［摘 要］ 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)貫徹“以生為本”的教學(xué)理念，結(jié)合教學(xué)實(shí)際設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生的思維在實(shí)踐探索中走向深入。研究者以“正比例圖像”教學(xué)為例，讓學(xué)生通過描點(diǎn)、連線等活動(dòng)，初步認(rèn)識(shí)正比例圖像；借助幾何直觀，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)，提高學(xué)生深度思維的能力。

［關(guān)鍵詞］ 以生為本；實(shí)踐活動(dòng)；深度思維

在“正比例圖像”教學(xué)中，教師以學(xué)生的已有認(rèn)知為起點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)實(shí)際精心創(chuàng)設(shè)問題，讓學(xué)生在問題的引導(dǎo)下初步認(rèn)識(shí)正比例圖像的特點(diǎn)及要素。同時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生在變化中抽象不變的規(guī)律，以加深學(xué)生對(duì)正比關(guān)系中變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生自主探究能力，提升教學(xué)的有效性。

一、教學(xué)過程

1. 回顧舊知，復(fù)習(xí)引入

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了有關(guān)正比例的知識(shí)，誰來說一說當(dāng)兩個(gè)量存在怎樣的關(guān)系時(shí)，它們成正比例呢？

生1：當(dāng)兩個(gè)量的比值總是一定時(shí)，這兩個(gè)量就是正比例關(guān)系。

師：如果用一個(gè)關(guān)系式來表達(dá)，可以如何表達(dá)呢？

生2：=k，其中x和y表示相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量，k表示它們的比值。

案例1 1輛汽車在公路上行駛，其行駛時(shí)間和路程如表1。時(shí)間與路程這兩個(gè)量有什么關(guān)系呢？

問題給出后，學(xué)生積極交流，很快有了發(fā)現(xiàn)。

生3：它們兩個(gè)是成正比例關(guān)系。結(jié)合表1可知，路程與對(duì)應(yīng)時(shí)間之比為定值80，如=80，=80……符合正比例的定義，它們成正比例關(guān)系。

師：分析得很到位。生3通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，路程與時(shí)間之比一定，由此判斷兩者成正比例關(guān)系。那么除了該方法，是否還有其他方法可以判斷兩者是正比例關(guān)系呢？今天我們就來一探究竟。

教學(xué)思考：課始，教師先引導(dǎo)學(xué)生回顧正比例概念，然后給出具體練習(xí)讓學(xué)生回顧判別兩種量是否成正比例關(guān)系的方法，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)正比例概念的理解，喚醒學(xué)生判別兩個(gè)量是否成正比例的已有經(jīng)驗(yàn)。在此基礎(chǔ)上，教師提出新的問題，以此引出本課研究的主題，激發(fā)學(xué)生的探究欲。

2. 深入探究，建立模型

環(huán)節(jié)1：自主操作探究

師：如圖1，它是直角坐標(biāo)系的一部分，你們知道它的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別表示什么嗎？

生1：橫坐標(biāo)表示時(shí)間，每格表示1小時(shí)；縱坐標(biāo)表示路程，每格表示80千米。

師：你們能將表1中的第一組數(shù)據(jù)在圖1中描出來嗎？

教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后進(jìn)行組內(nèi)交流，最后點(diǎn)名讓學(xué)生上臺(tái)描點(diǎn)。

師：大家看看他描點(diǎn)的位置對(duì)嗎？（生點(diǎn)頭表示贊成）

師：誰來說一說，你是如何確定點(diǎn)的位置的？

生2：我是先在橫軸上找表示1小時(shí)的點(diǎn)，然后在縱軸上找表示80千米的點(diǎn)，最后分別作平行于y軸和x軸的直線，兩直線的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)，其表示1小時(shí)行駛80千米。

師：非常好，按照這種方法，你們能找出其他各組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)嗎？

生（齊聲答）：可以。

教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生描點(diǎn)。

師：連接圖中各點(diǎn)，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：這些點(diǎn)正好在一條直線上，而且是從左下向右上延伸。

師：這條線的起點(diǎn)在哪里呢？

生4：表1中的第一組數(shù)據(jù)就是起點(diǎn)。

生5：我不同意，汽車怎么可能一下子行駛80千米呢？我覺得應(yīng)該將0小時(shí)0千米作為起點(diǎn)。

師：非常好，考慮得非常全面。起點(diǎn)就是這個(gè)點(diǎn)（教師在圖1中指出該點(diǎn)），就是生5所說的0小時(shí)0千米。這個(gè)點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中叫作“原點(diǎn)”。

師：現(xiàn)在我們讓汽車動(dòng)起來。

教師動(dòng)畫演示汽車在0～1之間行駛，讓學(xué)生觀察圖像的變化。

師：這條線段表示什么意思呢？

生6：表示汽車從起點(diǎn)出發(fā)，行駛1小時(shí)的距離。

師：這段距離呢？汽車行駛了幾小時(shí)，距離是多少呢？

教師繼續(xù)動(dòng)畫演示汽車在1～2小時(shí)之間行駛。

生7：汽車行駛了1小時(shí)，其行駛距離為80千米。

師：很好，還可以怎樣表示呢？

生8：汽車從起點(diǎn)出發(fā)，行駛了2個(gè)小時(shí)，共行駛了160千米。

接下來，教師繼續(xù)進(jìn)行動(dòng)畫演示。最后，教師演示小汽車開出畫面，圖像也隨之延伸出畫面。

師：汽車能像這樣一直開下去嗎？

生9：我認(rèn)為可以，如果不設(shè)定終點(diǎn)，汽車可以一直行駛下去。

生10：這應(yīng)該是一個(gè)理想狀態(tài)，但是要保證汽車有用不完的油。

師：說得很有道理。我們?cè)O(shè)想汽車有足夠的油，在不設(shè)定終點(diǎn)的情況下可以一直開下去，這條直線向右上一直延伸下去。這條無限延伸的直線就是我們今天學(xué)習(xí)的正比例圖像。

教學(xué)思考：出示直角坐標(biāo)系（第一象限），讓學(xué)生在這個(gè)直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線，初步完成圖像的建構(gòu)。這樣借助圖像直觀幫助學(xué)生充分感受隨著時(shí)間的變化，其行駛路程也隨之變化的規(guī)律。在此過程中，教師讓學(xué)生思考“起點(diǎn)在哪里”，啟發(fā)學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際解決問題，培養(yǎng)思維的縝密性。此外，教師動(dòng)畫展示小汽車的行駛過程，讓學(xué)生體會(huì)用圖像刻畫數(shù)量間的變化規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)。

環(huán)節(jié)2：合作交流，探尋圖像特點(diǎn)

師：觀察圖像，你們還有哪些發(fā)現(xiàn)？

生1：直線上的點(diǎn)所表示的是路程和時(shí)間這兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量。

生2：當(dāng)時(shí)間發(fā)生變化時(shí)，路程也隨之變化。

生3：汽車行駛的時(shí)間增加，其行駛的路程也增加。

師：大家通過觀察不僅發(fā)現(xiàn)一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化的規(guī)律，而且發(fā)現(xiàn)兩個(gè)量是同時(shí)增加的規(guī)律，非常棒！那從變化的規(guī)律中，你們是否看到了不變的本質(zhì)呢？

生4：盡管路程隨著時(shí)間的變化而變化，但是兩者的比值不變，也就是速度不變。

生5：我還發(fā)現(xiàn)，不管時(shí)間和路程如何變化，只要其中一個(gè)量確定了，那么另一個(gè)量也就確定了。比如，汽車行駛2小時(shí)，它的行駛距離就是160千米；若汽車行駛240千米，那么它的行駛時(shí)間為3小時(shí)。

師：很好，也就是說，已知時(shí)間，則有唯一的路程與之對(duì)應(yīng)；已知路程，則有唯一的時(shí)間與之對(duì)應(yīng)。你能進(jìn)一步解釋一下嗎？

生5：因?yàn)槁烦毯蜁r(shí)間的比是不變的，就是說汽車行駛的速度不變，所以若時(shí)間（或路程）確定了，那么相應(yīng)的路程（或時(shí)間）也就確定了。

師：非常好，其實(shí)很多變化都是有規(guī)律的，我們要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界。

師：通過以上操作、觀察、分析等活動(dòng)，我們掌握了正比例圖像的一些特點(diǎn)。不計(jì)算，你們能根據(jù)給出的路程或時(shí)間來判斷其對(duì)應(yīng)值嗎？

生（齊聲答）：能。

師：汽車4小時(shí)行駛了多少千米？汽車行駛400千米需要多少小時(shí)？

問題給出后，學(xué)生在圖中操作，很快有了答案。

生6：首先在橫軸上找到4小時(shí)，它剛好在格點(diǎn)上，沿著方格線向上看，找到方格線和圖像的交點(diǎn)；然后順著交點(diǎn)向左看，它在縱坐標(biāo)上所對(duì)應(yīng)的值為320，就是說汽車4小時(shí)行駛了320千米。

師：很好，你能在圖像上找到行駛400千米所需的時(shí)間嗎？

生7：其實(shí)和剛才的方法是一樣的，不過這次需要從縱軸出發(fā)，在縱軸上找到400千米，沿著網(wǎng)格線向右看，找到網(wǎng)格線和圖像的交點(diǎn)；然后從交點(diǎn)沿著方格線往下看，它與橫軸的交點(diǎn)是5，就是說汽車行駛400千米需要5小時(shí)。

師：剛才我們找的點(diǎn)有什么共同的特征嗎？

生8：這些點(diǎn)剛好在方格線上。

師：如果這些點(diǎn)不在方格線上，是否能夠在圖像上找到對(duì)應(yīng)的值呢？比如，汽車2.5小時(shí)行駛了多少千米？

生9：可以，其操作方法是一樣的，可以在橫軸上找到2.5這個(gè)點(diǎn)，從這點(diǎn)出發(fā)，作平行于縱軸的直線，找到直線與圖像的交點(diǎn)；然后從交點(diǎn)出發(fā)，作平行于橫軸的直線，這條直線與縱軸的交點(diǎn)就是我們要找的對(duì)應(yīng)值。

師：很好，請(qǐng)大家動(dòng)手做一做，然后給出你的值。（學(xué)生積極操作）

生10：這個(gè)點(diǎn)不在格點(diǎn)上，所以不一定得到準(zhǔn)確值，我估計(jì)了一下，這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)值大約是200千米。

師：這里的“估計(jì)”和“大約”用得非常恰當(dāng)。我們一起來看一下剛才的操作過程。（教師動(dòng)畫演示，得到圖2）

師：如果汽車行駛360千米，需要多長(zhǎng)時(shí)間呢？

教師讓學(xué)生自己操作，然后與同學(xué)進(jìn)行交流。

生11：先在縱軸上找到表示360千米的點(diǎn)，從該點(diǎn)出發(fā)向右作平行于橫軸的直線，找到直線與圖像的交點(diǎn)；然后從交點(diǎn)向下作平行于縱軸的直線，該直線與橫軸的交點(diǎn)即為我們要找的點(diǎn)。根據(jù)圖像我估計(jì)了一下，應(yīng)該是4.5小時(shí)。

師：這樣利用圖像，我們可以根據(jù)一個(gè)量找到對(duì)應(yīng)的另一個(gè)量。借助圖像，你們還有什么發(fā)現(xiàn)？

生12：還能看出汽車1.5小時(shí)可以行駛120千米。

生13：汽車行駛720千米需要9小時(shí)。

……

師：在正比例圖像上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，你們知道這些點(diǎn)有什么共同點(diǎn)嗎？

生14：它們都表示速度為80千米/時(shí)。

師：在變化中尋找不變的關(guān)系，讓數(shù)學(xué)變得更有魅力。

教學(xué)思考：教師引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘圖像中隱含的信息，讓學(xué)生在“變”與“不變”的比較中厘清正比例圖像的特點(diǎn)和要素，提升學(xué)生自主探究能力。此外，教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用圖像估值，讓學(xué)生將“數(shù)”與“形”有機(jī)結(jié)合在一起，在求同比較中發(fā)展學(xué)生推理能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3. 鞏固練習(xí)，完善認(rèn)知

案例2 小紅打字時(shí)間和打字?jǐn)?shù)量如表2。根據(jù)表2數(shù)據(jù)，你能判斷打字?jǐn)?shù)量和打字時(shí)間成正比例嗎？給出你的理由。

案例2 與案例1研究的內(nèi)容基本一致，屬于基礎(chǔ)練習(xí)，教師讓學(xué)生獨(dú)立完成。從學(xué)生反饋來看，有的學(xué)生從“數(shù)”的角度出發(fā)，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)“打字?jǐn)?shù)量與打字時(shí)間之比為定值”，根據(jù)正比例概念判別兩個(gè)量成正比例；有的學(xué)生從“形”的角度出發(fā)，通過描點(diǎn)、連線，根據(jù)圖像判斷兩個(gè)量成比例。

案例3 小軍和小明周末騎車去游樂場(chǎng)玩，他們兩次騎行的路程和時(shí)間的關(guān)系如圖3和圖4，你能根據(jù)圖像判斷這兩次騎行的路程和時(shí)間成正比例嗎？說一說你的理由。

該題主要考查學(xué)生對(duì)正比例圖像特點(diǎn)的掌握情況。解題前，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)以上練習(xí)對(duì)正比例圖像的特點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：正比例圖像是一條經(jīng)過原點(diǎn)的，從左下向右上延伸的直線。

師：根據(jù)圖像你們是否能判斷騎行時(shí)間和路程成正比例關(guān)系？

生1：圖3不是，圖4是，因?yàn)閳D3中的圖像不是一條直線，而圖4中的圖像是一條直線。

師：非常好，你根據(jù)正比例圖像的特點(diǎn)給出了判斷。如果讓你們驗(yàn)證這個(gè)判斷是否正確，你們?cè)撊绾悟?yàn)證呢？

生2：可以看看路程和時(shí)間的比是否一定，如果該比值一定，那么它們就是正比例關(guān)系，否則不是。

師：很好，請(qǐng)大家驗(yàn)證一下。

生3：圖3中，=，=，顯然其比值不是一定的，所以它們不是正比例關(guān)系。圖4中，路程與時(shí)間之比均為，所以它們成正比例關(guān)系。

師：很好，對(duì)于以上兩種判別方法，你們更喜歡哪個(gè)呢？

生4：我喜歡用圖像來判別，圖像更加直觀，一目了然。

師：很好，現(xiàn)在我們?cè)谠星榫车幕A(chǔ)上變一變，你們有什么發(fā)現(xiàn)？（教師給出案例4）

案例4 小軍和小明兩人周末相約去游樂園玩，圖5是他們騎行路程和時(shí)間的關(guān)系。圖5與剛才的圖像相比有何不同，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

教師先預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生互動(dòng)交流，然后展示學(xué)生交流成果。

生1：圖4中有一條直線，表明小軍和小明的速度是相同的。圖5中是兩條直線，表明他們騎行的速度不同。

師：如果騎行的距離是16千米，根據(jù)圖像你們能判斷誰先到達(dá)嗎？

生2：小明先到達(dá)，結(jié)合圖像可知，小明騎行16千米需要40分鐘，小軍騎行16千米需要60分鐘。

師：很好，僅根據(jù)圖像，你們能判斷他們兩人誰的速度更快一些嗎？

生3：小明的速度更快一些，因?yàn)槌嗽c(diǎn)外，虛線一直在實(shí)線的上方。

生4：圖像與橫軸所成的角度越大，速度越快，所以小明的速度更快一些。

師：說得非常有道理，大家不僅善于觀察，而且善于推理，這樣利用圖像可以快速解決問題。

教學(xué)思考：在練習(xí)階段，教師以現(xiàn)實(shí)生活為依托，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，這樣既提升了學(xué)生的解題技能，又讓學(xué)生感悟了“學(xué)以致用”的真諦。同時(shí)，在此過程中，教師鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)歸納，進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)正比例圖像的特點(diǎn)和要素的理解，讓學(xué)生充分感知圖像的直觀、形象、簡(jiǎn)便等特點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力的提升。

4. 課堂小結(jié)，內(nèi)化知識(shí)

該環(huán)節(jié)教師引導(dǎo)學(xué)生回頭看，對(duì)所學(xué)知識(shí)、方法、思想等進(jìn)行總結(jié)歸納，組織學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)交流，幫助學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和提高學(xué)習(xí)能力。

教學(xué)思考：課堂小結(jié)是課堂教學(xué)的重要組成部分，是學(xué)生將知識(shí)內(nèi)化為能力的重要途徑。教學(xué)中，教師要預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行反思回顧，以逐漸完善學(xué)生的認(rèn)知體系，提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平。

二、結(jié)語

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，若想引發(fā)深度思考，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，教師要少一些講授，多提供一些機(jī)會(huì)讓學(xué)生自主探究，引導(dǎo)學(xué)生在“變與不變”中探尋數(shù)學(xué)規(guī)律，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性。在“正比例圖像”教學(xué)中，教師從學(xué)生已有的正比例概念入手，讓學(xué)生在比較中找到判斷正比例關(guān)系的另一種方法，進(jìn)而讓學(xué)生感知圖像在解決實(shí)際問題中的直觀性，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情創(chuàng)設(shè)一些有價(jià)值的問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)探索、學(xué)會(huì)歸納，提高其深度思維的能力。