［摘 要］ 為了精準(zhǔn)把握學(xué)情，探究概念教學(xué)，文章以“因數(shù)和倍數(shù)”教學(xué)為例，設(shè)計(jì)了五個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)：基于學(xué)情，建構(gòu)倍數(shù)的概念；自主探究，發(fā)現(xiàn)倍數(shù)的奧秘；順學(xué)而教，建構(gòu)因數(shù)的概念；自主探究，發(fā)現(xiàn)因數(shù)的奧秘；鞏固練習(xí)，后測學(xué)生掌握情況，讓學(xué)生在具體的乘法和除法算式計(jì)算中理解因數(shù)和倍數(shù)的概念。

［關(guān)鍵詞］ 因數(shù)和倍數(shù)；概念教學(xué)；學(xué)情分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求學(xué)生通過簡單的歸納或類比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論；通過法則運(yùn)用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)從一般到特殊的論證過程，從而發(fā)展學(xué)生的推理能力?！耙驍?shù)和倍數(shù)”一課讓學(xué)生在猜想和驗(yàn)證中認(rèn)識因數(shù)和倍數(shù)，學(xué)會在1～100的自然數(shù)中有序找出10以內(nèi)某個(gè)數(shù)的所有倍數(shù)，以及100以內(nèi)某個(gè)數(shù)的所有因數(shù)，為后續(xù)利用倍數(shù)的知識探索2、5和3的倍數(shù)特征、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)，以及利用因數(shù)的知識探索分解質(zhì)因數(shù)、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)做好鋪墊。

一、課堂實(shí)錄

1. 基于學(xué)情，建構(gòu)倍數(shù)的概念

師：（出示倍數(shù)的前測單）同學(xué)們，昨天我們已經(jīng)完成了這份前測單，題目是：你知道什么是倍數(shù)嗎？畫一畫或舉例說明。老師把大家的前測單做了整理，主要有四種觀點(diǎn)：（1）倍數(shù)就是一組數(shù)里最大的數(shù)，比如2、6、10這三個(gè)數(shù)中，10是倍數(shù)；（2）倍數(shù)就是“誰是誰的幾倍”，比如紅花有2朵、綠花有12朵，綠花的朵數(shù)是紅花的6倍；（3）倍數(shù)是乘法中的積，比如8×7=56，56是倍數(shù)；（4）倍數(shù)就是除法中的被除數(shù)，比如24÷3=8，24是倍數(shù)；24÷4=6，24是倍數(shù)；24÷6=4，24是倍數(shù)；24÷8=3，24是倍數(shù)；24÷5=4.8，24是倍數(shù)。對于這四種觀點(diǎn)，你有什么想說的？先獨(dú)立思考，然后在4人小組里說說自己的想法。

生1：我認(rèn)為第一個(gè)觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，倍數(shù)不一定是一組數(shù)里最大的數(shù)，比如12是12的倍數(shù)，它們是相同的；而且我們不能說“10就是倍數(shù)”，要說成“誰是誰的倍數(shù)”。

生2：我認(rèn)為第二個(gè)觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，這里的倍數(shù)不是我們學(xué)過的“倍的認(rèn)識”，所以也不是“誰是誰的幾倍”。

生3：我認(rèn)為第三個(gè)觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，倍數(shù)不是單獨(dú)存在的，是兩個(gè)數(shù)之間存在的一種關(guān)系，應(yīng)該說成“誰是誰的倍數(shù)”。

生4：我認(rèn)為第四個(gè)觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，這個(gè)觀點(diǎn)和第三個(gè)觀點(diǎn)錯(cuò)誤的原因是一樣的，應(yīng)該說成“誰是誰的倍數(shù)”。

生5：我有補(bǔ)充，我認(rèn)為第四個(gè)觀點(diǎn)中24÷5=4.8這樣的小數(shù)是不可以的，我們是在不是0的自然數(shù)范圍內(nèi)研究倍數(shù)的。

師：既然這四種觀點(diǎn)都是錯(cuò)誤的，你們能說說什么是倍數(shù)嗎？請你們把這四種觀點(diǎn)改一改。

生5：第一個(gè)觀點(diǎn)改成“誰是誰的倍數(shù)”，第二個(gè)觀點(diǎn)改成“倍數(shù)和幾倍不一樣”，第三個(gè)觀點(diǎn)改成“積是兩個(gè)乘數(shù)的倍數(shù)”，第四個(gè)觀點(diǎn)改成“被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù)”。

設(shè)計(jì)意圖：教育家蘇霍姆林斯基說，一個(gè)好的教師，是一個(gè)懂得心理學(xué)和教育學(xué)的人。教師在教學(xué)中要“以學(xué)定教”，先了解學(xué)生“在哪里”，再去設(shè)計(jì)課堂的教學(xué)活動。在這個(gè)環(huán)節(jié)中，教師由學(xué)生的前測結(jié)果引出認(rèn)識倍數(shù)的教學(xué)內(nèi)容，組織學(xué)生在辨析四種觀點(diǎn)中用自己的語言描述倍數(shù)的概念。

2. 自主探究，發(fā)現(xiàn)倍數(shù)的奧秘

教師出示任務(wù)：

（1）寫一寫，請寫出2、3、4、5、6這5個(gè)數(shù)的所有倍數(shù)；（2）標(biāo)一標(biāo)，在數(shù)軸上標(biāo)出2、3、4、5、6這5個(gè)數(shù)的所有倍數(shù)；（3）想一想，你是怎么找出所有倍數(shù)的？

生6：2的倍數(shù)有2，4，6，8，10，12，14，16，18……；3的倍數(shù)有3，6，9，12，15，18，21，24……；4的倍數(shù)有4，8，12，16，20，24……；5的倍數(shù)有5，10，15，20，25，30……；我們可以根據(jù)這個(gè)數(shù)的乘法口訣來找出它的倍數(shù)。

師：同學(xué)們，我們來觀察2的倍數(shù)，你們發(fā)現(xiàn)了2的倍數(shù)有什么特征？

生7：我發(fā)現(xiàn)2的倍數(shù)都是2的乘法口訣里的數(shù)。

生8：屬于2的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)位都是0，2，4，6，8。我還發(fā)現(xiàn)2的倍數(shù)都是偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)都是奇數(shù)。

師：我們再來觀察5的倍數(shù)，你們發(fā)現(xiàn)了5的倍數(shù)有什么特征？

生9：5的倍數(shù)都是5的乘法口訣里的數(shù)。5的倍數(shù)的個(gè)位是0或者5。

師：請你們觀察這些數(shù)的倍數(shù)，你們知道倍數(shù)的個(gè)數(shù)有多少嗎？最小的倍數(shù)是什么？最大的倍數(shù)是什么？

生10：倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。

設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，為了幫助學(xué)生應(yīng)用倍數(shù)的概念發(fā)現(xiàn)倍數(shù)的奧秘，教師巧妙地設(shè)計(jì)了一個(gè)大任務(wù)：首先，讓學(xué)生找出這些數(shù)的倍數(shù)，并讓學(xué)生在列舉這些數(shù)的倍數(shù)過程中探究求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法，使他們發(fā)現(xiàn)找2的倍數(shù)就是2和某一個(gè)數(shù)相乘所得的積就是2的倍數(shù)，或者把2依次與1、2、3……等數(shù)相乘，再按從小到大的順序排列起來；其次，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)2和5的倍數(shù)特征并認(rèn)識偶數(shù)和奇數(shù)，使學(xué)生在觀察2和5的倍數(shù)中建立初步的感性認(rèn)知，在比較、分析和歸納中得出2和5的倍數(shù)特征；最后，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的基本特征：倍數(shù)的個(gè)數(shù)有無限個(gè)，最小是它本身，沒有最大的倍數(shù)。

3. 順學(xué)而教，建構(gòu)因數(shù)的概念

師：（出示倍數(shù)的前測單）同學(xué)們，剛才我們跟隨前測單研究了什么是倍數(shù)，接下來我們用同樣的方法研究什么是因數(shù)。你能把剛才倍數(shù)前測單里的數(shù)學(xué)信息改成與因數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)信息嗎？先獨(dú)立思考，然后在4人小組里說說你的想法。

生11：第一個(gè)觀點(diǎn)，2、6、10這三個(gè)數(shù)中，2是6的因數(shù)，2是10的因數(shù)。第二個(gè)觀點(diǎn)，2和6是12的因數(shù)。第三個(gè)觀點(diǎn)，7和8是56的因數(shù)。第四個(gè)觀點(diǎn)，24÷3=8，3和8是24的因數(shù)；24÷4=6，4和6是24的因數(shù)；24÷6=4，4和6是24的因數(shù)；24÷8=3，3和8是24的因數(shù)。

師：你們能說說什么是因數(shù)嗎？

生12：倍數(shù)和因數(shù)是一起出現(xiàn)的，乘數(shù)是積的因數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)。

師：看來在乘法或者除法算式中，都存在倍數(shù)和因數(shù)的關(guān)系，它們是成對出現(xiàn)的。

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合倍數(shù)的前測單，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含其中的因數(shù)，把倍數(shù)關(guān)系改寫成因數(shù)關(guān)系。這時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)倍數(shù)和因數(shù)是成對出現(xiàn)的，乘數(shù)是積的因數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)，從而幫助他們建立因數(shù)的概念，溝通因數(shù)和倍數(shù)之間的聯(lián)系。

4. 自主探究，發(fā)現(xiàn)因數(shù)的奧秘

教師出示任務(wù)：

（1）寫一寫，請你寫出3、9、18、19這四個(gè)數(shù)的所有因數(shù)；（2）想一想，你是怎么找出所有因數(shù)的？（3）找一找，倍數(shù)和因數(shù)之間有什么聯(lián)系？

生13：因?yàn)?×3=3，所以3的因數(shù)有1，3；因?yàn)?×9=9，3×3=9，所以9的因數(shù)有1，9，3，3；因?yàn)?×18=18，2×9=18，3×6=18，所以18的因數(shù)有1， 18，2，9，3，6；因?yàn)?×19=19，所以19的因數(shù)有1和19。

生14：我有補(bǔ)充，我認(rèn)為1×9=9，3×3=9，雖然這里有兩個(gè)3，但是我們寫因數(shù)的時(shí)候只要寫一個(gè)3就可以了。所以9的因數(shù)有1，9，3。

生15：我覺得我們寫因數(shù)的時(shí)候要像寫倍數(shù)一樣，從小到大排列。比如9的因數(shù)有1，3，9；18的因數(shù)有1，2，3，6，9，18。

師：你們是怎么找出所有因數(shù)的？

生16：我們可以根據(jù)乘法口訣來找，也可以把這個(gè)數(shù)分別除以1、2、3……看被除數(shù)能不能除盡，如果能除盡就是它的因數(shù)。

師：你們知道倍數(shù)和因數(shù)之間有什么聯(lián)系？

生17：倍數(shù)和因數(shù)是同時(shí)存在的，都是在非0自然數(shù)里。倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)它本身。

設(shè)計(jì)意圖：在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了學(xué)習(xí)方法和數(shù)學(xué)知識的遷移，他們將探究一個(gè)數(shù)的倍數(shù)應(yīng)用到探究一個(gè)數(shù)的因數(shù)。學(xué)生在找一個(gè)數(shù)的因數(shù)過程中，第一步用乘法口訣思考哪兩個(gè)數(shù)的乘積是某個(gè)數(shù)，所以這兩個(gè)數(shù)都是某個(gè)數(shù)的因數(shù)；第二步在找因數(shù)中刪除重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)，做到既不重復(fù)又不遺漏。在學(xué)生找出這四個(gè)數(shù)的因數(shù)后，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考倍數(shù)和因數(shù)之間的聯(lián)系，深刻理解倍數(shù)和因數(shù)的含義。

5. 鞏固練習(xí)，后測學(xué)生掌握情況

出示鞏固練習(xí)題：

（1）把下面的乘法算式改寫成除法算式，或把除法算式改寫成乘法算式，再寫出哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的因數(shù)，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

7×8=56；1×11=11；45÷9=5。

（2）①36的因數(shù)有（ ），其中最小的是（ ），最大的是（ ）。

我是這樣想的：（ ）。

②8的倍數(shù)有（ ），其中最小的是（ ）。我是這樣想的：（ ）。

（3）①2的倍數(shù)的特征是（ ），5的倍數(shù)的特征是（ ）。

②判斷：18，40，36，15，5，19，哪些數(shù)是2或5的倍數(shù)？

設(shè)計(jì)意圖：適量的練習(xí)題不僅有助于學(xué)生掌握因數(shù)和倍數(shù)的概念，還有助于教師了解學(xué)生的掌握情況。第（1）小題考查學(xué)生根據(jù)乘法或除法算式找倍數(shù)和因數(shù)關(guān)系；第（2）小題考查學(xué)生求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法和求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法，并且知道最大和最小因數(shù)、最大和最小倍數(shù)分別是什么；第（3）小題考查學(xué)生是否了解2和5的倍數(shù)特征。

二、教學(xué)反思

“因數(shù)和倍數(shù)”這節(jié)課包括認(rèn)識因數(shù)和倍數(shù)、求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法、求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法以及2和5的倍數(shù)的特征。在教學(xué)過程中，教師打破了原來的課時(shí)內(nèi)容，對本單元的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了重新整合，使課堂教學(xué)活動更加順暢。

1. 借助前測單，精準(zhǔn)把握學(xué)情

前測單的目的是通過幾道前測題了解學(xué)生的學(xué)情，便于教師有針對性地開展教學(xué)活動。本節(jié)課中教師設(shè)計(jì)了“什么是倍數(shù)”這道前測題，不僅能了解學(xué)生對倍數(shù)的已有知識經(jīng)驗(yàn)，還作為教學(xué)資源呈現(xiàn)在這節(jié)數(shù)學(xué)課上，并組織學(xué)生圍繞前測單中這四種觀點(diǎn)開展深入討論，讓他們在辨析中建構(gòu)倍數(shù)的概念。同時(shí)，教師利用修正后的這四種觀點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生將其改寫成與因數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)信息，幫助學(xué)生建構(gòu)因數(shù)的概念，體會倍數(shù)和因數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

2. 借助大任務(wù)，開展自主探究

大任務(wù)的設(shè)計(jì)減少了課堂中的一問一答，讓學(xué)生在大空間中靜悄悄地獨(dú)立思考，在小組合作中發(fā)現(xiàn)知識的奧秘。本節(jié)課中為了幫助學(xué)生掌握求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法，教師設(shè)計(jì)了一個(gè)大任務(wù)，讓學(xué)生在寫一寫中探究找倍數(shù)的方法，在標(biāo)一標(biāo)中感受倍數(shù)的基本特征，在想一想中歸納求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法。為了幫助學(xué)生掌握求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法，教師同樣設(shè)計(jì)了一個(gè)大任務(wù)，讓學(xué)生在寫一寫中探究找因數(shù)的方法，在想一想中歸納求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法，在找一找中尋找因數(shù)和倍數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。

3. 借助結(jié)構(gòu)化，實(shí)現(xiàn)方法遷移

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動，幫助學(xué)生發(fā)展結(jié)構(gòu)化思維。在“因數(shù)和倍數(shù)”這節(jié)課上，教師先分再合，即讓學(xué)生先從比較熟悉的倍數(shù)的概念入手，幫助學(xué)生牢固建立倍數(shù)的概念；然后讓學(xué)生將學(xué)習(xí)倍數(shù)的方法遷移到學(xué)習(xí)因數(shù)的過程中，幫助他們牢固建立因數(shù)的概念；最后讓學(xué)生在認(rèn)識因數(shù)和倍數(shù)中感悟倍數(shù)和因數(shù)屬于關(guān)系概念，明白它們是成對出現(xiàn)的，既有聯(lián)系又有區(qū)別。

綜上所述，學(xué)情是課堂的指向標(biāo)，為教師指明了教學(xué)的方向；也是課堂的探測儀，為教師設(shè)計(jì)教學(xué)活動提供了依據(jù)。因此，教師要用好學(xué)情這一教學(xué)資源，從學(xué)情出發(fā)尋找適合學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，整合相關(guān)的因數(shù)和倍數(shù)的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生在大任務(wù)中經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)，最終發(fā)展學(xué)生的推理能力。