摘 要：對2021年和2023年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試中出現(xiàn)的自制密度計(jì)和浮力秤的試題進(jìn)行分析，利用浮沉條件理論推導(dǎo)密度計(jì)刻度間距與液體密度之間的關(guān)系和浮力秤刻度間距與物體質(zhì)量之間的關(guān)系，尋找刻度特點(diǎn)，進(jìn)而突破考生做題過程中的難點(diǎn)。

關(guān)鍵詞：學(xué)業(yè)水平考試；密度計(jì)；浮力秤

2021年和2023年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試中出現(xiàn)的自制密度計(jì)和浮力秤的試題，在中考中屬于難題，其綜合性比較強(qiáng)，思維含量比較高。［1］如果考生在平時(shí)學(xué)習(xí)中沒有學(xué)習(xí)過或見過密度計(jì)或浮力秤，在考試的過程中對這樣的題就會感到陌生而不知道如何入手。而自制密度計(jì)和自制浮力秤的原理都是利用物體漂浮狀態(tài)時(shí)浮力等于重力。［2］然而，為什么密度計(jì)的刻度是不均勻的，而浮力秤的刻度卻是均勻的呢？本文從密度計(jì)和浮力秤的原理入手，利用物體的浮沉條件推導(dǎo)密度計(jì)的刻度間距與液體密度間的關(guān)系以及浮力秤的刻度間距與物體質(zhì)量間的關(guān)系，進(jìn)而給自制的簡易密度計(jì)或浮力秤標(biāo)上刻度并研究其刻度特點(diǎn)。本文主要研究以下問題：刻度是否均勻？刻度自下而上對應(yīng)的密度值或質(zhì)量值大小如何變化？如何增大兩相鄰刻度間的間距進(jìn)而減小誤差？

1 試題的呈現(xiàn)與分析例1 （2021年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試第12題）測量工具為我們的工作和生活帶來了極大的便利，而成功制作測量工具需要科技人員的創(chuàng)造性勞動。小慧通過自制密度計(jì)體驗(yàn)動手與動腦相結(jié)合的勞動過程。她在粗細(xì)均勻的木棒一端纏繞一些細(xì)銅絲制成簡易密度計(jì)（未標(biāo)刻度）。該密度計(jì)放在水和酒精中時(shí)均豎直漂浮，露出液面的長度用L表示（如圖所示）。已知酒精的密度為0.8g/cm3，水的密度為1.0g/cm3。為了給簡易密度計(jì)標(biāo)刻度，小慧將該密度計(jì)放入酒精中，密度計(jì)靜止時(shí)L為6cm，她在密度計(jì)上距頂端6cm處標(biāo)記刻度線，該刻度線對應(yīng)的密度值為 0.8g/cm3。小慧將該密度計(jì)放入水中，密度計(jì)靜止時(shí)L為 8cm，她在密度計(jì)上距頂端8cm處標(biāo)記刻度線，該刻度線對應(yīng)的密度值為1.0g/cm3。利用上述數(shù)據(jù)，可計(jì)算出該密度計(jì)上對應(yīng)密度值為1.25g/cm3的刻度線到密度計(jì)頂端的距離為（忽略銅絲的體積）（ ）。

A. 9.2cm B. 9.6cm C. 10cm D. 10.4cm

例2 （2023年北京市初中學(xué)業(yè)水平考試計(jì)算第26題）某科技小組的同學(xué)想制作一個(gè)簡易浮力秤來測量物體質(zhì)量。他們剪掉空塑料瓶的瓶底，旋緊瓶蓋，在瓶蓋上系一塊質(zhì)量適當(dāng)?shù)氖瘔K，然后將其倒置在水桶里，當(dāng)瓶中不放被測物體靜止時(shí)，在瓶上與水面相平位置標(biāo)記為零刻度線，再在瓶身上均勻標(biāo)記其他刻度線，左側(cè)標(biāo)記的是長度值，若在刻度線右側(cè)標(biāo)上相應(yīng)的質(zhì)量值，即可做成一個(gè)簡易浮力秤，如圖所示。已知零刻度線以上瓶身粗細(xì)均勻，其橫截面積為50cm2，不放被測物體時(shí)浮力秤的總質(zhì)量為170g，水的密度為1.0g/cm3，g取10N/kg。

（1）畫出圖中浮力秤的受力示意圖。

（2）求圖中所示狀態(tài)浮力秤受到的浮力。

（3）求浮力秤上2cm刻度線對應(yīng)的質(zhì)量值。

試題分析：制作簡易密度計(jì)和制作簡易浮力秤都是考查學(xué)生運(yùn)用二力平衡、浮沉條件、阿基米德原理等相關(guān)知識分析、解決實(shí)際問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)物理學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值。在制作過程中滲透動手與動腦相結(jié)合的方法，在收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識推算液體密度或物體質(zhì)量與測量儀露出液面距離的定量關(guān)系，進(jìn)而可以給密度計(jì)或浮力秤標(biāo)上刻度。綜上，密度計(jì)的題是尋找液體密度所對應(yīng)的刻度線，而浮力秤的題是尋找物體質(zhì)量所對應(yīng)的刻度線，兩道題的核心都是給測量儀標(biāo)刻度。

2 如何標(biāo)刻度當(dāng)自制的密度計(jì)或浮力秤能在液體中豎直漂浮時(shí)，如何標(biāo)上刻度呢？最簡單的方法是將自制密度計(jì)放到已知密度的液體中，利用物體浸入液體的深度來顯示密度的大小，液體密度越小，密度計(jì)浸入液體的深度越深。

例如，我們已知酒精的密度為0.8g/cm3，水的密度為1.0g/cm3，可以將密度計(jì)放入水中，密度計(jì)豎直靜止時(shí)，與液面相平的位置標(biāo)上1.0g/cm3的刻度線；再將密度計(jì)放入酒精中，密度計(jì)豎直靜止時(shí)，與液面相平的位置標(biāo)上0.8g/cm3的刻度線。用相似的方法還可以標(biāo)上其他液體密度的刻度線。同樣，我們也可以將自制的浮力秤放入水中豎直漂浮后，標(biāo)上零刻度線，然后不斷地向浮力秤中加入已知質(zhì)量的物體，在與液面相平的位置標(biāo)上對應(yīng)的質(zhì)量刻度值。但在實(shí)際制作的過程中，我們并沒有那么多已知密度的液體，也不知道刻度是否均勻，是否能將兩刻度之間的間距平均取更小的分度值。因此，需要推導(dǎo)出測量儀浸入到液體中的深度與液體密度或物體質(zhì)量之間的關(guān)系，進(jìn)而標(biāo)刻度。

2.1 給自制密度計(jì)標(biāo)刻度

將如圖1所示的自制密度計(jì)浸入到水和其他液體中時(shí)，設(shè)自制密度計(jì)浸入到水中的體積為V排水，浸入到其他液體中的體積為V排液，密度計(jì)的質(zhì)量為m，密度計(jì)的橫截面積為S。

2.2 給自制浮力秤標(biāo)刻度

設(shè)如例2中圖1所示的自制浮力秤（未標(biāo)刻度）的質(zhì)量為m0，浸入到水中的體積為V排0，向浮力秤中加入質(zhì)量為m的物體時(shí)，浸入到水中的體積為V排，浸入到水中的深度變化為Δh，浮力秤的橫截面積為S。

因此加入質(zhì)量為m物體的浮力秤與不放物體的浮力秤浸入到水中的間距Δh滿足Δh＝mρ水S。（18）

因此，我們可以將不放物體的浮力秤放入水中豎直漂浮時(shí)，在瓶上與水面相平位置標(biāo)記為零刻度線，然后根據(jù)關(guān)系式（18）計(jì)算出質(zhì)量為m的物體所對應(yīng)的間距Δh，進(jìn)而在塑料瓶上標(biāo)上相應(yīng)的質(zhì)量刻度值。浮力秤的刻度自下而上質(zhì)量值越來越大。

3 刻度是否均勻

3.1 密度計(jì)刻度不均勻，呈上疏下密的特點(diǎn)

將關(guān)系式⑧簡化可得Δh＝mρ液S－mρ水S，從該關(guān)系式中可以看出，當(dāng)ρ液增大時(shí)，Δh減小，且 Δh減小得越來越緩慢，因此密度計(jì)刻度自上而下密度越來越大，且刻度不均勻，呈現(xiàn)上疏下密的特點(diǎn)。通過關(guān)系式⑧可知，增加密度計(jì)的質(zhì)量或減小密度計(jì)的橫截面積能增大兩刻度間的間距，進(jìn)而減小測量的誤差。

3.2 浮力秤刻度均勻

根據(jù)關(guān)系式（18）可知，Δh與m成正比，當(dāng)m增大時(shí)，Δh均勻增加，因此浮力秤刻度自下而上質(zhì)量值越來越大，且刻度均勻。同時(shí)可以通過減小浮力秤的橫截面積來增大兩刻度間的間距，進(jìn)而減小測量誤差。

4 總結(jié)自制密度計(jì)是測量液體密度的工具，自制浮力秤是測量物體質(zhì)量的工具，雖然測量的物理量不同，但都是利用物體處于漂浮狀態(tài)時(shí)浮力等于重力的原理去推導(dǎo)刻度間距與測量的物理量之間的關(guān)系。自制密度計(jì)是以水面處的刻度為基準(zhǔn)。通過推導(dǎo)水面刻度和其他液面刻度之間的間距與液體密度的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)間距與液體密度不成正比關(guān)系。因此，自制密度計(jì)的刻度是不均勻的。而自制浮力秤是以不放物體時(shí)的水面刻度為基準(zhǔn)。通過推導(dǎo)加入物體的浮力秤與不放物體的浮力秤浸入到水中的間距與物體質(zhì)量的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)間距與物體質(zhì)量成正比。因此，自制浮力秤的刻度是均勻的。

初中物理涉及密度計(jì)、浮力秤，還涉及溫度計(jì)、彈簧測力計(jì)、桿秤等測量工具。我們可以利用物理原理去推導(dǎo)刻度間距與測量物理量之間的關(guān)系，進(jìn)而給測量工具標(biāo)上刻度。若推導(dǎo)出的關(guān)系式中間距與測量物理量成正比，則刻度是均勻的；若不成正比，則刻度是不均勻的。同時(shí)，我們還能從關(guān)系式中看出影響刻度間距的因素，進(jìn)一步通過影響因素改進(jìn)測量工具，提高測量工具的精確度。

想突破學(xué)生在考試過程中自制測量工具題型的難點(diǎn)，我們還需要將理論與實(shí)踐相結(jié)合。在教學(xué)中我們可以帶著學(xué)生自制測量工具，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷測量工具的設(shè)計(jì)與制作過程，理解其工作原理，在學(xué)習(xí)的過程中發(fā)展學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力、分析和解決問題的能力以及動手操作的實(shí)踐能力。以自制簡易密度計(jì)為例，在教學(xué)中，教師可以將自制簡易密度計(jì)分解成多個(gè)任務(wù)：①如何利用提供的實(shí)驗(yàn)器材（用氣凝膠封底的塑料吸管、小鋼珠、裝有水的量筒）自制一個(gè)能在水中豎直漂浮的簡易密度計(jì)？②如何給密度計(jì)標(biāo)刻度？③圍繞密度計(jì)的刻度特點(diǎn)提出改進(jìn)密度計(jì)精確度的建議，并用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證建議的可行性，從而使測量結(jié)果更準(zhǔn)確。④展示作品，利用自制密度計(jì)測量一些常見液體的密度。

學(xué)生圍繞任務(wù)，通過小組合作的方式，利用所學(xué)知識解決問題。教師在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生以解決問題為主線，以合作探究為基礎(chǔ)，以產(chǎn)品設(shè)計(jì)制作為出發(fā)點(diǎn)，通過作品展示和交流體現(xiàn)學(xué)生掌握知識和技能的情況，使學(xué)生在參與項(xiàng)目和解決問題為基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)活動中，綜合運(yùn)用知識來解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維、協(xié)作意識、創(chuàng)造能力、創(chuàng)新精神和解決問題的能力，進(jìn)而解決中考物理難題。

參考文獻(xiàn)

［1］黃坤，胡森.一道中考“密度計(jì)”問題的新思考［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2021（12）：45-46．

［2］季衛(wèi)新.幾個(gè)有關(guān)“密度計(jì)”問題的探討［J］.物理教師，2015，36（1）：41-43．

*基金項(xiàng)目：本文系北京市教育學(xué)會“十四五”教育科研課題2021年度一般課題“基于泛在學(xué)習(xí)環(huán)境下的初中學(xué)生物理實(shí)驗(yàn)?zāi)芰ε囵B(yǎng)的實(shí)踐研究”（課題編號：CYYB2021-439）的成果。