摘" 要： 為了提升數(shù)字圖像的完整性和清晰度，提出一種基于K?SVD算法的數(shù)字圖像自適應(yīng)修復(fù)方法。通過FCM算法將數(shù)字圖像劃分成不同的圖像塊，將不同類別的數(shù)字圖像依據(jù)K?SVD算法的稀疏編碼和字典更新模塊進行訓(xùn)練，獲取各個不同類別數(shù)字圖像塊的字典，求出其稀疏系數(shù)，結(jié)合字典和稀疏系數(shù)更新數(shù)字圖像中的每一類圖像塊，完成數(shù)字圖像中每一類圖像塊的修復(fù)或重構(gòu)，將修復(fù)好的圖像塊放回原數(shù)字圖像中，實現(xiàn)數(shù)字圖像的自適應(yīng)修復(fù)。實驗結(jié)果表明，該方法能夠有效地恢復(fù)圖像的細節(jié)和結(jié)構(gòu)，修復(fù)后的數(shù)字圖像均方根誤差低，并且具有較高的峰值信噪比，同時，修復(fù)后的數(shù)字圖像與原圖像的結(jié)構(gòu)相似性高達0.95，且在數(shù)字圖像修復(fù)效率方面具備顯著優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞： FCM算法； K?SVD算法； 稀疏編碼； 更新字典； 數(shù)字圖像； 圖像細節(jié)； 圖像聚類； 圖像修復(fù)

中圖分類號： TN911.73?34； TP391" " " " " " " " "文獻標識碼： A" " " " " " " " " " 文章編號： 1004?373X（2024）13?0015?04

Digital image adaptive restoration method based on K?SVD algorithm

WANG Yanlong， GAO Junjie， YANG Yang

（Shanxi University， Taiyuan 030006， China）

Abstract： In order to improve the integrity and clarity of digital images， a digital image adaptive restoration method based on K?SVD （K?singular value decomposition） algorithm is proposed. By the FCM （fuzzy c?means） algorithm， the digital image is divided into different image blocks， digital images of different categories are trained based on the sparse encoding and dictionary update module of the K?SVD algorithm， so as to obtain the dictionaries of different categories of digital image blocks， and calculate their sparse coefficients. In combination with the dictionaries and sparse coefficients， each type of image blocks in the digital images are updated， repaired and reconstructed. The repaired image blocks are put back into the original digital image to achieve adaptive restoration of the digital image. The experimental results show that the proposed method can restore the details and structure of the image effectively. The repaired digital image has low root?mean?square error （RMSE） and a high peak signal?to?noise ratio （PSNR）. At the same time， the structural similarity between the repaired digital image and the original image is as high as 0.95， and it has significant advantages in the efficiency of digital image restoration.

Keywords： FCM algorithm; K?SVD algorithm; sparse encoding; dictionary update; digital image; image detail; image clustering; image restoration

0" 引" 言

數(shù)字圖像在存儲、傳輸和處理過程中可能受到各種噪聲、失真和損傷的影響，這些問題會導(dǎo)致圖像質(zhì)量下降、信息丟失以及視覺體驗差[1]。因此，為了提高圖像的質(zhì)量和可靠性，保護圖像信息的完整性，還需要研究并開發(fā)自適應(yīng)修復(fù)方法?？梢愿鶕?jù)圖像的特征和上下文信息自動調(diào)整修復(fù)策略和參數(shù)，使得修復(fù)結(jié)果更加準確、自然，并且盡可能地保留和恢復(fù)原始圖像的細節(jié)和結(jié)構(gòu)，提高圖像的視覺品質(zhì)和信號可靠性[2]。這對于保障數(shù)字圖像在各個領(lǐng)域（如醫(yī)學(xué)影像、衛(wèi)星圖像、攝影藝術(shù)等）的應(yīng)用和分析具有重要意義，并對提升用戶體驗和信息傳遞效果產(chǎn)生積極影響。

針對數(shù)字圖像修復(fù)問題，很多專家和學(xué)者對此進行了研究，如文獻[3]提出基于多尺度加權(quán)Schatten p范數(shù)最小化的圖像恢復(fù)方法，使用多尺度加權(quán)Schatten p范數(shù)最小化，考慮不同秩分量的重要性，構(gòu)建有噪聲的低秩矩陣；同時，加入新的正則化項，表示圖像結(jié)構(gòu)的稀疏性和自相似性。通過計算斑塊的相似性，進一步增強恢復(fù)效果。但是該方法通過多尺度加權(quán)Schatten p范數(shù)最小化涉及復(fù)雜的計算和優(yōu)化過程，會導(dǎo)致較高的計算成本和時間消耗，且峰值信噪比較低。文獻[4]提出基于鏡頭設(shè)計特點的圖像恢復(fù)方法，該方法確定了PAI（光場成像）的展開中心點，并根據(jù)PAL（透鏡型光場相機）的固有失真提出了一種基于透鏡設(shè)計特性的預(yù)測方法，分別校正切向失真圖像塊和徑向失真圖像塊。但是如果透鏡或展開中心點發(fā)生顯著變化，該方法可能需要重新調(diào)整，增加了圖像修復(fù)迭代次數(shù)。文獻[5]提出基于TV（總變差）模型和MRF（馬爾可夫隨機域）的圖像修復(fù)方法，結(jié)合TV模型具有較好的結(jié)構(gòu)修復(fù)能力和MRF具有較好的細節(jié)修復(fù)能力，引入混合比例參數(shù)，使圖像的修復(fù)效果不僅保留了圖像的紋理細節(jié)，并且與原圖像的結(jié)構(gòu)更相似，但是該方法在有噪聲的條件下無法更好地實現(xiàn)圖像修復(fù)。文獻[6]提出基于BEGAN（雙向生成對抗網(wǎng)絡(luò)）改進的圖像修復(fù)方法，通過U?net網(wǎng)絡(luò)對圖像的特征進行融合，利用更多的圖像上下文信息，在修復(fù)過程中更好地保留圖像的細節(jié)和結(jié)構(gòu)，引入判別器模型，全局判別關(guān)注整個圖像的語義信息，局部判別器關(guān)注圖像的局部細節(jié)，同時考慮圖像的整體和局部特征，更準確地判斷修復(fù)結(jié)果的合理性。但是該方法的計算量大、時間長，對大規(guī)模圖像數(shù)據(jù)處理的效率有限，且圖像修復(fù)效果不佳。

K?奇異值分解（K?Singular Value Decomposition， K?SVD）算法具有較高的靈活性、魯棒性、可擴展性和可解釋性[7]，能夠快速地對圖像進行稀疏表示和重建，有效地處理具有復(fù)雜缺陷的圖像，如劃痕、污漬、撕裂等，以實現(xiàn)圖像的修復(fù)和恢復(fù)，并且能夠提供修復(fù)過程的可視化和修復(fù)結(jié)果的可控性，由此可知，K?SVD算法在數(shù)字圖像修復(fù)領(lǐng)域具有一定的優(yōu)勢和價值。針對以上方法對數(shù)字圖像修復(fù)存在的不足之處，本文提出基于K?SVD算法的數(shù)字圖像自適應(yīng)修復(fù)方法，快速、準確地修復(fù)和恢復(fù)圖像，提高圖像質(zhì)量和美觀度。

1" 數(shù)字圖像自適應(yīng)修復(fù)方法設(shè)計

1.1" K?SVD算法

K?SVD字典算法可通過稀疏編碼技術(shù)壓縮數(shù)字圖像信息，完成圖像分類、特征提取等任務(wù)，能夠有效地降低數(shù)字圖像數(shù)據(jù)的維度，同時保留重要的結(jié)構(gòu)和特征信息。

在稀疏編碼階段定義三個主要元素，分別是經(jīng)訓(xùn)練后獲取的字典[ψ∈Rn×d]，經(jīng)訓(xùn)練后得到的數(shù)字圖像[f∈Rn]，經(jīng)訓(xùn)練后得到的數(shù)字圖像稀疏表示系數(shù)向量[α∈Rd]。其中，[n]和[d]是正整數(shù)，分別代表數(shù)字圖像的維度和字典中原子（特征）的數(shù)量。設(shè)訓(xùn)練數(shù)字圖像的集合為[F=fi，i=1，2，…，N]，其中包含[N]個訓(xùn)練的數(shù)字圖像，這些數(shù)字圖像是從實際數(shù)據(jù)中收集的，用于構(gòu)建和優(yōu)化字典。同時，設(shè)定與訓(xùn)練數(shù)字圖像相對應(yīng)的集合[A=αi，i=1，2，…，P]，其中包含這些訓(xùn)練數(shù)字圖像的稀疏表示系數(shù)向量，這些系數(shù)向量用于描述每個訓(xùn)練數(shù)字圖像如何由字典中的原子線性組合而成。

由此構(gòu)建數(shù)字圖像訓(xùn)練的目標函數(shù)為：

[minψψA-F2Fs.t." " αj0≤L， ?j] （1）

式中：[L]表示數(shù)字圖像訓(xùn)練集中稀疏表示系數(shù)的最大非零元素的數(shù)量或比例；[A]為稀疏表示系數(shù)向量；[XF]表示[F]范數(shù)，用于衡量稀疏表示的誤差或殘差，度量稀疏表示的質(zhì)量。

在數(shù)字圖像修復(fù)的過程中[8]，字典更新階段是稀疏編碼過程的一個重要環(huán)節(jié)，其主要目的是根據(jù)數(shù)字圖像和其稀疏表示系數(shù)來優(yōu)化字典中的原子。假設(shè)有一組數(shù)字圖像作為訓(xùn)練圖像，這些數(shù)字圖像已經(jīng)被表示為一個稀疏系數(shù)向量[A]，并且字典[ψ]已經(jīng)固定。選擇字典中圖像的一個特征進行更新，而字典的其余列和稀疏系數(shù)向量暫時保持不變，則有：

[F-ψA2F=EKR-δkαKT2F] （2）

式中：[αKT]表示稀疏系數(shù)向量[A]的第[K]行；矩陣[EKR]為不計第[K]列時的誤差；[δ]為權(quán)重系數(shù)。計算這一列對應(yīng)的誤差矩陣，這個矩陣衡量了在實際數(shù)字圖像和僅使用當前字典列表示的數(shù)字圖像之間的差異。

再對誤差矩陣[EKR]進行K?SVD迭代，可以得到更新后數(shù)字圖像的特征，以及該數(shù)字圖像對應(yīng)的稀疏系數(shù)。按照上述方法，依次對數(shù)字圖像字典中的所有原子進行更新，在每一列更新完成后，使用更新后的字典重新求解稀疏表示的方程。在整個字典更新過程中，需要判斷是否達到了某個停止條件，包括誤差矩陣的減小程度、迭代次數(shù)等，只有當滿足這些條件時，才可以停止更新字典。

通過上述步驟，不斷優(yōu)化數(shù)字圖像字典中的原子，使字典能夠更好地表示訓(xùn)練圖像，提高稀疏編碼的精度和效果，完成數(shù)字圖像恢復(fù)。

1.2nbsp; 基于改進K?SVD算法的數(shù)字圖像自適應(yīng)修復(fù)

盡管1.1節(jié)算法已經(jīng)在修復(fù)數(shù)字圖像方面取得了一定的效果[9]，但仍然存在一些不足之處。其中最主要的問題是沒有充分考慮到數(shù)字圖像中個別區(qū)域之間具有一定的相似性，導(dǎo)致在修復(fù)數(shù)字圖像的細節(jié)方面仍有待提高。為了解決這一問題，本文提出了一種基于改進K?SVD算法的數(shù)字圖像自適應(yīng)修復(fù)方法。

為了更好地實現(xiàn)數(shù)字圖像的恢復(fù)[10]，將數(shù)字圖像劃分為若干圖像塊，并按照一定的順序排列組建列向量。通過FCM（模糊C均值聚類）算法將數(shù)字圖像分成不同類別的圖像塊，設(shè)目標函數(shù)為：

[J（U，c1，c2，…，cI）=i=1Ij=1nUmijd2ij-EKR] （3）

式中：[U]表示隸屬度函數(shù)；[ci]表示圖像塊[i]的聚類中心；[dij]表示圖像塊[i]和[j]之間的距離。

[U]的矩陣元[Uij]和[ci]可分別表示為：

[Uij=1k=1Idijdkj2（m-1）] （4）

[ci=j=1nUmijxjj=1nUmij] （5）

式中：[i=1，2，…，I]；[Uij∈[0，1]]；[m]表示加權(quán)指數(shù)。

通過上述聚類過程將數(shù)字圖像的圖像塊進行分類。根據(jù)K?SVD算法獲取各類別數(shù)字圖像塊的字典，求出其稀疏系數(shù)，更新數(shù)字圖像中的每一類圖像塊，完成數(shù)字圖像中每一類圖像塊的修復(fù)或重構(gòu)，一旦所有的圖像塊都經(jīng)過更新，將按照聚類時的索引位置將它們放回到原始的數(shù)字圖像中，實現(xiàn)數(shù)字圖像的完整修復(fù)[11?12]。具體流程如圖1所示。

這種方法不僅考慮了圖像塊的有效信息，還特別強調(diào)了各類別圖像塊之間的結(jié)構(gòu)相似性，旨在更精確地修復(fù)圖像的細節(jié)部分，通過對這兩方面的考慮，進一步提高了圖像修復(fù)的質(zhì)量和效果[13]。

2" 實驗分析

為了驗證本文方法的數(shù)字圖像自適應(yīng)修復(fù)的有效性，在ImageNet數(shù)據(jù)集中選取一幅受損圖像，其像素大小為1 024×768，如圖2a）所示，將其在Matlab R2015、CPU為2.6 GHz、內(nèi)存為16 GB 的平臺上進行實驗。采用本文方法將原始數(shù)字圖像進行分塊，并添加方差為30 dB的高斯白噪聲，設(shè)定字典原子數(shù)為150，最大迭代次數(shù)為200。驗證本文方法對數(shù)字圖像的修復(fù)效果，如圖2b）所示。

由圖2可以看出，采用本文方法對數(shù)字圖像進行修復(fù)，成功地消除了圖像中的噪聲。同時，經(jīng)過修復(fù)后的數(shù)字圖像不僅在細節(jié)上更加完整，而且整體呈現(xiàn)更加清晰，說明本文方法圖像處理效果較好，使得圖像的視覺效果得到了有效提升。

為了充分驗證本文方法的數(shù)字圖像自適應(yīng)修復(fù)能力，在該數(shù)據(jù)集中選取200張待修復(fù)的數(shù)字圖像作為實驗對象進行實驗。選擇RMSE（均方根誤差）、修復(fù)時間和PSNR（峰值信噪比）作為評價本文方法的指標，并將BEGAN方法、TV+MRF方法作為對比方法，驗證三種方法對數(shù)字圖像的修復(fù)效果，對比結(jié)果如表1所示。

表1中的實驗結(jié)果為修復(fù)200張數(shù)字圖像的平均值，可以明顯地看出，采用BEGAN方法對數(shù)字圖像進行修復(fù)后，其RMSE較高，PSNR較低，并且修復(fù)圖像的時間相對較長，說明該方法對數(shù)字圖像的修復(fù)能力較差；經(jīng)TV+MRF方法修復(fù)后的數(shù)字圖像，RMSE和PSNR雖然優(yōu)于BEGAN方法，但是其修復(fù)時間更長；而通過本文方法對200張數(shù)字圖像進行修復(fù)后，得到的平均RMSE、PSNR均優(yōu)于其他兩種方法，且修復(fù)時間明顯縮短，說明本文方法在數(shù)字圖像修復(fù)的準確性和質(zhì)量上具有顯著優(yōu)勢，同時減少了處理時間，增強了本文方法在實際應(yīng)用中的實用性。

為了進一步驗證本文方法對數(shù)字圖像自適應(yīng)的修復(fù)能力，將SSIM（結(jié)構(gòu)相似性）作為評價指標，設(shè)置最大迭代次數(shù)為200次，對比BEGAN方法、TV+MRF方法和本文方法對數(shù)字圖像修復(fù)的能力和效果，對比結(jié)果如圖3所示。

由圖3中可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，三種方法修復(fù)后的數(shù)字圖像與原圖像的結(jié)構(gòu)相似性均逐漸提高。TV+MRF方法在達到0.89結(jié)構(gòu)相似性效果時，需要進行約140次的迭代，這表明其修復(fù)過程相對較慢；BEGAN方法在迭代110次左右后達到平穩(wěn)狀態(tài)，完成修復(fù)，但是其修復(fù)后的數(shù)字圖像與原圖像的結(jié)構(gòu)相似性為0.83左右，相對較低，這表明該方法在修復(fù)過程中不能較好地保持圖像的結(jié)構(gòu)信息；本文方法在迭代次數(shù)為60左右時就已經(jīng)完成收斂，且修復(fù)后的數(shù)字圖像與原圖像的結(jié)構(gòu)相似性為0.95，表明本文方法在數(shù)字圖像修復(fù)方面具有更快的收斂速度和更高的效率。

3" 結(jié)" 論

本文結(jié)合模糊C均值聚類算法和K?SVD算法進行了數(shù)字圖像自適應(yīng)修復(fù)的研究，將數(shù)字圖像劃分為不同的區(qū)域，并根據(jù)這些區(qū)域的特征進行分類，使其在修復(fù)數(shù)字圖像時更好地理解和處理圖像的結(jié)構(gòu)和特征，并通過實驗證明本文方法修復(fù)后的數(shù)字圖像更加符合人眼的視覺感受，在數(shù)字圖像修復(fù)方面具有較高的優(yōu)越性，為進一步推廣和應(yīng)用本文方法提供了有力支持。未來研究將會考慮多模態(tài)圖像（如彩色圖像、深度圖像等）的修復(fù)，開發(fā)針對多個模態(tài)圖像的聯(lián)合修復(fù)算法，以期進一步提升圖像修復(fù)效果。

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