Mathematical modelling in the early school years［J］. Mathematics education research journal， 2005， 16（3）：58-79.

［2］劉來福，黃海洋，曾文藝.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1997.

［3］史寧中.漫談數(shù)學(xué)的基本思想［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（4）：8.

［4］章勤瓊，陳肖穎.小學(xué)數(shù)學(xué)模型意識的內(nèi)涵、表現(xiàn)與教學(xué)：兼論核心素養(yǎng)的表現(xiàn)性目標(biāo)［J］.課程·教材·教法，2024，44（1）：106-113.

［5］方齊珍.模型意識：內(nèi)涵、目標(biāo)與教學(xué)要領(lǐng)［J］.福建教育，2024（6）：40-44.

［6］ENGLISH L D. Mathematical modeling in the primary school： children’s construction of a consumer guide［J］. Educational studies in mathematics，2006， 63（3）：303-323.

［7］BLUM W， NISS M. Applied mathematical problem solving， modelling， applications， and links to other subjects—state， trends and issues in mathematics instruction［J］.Educational studies in mathematics，1991，22（1）：37-68.