［摘 要］模型意識是數(shù)學模型普適性的初步體驗，是形成模型觀念的經(jīng)驗基礎。在教學中，引導學生學會用“數(shù)學的眼睛”觀察生活、用“數(shù)學的思維”思考現(xiàn)象、用“數(shù)學的語言”表述本質，使學生的模型意識逐步從朦朧走向清晰，最終達到深刻的理解。

［關鍵詞］數(shù)學模型；小學數(shù)學模型；模型意識

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）29-0094-03

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，在數(shù)與代數(shù)領域的學習過程中，應著重培養(yǎng)學生的模型意識?！墩n程標準》提出具體教學要求，即通過創(chuàng)設恰當?shù)膯栴}情境，引導學生分析情境中的數(shù)量關系，并能夠用數(shù)學語言準確表述情境中的數(shù)量關系。筆者對蘇教版四年級下冊數(shù)學教材中的“常見的數(shù)量關系”進行了深入探索，并設計一節(jié)以“路程、時間與速度”為主題的建模課。該課程的教學流程分為三個階段：提煉生活問題→建立速度模型→應用速度模型。在創(chuàng)設的情境中，學生能夠逐步認識到速度、路程和時間三者的關系。

一、感性表述在情境中提煉

（一）從數(shù)據(jù)中提出數(shù)學問題

師：同學們，近期我們市將舉行第九屆全民“萬步有約”健走激勵大賽，學校將從報名的10名老師中選擇1名老師參加這個活動。這是某天報名的老師的打卡數(shù)據(jù)（見表1）。學校想從報名的10名老師中選擇1名老師參賽，如果你是評委，你會選擇哪位老師，為什么？

（二）從討論中提出比較快慢

生1：我會選擇美術陳老師，因為他走的路程最遠。

生2：我覺得可以根據(jù)花費時間的長短來選擇，英語孫老師的運動時間最長，我會選擇孫老師。

生3：我不同意他們倆的說法，我覺得哪位老師走得快就選擇哪位老師。

生4：可是怎么樣才能知道哪位老師走得最快呢？

師：從4名同學的發(fā)言中，我們聽到了三種選擇標準，一是選擇路程遠的，二是選擇時間長的，三是選擇走得快的。但是，走得快慢不太好比較。我們大家一起來看一看、想一想，有沒有一眼就能比較出快慢的數(shù)據(jù)。

生5：我發(fā)現(xiàn)有三名老師的路程都是8000米，但是時間不一樣，時間最短的是體育仲老師，只用了75分鐘，所以這三名老師中體育仲老師是走得最快的。

生6：我們還可以看到體育仲老師和體育儲老師用的時間都是75分鐘，但是儲老師走的路程更遠，所以儲老師走得比仲老師快。

師：這兩名同學比較得有理有據(jù)，有誰能描述一下他們分別是怎么比較快慢的？

生7：如果所走的路程一樣，就看所用的時間，用的時間長的走得慢，用的時間短的走得快；如果所用的時間一樣，就看所走的路程，路程遠的走得快，路程短的走得慢。

師：很棒！路程和時間都能夠影響快慢。

生8：但是，這樣比較還是有漏洞。

師：漏洞在哪兒呢？

生8：在前面的比較中，我們可以知道在數(shù)學范老師、音樂丁老師、體育仲老師和體育儲老師四名老師中，體育儲老師走得最快的?？墒?，體育儲老師跟其他老師怎么比呢？

二、理性刻畫在思考中發(fā)生

（一）定標準

時間不同、路程也不同，如何比較快慢？如何將時間或路程進行統(tǒng)一呢？教師可以引導學生定標準，尋找不同的策略。

師：我們來研究體育儲老師和科學沈老師的速度，這兩位老師所用的時間不同，所走的路程也不一樣，誰走得更快呢？

（學生分組探究，然后集體交流）

師：哪個小組來匯報一下你們組的比較方法和結果？

生1：我們組先將兩位老師的路程變成一樣的，有兩種方法。第一種：沈老師走4200米用了60分鐘，如果按這個速度再走一個4200米，還需要60分鐘，這樣沈老師走8400米的話，就用了60+60＝120（分鐘），而儲老師走8400米只需要75分鐘，儲老師走得快些。第二種：將儲老師的8400米看作是2個4200米，時間也要平均分成2份，這樣儲老師走4200米需要37.5分鐘，儲老師走4200米的時間比沈老師短，儲老師走得快些。

生2：我們組跟他們組不一樣，我們是想辦法將兩位老師的時間變成一樣。儲老師所用的時間除以5，所走的路程也跟著除以5，這樣儲老師15分鐘走了1680米；沈老師所用的時間除以4，所走的路程也跟著除以4，這樣沈老師15分鐘走了1050米。所以，儲老師走得快些。

生3：我們組比的是兩位老師1分鐘的路程，用儲老師的路程8400米除以75，算出她1分鐘走112米；用沈老師的路程除以60，算出沈老師1分鐘走70米。所以，儲老師走得快些。

師：剛才三個小組匯報了他們的方法，這三種方法有什么相同的地方和不同的地方呢？

生4：生2所在的小組和生3所在的小組都是用“時間相同比路程”的方法，生2的小組把時間統(tǒng)一成15分鐘，在15分鐘里誰走的路程多誰就快；生3的小組把時間都統(tǒng)一成1分鐘，在1分鐘的時間里誰走的路程多誰就快。

生5：生1的小組采用“路程相同比時間”的方法，第一種是把沈老師的路程擴大變成8400米，這樣兩位老師的路程都是8400米，此時誰用的時間少說明誰走得快；第二種方法是把儲老師的路程縮短到和沈老師一樣，此時，誰用的時間短說明誰走得快。

生6：不管是哪種方法，只要統(tǒng)一路程或者統(tǒng)一時間，都可以比較出快慢。

（二）調標準

師：通過上面的討論，我們知道了只要統(tǒng)一路程或者時間中的任何一個量，都可以比較出快慢。如果在剛剛的比較中再增加語文錢老師一起比較，你會采用哪種方法比較誰走得最快，誰走得最慢呢？

生7：前面已經(jīng)知道儲老師走得比沈老師快了，我們組就先比較沈老師和語文錢老師的快慢，采用的是“時間相同比路程”的方法。將時間都變成60分鐘，我們發(fā)現(xiàn)錢老師60分鐘能走4400米，所以錢老師比沈老師走得快，說明沈老師走得最慢；然后再將儲老師和錢老師進行比較，時間統(tǒng)一為15分鐘，錢老師15分鐘能走1100米，儲老師15分鐘能走1680米，說明儲老師是走得最快的。

師：聽出來了，他們組是兩兩統(tǒng)一時間比路程。

生8：我們組覺得兩兩比較麻煩，我們組分工合作，分別算出每位老師1分鐘走的路程，這樣很快比較出走得最快和最慢的。

……

師：我發(fā)現(xiàn)沒有小組采用“路程一樣比時間”的方法，這是為什么？

生9：我們組嘗試過將路程變成一樣去計算，但是太麻煩，中途放棄了這種方法。

師：數(shù)學思考讓比較變得簡單。如果要一起比較10名老師誰走得最快，你選擇哪種方法？

生10：用“路程÷時間”算出1分鐘走的路程，再比較快慢的方法最簡潔、最快。

生11：我贊成。

（三）揭速度

師：剛才大家都覺得把時間統(tǒng)一為1分鐘，比較1分鐘走的路程的方法最簡潔。在數(shù)學中，將“一個單位時間內所走的路程稱為速度”（板書）。剛才大家都是采用比較速度的方法來比較出快慢的。小結一下，怎么求速度？

（根據(jù)學生的回答，板書：路程÷時間=速度）

師：也就是說，哪些因素可以影響速度？

生（齊）：路程和時間。

在本模塊的三個環(huán)節(jié)中，學生經(jīng)歷了比較兩人、三人、多人快慢的過程，充分感受到統(tǒng)一時間的必要性，并從60分鐘、15分鐘、1分鐘的比較中再次感受到統(tǒng)一單位時間的簡潔與快捷，從而理解了速度就是單位時間內的路程這一概念。在此基礎上，學生抽象出速度的概念，并概括出影響速度的兩個主要因素，同時明確了速度與路程、時間之間的相互關系。

三、模型價值在運用中拓展

速度作為描述“快慢”的概念，具有抽象性，教學中，理解速度單位是一大難點。只有通過適當?shù)木毩?，增加學生對“數(shù)”和“量”的認識，才能深化他們對速度單位的理解，并讓他們認識到統(tǒng)一速度單位的重要性。

（一）在解決問題中感受價值

師：用路程除以時間算出每一名老師的速度，這樣，即使運動的路程不同、時間也不同，我們也很容易能比較出快慢。

（教師用公式計算出每個老師的速度，并按“速度”進行降序的排列，繪制成表，表略）

生1：我發(fā)現(xiàn)“路程÷時間=速度”這個公式是萬能的，這個公式統(tǒng)一了單位時間，方便我們比較快慢，比“相同路程比時間”的方法簡單多了。

（二）在豐富素材中理解速度

師：提到速度快，不得不提到200米短跑運動員謝震業(yè)。

（教師播放謝震業(yè)200米跑的視頻，并板書“謝震業(yè)跑200米用時19.88秒”）

師：觀看了謝震業(yè)跑200米的視頻。你有什么感受？會計算他的速度嗎？

（學生回答計算速度的方法，教師用計算器計算出謝震業(yè)跑200米的速度為1秒跑10.06米）

師：也就是說謝震業(yè)1秒大約跑10米，哪個同學來形容一下1秒跑10米的速度有多快。

生1：“滴答”一聲，他能從我們教室前面黑板這兒跑到后面黑板還不止，因為我們教室前后長只有9米。

師：人們常用“像蝸牛一樣慢”來形容一個人的速度慢，蝸牛的速度究竟有多慢，我們來看一組數(shù)據(jù)。

（課件出示：蝸牛爬10米大約要1小時）

師：這組數(shù)據(jù)中也有“10米”，誰能描述一下這個“10米”的意思？

生2：這個“10米”的意思是1小時爬10米，也就是3600秒爬了10米。

師：從生2回答中我聽出了蝸牛確實速度慢，3600秒才爬10米，而謝震業(yè)1秒就能跑10米。我們不能簡單粗暴地給他們的速度都寫“10米”，而是要加上單位名稱，這樣才能準確地表述出速度的快與慢。（板書如圖1）

綜上所述，只有讓學生經(jīng)歷用“數(shù)學的眼睛”觀察生活，用“數(shù)學的思維”思考現(xiàn)象，用“數(shù)學的語言”表述本質的過程，才能逐步讓學生的模型意識從模糊走向清晰直至深刻。

［ 參 考 文 獻 ］

［1］ 付麗，邊靖.基于真實情境建構數(shù)學模型：“路程、時間與速度”教學實踐與思考[J].小學教學（數(shù)學），2024（3）：72-75.

［2］ 李國強.2022年版課標中“數(shù)量關系”主題的價值意蘊與教學策略[J].教學月刊小學版（數(shù)學），2024（4）：9-14.

［3］ 馬云鵬.怎樣理解“數(shù)量關系”學習主題[J].小學數(shù)學教育，2022（11）：11-13.

【本文系江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃課題“基于整體建構的小學數(shù)學建模教學研究”（課題批準號：C-b/2021/02/79）的階段性研究成果?！?/p>

（責編 梁桂廣）