［摘 要］ 特級教師黃愛華在教學(xué)“三角形的高”一課時，圍繞三角形的組成元素聚焦圖形的一致性，讓學(xué)生在三角形面積變化中建構(gòu)三角形高的概念。

［關(guān)鍵詞］ 認識圖形；三角形的高；一致性

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱新課標(biāo)）的頒布，圖形的一致性、單元整體教學(xué)、教學(xué)評一致性等關(guān)鍵詞成為教學(xué)的關(guān)注點。比如在圖形概念教學(xué)時，教師應(yīng)如何在教學(xué)設(shè)計中體現(xiàn)圖形的一致性？如何重構(gòu)課時進行單元整體教學(xué)？如何實現(xiàn)讓學(xué)生從一節(jié)課的學(xué)習(xí)遷移到一類課的學(xué)習(xí)？近日，筆者觀摩了特級教師黃愛華執(zhí)教的“三角形的高”一課，深受啟發(fā)。

一、交流知識聯(lián)系，感悟路徑一致性

師：同學(xué)們，我們在幼兒園初步認識了三角形，在一年級又一次認識了它，在四年級又有新的學(xué)習(xí)任務(wù)，到中學(xué)時還要繼續(xù)深入地認識它。顯然，三角形是一個非常重要的圖形。當(dāng)看到“三角形”三個字時，你們想到研究三角形要分幾個步驟，一般涉及哪些內(nèi)容？

生1：我們要先了解三角形的定義和學(xué)習(xí)三角形的特性；然后研究三角形的分類和研究圖形的大小，可以根據(jù)角的大小或邊的長短對三角形進行分類；最后研究圖形的性質(zhì)，比如三角形的內(nèi)角和是180°。

師：我們一般要研究三角形的定義、特性、分類、大小和性質(zhì)等，以及學(xué)這個知識有什么用處。當(dāng)然，我們也可以從這幾個角度來研究其他圖形。

賞析：此片段黃老師開門見山地拋出學(xué)習(xí)的內(nèi)容是三角形，引導(dǎo)學(xué)生回憶三角形的學(xué)習(xí)歷程，梳理三角形的學(xué)習(xí)路徑，為學(xué)習(xí)其他圖形提供了范例。

二、經(jīng)歷學(xué)習(xí)過程，感悟高與面積的變化

1. 初步感受頂點位置與三角形大小的關(guān)系

師：這節(jié)課我們來研究三角形的大小，每個同學(xué)都先想一個三角形，然后想一個比剛才那個要大一些的三角形，你們通常會做什么事情？

生2：我會把邊畫得長一些。

師：假如我要在黑板上畫一個三角形，這個點叫作點A，此時第二個點的位置很重要。如果點B近一些，AB邊就短一些；如果點B遠一些，AB邊就長一些。假設(shè)我把點B定在這里，一條邊就畫出來了。此時同學(xué)們有沒有感覺這個三角形的大小和AB邊的長度有關(guān)系？點C的位置是不是有些地方不能隨便點？

生3：點C不能在AB這條線段上，也不能在AB的延長線上。

師：（出示不同的兩個點C）這兩個點C有什么不同？

生4：第二個點組成的三角形，AC邊和BC邊會被拉得更長一些，這個三角形也更大一些。

師：AB邊沒變，C點遠一些，這個圖形的面積就會變得大一些，這是因為點C到AB邊的距離變了。此時同學(xué)們有沒有感受到圖形的大小除了與AB邊的長度有關(guān)，還與點C到AB邊的距離有關(guān)，大家同意嗎？點C再高一點，圖形面積就大一點了。

賞析：“三角形的高”一課是第二學(xué)段“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容。圖形的認識教學(xué)要幫助學(xué)生建立幾何圖形的直觀概念，幫助學(xué)生初步形成幾何直觀。黃老師通過與學(xué)生的聊天，不斷激發(fā)學(xué)生的好奇心。黃老師通過精心設(shè)計每一個問題引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)思考，讓他們初步感受圖形的大小不僅與AB邊的長度有關(guān)，還與點C的位置有關(guān)，這是因為點C的位置決定著點C到AB邊的距離。

2.研究三角形大小與哪些因素有關(guān)

師：我要把點C到AB邊的距離畫出來，應(yīng)該畫一條怎樣的線？

生5：要畫一條從點C到AB邊中間的線。

師：這樣的線有很多條，都可以嗎？

生6：我覺得點C到AB邊的距離是從點C到它的對邊畫1條垂線。

師：垂線就是從點C向AB畫一條相交成直角的線，垂線可以畫很長的，你們要說明它們之間的距離。

生7：把點C向下延長到AB 邊，那個點設(shè)為垂足，點C到垂足之間的距離。

師：他說要畫點C到垂足之間的那一條垂直的線段叫兩點之間的距離，也就是你們學(xué)過的高。點C到AB邊的距離就是畫一條垂直的線段、垂直線段、垂線段，你們喜歡哪個？

生8：我認為是垂線段，不僅表達了意思，還更簡潔。

師：（教師示范）老師把這條垂線段畫出來。AB邊的長度確定了，點C到AB邊的距離確定了，是不是這個三角形的大小就確定了？如果我把點C移到這兒，AB邊保持不變，點C到AB邊的距離變長了，這個三角形的面積就變大了。所以看這兩條線段的長度，AB邊是三角形的底，點C到AB邊的距離是三角形的高，由此能判斷這個三角形的大小。

賞析：在這個環(huán)節(jié)中，黃老師不斷追問“點C到AB邊的距離”是直線還是線段、可以怎么畫、怎么命名等，幫助學(xué)生明確點C到AB邊的距離是一條垂線段，既要保持垂直關(guān)系，又是一條線段。同時，黃老師通過改變點C的位置，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)點C位置的變化會引起點C到AB的距離的變化，從而改變這個三角形的大小。

3. 感受某點的移動會改變?nèi)切未笮?/p>

師：老師這個課件非常有意思，你們只要把這個三角形畫出來，面積就算出來了。AB邊保持不變，點C在這個位置的三角形面積是33.90平方厘米；把C點往上拉一拉，點C在另一個位置的三角形面積是41.91平方厘米。

師：我們再來演示一下，你們要看三個關(guān)鍵點：第一個看點C的位置，第二個想象點C到AB邊的距離，第三個看三角形的面積。是不是距離越來越遠，三角形的面積就越來越大？反過來距離越來越短，三角形的面積就越來越??？

生（齊聲答）：是。

師：點C到AB邊的距離就是垂線段。我們在研究三角形時，三角形的三條邊和三個角是自己的，一定要研究三角形里可以畫出這樣一條高，高真正的含義就是圖形里畫出來的一條垂線段。高的畫法是從頂點到垂足的這條線段，高表示的是頂點到對邊的距離。三角形一般有三條高。如果垂足是D，我們說CD是三角形ABC的一條高。

賞析：科技給教學(xué)帶來了便利，能讓學(xué)生看到動態(tài)的演示過程。黃老師利用“幾何畫板”軟件動態(tài)地展示點C的位置，通過移動點C的位置呈現(xiàn)三角形面積的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生感受一條底邊保持不變，點C的位置會引起高的變化，從而使三角形的面積發(fā)生大小變化。

4. 引導(dǎo)學(xué)生圈出板書中的重點

師：同學(xué)們，現(xiàn)在黑板上的板書（如圖1）看不出重點，下面請小明同學(xué)用一支紅色粉筆把重點的地方圈一圈，你們認為他會圈哪里？

生9：我認為他會圈“頂點到對邊的距離”，因為頂點到對邊的距離會影響圖形的大小。

生10：我覺得他會圈“底和高”，因為底和高能直接影響整個三角形的大小。

生11：我感到他會圈“CD是三角形ABC的一條高”，因為這條高能影響三角形ABC的面積。

師：大家說得都非常棒！現(xiàn)在請同學(xué)們來圈，但在圈之前，先跟同桌討論一個問題，這條高怎么是歪的？這條高是不是畫錯了？

生12：這條高是畫對了的，因為AB邊是斜著的。

師：定義→特性→分類→大小→性質(zhì)是研究三角形的路徑，這很重要，我把它圈起來。剛才我們聊了三角形的大小、距離、高、頂點及垂足，你們怎么看？

生13：我認為老師聊的是三角形的高是從頂點到底邊的一條垂線段，而高的長度正好影響了三角形的面積大小。

師：你的第二句話真的太厲害了。老師特別想告訴你們高的作用，高的長度不一樣，面積大小就不一樣。

賞析：在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，黃老師使出了高明的一招：讓學(xué)生用紅筆圈重點。黃老師先組織學(xué)生進行同伴交流，再進行師生交流，提出“高變歪了”的質(zhì)疑，最后讓學(xué)生圈出板書的重點，凸顯這節(jié)數(shù)學(xué)課的核心知識點之間的關(guān)聯(lián)。

三、另辟研究方向，感悟三角形面積的不變性

師：剛才我們把點C上拉和下拉，還可以左拉和右拉。這個三角形ABC的面積是41平方厘米，現(xiàn)在我們決定把點C改成往左或往右拉，你們覺得會怎么變？

生14：我覺得如果點C往左右移的話，沒有超過A和B，面積不變；如果超過A和B，面積就會變大。

生15：我覺得任意往左移或往右移，三角形的面積是不會變的，因為三角形的底和高都沒有變。

師：（教師用軟件演示）我們把點C往左拉，三角形的面積不變；把點C往右拉，三角形的面積仍然不變。同學(xué)們，老師在移動時始終讓點C在同一條線上，這條線就是與AB邊平行的線，兩條平行線之間的距離是相等的，因此兩條平行線之間的距離相等。雖然我們看到點C在左右移動，其實點C到AB邊的高都還是這么長，所以三角形的面積不變。

師：同學(xué)們，我們再來看幾組數(shù)據(jù)，點C往上拉、往下拉、往左拉、往右拉，拉來拉去是什么在變？

生16：高的長度在變。

師：高的變化引起了三角形大小的變化。

賞析：黃老師引導(dǎo)學(xué)生從點C的上下移動轉(zhuǎn)向左右移動，借助“幾何畫板”軟件動態(tài)地展示點C在同一條直線上的移動過程，不僅通過數(shù)據(jù)讓學(xué)生直觀地看到三角形面積始終保持不變，還讓學(xué)生利用“兩條平行線之間的距離相等”這個公理推斷出三角形面積不變這個結(jié)論。這個學(xué)習(xí)過程能幫助學(xué)生感受學(xué)習(xí)高的價值，同時借助豐富的觀察和想象活動能幫助學(xué)生建立高的概念。

綜上所述，在教學(xué)“三角形的高”一課時，通常是單個數(shù)學(xué)知識點的教學(xué)，比如圍繞高的概念、畫高的方法等進行教學(xué)。黃老師教學(xué)“三角形的高”一課時采用由點到線：先讓學(xué)生感受兩個點的遠近會導(dǎo)致邊的長短發(fā)生變化；然后引出一個點，讓學(xué)生感受這個點的位置會引起三角形高的變化，從而導(dǎo)致三角形的面積有大有?。蛔詈笞寣W(xué)生探尋當(dāng)這個點在同一條直線上時，由于“平行線間的距離不變”驗證了三角形的面積也不變。黃老師在三角形這個知識網(wǎng)絡(luò)中幫助學(xué)生整體認識高這一元素，使學(xué)生不僅感受了高與三角形面積的關(guān)系，還感悟了圖形學(xué)習(xí)的路徑，掌握了更多的圖形知識。