摘" 要： 針對下肢康復機器人訓練過程中步態(tài)跟蹤誤差大的問題，提出一種改進麻雀搜索算法（ISSA）優(yōu)化PID的控制策略。首先，利用拉格朗日方程對下肢機器人進行動力學分析，得到動力學模型；然后，通過引入Kent映射混沌初始化種群、Tent混沌擾動和柯西變異擾動，以及改變探索者?跟隨者比例系數(shù)和探索者位置更新公式等方面對麻雀搜索算法進行改進，通過8種測試函數(shù)證實了算法改進的有效性；最后，在Matlab/Simulink中建立下肢機器人PID控制器和ISSA?PID控制器系統(tǒng)的仿真模型，以正常人體步態(tài)數(shù)據(jù)進行擬合得到的函數(shù)曲線作為系統(tǒng)實際輸入進行跟蹤實驗。結果表明：相比于傳統(tǒng)PID控制，ISSA?PID控制髖關節(jié)和膝關節(jié)的誤差分別降低了63.3%和72.5%，實現(xiàn)了精準的步態(tài)跟蹤，驗證了該控制策略的有效性。

關鍵詞： 下肢康復機器人； 麻雀搜索算法； 優(yōu)化算法； 測試函數(shù)； 步態(tài)數(shù)據(jù)； PID控制； Matlab/Simulink

中圖分類號： TN919?34； TP242" " " " " " " " " "文獻標識碼： A" " " " " " " " " " " 文章編號： 1004?373X（2024）13?0153?07

Lower limb rehabilitation robot control based on PID optimized by ISSA

ZHANG Zhihe， ZHOU Kaihong， ZHU Mengyan

（College of Mechanical and Control Engineering， Guilin University of Technology， Guilin 541006， China）

Abstracts： In view of the large error of gait tracking during the training process of the lower limb rehabilitation robot， a control strategy based on PID optimized by improved sparrow search algorithm （ISSA） is proposed. The dynamics analysis of the lower limb robot is carried out by the Lagrange equation to obtain the dynamics model. The sparrow search algorithm （SSA） is improved by introducing Kent mapping chaotic initialization population， Tent chaotic perturbation and Cauchy variational perturbation， and changing the explorer?follower ratio coefficients and the explorer position updating formulae. The effectiveness of the algorithm improvement is confirmed by eight test functions. The simulation model of lower limb robot PID controller and ISSA?PID controller system are established in Matlab/Simulink， and the function curves obtained by fitting normal human gait data are used as the actual inputs of the system for tracking experiments. The results show that the error of ISSA?PID control of hip joints and the knee joints reduces by 63.3% and 72.5%， respectively， in comparison with the traditional PID control， which achieves accurate gait tracking. It is verified that the proposed control strategy is of effectiveness.

Keywords： lower limb rehabilitation robot; SSA; optimization algorithm; test function; gait data; PID control; Matlab/Simulink

0" 引" 言

中風、脊髓損傷等原因會造成下肢運動功能障礙，安全、有效的康復訓練對肢體的恢復起著重要作用[1?2]。傳統(tǒng)治療方法醫(yī)生體力消耗大、醫(yī)護成本高，且現(xiàn)有的醫(yī)療資源無法滿足康復訓練所需的條件，而康復機器人的出現(xiàn)緩解了這一現(xiàn)狀，不僅降低了醫(yī)護人員工作強度，還提供了更加科學、準確的康復訓練[3?9]。

關于康復機器人的控制系統(tǒng)國內外學者做了諸多深入的研究。文獻[10]提出一種外骨骼機器人的模糊PID控制技術，通過模糊邏輯調整PID參數(shù)。文獻[11]提出了一種將滑膜控制與阻抗控制器結合的新型控制器，該控制器以較低的反饋扭矩實現(xiàn)同等的步態(tài)模式。文獻[12]提出了一種魯棒性PID位置控制器，可以實現(xiàn)下肢機器人步態(tài)軌跡的穩(wěn)定控制。文獻[13]提出了一種采用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡控制方法，實現(xiàn)下肢機器人的阻抗控制。上述控制策略多以PID控制為主，取得了一定的控制效果，但PID控制器參數(shù)難調，而且參數(shù)基本固定不會隨著實際過程動態(tài)變化。為解決這些問題，將群體智能優(yōu)化算法應用于PID控制系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化中，參數(shù)整定問題轉化為尋優(yōu)問題[14?16]。文獻[17]提出了一種PSO優(yōu)化PID控制下肢機器人的方法，解決了PID提早收斂的問題，但全局搜索能力差，迭代后期易陷入局部最優(yōu)解。文獻[18]提出了一種花授粉算法PID參數(shù)優(yōu)化，算法后期收斂速度緩慢、深度搜索能力弱。文獻[19]提出一種改進螢火蟲算法的PID參數(shù)尋優(yōu)，提高了系統(tǒng)動態(tài)性能，但存在收斂速度慢、精度不高等問題。文獻[20]提出了一種SSA優(yōu)化PID控制系統(tǒng)，SSA表現(xiàn)出了良好的尋優(yōu)能力，但仍然存在對初始解的依賴性以及陷入局部最優(yōu)等問題。

針對以上問題，本文提出一種改進麻雀搜索算法（Improved Sparrow Search Algorithm， ISSA）優(yōu)化PID的下肢康復機器人控制策略。采用Kent混沌序列初始化種群，增加種群的多樣性；為提升搜索效果和全局尋優(yōu)能力，改進探索者的更新公式和探索者?跟隨者的比例系數(shù)；通過柯西變異和Tent混沌擾動，避免種群過于集中或分散，選擇8個測試函數(shù)進行算法性能測試，并和其他三種經(jīng)典算法的仿真結果對比，驗證ISSA算法的優(yōu)越性；最后應用Matlab/Simulink進行仿真實驗，驗證ISSA?PID控制器的穩(wěn)定性與有效性。

1" 下肢機器人動力學建模

下肢康復機器人的動力學分析主要是研究各桿件的運行情況以及力與力矩之間的關系。下肢的運動具有規(guī)律性和重復性，兩條腿運動狀態(tài)基本一致，時間相差半個周期，在正常的行走中，踝關節(jié)轉動角度小，足部質量輕，將踝關節(jié)及足部和小腿看作一個連桿。下肢外骨骼簡化為具有兩個自由度的二連桿機構，如圖1所示。

簡化后的外骨骼為髖關節(jié)固定的二連桿機構，[L1]、[L2]為大腿、小腿的長度，[l1]、[l2]為大腿、小腿的質心分別到髖關節(jié)、膝關節(jié)的長度；[M1]、[M2]為大腿、小腿的質量，動力學模型推導采用拉格朗日方程，表示如下：

[τ=Dθθ+Cθ，θθ+Gθ] （1）

式中：[θ]、[θ]、[θ]分別為關節(jié)角度、關節(jié)角速度和關節(jié)角加速度；[D]為慣性矩陣；[C]為哥氏力矩陣；[G]為重力矩陣；[τ]為關節(jié)輸入力矩。[Dθ]、[Cθ，θ]、[Gθ]分別為：

2" 改進麻雀搜索算法的PID參數(shù)優(yōu)化

2.1" 麻雀搜索算法

麻雀搜索算法[21]是2020年提出的一種新群智能算法，該算法結構簡單、收斂迅速、迭代穩(wěn)定，已經(jīng)成功運用到了許多實際問題中。麻雀種群表示為：

[X=x1，x2，…，xnT， xi=xi，1，xi，2，…，xi，d] （5）

式中：[n]和[d]分別表示種群數(shù)量與變量的維度。

種群的適應度為：

[Fx=fx1， fx2，…， fxnT] （6）

式中：[Fx]表示每只麻雀適應度值的集合；[f]為適應度值。根據(jù)式（5）和式（6），探索者的位置在迭代中更新為：

[Xt+1i，d=Xti，d?exp-iα?itermax，" " " " " " " R2lt;STXti，d+Q?L，" " " " " R2≥ST] （7）

式中：[itermax]表示最大迭代次數(shù)；[Xti，d]表示在第[t]次迭代時第[i]個麻雀在第[d]維中的位置；[α∈0，1]；[R2∈0，1]表示預警值；[ST∈0.5，1]表示安全值；[Q]服從正態(tài)分布；[L]表示所有元素都為1的[1×d]矩陣。當[R2lt;ST]時，表示周圍沒有天敵，探索者可以執(zhí)行全局搜索；若[R2≥ST]，表示一些麻雀已經(jīng)發(fā)現(xiàn)捕食者，所有麻雀都要采取相應行動。

跟隨者隨著探索者尋覓食物時會發(fā)生競爭關系，其位置更新公式為：

[Xt+1i，d=Q?expxtworstd-xti，di2，" " " " " " " " igt;N2xt+1bestd+1Dd=1Dxti，d-xt+1bestdrand-1，1，" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "i≤N2] （8）

式中：[xworst]代表當前迭代的最差位置；[xbest]代表最佳位置。

假設麻雀種群的10%～20%為預警者，初始位置隨機確定，數(shù)學模型為：

[Xt+1i，d=xtbestd+β?xti，d-xtbestd，" " "fi≠fgxti，d+K?xti，d-xtworstdfi-fw+ε，" " "fi=fg] （9）

式中：[β]為步長控制參數(shù)；[K∈-1，1]隨機取值；[fi、fg、fw]分別表示當前的適應度值、全局最佳適應度值和最差適應度值；[ε]為最小常數(shù)。

2.2" 改進麻雀搜索算法

2.2.1" Kent映射混沌初始化種群

為了克服麻雀搜索算法初始化時可能導致空間分布不均勻的問題，提出了一種基于Kent混沌序列的初始化方法。Kent映射的數(shù)學模型為：

[xn+1=xna，" " " " "0lt;xn≤a1-xn1-a，" " "alt;xnlt;1] （10）

式中[a∈0.01，0.5]為隨機值。

混沌映射初始化模型為：

[x=xmin+Chaos×xmax-xmin] （11）

式中：[xmax]與[xmin]分別為自變量取值的上下限；[Chaos]為Kent映射函數(shù)產(chǎn)生的混沌因子。

2.2.2" 探索者?跟隨者比例系數(shù)改進

為解決麻雀算法中迭代初期探索者相對稀缺的問題，引入了探索者?跟隨者比例系數(shù)的自適應調整策略。該策略允許初期探索者占主導地位，隨著迭代次數(shù)增加，逐漸減少探索者數(shù)量并增加跟隨者數(shù)量。漸進的調整過程使得算法能夠平滑地從全局搜索過渡到局部精確搜索，從而顯著提升了算法的收斂精度。探索者與跟隨者數(shù)目調整公式為：

[r=btan-πt4?itermax+π4-k?rand（0，1）] （12）

[pNum=r?N] （13）

[sNum=1-r?N] （14）

式中：[pNum]為探索者數(shù)量；[sNum]為跟隨者數(shù)量；[b]為比例系數(shù)，調控探索者與跟隨者的數(shù)量關系；[k]為擾動非線性遞減的[r]值的擾動因子。

2.2.3" 探索者位置更新公式改進

探索者的位置只受到上一代探索者的影響，[exp-1α?itermax]的值在迭代過程中逐漸降低，當值較大時，探索者采用廣泛搜索模式，而隨著數(shù)值的降低，探索者逐漸切換到最優(yōu)值附近的深度挖掘模式，以提高收斂精度。因此，其值至關重要，微小的變化都可能對探索者產(chǎn)生顯著影響。鑒于此，將探索者的更新公式改進為：

[xt+1i，d=xti，d?2exp4iα?itermaxm，" " R2lt;STxti，d+Q×L，" " " " " " " " " " R2≥ST] （15）

2.2.4" Tent混沌擾動和柯西變異擾動

為了規(guī)避Tent混沌映射中的小周期和不穩(wěn)定周期點，改進后的表達式在原有公式的基礎上引入了隨機變量[rand0，1×1N]，改進后的表達式為：

[zi+1=2zi+rand0，1×1N，" " " " " " 0≤z≤1221-zi+rand0，1×1N，" " 12lt;z≤1] （16）

貝努利移位變化后的表達式為：

[zi+1=2zimod1+rand0，1×1N] （17）

柯西變異的特性在零處具有小的峰值，并且從峰值到零值的下降速度較慢，這使得變異范圍更加均勻?？挛髯儺惖墓綖椋?/p>

[mutationx=x1+tanπu-0.5] （18）

式中：[x]為原始值；[mutationx]為變異后的值；[u∈0，1]為隨機數(shù)。

2.3" 算法測試

為了驗證ISSA算法的尋優(yōu)能力，將本文算法與麻雀搜索算法（SSA）、鯨魚算法（WOA）、粒子群算法（PSO）進行對比測試，使用了8個基礎函數(shù)。測試函數(shù)信息如表1所示。其中，[f1～f4]為單峰函數(shù)，[f5～f8]為多峰函數(shù)。單峰函數(shù)僅有一個全局最優(yōu)點，用于評估算法的收斂速度。多峰函數(shù)包含多個局部最優(yōu)點，用于測試算法跳出局部最優(yōu)點并進行全局搜索的能力。

在編程環(huán)境Matlab R2021b中對本文算法和三個經(jīng)典算法進行對比實驗，實驗中設定種群規(guī)模為80，最大迭代次數(shù)為1 000。為了使實驗具有更高的可靠性，減少實驗結果的偶然性，所以對每個函數(shù)進行30次獨立實驗，統(tǒng)計實驗結果，計算每組的最優(yōu)值、平均值和標準差進行對比，對比結果如表2所示。相應的測試函數(shù)收斂曲線如圖2所示。

由表2可以看出：在單峰函數(shù)[f1～f3]中，只有ISSA算法全部取得了理論最優(yōu)值，而且其平均值和標準差均為0；在[f4]函數(shù)中，盡管4個算法均未找到理論最優(yōu)值，但是本文算法找到的解為4個解中的最優(yōu)值，誤差最??；所以在單峰函數(shù)中，本文算法均優(yōu)于其他三種算法。在多峰函數(shù)中，ISSA算法在[f5、f7、f8]中均取得最優(yōu)值，SSA雖同樣取得三次最優(yōu)值，但ISSA的平均值和標準差優(yōu)于SSA；其余兩種算法在這三個函數(shù)中只有WOA在[f5]中找到一次最優(yōu)值，并且其平均值和標準差均高于本文算法；在[f6]函數(shù)中，除PSO算法外其他三個算法最優(yōu)值相同，但WOA的平均值和標準差高，穩(wěn)定性不如ISSA和SSA；所以在多峰函數(shù)中，本文算法也均優(yōu)于其他三種算法。

從圖2a）～圖2d）可看出ISSA的收斂精度和速度最高，與SSA收斂情況相比，證明了ISSA對SSA缺陷的改進，表現(xiàn)出了本文函數(shù)良好的全局尋優(yōu)能力。由圖2e）～圖2h）中可看出ISSA最先收斂且尋優(yōu)能力最好，說明其在多峰函數(shù)的求解上有更好的局部極值逃逸能力。

綜上，ISSA具有更好的收斂速度和精度，而且具有更強的全局搜索能力和更高的穩(wěn)定性。

2.4" 改進麻雀算法優(yōu)化PID控制器

本文PID優(yōu)化設計就是利用ISSA算法在尋優(yōu)空間中探尋一組參數(shù)[KP]、[KI]、[KD]，滿足系統(tǒng)設計要求，并且具備良好的技能，選用絕對積分性能指標（ITAE）作為本文適應度函數(shù)，結構原理如圖3所示。

改進麻雀算法優(yōu)化PID控制器的流程圖如圖4所示。

3" 仿真實驗

3.1" 步態(tài)數(shù)據(jù)獲取與擬合

本文根據(jù)國際生物力學數(shù)據(jù)索引網(wǎng)站提供的人體下肢運動角度數(shù)據(jù)開展研究，將收集到的各關節(jié)數(shù)據(jù)導入到Matlab中進行數(shù)據(jù)擬合。根據(jù)關節(jié)的角度變化特征，選擇傅里葉級數(shù)對曲線擬合，在保證擬合效果的同時也要防止發(fā)生過擬合，所以選擇相關系數(shù)為1時的最低階數(shù)作為擬合結果。

本文髖關節(jié)和膝關節(jié)均采用4階傅里葉擬合函數(shù)。髖關節(jié)、膝關節(jié)步態(tài)曲線表達式如式（19）、式（20）所示，擬合曲線如圖5、圖6所示。

[fhipt=19.13+23.31cos0.064 68t-1.969sin0.064 68t-2.352cos0.129 36t-1.842sin0.129 36t-0.111 3cos0.194 04t+1.189sin0.194 04t+0.118 6cos0.258 72t-0.164sin0.258 72t" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "（19）]

[fkneet=22.11-2.445cos0.062 32t-18.35sin0.062 32t-10.55cos0.124 64t+9.868sin0.124 64t+0.761 2cos0.186 96t+3.231sin0.186 96t-0.578 2cos0.252 92t+0.011 07sin0.252 92t" " " " " " " " " " " " " " " " " " "（20）]

3.2" 仿真結果

根據(jù)PID控制器原理，通過試湊法獲得PID的3個參數(shù)[KP]、[KI]、[KD]分別為：（髖關節(jié)）15、2、1，（膝關節(jié)）30、2、10。根據(jù)調出的PID參數(shù)與工程經(jīng)驗，將兩關節(jié)ISSA?PID控制器的參數(shù)范圍都設置為[0，50]，仿真結果顯示在迭代到最優(yōu)的適應度值時，ISSA優(yōu)化后得到PID的控制參數(shù)[KP]、[KI]、[KD]分別為：（髖關節(jié)）34.473 9、1.061 7、3.51，（膝關節(jié)）38.662 7、2.24、45.32。

為了驗證ISSA?PID控制器的控制效果，用上述髖關節(jié)和膝關節(jié)的擬合曲線作為系統(tǒng)輸入值，在Matlab/Simulink中搭建控制系統(tǒng)進行仿真實驗，如圖7所示。仿真結束后將輸入曲線、PID控制曲線和ISSA?PID控制曲線進行對比分析，如圖8所示，各關節(jié)跟蹤誤差如圖9所示。

從圖9可以看出，在系統(tǒng)達到穩(wěn)定后，PID和ISSA?PID控制器髖關節(jié)最大跟蹤誤差分別為1.546 59°和0.567 70°，誤差降低了63.3%；膝關節(jié)最大跟蹤誤差分別為1.225 68°和0.336 75°，誤差降低了72.5%。根據(jù)以上仿真結果可以看出，PID控制器雖然可以大致對步態(tài)曲線進行跟蹤，但是跟蹤過程中誤差較大，而ISSA?PID表現(xiàn)出了更好的跟蹤性能，減小了關節(jié)角度的誤差，提高了控制器的性能，使實際軌跡和理論軌跡更加相似，明顯降低了系統(tǒng)誤差。

4" 結" 語

本文為解決下肢康復機器人步態(tài)跟蹤時產(chǎn)生較大誤差的問題，提出了一種ISSA優(yōu)化PID的控制方法，將控制系統(tǒng)的參數(shù)整定問題轉化為算法尋優(yōu)問題，通過仿真實驗驗證了此方法的有效性。具體研究過程和結論如下：

1） 利用拉格朗日方程對下肢康復機器人進行動力學建模，得到機器人動力學模型；

2） 引入Kent映射混沌初始化種群、比例系數(shù)改進、探索者位置更新公式改進、引入Tent混沌擾動或柯西變異擾動對麻雀算法進行改進，并驗證了改進的有效性；

3） 在Matlab/Simulink中進行系統(tǒng)仿真，仿真結果表明改進后的控制器相較于原控制器的跟蹤誤差有了明顯降低，驗證了該控制策略的可行性。未來可以應用到實際康復訓練中。

注：本文通訊作者為周凱紅。

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