［摘 要］思維的發(fā)展往往受語言的制約，而培養(yǎng)數(shù)學(xué)說理能力能夠促進(jìn)思維能力的提升，進(jìn)而加深對數(shù)學(xué)的理解。在四年級數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行“數(shù)學(xué)說理”個性化學(xué)習(xí)任務(wù)的實踐研究，旨在幫助學(xué)生在尋找理由、探索原理、研究理論的過程中發(fā)展思維能力，實現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)理解。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)說理；任務(wù)實施；數(shù)學(xué)理解

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）29-0069-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了“三會”的理念，即會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界。實際上，思維的發(fā)展往往受到語言的限制，而發(fā)展數(shù)學(xué)說理能力能夠有效促進(jìn)思維能力的提升，進(jìn)而加深對數(shù)學(xué)的理解?；谶@樣的認(rèn)識，筆者在四年級的數(shù)學(xué)教學(xué)中開展了“數(shù)學(xué)說理”個性化學(xué)習(xí)任務(wù)的實踐研究，目的是讓學(xué)生在尋找理由、探索原理、研究理論的過程中積極參與，促進(jìn)他們思維能力的發(fā)展，并有效地實現(xiàn)真正的數(shù)學(xué)理解。

一、思索：“數(shù)學(xué)說理”與“數(shù)學(xué)理解”

（一）有理難說的尷尬

教學(xué)并非簡單傳授，學(xué)習(xí)也不僅僅是被動接受，甚至學(xué)會了也并不意味著真正理解。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，尤其強調(diào)“理”的重要性。教師在面對學(xué)生時，常常因為學(xué)生不理解而感到沮喪，原因是沒有給予學(xué)生充分理解的空間。

例如，在解“按照順序計算，然后列出綜合算式”這類題目時（如圖1），學(xué)生的表現(xiàn)往往不盡如人意。

為何學(xué)生面對直接給出的算式能夠熟練計算，一旦變換形式就感到無所適從？探究這一現(xiàn)象的根源，原因是教師擔(dān)心教學(xué)時間的限制等，教學(xué)時僅停留在表面，甚至采取回避的態(tài)度。加上長期以來的機械訓(xùn)練，學(xué)生的思維自然變得僵化，難以靈活運用所學(xué)知識，無法達(dá)到“真理解”的境界。

（二）“數(shù)學(xué)說理”的價值

數(shù)學(xué)理解具有層次性。依據(jù)教育專家斯根普對理解的定義，可以將數(shù)學(xué)理解分為五個層次：前理解（尚未建立關(guān)系）、誤解（將對象歸入不適當(dāng)?shù)恼J(rèn)知圖式中）、不充分理解（未能認(rèn)清對象的本質(zhì)屬性，錯誤地將非本質(zhì)屬性納入適當(dāng)?shù)膱D式中）、理解（區(qū)分對象的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性及其關(guān)系，將對象納入適當(dāng)?shù)膱D式中）、后理解（在關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步抽象形成結(jié)構(gòu)）。實際上，所謂的“理解”既包括對數(shù)學(xué)對象的理解，又包括從數(shù)學(xué)的角度去理解現(xiàn)實世界，可以概括為如圖2所示內(nèi)容。

一般而言，語言、思維與理解緊密相連。林崇德在《發(fā)展心理學(xué)》中提到，語言在小學(xué)生基本思維的發(fā)展中扮演著重要角色，它能夠促進(jìn)思維的深刻性、廣闊性、批判性和自我監(jiān)控能力的提升?！皵?shù)學(xué)說理”是通過數(shù)學(xué)語言來表達(dá)數(shù)學(xué)思考的過程。因此，“數(shù)學(xué)說理”中的“說”不僅包括外在的表達(dá)，還包括內(nèi)在的思考。內(nèi)在思考與外在表達(dá)相互作用，只有思考清晰，才能表達(dá)明白。

二、思行：無縫融合，有理說理促理解

數(shù)學(xué)教育應(yīng)立足于學(xué)生的視角，實現(xiàn)多維度融合，引導(dǎo)學(xué)生思考，倡導(dǎo)有理有據(jù)的說理，以邏輯的方式推進(jìn)，直擊數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，達(dá)到“真理解”的境界。

（一）創(chuàng)造“說”的機會，以“尋”促理解

1.課內(nèi)多說，孕育“理”

在課堂上，教師應(yīng)為學(xué)生提供“說理”的空間，讓學(xué)生有理可說，從而孕育“理”。為此，需要把握兩個關(guān)鍵點：一是“說”的內(nèi)容，可以結(jié)合機械性問題（如判斷對錯）、識記性問題（如知識點的回憶與陳述）、理解性問題（需要思考后回答）和應(yīng)用性問題（需要綜合思考并應(yīng)用于問題解決）四種類型進(jìn)行教學(xué)，其中機械性問題因思維含量較低，應(yīng)適量使用；二是“說”的時機，可以在復(fù)習(xí)、新知探索、練習(xí)等環(huán)節(jié)根據(jù)需要分層設(shè)置說的機會，并將個體說理與同伴互助結(jié)合起來，以深化“說”的深度，促進(jìn)更深刻的理解。

2.課外延伸，激活“理”

除了課堂上的說理，還可以根據(jù)學(xué)生的能力水平和發(fā)展需求，采用共性與個性結(jié)合的方式設(shè)計分層作業(yè)，將“數(shù)學(xué)說理”作為個性化作業(yè)的一部分。例如，在教學(xué)“乘法運算律”后，可以提出問題“56×13+87的結(jié)果與 56×（13+87）的結(jié)果是否相等？”并讓學(xué)生說明理由。有的學(xué)生認(rèn)為相等，因為13和87可以湊整，都可以先計算13+87；有的學(xué)生認(rèn)為不相等，因為兩邊的結(jié)果不同；還有的學(xué)生認(rèn)為不相等，因為左邊只有13個56，不能將13和87合并。通過說，道理會更加清晰。

通過課內(nèi)多說、課外延伸，適當(dāng)擴(kuò)展“說”的時間和空間，學(xué)生就能在“尋”中理解，“理”不再局限于書本，而是變得更加生動活潑。

（二）適切啟發(fā)“說”的方式，在“探”中理解

數(shù)學(xué)思維活動往往以內(nèi)隱的形式默默進(jìn)行，盡管稱之為“說”理，但“說”并不僅限于口頭表達(dá)，它可以采用多種表征方式，通過“說”使思維可視化。

1.用文字表達(dá)“理”

在日常生活中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生運用文字來表達(dá)思維過程，通過在原有思維的基礎(chǔ)進(jìn)行加工，從而實現(xiàn)清晰、有邏輯的推理，提升語言組織能力和理解能力。例如，對于“將4653200000改寫為以‘億’為單位的數(shù)，是否為46億？請闡述你的觀點”，以下是一些學(xué)生的想法（如圖3）。

顯然，學(xué)生B和學(xué)生C在閱讀、提取和理解數(shù)學(xué)信息上表現(xiàn)得更為出色。學(xué)生B展現(xiàn)了單點思維結(jié)構(gòu)，而學(xué)生C則達(dá)到了關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平。相比之下，學(xué)生A誤將問題理解為求近似數(shù)。在這一過程中，學(xué)生通過文字表達(dá)了對問題的感知、分析和描述，形成深刻的體驗，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

2.借圖形表征“理”

與文字相比，圖形更能形象地外化思維過程。例如，學(xué)生可以通過圖形來表征0.4和0.40相等的道理（如圖4），從直觀的圖中找到相應(yīng)的計數(shù)單位來支撐，在清晰表達(dá)思維的同時實現(xiàn)對本質(zhì)屬性的深度理解。

3.以符號表示“理”

符號是數(shù)學(xué)表達(dá)和思考的重要工具，它具有簡潔性、概括性和通用性，能夠?qū)⑻厥鈫栴}一般化、將復(fù)雜問題簡單化。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，引導(dǎo)學(xué)生合理使用符號來表達(dá)“理”。

例如，為了加深學(xué)生對乘法分配律的理解，并加強對其意義的轉(zhuǎn)化和互譯，從而構(gòu)建自我認(rèn)知體系，筆者從元認(rèn)知的角度出發(fā)，在文字表達(dá)現(xiàn)象和提煉規(guī)律的基礎(chǔ)上提出了說理的要求：用你喜愛的方式表示乘法分配律，并說明你的理由。于是，有的學(xué)生表示為“（□+☆）×△=□×△+☆×△，即（□+☆）個△相乘等于□個△加上☆個△”；有的學(xué)生將圖形與符號結(jié)合起來進(jìn)行說理（如圖5）。在此基礎(chǔ)上，筆者提出了“（a+b）×c=a×c+b×c”這一符號表征方式，既增強了學(xué)生的符號意識，又表達(dá)得簡潔明了。

（三）適宜創(chuàng)生“說”的層次，在“研”中理解

為了提升學(xué)生在說理過程中的理解層次，教師可以構(gòu)建“說”的不同層次，設(shè)置“小門檻”，提供“大空間”，使學(xué)生能夠輕松進(jìn)入“說”的領(lǐng)域，從而在“研”中深化理解，促進(jìn)思維的進(jìn)階。

1.具身說理，激活經(jīng)驗性理解

在日常生活中，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識已經(jīng)有一些自然的感悟和初步的認(rèn)知。通過創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生進(jìn)行具身說理，可以喚醒他們的經(jīng)驗。例如，教學(xué)“兩點間的距離”這一概念時，可以設(shè)計數(shù)學(xué)說理活動：小倩要去圖書館，走哪條路線最近，為什么？（如圖6）盡管學(xué)生可能會本能地選擇最短路線，但這種理解往往是表面的，因為他們并未理解背后的數(shù)學(xué)原理。通過引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角觀察世界，建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，逆向推導(dǎo)數(shù)學(xué)知識，可以實現(xiàn)經(jīng)驗的改造與重組，使學(xué)生深刻理解“兩點間的距離”概念，并體驗數(shù)學(xué)的魅力。

2.應(yīng)用說理，達(dá)成工具性理解

理解能力的提升需要實踐應(yīng)用的支持。設(shè)計應(yīng)用說理題，可以喚醒學(xué)生的應(yīng)用意識，引導(dǎo)他們運用概念、原理等來判斷某一事物是否為概念的具體例證，從而實現(xiàn)對概念的工具性理解。例如，在討論三角形的概念時（如圖7），學(xué)生可以從四個圖形中尋找由三條線段首尾相接圍成的圖形，通過逆向分析來明確三角形的本質(zhì)屬性。

3.關(guān)聯(lián)說理，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)性理解

在具身說理和應(yīng)用說理的基礎(chǔ)上激活經(jīng)驗性理解和工具性理解，找到知識的本質(zhì)與非本質(zhì)屬性之后可以進(jìn)一步進(jìn)行關(guān)聯(lián)說理，以幫助學(xué)生將知識納入適當(dāng)?shù)恼J(rèn)知圖式中，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)性理解。例如，在學(xué)生了解了三角形的分類之后，教師可以提出“一個三角形被信封遮住兩個角，這是一個什么三角形？”這樣的開放性問題。學(xué)生可以從角和邊兩個方面進(jìn)行分析，并聯(lián)系三角形的類型，從而理解分類標(biāo)準(zhǔn)的不同會導(dǎo)致同一個三角形屬于不同的類別。

4.遷移說理，獲得創(chuàng)新性理解

當(dāng)學(xué)生的理解達(dá)到結(jié)構(gòu)化水平后，下一步是向創(chuàng)新性理解邁進(jìn)。雖說是創(chuàng)新，但并非無中生有。教師需要為學(xué)生搭建“橋梁”，以促進(jìn)他們的遷移創(chuàng)新。例如，在探索了“三角形的內(nèi)角和是180度”之后，可以提問：“你能想辦法求出一個四邊形的內(nèi)角和嗎？”學(xué)生可能會提出多種方法，如利用長方形、正方形的特性，使用量角器測量，或者將內(nèi)角剪下拼成一個周角等。通過這樣的說理過程，學(xué)生可以運用已知的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理，不斷遷移，從而深入思考并理解。這樣，他們甚至能夠?qū)ξ暹呅?、六邊形……n邊形的內(nèi)角和進(jìn)行合理推理。

當(dāng)然，“說”雖然只是一種表達(dá)方式，但它能夠有效地將“看”與“想”聯(lián)系起來。學(xué)生在“說”中尋理、探理、研理，不但有助于發(fā)展數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)語言能力（“三會”能力），使理解水平不斷得到提升，還能在“說理”中實現(xiàn)真正的理解。

（責(zé)編 金 鈴）