摘"要：在基爾霍夫衍射公式基礎(chǔ)上推導(dǎo)出一般矩形孔的菲涅爾衍射和夫瑯禾費(fèi)衍射的光強(qiáng)分布，模擬出它們的衍射圖樣。研究表明，隨著z的逐步增大，矩形孔、正方形孔及狹縫的衍射特征均從菲涅爾衍射逐步演變成夫瑯禾費(fèi)衍射，加深了對(duì)矩形孔衍射規(guī)律的理解，也為教學(xué)研究和實(shí)驗(yàn)研究提供理論支撐。

關(guān)鍵詞：菲涅爾衍射；夫瑯禾費(fèi)衍射；光強(qiáng)分布

Fresnel"Diffraction"and"Fraunhofer"Diffraction"Simulation

of"Rectangular"Apertures

Ju"Liping"Luo"Hongchao"Yang"Di"Yang"Xu

School"of"Science，Shenyang"Aerospace"University"LiaoningShenyang"110136

Abstract：Based"on"thenbsp;Kirchhoff"diffraction"formula，the"intensity"distributions"of"Fresnel"diffraction"and"Fraunhofer"diffraction"for"general"rectangular"holes"are"derived，and"then"their"diffraction"patterns"are"simulated.It"has"been"shown"that"the"diffraction"characteristicsnbsp;of"rectangular"holes，square"holes，and"slits"gradually"evolve"from"Fresnel"diffraction"to"Fraunhofer"diffraction"with"z"gradually"increasing.This"deepens"the"understanding"of"the"diffraction"laws"of"rectangular"holes"and"provides"theoretical"supports"for"teaching"and"experimental"research.

Keywords：Fresnel"diffraction；Fraunhofer"diffraction；Intensity"distribution

光的衍射是波動(dòng)的重要特性之一。隨著科學(xué)的發(fā)展，光的衍射在醫(yī)學(xué)、微光學(xué)、信息編碼、信息儲(chǔ)存以及光通信中越來越得到廣泛的應(yīng)用，光的衍射知識(shí)重要性日益突出［1］。

根據(jù)光源與障礙物以及觀察屏的距離遠(yuǎn)近，衍射可以分為菲涅爾衍射（近場(chǎng)衍射）和夫瑯禾費(fèi)衍射（遠(yuǎn)場(chǎng)衍射）。目前，對(duì)于這兩種衍射的模擬仿真研究已經(jīng)相當(dāng)成熟，方法多種多樣，但是研究多是集中在夫瑯禾費(fèi)衍射和菲涅爾衍射其中一種的單一研究，而對(duì)于二者之間的關(guān)系并沒有過多描述。本文以矩形孔為例來研究這兩種衍射的光強(qiáng)分布規(guī)律，揭示二者的區(qū)別和關(guān)聯(lián)，以便于更好地認(rèn)識(shí)光的衍射規(guī)律。

1"衍射原理

菲涅爾基爾霍夫衍射公式為［2］：

U（P）=1iλ∫Σcosθ1+cosθ22eikr2r2Aeikr1r1ds′（1）

雖然（1）式僅僅討論了由單個(gè)球面波照明孔徑的情況下的衍射公式，但是在通常情況下，在多個(gè)球面波照明情況下，也同樣適用。根據(jù)基爾霍夫假定的平面屏幕邊界條件，孔徑以外的區(qū)域內(nèi)，U（P0）=0。假設(shè)孔徑位于x0y0平面內(nèi)，觀察點(diǎn)位于xy的平面內(nèi)，則（1）式變?yōu)椋?/p>

U（x，y）=+∞-∞U（x0，y0）h（x，y，x0，y0）dx0dy0（2）

假設(shè)點(diǎn)光源足夠遠(yuǎn)，入射角非常小，接收屏到孔徑之間距離遠(yuǎn)大于孔徑直徑，在傍軸近似下：

h（P，P0）=1iλeikrr=1iλeik"z2+（x-x0）2+（y-y0）2"z2+（x-x0）2+（y-y0）2r（3）

可得：

h（x，y，x0，y0）=h（x-x0，y-y0）（4）

分析（4）式可得，脈沖響應(yīng)h（x，y，x0，y0）具有空間不變的函數(shù)形式，換句話說，在孔徑平面上子波源所產(chǎn)生的球面子波的形式都相同，所以式（2）可以改寫為：

U（x，y）=+∞-∞U（x0，y0）h（x-x0，y-y0）dx0dy0（5）

由（5）式可知，U（x，y）和U（x0，y0）之間通過卷積積分相關(guān)聯(lián)。這樣在忽略k（θ）的改變后，可以將線性不變系統(tǒng)應(yīng)用到孔徑的光波傳播過程中去。

通常為了簡(jiǎn)便計(jì)算，需要將根據(jù)理論得出的結(jié)果把這兩種衍射進(jìn)行相應(yīng)的近似，當(dāng)單色平面波垂直照射矩形孔徑時(shí)，菲涅爾衍射的復(fù)振幅分布為：

U（x，y）=1iλzeikzeik2z（x2+y2）FFt（x0，y0）*U（x0，y0）eik2z（x20+y20）（6）

夫瑯禾費(fèi)衍射的復(fù)振幅分布為：

U（x，y）=1iλzeikzeik2z（x2+y2）FU（x0，y0）*Ft（x0，y0）（7）

這樣，根據(jù)強(qiáng)度公式：

I=U·U*（8）

可以算出兩種衍射的光強(qiáng)分布公式。

2"矩形孔的菲涅爾衍射和夫瑯禾費(fèi)衍射模擬

2.1"一般矩形孔

取入射光的波長(zhǎng)λ=573nm，矩形的兩邊分別為a=12cm、b=24cm，接收屏與衍射孔徑之間的距離為z，仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1描述的是當(dāng)z=100m、500m、2000m、3000m、100000m及500000m時(shí)模擬的衍射圖樣。從圖1可以看出，當(dāng)z較小時(shí)，衍射圖樣呈現(xiàn)菲涅爾衍射特征，衍射圖樣有明顯的對(duì)稱性。光斑顏色越接近黃色說明衍射強(qiáng)度越大，并且中心亮斑的光強(qiáng)隨著z的增大而減小，明暗條紋在不斷交替。隨著z的進(jìn)一步增大，光源發(fā)出的球面波可以近似于平行光線，中心亮斑的光強(qiáng)變得很大，明暗條紋不再交替，并且亮斑越來越密集地呈現(xiàn)在中心點(diǎn)附近（z=100000m），當(dāng)z=500000m時(shí)，衍射圖樣已經(jīng)從菲涅爾衍射逐漸轉(zhuǎn)變成夫瑯禾費(fèi)衍射。由圖1可知，矩形孔的夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布共有四條光芒線，兩個(gè)衍射方向，即光強(qiáng)分布方向分別與對(duì)應(yīng)的四條邊垂直，觀察平面中心有中央主極大區(qū)域，隨著衍射角的增大，光強(qiáng)都是單調(diào)遞減變化。為了比較，圖2展示了實(shí)驗(yàn)［3］測(cè)得的矩形孔夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣。

從圖2可以看出，其衍射圖樣的幾何中心處顯示出了矩形孔徑的形狀，衍射光強(qiáng)度沿x軸、y軸向外遞減，衍射圖樣與圖1中z=500000m情況類似。圖3是以光的強(qiáng)度為橫軸，以圖1中y軸為縱軸所繪的衍射光強(qiáng)分布圖。由圖3可知，從左至右，隨著z的增大，矩形孔的衍射圖樣特征逐步從菲涅爾衍射向夫瑯禾費(fèi)衍射轉(zhuǎn)換。

2.2"正方形孔

選取參數(shù)a=24cm，b=24cm，波長(zhǎng)λ=573nm，z=100m、500m、2000m、3000m、100000m、500000m進(jìn)行模擬，結(jié)果如圖4所示。

由圖4可以看出，方形孔的菲涅爾衍射圖樣與圖1相似，所不同的是光強(qiáng)分布呈中心對(duì)稱分布。當(dāng)z=500000m時(shí)，衍射圖樣呈現(xiàn)夫瑯禾費(fèi)衍射特征，與正方形孔夫瑯禾費(fèi)衍射的模擬結(jié)果（圖5）［4］相似。由此可見，正方形孔的衍射是矩形孔的衍射特例。

2.3"單縫

改變矩形孔徑的a邊，使其遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于b邊，可把它近似為一個(gè)狹縫進(jìn)行模擬。具體參數(shù)為a=1cm，b=24m，波長(zhǎng)λ=573nm，z=100m、500m、2000m、3000m、100000m、500000m，模擬結(jié)果見圖6。

由圖6可以看出，光強(qiáng)分布圖樣上下、左右對(duì)稱。隨著z的增大，衍射條紋先由x軸中心處沿x軸向外側(cè)移動(dòng)，后向x軸中心位置處聚集，在最終形成的圖樣（z=500000m）中，在x軸中心附近形成一條較寬的亮紋，其余各級(jí)亮紋從中心處向外強(qiáng)度逐漸遞減，衍射圖樣與圖7的單縫衍射實(shí)驗(yàn)結(jié)果相似［5］。綜上所述，當(dāng)矩形孔的一邊遠(yuǎn)大于另一邊時(shí)，此時(shí)矩形孔的衍射可以看作單縫衍射。

結(jié)語

本文在基爾霍夫衍射公式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出矩形孔的菲涅爾衍射和夫瑯禾費(fèi)衍射的光強(qiáng)分布公式，運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)一般矩形孔、正方形孔及單縫的菲涅爾衍射和夫瑯禾費(fèi)衍射進(jìn)行仿真。研究發(fā)現(xiàn)：矩形孔衍射條紋呈對(duì)稱分布，隨著孔徑到接收屏距離z的增大，明暗條紋不斷交替；當(dāng)z很大時(shí)，衍射圖樣變成一個(gè)固定形狀的光斑；隨著z的進(jìn)一步增大，衍射圖樣呈現(xiàn)夫瑯禾費(fèi)衍射特征。具體而言，矩形孔的夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)分布共有四條光芒線，兩個(gè)衍射方向。對(duì)于給定的衍射方向，隨著衍射角的增大，光強(qiáng)呈現(xiàn)遞減的變化趨勢(shì)。方形孔衍射和單縫衍射均可視為矩形孔衍射的特例。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：鞠麗平（1977—"），女，滿族，遼寧本溪人，博士研究生，副教授，研究方向：原子分子碰撞動(dòng)力學(xué)研究。