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        對一道牽連速度問題的分析與拓展

        2024-09-20 00:00:00秦言濤
        物理之友 2024年6期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)方法

        摘要:本文通過“數(shù)理結(jié)合”方式分析求解牽連速度問題,由淺入深,從易到難,夯實基本方法,培養(yǎng)關(guān)鍵能力,并應(yīng)用幾何畫板繪圖,優(yōu)化創(chuàng)新思維,深度理解牽連問題的潛在物理本質(zhì),體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識在物理問題中的重要作用。

        關(guān)鍵詞:數(shù)理結(jié)合;牽連速度;數(shù)學(xué)方法;系統(tǒng)機械能守恒

        我國《普通高中物理課程標準(2017年版2020年修訂)》中提出的課程目標要求增強學(xué)生創(chuàng)新意識和實踐能力。[1]可見,優(yōu)化和提升學(xué)生的創(chuàng)新思維是當前高中物理教育教學(xué)的重要目標。本文旨在通過探討牽連問題來闡述學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)與優(yōu)化途徑,并從問題的發(fā)現(xiàn)與討論中探索促進學(xué)生素養(yǎng)提升的形式。

        牽連問題通常需要求解速度(加速度)關(guān)系或功能關(guān)系,要求學(xué)生具有正確的運動觀、能量觀。然而,一些學(xué)生僅僅通過記住一些結(jié)論來解決此類問題,對相關(guān)物理量的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系缺乏深刻理解,陷入了“知其然而不知其所以然”的境地。這種狀況導(dǎo)致他們在模型變化時不會變通,這顯然并不利于學(xué)科思維的培養(yǎng)。因此,教師要讓學(xué)生通過解題樹立正確的物理觀念、掌握常用的數(shù)學(xué)方法、培養(yǎng)科學(xué)思維。[2]

        1問題呈現(xiàn)與解題分析

        1.1問題呈現(xiàn)

        如圖所示,帶孔物塊A穿在豎直固定的細桿上,不可伸長的輕質(zhì)柔軟細繩一端連接物塊A,另一端跨過輕質(zhì)定滑輪連接物塊B。用手將物塊A向上移動到與定滑輪等高處,由靜止釋放后,兩物塊開始在豎直方向上做往復(fù)運動。已知物塊A的質(zhì)量為m,物塊B的質(zhì)量為2m,定滑輪到細桿的距離為L,細繩的長度為2L,重力加速度大小為g,忽略一切阻力,定滑輪大小不計,兩物塊均可視為質(zhì)點。求:

        (1)物塊B與定滑輪間的最小距離d;

        (2)物塊A、B處于同一高度時系統(tǒng)的總動能Ek;

        (3)物塊A、B的總動能最大時物塊B的動能EkB。

        1.2第(3)問的解析

        本文主要分析第(3)問的解法以及必要的拓展。在第(2)問的基礎(chǔ)上,大部分學(xué)生都能寫出系統(tǒng)總動能的表達式。但是對于怎么求解系統(tǒng)總動能何時達到最大值,很多學(xué)生毫無頭緒,主要問題表現(xiàn)為:第一,對牽連速度問題理解不透,不能正確寫出A與B的速度關(guān)系;第二,認為A沿著繩子分解的加速度等于B的加速度,則A所受合力為零時,B所受合力也為零;第三,能從物理學(xué)角度正確寫出表達式,但是缺乏數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用與討論。

        學(xué)生出現(xiàn)以上問題的原因主要有兩方面:首要的是基礎(chǔ)知識不牢固,只會“死記硬背”,對繩端關(guān)聯(lián)的內(nèi)在本質(zhì)理解不透,導(dǎo)致沒有形成正確的物理觀念,模型構(gòu)建與規(guī)律應(yīng)用素養(yǎng)能力不夠;其次是數(shù)學(xué)知識薄弱,缺乏“數(shù)理結(jié)合”的意識。立足于提升學(xué)科素養(yǎng)的角度,下面將展示第(3)問的三種不同解法。

        1.2.1解法一

        構(gòu)建三角函數(shù)求最值,求解過程具體論述如下。

        當系統(tǒng)機械能最大時,設(shè)繩子與水平方向的夾角為θ,系統(tǒng)的動能Ek=mgLtanθ-2mgLcosθ-L,化簡得Ek=mgLsinθ-2cosθ+2.令k=sinθ-2cosθ,由于sinθ和cosθ都是大于零的值,故k即為單位圓第一象限上的某點與定點(0,2)連線的斜率,如圖1所示.當Ek最大時,k=-3,此時θ=30°。

        由于Ek=12mv2A+122mv2B,且vB=vAsinθ,則機械能守恒的表達式為12mvBsinθ2+12×2mv2B=(2-3)mgL。因此mv2B=2-33mgL,即當系統(tǒng)的動能最大時物塊B的動能EkB=2-33mgL。

        1.2.2解法二

        導(dǎo)數(shù)法求解極值,求解過程具體論述如下。

        假設(shè)物塊A下滑的高度為hA,物塊B上升的高度為hB,由幾何關(guān)系有hA=(hB+L)2-L2,則系統(tǒng)的動能為Ek=mg(hB+L)2-L2-2mghB,化簡得Ek=mg(h2B+2hBL)12-2mghB。

        對Ek求導(dǎo),得Ek′=mg(h2B+2hBL)-12(hB+L)-2mg。當Ek′=0時,系統(tǒng)動能取極值,所以mg(h2B+2hBL)-12(hB+L)-2mg=0,即3h2B+6LhB-L2=0,解得hB=-3±233L。

        由于hBgt;0,則hB=23-33L,同時可得此時繩子與水平方向夾角θ=30°。

        由12mvBsinθ2+12×2mv2B=mghA-2mghB,可得EkB=2-33mgL。

        1.2.3解法三

        利用“質(zhì)心降落最低系統(tǒng)動能最大”求解,求解過程具體論述如下。

        建立直角坐標系如圖2所示,系統(tǒng)質(zhì)心坐標為

        剛開始釋放物塊A時,yC1=23L,當系統(tǒng)質(zhì)心最低時,有yC2=y(tǒng)A+2yB3,則系統(tǒng)減少的重力勢能ΔEp=3mg(yC1-yC2)。由幾何關(guān)系有yA=(2L-yB)2-L2,可求得當質(zhì)心最低時yB=2L-233L,此時繩子與水平方向的夾角θ=30°。由機械能守恒可知,系統(tǒng)減少的重力勢能等于系統(tǒng)增加的動能,12mvBsinθ2+12×2mv2B=3mgyC-23L,當系統(tǒng)質(zhì)心最低時,系統(tǒng)動能最大,EkB=2-33mgL。

        1.3對三種解法的評價

        以上三種解法都是立足于促進學(xué)生對物理模型與規(guī)律的理解,提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力。解法一和解法二是學(xué)生常用的數(shù)學(xué)方法,通過構(gòu)建單位圓上某點與定點連線斜率的最值和求導(dǎo)法進行求解。有的學(xué)生能列出表達式,卻不知道怎么去求解,說明他們基本能掌握物理模型與規(guī)律,但是缺乏利用數(shù)學(xué)知識求解物理問題的素養(yǎng)。這就要求教師在教學(xué)中強化學(xué)生對“數(shù)理結(jié)合”能力的培養(yǎng)。解法三,應(yīng)用系統(tǒng)質(zhì)心最低時系統(tǒng)動能最大這一原理進行求解,從物理的角度上來講學(xué)生容易接受。雖然質(zhì)點系質(zhì)心坐標的求解在高中階段不做要求,但是適當滲透這一概念是有意義的;這種處理能使以后的彈性碰撞等問題的研究更簡單,同時也能很好地體現(xiàn)物理的內(nèi)在本質(zhì)規(guī)律。對于無法正確地寫出動能公式的學(xué)生來說,他們對牽連速度問題理解不夠透徹或未能掌握系統(tǒng)機械能守恒的數(shù)學(xué)表達,導(dǎo)致出現(xiàn)“張冠李戴”的現(xiàn)象;說明這部分學(xué)生的模型構(gòu)建與科學(xué)思維素養(yǎng)能力有所欠缺,同時也缺乏模型遷移應(yīng)用的能力。

        2基于提高科學(xué)思維素養(yǎng)的牽連問題拓展分析

        2.1牽連速度分解方式的內(nèi)在本質(zhì)

        在上述題目的條件下,如圖3所示,當物塊A從c點滑到d點時,物塊A滑動的距離為ΔyA,對應(yīng)的物塊B上升的距離為ΔyB,由幾何關(guān)系可知,當Δθ趨近于0時,有ΔyB=ΔyAsinθ,等式兩邊同時除以Δt,得ΔyBΔt=ΔyAΔtsinθ;當Δt趨近于0時,使ΔyAΔt=vA,同理得ΔyBΔt=vB,則vB=vAsinθ。

        將物塊A的速度分兩個分量可以從兩個角度來理解。如果物塊A的一個速度分量為vAsinθ,則按照矢量合成可知另一個速度分量為v1=vAcosθ,根據(jù)瞬時速度的定義及幾何關(guān)系可得vB=vAsinθ,則任意時刻繩端關(guān)聯(lián)物體的速度可以分解到沿繩子方向與垂直于繩子方向(見圖4)。另外,以滑輪為參考點,滑輪左側(cè)繩子具有伸長與轉(zhuǎn)動的趨勢,則繩端關(guān)聯(lián)的物體也具有沿繩子伸長與繞滑輪轉(zhuǎn)動的趨勢,則物塊A的速度可以分解為沿繩子方向與垂直繩子兩個方向。

        2.2繩端牽連的物體加速度的分解

        有部分學(xué)生認為加速度的分解與速度分解一樣,當物塊A的加速度為零時,物塊B的加速度也為零,則此時物塊A、B的速度都達到最大,即系統(tǒng)總動能也最大。當物塊A的速度最大時,加速度為零,有Tsinθ=mg,認為此時物塊B的速度也是最大,則T=2mg,所以sinθ=12,即θ=30°。由12mvBsinθ2+12×2mv2B=mghA-2mghB,其中vB=vAsinθ,結(jié)合幾何關(guān)系可得EkB=2-33mgL。結(jié)果與參考答案完全相同,但是此解法是錯誤的。

        正確的解法是,把物塊A的速度分解為v1和v2,由于v1和v2的大小和方向都在變化(見圖5)。在v1和v2大小都在增加的過程中,a1為v1大小變化對應(yīng)的加速度,a1′為v1方向變化對應(yīng)的加速度;a2為v2大小變化對應(yīng)的加速度,a2′為v2方向變化對應(yīng)的加速度(見圖6)。則a1′=v21x,得a1′=v2Acos2θx。由于cosθ=Lx,則a1′=v2Acos3θL;而a2=dv1dt,由于v2=vAsinθ=vB,因此有a2=aB,而物塊A的實際加速度aA沿著桿豎直向下,即a2-a1′=aAsinθ,得a2=aAsinθ+v2Acos3θL,則aB=aAsinθ+v2Acos3θL,所以當物塊A的加速度為零時,物塊B的加速度為aB=v2Acos3θL,物塊A、B的速度不可能同時達到最大。

        2.3用幾何畫板分析牽連問題的速度和加速度關(guān)系

        由系統(tǒng)的機械能守恒,有

        根據(jù)牽連速度關(guān)系有vB=vAsinθ,聯(lián)立求解得

        取L=2m,g=10m/s2,通過幾何畫板畫出物塊A、B的速度大小與θ的關(guān)系圖像(見圖7),可見物塊A、B的速度最大值不是對應(yīng)同一個θ角,所以認為物塊A、B同時達到最大速度求解系統(tǒng)的最大動能,得到的結(jié)果與參考答案相同只是一個巧合。

        圖7物塊A、B的速度大小與θ的關(guān)系圖像

        由牛頓第二定律有mg-Tsinθ=maA,T-2mg=2maB,

        結(jié)合物塊A的速度公式化簡得

        取g=10m/s2,利用幾何畫板繪出物塊A、B的加速度大小與θ的關(guān)系圖像(見圖8),由于θ的余弦值cosθ=Lx,其中x的最大值為2L,則θ的最大值為π3,結(jié)合圖8可知,θ<π3。從圖8可知,在系統(tǒng)動能最大時,物塊A、B速度不可能都最大。

        2.4模型遷移應(yīng)用,促進思維提升

        當θ=0時,物塊A的加速度為10m/s2,結(jié)合受力分析,說明在θ=0時,物塊A受到的合外力等于重力mg,加速度a=g。而物塊B加速度為零,說明此時繩子對物塊B的拉力等于物塊B的重力。當夾角θ=π2時,物塊A與物塊B的加速度相等,結(jié)合物塊A、B的加速度公式,得aB=aA=-13g。從受力與模型分析,當θ=π2時,物塊A、B組成系統(tǒng)的實際模型如圖9所示。通過模型的遷移應(yīng)用可以促進學(xué)生思維提升,讓學(xué)生對問題的理解更加透徹,達到“做一道題會一類題”的效果。

        3總結(jié)

        牽連問題是高中階段常見的物理問題,很好地體現(xiàn)了系統(tǒng)機械能守恒定律的應(yīng)用。該類問題的分析與拓展在培養(yǎng)學(xué)生的思維拓展能力與優(yōu)化學(xué)生的創(chuàng)新思維方面具有促進作用。對于此類問題的分析應(yīng)該注重模型的理解與遷移,要理論與實際相結(jié)合,通過受力分析理解模型的本質(zhì)及其遵循的規(guī)律,抓住模型規(guī)律的統(tǒng)一性與普遍性,讓學(xué)生在解決問題中真正提升個人的素養(yǎng)能力。[3]

        參考文獻

        [1]中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標準(2017年版2020年修訂)[M].北京:人民教育出版社,2020:61.

        [2]羅緒凱.一道輕繩連接體典型例題的深入剖析[J].物理教學(xué),2022,44(2):56-59,62.

        [3]葉晟波,方潤根.在發(fā)現(xiàn)和解決物理問題中培養(yǎng)創(chuàng)新思維[J].物理教學(xué),2022,44(6):7-11.

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