［摘 要］圓形是學(xué)生在小學(xué)階段需要掌握的最后一個平面圖形，也是他們接觸的第一個曲線圖形。文章分析了兩節(jié)課中“三次畫圓”的過程，從畫圓任務(wù)、畫圓順序、畫圓應(yīng)用三個維度進(jìn)行了深入分析，并探討“變式畫圓”與“感悟極限”的獨特價值和意義。

［關(guān)鍵詞］圓；三次畫圓；變式畫圓

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）29-0049-03

在2023年第十五屆小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革觀摩交流展示培訓(xùn)活動中，浙江省諸暨市暨陽街道暨陽小學(xué)的魏瓊老師執(zhí)教的“認(rèn)識圓”一課，所展現(xiàn)的“三次畫圓”教學(xué)策略，不禁讓筆者回想起十年前（2013年）自己也曾運(yùn)用“三次畫圓”的方法幫助學(xué)生理解圓的概念。那么，魏老師設(shè)計的“三次畫圓”環(huán)節(jié)與筆者當(dāng)年（2013年）設(shè)計的有何共通之處？又在哪些方面體現(xiàn)了更加深入的思考呢？筆者以為，通過對比分析前后十年兩節(jié)課的教學(xué)設(shè)計及其背后的理念，可以構(gòu)建一個積極的對話平臺，開啟教研之路上的探索。

一、教學(xué)設(shè)計（見表1-1、表1-2）

二、比較分析

（一）兩節(jié)課的相同點

“基于學(xué)生立場，引發(fā)真實學(xué)習(xí)”是兩節(jié)課的顯著共性。兩節(jié)課均深入解讀了圓的“一中同長”本質(zhì)，并基于學(xué)生學(xué)習(xí)的思維邏輯精心設(shè)計了畫圓活動，讓學(xué)生在活動中體驗，在體驗中感悟。

1.畫圓任務(wù)：動手操作助推概念形成

圓的靜態(tài)定義是指“平面上到定點的距離等于定長的所有點的集合”，而其動態(tài)定義則為“平面上一動點以一定點為圓心、一定長為距離運(yùn)動一周所形成的軌跡”。面對這樣的抽象概念，如何引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識并理解它？兩節(jié)課均采用了概念形成的教學(xué)策略，即通過畫圓活動，讓學(xué)生在眾多同類事物的不同例證中，探尋并發(fā)現(xiàn)相同的關(guān)鍵屬性。

在筆者的教學(xué)設(shè)計中，通過圓規(guī)畫圓、體育老師使用粉筆在地上畫圓，以及利用繩子畫圓這三種各具特色但本質(zhì)一致的畫圓方法，使學(xué)生深刻體會到，唯有遵循“中心點保持不動”和“中心點到圓上任意一點的距離相同”這兩個原則，才能繪制出真正的圓。這三個例證讓學(xué)生在“能夠畫出圓”與“無法畫出圓”的對比中，逐步構(gòu)建起圓的概念表象。

魏老師設(shè)計了“你能畫出2個大小不同的圓嗎？沒有圓規(guī)的情況下能否畫圓？用直尺可以畫圓嗎？”這三個核心任務(wù)，引領(lǐng)學(xué)生親歷畫圓的過程。學(xué)生從依賴圓規(guī)畫圓逐漸過渡到不依賴圓規(guī)，從使用工具畫圓發(fā)展到“想象”中的畫圓，從直觀到抽象，逐步探索并理解圓的本質(zhì)特征。同時，魏老師還通過直尺畫圓的方法，讓學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)一步體會到圓的“一中同長”特性，并領(lǐng)悟到“圓出于方”的理念。

借助畫圓時定點、定長的具體經(jīng)驗，學(xué)生對圓的認(rèn)識已經(jīng)提升至“一中同長”的層面。兩節(jié)課都沒有簡單地采用畫圖、折疊、測量的操作方式，而是讓學(xué)生在活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進(jìn)行想象，理解“圓的每條半徑相等”。這兩節(jié)課都強(qiáng)調(diào)了通過具體內(nèi)容的教學(xué)，幫助學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的能力。

2.畫圓順序：遵循認(rèn)知確定材料立序

教學(xué)過程中需要深入研究學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)習(xí)者。對于學(xué)習(xí)內(nèi)容，應(yīng)探討其來源及其發(fā)展趨勢；對于學(xué)習(xí)者，則需重視其生活背景和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。

就學(xué)習(xí)內(nèi)容而言，通過畫圓任務(wù)激發(fā)學(xué)生的主動性和獨立思考，從而讓他們體驗并理解圓的本質(zhì)屬性：“一中”揭示了圓心在平面上的獨特地位，“同長”則是對圓內(nèi)所有半徑等長的簡潔描述。例如，體育老師以自身為圓心畫圓，這便是圓規(guī)畫圓的現(xiàn)實原型?？梢栽O(shè)想，必然存在其他畫圓工具，但圓規(guī)因其完美契合“一中同長”的本質(zhì)特性，成為目前最常用的畫圓工具。

然而，對于學(xué)生來說，圓規(guī)往往是他們認(rèn)知中的第一種畫圓工具。魏老師在課堂上提到：“我剛才讓大家畫圓，并沒有指定工具，但你們都自然而然地選擇了圓規(guī)?！边@一現(xiàn)象在筆者的教學(xué)中也出現(xiàn)過。學(xué)生認(rèn)識事物的順序與數(shù)學(xué)知識的形成過程往往并不一致。對數(shù)學(xué)家而言，從用繩子畫圓到用圓規(guī)畫圓是一種創(chuàng)新，而對學(xué)生來說，從用圓規(guī)畫圓到用繩子畫圓，則是在逐步理解圓的本質(zhì)意義后的一種創(chuàng)新。

兩節(jié)課都嚴(yán)格遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從用圓規(guī)畫圓入手，引導(dǎo)學(xué)生將注意力從動手操作轉(zhuǎn)向動腦思考，從關(guān)注“如何畫好圓”轉(zhuǎn)向探究“圓的性質(zhì)”，從日常生活經(jīng)驗過渡到數(shù)學(xué)知識的理解。

3.畫圓應(yīng)用：現(xiàn)象解釋深化圓的本質(zhì)

在概念運(yùn)用的環(huán)節(jié)中，兩節(jié)課都提出了這樣的問題：“你能用圓的知識解釋生活現(xiàn)象嗎？”除了“吃火鍋時使用的圓桌，其設(shè)計僅僅是為了美觀嗎？人們在觀看表演時，為何總是自然而然地圍成圓形？”這兩個問題，筆者還提出了“為什么車輪要做成圓形”的問題，而魏老師則提出了一個更具啟發(fā)性的問題：國際圓桌會議，桌子實際上是方形的，那么為什么被稱為圓桌會議呢？

這一環(huán)節(jié)有效地促使學(xué)生將抽象的概念用于現(xiàn)實情境中，進(jìn)而加深對圓的本質(zhì)屬性的理解。這種設(shè)計超越了簡單的知識點記憶和技能訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)了知識學(xué)習(xí)應(yīng)從理解過渡到應(yīng)用，在真實情境中解決問題的過程，實際上就是發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)的過程。

（二）兩節(jié)課的不同點

1.變式畫圓：從“操作認(rèn)識”到“結(jié)構(gòu)認(rèn)知”

筆者展示的用圓規(guī)畫圓和體育老師用粉筆畫圓，以及用繩子畫圓的方法，本質(zhì)上都是圓規(guī)或其原始形態(tài)的應(yīng)用。這恰好體現(xiàn)了“變式理論”給予的重要啟示：為了幫助學(xué)生順利實現(xiàn)從具體實例過渡到抽象概念，在教學(xué)中不僅應(yīng)提供“概念變式”和“標(biāo)準(zhǔn)變式”，還應(yīng)提供“非概念變式”和“非標(biāo)準(zhǔn)變式”。

魏老師提出了問題，如“你能畫出2個大小不同的圓嗎？沒有圓規(guī)還能畫圓嗎？用直尺可以畫圓嗎？”。學(xué)生在使用圓規(guī)畫圓之后，魏老師會問：“有沒有什么經(jīng)驗可以和大家分享？”而在不用圓規(guī)的情況下畫圓時，魏老師又會提問：“為什么旋轉(zhuǎn)一周就可以畫出一個圓，是把圓的什么特點表現(xiàn)出來了呢？沿著這個思路繼續(xù)思考，你還能想到其他畫圓的方法嗎？”接著，通過探討“這些方法為什么都能畫圓”的問題，引導(dǎo)學(xué)生意識到“萬物皆可畫圓”。當(dāng)學(xué)生嘗試用直尺畫圓時，魏老師進(jìn)一步提問：“為什么要畫正方形來構(gòu)圖？哪些方法也能體現(xiàn)圓的半徑相等？有沒有方法可以畫得更圓？”每一次畫圓的過程，都不只是停留在實際操作的層面，還通過深入本質(zhì)的操作來促進(jìn)學(xué)生思考，從而實現(xiàn)從“操作性認(rèn)識”到“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識”的轉(zhuǎn)變。

2.感悟極限：從“想象猜圓”到“實踐畫圓”

筆者在課程的引入部分巧妙地融入了這一概念：從正三角形到正四邊形、正五邊形……隨著邊的數(shù)量不斷增加，當(dāng)邊數(shù)趨向于無窮時，便形成了圓。這種引入方法旨在讓學(xué)生通過想象去感受圓與其他圖形之間的聯(lián)系，以及通過想象去領(lǐng)悟極限思想。

“圓擁有無數(shù)條半徑”和“圓出于方”的理念，揭示了從有限到無限的過渡，這是一種質(zhì)的飛躍。因此，學(xué)生很難僅通過簡單的思考就能順利地接受這一概念。魏老師在教學(xué)中巧妙地運(yùn)用了“直尺畫圓”的活動，將抽象的想象轉(zhuǎn)化為具體的實踐。學(xué)生在操作之后，魏老師展示了畫圓的過程圖（如圖1），并引導(dǎo)學(xué)生思考：如果繼續(xù)向下畫，會出現(xiàn)什么情況？如果擁有足夠的時間去畫，這個圓是否就能成為一個完美的標(biāo)準(zhǔn)圓？

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說：“對學(xué)生而言，與其說學(xué)數(shù)學(xué)，不如說學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化?！?基于學(xué)生立場的三次畫圓練習(xí)，為個體生命成長的不確定性提供了發(fā)展空間；以學(xué)生為中心的教學(xué)設(shè)計激發(fā)了學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力，使得學(xué)習(xí)過程充滿了樂趣。

（責(zé)編 黃 露）