張富平

數(shù)學(xué)是一門重要的學(xué)科，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)重視對(duì)數(shù)學(xué)史的了解，因?yàn)閿?shù)學(xué)史能夠展現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程和數(shù)學(xué)家的思想，可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的概念和方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力。本文以北師大版八年級(jí)下冊(cè)為例，研究初中數(shù)學(xué)教材使用中可融入的數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容，目的是進(jìn)一步豐富課堂內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高課堂效果。

一、等腰三角形的性質(zhì)證明

在北師大版八年級(jí)下冊(cè)的教材中，有一個(gè)單元是關(guān)于等腰三角形的，其以七年級(jí)下冊(cè)為基礎(chǔ)。在七年級(jí)下冊(cè)中，學(xué)生通過(guò)折疊和觀察來(lái)學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)，而在八年級(jí)下冊(cè)中，學(xué)生需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)如何證明等腰三角形的性質(zhì)，包括“等邊對(duì)等角”和“三線合一”。教材引導(dǎo)學(xué)生使用之前學(xué)過(guò)的基本事實(shí)和已有定理來(lái)證明等腰三角形的“等邊對(duì)等角”性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)了邏輯證明的過(guò)程，使學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)等腰三角形的性質(zhì)。

在八年級(jí)下冊(cè)的“1.1 等腰三角形”單元中，教師可以運(yùn)用數(shù)學(xué)史的內(nèi)容來(lái)輔助教學(xué)。首先，可以介紹等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用。其次，可以向?qū)W生介紹證明等腰三角形“等邊對(duì)等角”性質(zhì)的幾種方法。第一種方法是利用“全等三角形”的定理，通過(guò)構(gòu)造等腰三角形的鏡像三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)來(lái)證明。第二種方法是采用“平移”的思路，將等腰三角形的一條腰平移到另一條腰上，根據(jù)“平移”的性質(zhì)得出結(jié)論。第三種方法是利用“角的平分線”的性質(zhì)，通過(guò)構(gòu)造角平分線來(lái)證明等腰三角形的“等邊對(duì)等角”性質(zhì)。

（一）等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)應(yīng)用

早在古代時(shí)期，等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)就得到了實(shí)際應(yīng)用，如水準(zhǔn)儀。古埃及時(shí)期就有了水準(zhǔn)儀的存在，其形狀是一個(gè)等腰三角形，水準(zhǔn)儀頂點(diǎn)處掛著鉛垂線，如果鉛垂線過(guò)底邊中點(diǎn)，則表明該底邊水平。在歷史上，古埃及人修建廟宇時(shí)會(huì)進(jìn)行嚴(yán)格的測(cè)量，他們將其視為神圣的工作，很多人會(huì)把水準(zhǔn)儀的形狀制作成護(hù)身符。教師在教學(xué)過(guò)程中，可以采用圖文并茂的形式呈現(xiàn)以上內(nèi)容。

（二）等腰三角形“等邊對(duì)等角”性質(zhì)的幾種證明

約公元前300年，歐幾里得在《幾何原本》中展示了如何延長(zhǎng)等腰三角形的腰。在公元3世紀(jì)末，帕普斯將等腰三角形想象成兩個(gè)三角形，并運(yùn)用“邊角邊”定理證明了△ABC=△ACB，從而得出兩底角相等的結(jié)論。公元5世紀(jì)，普洛克拉斯采用了類似歐幾里得的證法，通過(guò)在△ABC的腰上分別作E、D兩點(diǎn)，使得BE=CD，并運(yùn)用兩次“邊角邊”定理證明了三角形的全等性，從而證明了底角相等。在18世紀(jì)末，勒讓德通過(guò)作底邊上的中線，運(yùn)用“邊邊邊”定理證明了三角形的全等性，從而得到了兩底角相等的結(jié)論，這也是北師大版八年級(jí)下冊(cè)中所運(yùn)用的方法。19世紀(jì)，萊斯利作頂角的角平分線，運(yùn)用“邊角邊”定理證明了底角相等。

在教學(xué)過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法證明等腰三角形的性質(zhì)，并對(duì)學(xué)生的多種證法進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，接著列出數(shù)學(xué)家們的幾種證明方法，以拓寬學(xué)生的思路。教師可以通過(guò)歐幾里得證法的“復(fù)雜性”引發(fā)學(xué)生思考，將其作為補(bǔ)充知識(shí)，給學(xué)生簡(jiǎn)單介紹《幾何原本》的公理體系，進(jìn)一步滲透公理化思想，拓寬學(xué)生的視野，使他們明白教材構(gòu)建的公理體系與《幾何原本》的公理體系是不同的。

（三）三角形的中位線定理證明

在八年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)教材中，三角形的中位線定理是通過(guò)沿著中位線裁剪三角形，拼接成與原三角形面積相等的平行四邊形的方法來(lái)呈現(xiàn)的，學(xué)生可以直接了解定理，通過(guò)畫輔助線構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行證明。這一定理背后也有許多與數(shù)學(xué)史相關(guān)的內(nèi)容，教師在教學(xué)中可以進(jìn)行有機(jī)地融入，讓學(xué)生了解三角形中位線定理背后的歷史和文化，加深學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和好奇心。通過(guò)了解數(shù)學(xué)史，學(xué)生可以更好地理解數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)不僅是一種工具，還有其獨(dú)特的文化背景和價(jià)值。

二、因式分解

（一）代數(shù)方程的因式分解方法

1591年，法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)在《論方程的整理和修改》中首次提出了代數(shù)方程的多項(xiàng)式因式分解方法，并證明了在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，所有三次和三次以上的一元多項(xiàng)式都可以進(jìn)行因式分解。韋達(dá)使用了數(shù)學(xué)歸納法和遞歸的思想，將多項(xiàng)式進(jìn)行分解逐步簡(jiǎn)化，得到多項(xiàng)式的因式分解形式。其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)推理和證明的思想方法，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了重要的推動(dòng)作用。

教師可以在教學(xué)中介紹韋達(dá)的貢獻(xiàn)，讓學(xué)生了解代數(shù)方程因式分解方法的起源和發(fā)展過(guò)程，從而更深入地理解因式分解的方法和原理。同時(shí)，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生思考，為什么只有三次和三次以上的一元多項(xiàng)式可以進(jìn)行因式分解。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生思考代數(shù)方程因式分解方法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，利用因式分解的方法求解，幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，培養(yǎng)他們的問(wèn)題解決能力和創(chuàng)新思維。

（二）“>”和“<”符號(hào)引入

英國(guó)數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家哈里奧特在《實(shí)用分析術(shù)》中使用因式分解方法解決了代數(shù)方程，并引入了“>”和“<”數(shù)學(xué)符號(hào)，推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。教師在講解不等關(guān)系時(shí)可以說(shuō)說(shuō)哈里奧特的貢獻(xiàn)，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)符號(hào)的起源和應(yīng)用，從而更深入地理解不等關(guān)系的概念和應(yīng)用方法。同時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，為什么要引入這樣的符號(hào)，以及這樣的符號(hào)在數(shù)學(xué)中的作用和意義，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和推理能力。

（三）待定系數(shù)法的應(yīng)用

1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何學(xué)》中首次使用待定系數(shù)法將四次方程分解為兩個(gè)二次方程，并最早給出了因式分解定理。這種方法在因式分解問(wèn)題上的應(yīng)用范圍非常廣泛，特別適合教給初中二年級(jí)的學(xué)生。教師可以在教學(xué)中介紹笛卡爾的貢獻(xiàn)，讓學(xué)生了解待定系數(shù)法的原理和應(yīng)用。教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生思考和舉例，可以幫助他們理解待定系數(shù)法的思想和方法。有的教師還研究了在歷史、哲學(xué)和數(shù)學(xué)（HPM）視角下的“十字相乘法”的教學(xué)。盡管北師大版教材中沒(méi)有明確要求教授“十字相乘法”，但在學(xué)生的日常練習(xí)中經(jīng)常會(huì)用到它，因此教師有必要補(bǔ)充這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

三、分式方程和增根

（一）分式方程

9世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米在《代數(shù)學(xué)》中解決了一些分式方程的問(wèn)題。13世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在《計(jì)算之書》中提出了許多分式方程求解的問(wèn)題，其中一些問(wèn)題來(lái)源于花拉子米。同時(shí)，同一時(shí)期的中國(guó)數(shù)學(xué)家李冶在《測(cè)圓海鏡》中也運(yùn)用分式方程解決了一些實(shí)際問(wèn)題。然而，在接下來(lái)的5個(gè)世紀(jì)中，幾乎沒(méi)有人研究分式方程。直到18世紀(jì)，英國(guó)數(shù)學(xué)家桑德森成為當(dāng)時(shí)唯一研究分式方程的數(shù)學(xué)家，他在《代數(shù)基礎(chǔ)》中提出了分式方程的解法，并提出了一些分式方程的應(yīng)用題。桑德森在一歲時(shí)因染上天花而失明，但他通過(guò)聽別人讀書學(xué)習(xí)了拉丁語(yǔ)、希臘語(yǔ)、法語(yǔ)和數(shù)學(xué)，并掌握了希臘版的《幾何原本》。1707年，他進(jìn)入劍橋大學(xué)為學(xué)生授課，學(xué)生都被他的教學(xué)技巧折服。教師介紹桑德森的生平，可以讓學(xué)生感受到他堅(jiān)韌、頑強(qiáng)的精神，發(fā)揮數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的“德育之效”，培養(yǎng)學(xué)生的毅力和堅(jiān)持不懈的精神，讓他們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中更加努力和自信。

（二）增根

斐波那契和桑德森等數(shù)學(xué)家在研究分式方程時(shí)沒(méi)有遇到增根的問(wèn)題，直到1800年，拉克洛瓦在《代數(shù)基礎(chǔ)》中考慮了含有字母系數(shù)的分式方程，當(dāng)字母系數(shù)使得根的分母為零時(shí)，根不存在。由于沒(méi)有進(jìn)行驗(yàn)根，所以錯(cuò)過(guò)了增根的發(fā)現(xiàn)，桑德森同時(shí)約去分式方程兩邊的未知數(shù)，導(dǎo)致了“失根”（少了零根）?；诖?，介紹拉克洛瓦和桑德森的失誤可以讓學(xué)生意識(shí)到驗(yàn)根和考慮零根的重要性，避免重走前人的彎路。

1882年，美國(guó)的奧利弗在《代數(shù)專論》中分析了分式方程的解法，對(duì)增根有了清晰的認(rèn)識(shí)，認(rèn)為對(duì)分式方程兩邊同乘分母的最小公倍式可以消除增根。1899年，費(fèi)歇爾和施瓦特糾正了前者的錯(cuò)誤，給出了既不會(huì)失根也不會(huì)有增根的解法。教師在教學(xué)中可以介紹這段歷史，幫助學(xué)生了解增根和失根的由來(lái)，意識(shí)到前人也犯過(guò)與自己一樣的錯(cuò)誤，經(jīng)歷了相似的困惑，體會(huì)費(fèi)歇爾和施瓦特解分式方程方法的嚴(yán)謹(jǐn)性和優(yōu)越性，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和解決問(wèn)題的能力。

四、平行四邊形

（一）《幾何原本》中平行四邊形的判定與性質(zhì)

在《幾何原本》中，歐幾里得給出了斜方形的定義，即對(duì)角相等且對(duì)邊亦相等但邊不全等且角不是直角的四邊形，這實(shí)際上就是不包含菱形、矩形和正方形的平行四邊形。歐幾里得對(duì)平行四邊形的定義應(yīng)該是兩組對(duì)邊分別平行的四邊形，并通過(guò)《幾何原本》中的兩個(gè)命題分別給出了平行四邊形的若干性質(zhì)和判定的證明，即“在同一方向（分別）連接相等且平行的線段（端點(diǎn)），則連接線段相等且平行”，該命題正是平行四邊形的判定定理之一，證明過(guò)程運(yùn)用了邊角邊三角形全等判定定理，與北師大版教材的證法一致；“在平行四邊形中，對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線二等分該圖形”這一命題涵蓋了平行四邊形的兩個(gè)基本性質(zhì)。由于公理體系的限制，該命題的證明較為復(fù)雜，而教材中直接運(yùn)用角邊角三角形全等判定定理進(jìn)行證明。與我國(guó)現(xiàn)今初中教材相比，《幾何原本》并沒(méi)有涉及兩組對(duì)邊分別相等和對(duì)角線互相平分的平行四邊形判定定理，以及平行四邊形對(duì)角線相互平分的性質(zhì)，以上部分內(nèi)容可以作為閱讀材料供學(xué)生了解。例如，在學(xué)完平行四邊形的判定后，教師可以給學(xué)生展示公元前300年的歐幾里得對(duì)斜方形的定義，讓學(xué)生判斷斜方形是不是平行四邊形，利用數(shù)學(xué)史料來(lái)幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)平行四邊形性質(zhì)的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和思考能力。

（二）平行四邊形的余弦定理

平行四邊形的余弦定理具有豐富的數(shù)學(xué)歷史背景，除了在《幾何原本》中證明外，我國(guó)三國(guó)時(shí)期的趙爽在《周髀算經(jīng)·日高圖》注中也提到了矩形情況下的余弦定理，即“黃甲與黃乙（面積）其實(shí)正等”，該定理在《周髀算經(jīng)》中用于測(cè)太陽(yáng)高度，在《海島算經(jīng)》中用于測(cè)算小島的高度，可見(jiàn)當(dāng)時(shí)古人的智慧之高。在《九章算術(shù)注》中也多次應(yīng)用到了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，即出入相補(bǔ)原理，即一個(gè)圖形移動(dòng)到其他位置面積不變，若將圖形分割成若干塊，各部分面積之和等于原來(lái)圖形的面積，我們的先輩正是運(yùn)用該思想得到矩形的余弦定理。此外，平行四邊形的面積求解問(wèn)題可能會(huì)涉及余弦定理。因此，在平行四邊形的教學(xué)中補(bǔ)充余弦定理的歷史背景，有利于豐富學(xué)生對(duì)平行四邊形的認(rèn)識(shí)，體會(huì)余弦定理寶貴的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也可以提高學(xué)生的民族自豪感。通過(guò)了解古代數(shù)學(xué)家在實(shí)際問(wèn)題中如何應(yīng)用余弦定理，學(xué)生可以更深入地理解這一定理的意義和應(yīng)用，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和探索精神。

綜上所述，目前將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的教育價(jià)值已被廣泛認(rèn)可，關(guān)鍵在于如何有效地將其實(shí)踐。因此，本文通過(guò)文獻(xiàn)研究整理出相關(guān)的數(shù)學(xué)史素材，參考了北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)的相關(guān)數(shù)學(xué)史研究，總結(jié)了等腰三角形的性質(zhì)證明等不同知識(shí)點(diǎn)的數(shù)學(xué)史背景，并給出了一些教學(xué)建議。教師引入數(shù)學(xué)史，可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)力。同時(shí)，通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，學(xué)生還可以了解到數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和問(wèn)題解決能力。因此，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)是一種有益的教學(xué)方法，可以豐富教學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

（作者單位：甘肅省蘭州市榆中縣和平中學(xué)）

編輯：趙文靜