徐雪剛 方灶娣

［摘? 要］ 研究者以“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”一課為例，用超市海報(bào)引出數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在豐富的單價(jià)中感受單價(jià)和總價(jià)的相對(duì)性，在購物小票中建構(gòu)關(guān)系模型，在應(yīng)用模型中解決問題。

［關(guān)鍵詞］ 家國(guó)情懷；關(guān)系模型；數(shù)量關(guān)系

【教學(xué)內(nèi)容】

“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引出問題

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們一起來解決超市中的數(shù)學(xué)問題。請(qǐng)你們仔細(xì)觀察超市的海報(bào)（多媒體展示），你們找到了哪些數(shù)學(xué)信息？

生1：我找到了每箱谷白牛乳八寶粥的價(jià)格是59.90元，每聽谷白牛乳八寶粥的價(jià)格是7.90元。

生2：我找到了巧克力的會(huì)員價(jià)是31.90元/盒，非會(huì)員價(jià)是39.90元/盒；純牛奶的價(jià)格是39.90元/提；餐具凈洗潔精的價(jià)格是14.90元/瓶。

師：這些都是商品的單價(jià)，你們能用一句話來描述什么是單價(jià)嗎？

生3：每件商品的價(jià)格，叫作單價(jià)。

師：是的，我們從超市海報(bào)中看到“每件”可以是每聽、每箱、每盒、每千克……

設(shè)計(jì)意圖：教師充分利用學(xué)生熟悉的超市購物素材，引導(dǎo)學(xué)生從海報(bào)中尋找數(shù)學(xué)信息，讓學(xué)生嘗試用自己的語言描述什么是單價(jià)，了解他們的認(rèn)知基礎(chǔ)。

二、理解單價(jià)的概念

1. 激發(fā)認(rèn)知沖突，完善單價(jià)概念

師：同學(xué)們，老師收集了一些標(biāo)價(jià)。①樂事薯片組合裝19.95元/組；②房產(chǎn)開盤價(jià)15000元/平方米；③家政服務(wù)25元～35元/小時(shí)；④娃哈哈AD鈣奶22.80元/提；⑤95號(hào)汽油8.52元/升；⑥牛油果15元/5個(gè)；⑦雞蛋2元/個(gè)；⑧花露水26元/2瓶；⑨光明純鮮牛奶21.90元/壺；⑩雞蛋25元/500g。同桌兩人挑選一下哪些是單價(jià)，表示什么意思？

生4：雞蛋2元/個(gè)，表示每個(gè)雞蛋2元；光明純鮮牛奶21.90元/壺，表示每壺光明純鮮牛奶的價(jià)格是21.90元。

生5：房產(chǎn)開盤價(jià)15000元/平方米，表示每平方米房屋的價(jià)格是15000元；家政服務(wù)25元～35元/小時(shí)，表示家政服務(wù)的價(jià)格是每小時(shí)25元到35元；95號(hào)汽油8.52元/升，表示每升95號(hào)汽油的價(jià)格是8.52元。

師：其實(shí)①④⑥⑧⑩也是單價(jià)，你知道它們?yōu)槭裁词菃蝺r(jià)嗎？

生6：我能看懂“樂事薯片組合裝19.95元/組”是單價(jià)，超市是把樂事薯片包裝成1組來賣，不能單獨(dú)拆開來賣。同樣，“娃哈哈AD鈣奶22.80元/提”是讓顧客按照超市包裝好的1提來買；“牛油果15元/5個(gè)”是讓顧客要買5的倍數(shù)的個(gè)數(shù)，比如買5個(gè)、10個(gè)等；“花露水26元/2瓶”是讓顧客2瓶2瓶地買，“雞蛋25元/500g”是告訴顧客每500克雞蛋要25元。

設(shè)計(jì)意圖：教師為學(xué)生提供了具有結(jié)構(gòu)性的單價(jià)素材，讓他們?cè)谔暨x單價(jià)中形成認(rèn)知沖突，認(rèn)為單價(jià)是“一個(gè)商品的價(jià)格”；然后在教師的層層追問中打破學(xué)生對(duì)“單價(jià)”概念的原有認(rèn)知，豐富“每件”的具體內(nèi)涵，形成單價(jià)是“一個(gè)數(shù)量單位商品的價(jià)格”的認(rèn)識(shí)，從而讓學(xué)生感受到單價(jià)的表示方式的多種多樣，逐步建立和加深對(duì)“單價(jià)”概念的理解。

2. 尋找具體實(shí)例，感受單價(jià)和總價(jià)的相對(duì)性

師：在生活中，同一種商品有不同的銷售方式，比如雞蛋可以按“個(gè)”來賣，也可以按“500g”來賣。你們還能舉出其他例子嗎？

生7：牙刷可以按“支”來賣，2元/支；也可以幾支打包在一起來賣，10元/組。

生8：我看到超市薯片可以按“包”來賣，8元/包；也可以幾包捆綁在一起來賣，55元/10包。

生9：粽子可以按“個(gè)”來賣，6元/個(gè)；也可以幾個(gè)裝成1袋來賣，32元/袋。

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們看到了商品銷售可以有不同的數(shù)量單位，都可以看作單價(jià)。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過尋找生活中的具體實(shí)例，感受單價(jià)中的“每件”可以有不同的數(shù)量單位，在對(duì)比中加深對(duì)單價(jià)和總價(jià)相對(duì)性的理解。

三、建立數(shù)量關(guān)系

1. 讀懂小票，初步感受關(guān)系

師：我們認(rèn)識(shí)了單價(jià)，老師帶來了一張購物小票（如圖1），你們能看明白嗎？

生1：我知道了礦泉水的單價(jià)是2元，數(shù)量是4瓶，總價(jià)是8元；酸奶的單價(jià)是5元，總價(jià)是15元；鉛筆的單價(jià)是4元，數(shù)量是5支；拖鞋的數(shù)量是3雙，總價(jià)是30元。

師：已知礦泉水單價(jià)2元，數(shù)量是4瓶，總價(jià)“8元”是怎么得到的？

生2：2×4=8（元），求總價(jià)是多少就是求4個(gè)2元是多少元。

師：我們可以用線段圖表示，如圖2，每段表示礦泉水的單價(jià)，4段表示礦泉水的數(shù)量，用乘法就能計(jì)算出4瓶礦泉水的總價(jià)。這個(gè)線段圖除了表示4瓶礦泉水的總價(jià)，還可以表示什么？

學(xué)生的反饋：（1）每本書2元，4本書是多少元？（2）每支筆2元，4支筆是多少元？……

師：同一個(gè)乘法算式和線段圖可以講不同的數(shù)學(xué)故事。為什么大家選擇的商品是書、筆等，不選擇手機(jī)、電腦呢？

生3：手機(jī)、電腦的單價(jià)肯定超過2元了。

師：在同一個(gè)時(shí)期里，商品的價(jià)格基本保持不變，不僅反映了社會(huì)的穩(wěn)定，還保證了消費(fèi)者的購物公平。如果已知礦泉水的單價(jià)是2元，總價(jià)是8元，數(shù)量“4瓶”怎么得到？如果已知礦泉水的數(shù)量是4瓶，總價(jià)是8元，單價(jià)“2元”怎么得到？請(qǐng)你們?cè)趯W(xué)習(xí)單上列式計(jì)算，并畫出線段圖。

生4：已知單價(jià)和總價(jià)，用除法求數(shù)量，8÷2=4（瓶）；已知數(shù)量和總價(jià)，用除法求單價(jià)，8÷4=2（元）。

設(shè)計(jì)意圖：一張購物小票中蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)信息，學(xué)生在閱讀購物小票過程中提煉出單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)等數(shù)學(xué)信息，既能深切地感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，又能體會(huì)單價(jià)具有恒定性和豐富性。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生把目光聚焦到礦泉水上，通過算式、線段圖和說理等方式探索單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)之間的關(guān)系，為建立數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

2. 自選商品，編寫數(shù)學(xué)故事

師：同學(xué)們，剛才老師利用礦泉水編了3個(gè)有關(guān)系的數(shù)學(xué)小故事，你們能從酸奶、鉛筆或拖鞋中選擇一種商品，先編寫3個(gè)有關(guān)系的小故事，再試著用線段圖和算式解決問題嗎？

生5：我選擇了酸奶，（1）酸奶的單價(jià)是5元，付了15元，買了幾瓶酸奶？已知單價(jià)和總價(jià)，求數(shù)量，列式是15÷5=3（瓶）；（2）酸奶的單價(jià)是5元，買3瓶酸奶要多少錢？已知單價(jià)和數(shù)量，求總價(jià)，列式是5×3=15（元）；（3）買3瓶酸奶用了15元，每瓶酸奶多少錢？已知數(shù)量和總價(jià)，求單價(jià)，列式是15÷3=5（元）。

生6：我選擇了鉛筆，（1）每支鉛筆4元，買5支鉛筆一共要多少元？已知單價(jià)和數(shù)量，求總價(jià)，列式是4×5=20（元）；（2）每支鉛筆4元，20元可以買幾支鉛筆？已知單價(jià)和總價(jià)，求數(shù)量，列式是20÷4=5（支）；（3）20元可以買5支鉛筆，每支鉛筆多少元？已知數(shù)量和總價(jià)，求單價(jià)，列式是20÷5=4（元）。

設(shè)計(jì)意圖：教師繼續(xù)深入挖掘購物小票中的數(shù)學(xué)信息，引導(dǎo)學(xué)生先選擇一種商品編寫單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)之間有關(guān)系的數(shù)學(xué)小故事，再用線段圖和算式等表征方式解決問題，為建立數(shù)學(xué)模型積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3. 歸納關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型

師：剛才大家選擇一件商品提出了3個(gè)有關(guān)系的數(shù)學(xué)小故事，你們能把這些數(shù)學(xué)問題分成三類嗎？

生7：第一類是已知單價(jià)和數(shù)量，求總價(jià)；第二類是已知單價(jià)和總價(jià)，求數(shù)量；第三類是已知數(shù)量和總價(jià)，求單價(jià)。

師：同學(xué)們，想一想已知單價(jià)和數(shù)量，我們是怎么求出總價(jià)的？

生8：?jiǎn)蝺r(jià)×數(shù)量=總價(jià)。

師：根據(jù)這個(gè)數(shù)量關(guān)系，還能變形出哪兩個(gè)單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)之間的數(shù)量關(guān)系？

生9：?jiǎn)蝺r(jià)=總價(jià)÷數(shù)量，數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)。

設(shè)計(jì)意圖：在數(shù)學(xué)建模的過程中，學(xué)生借助具體的文字、算式和圖示等表征方式解決了單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)的問題，把一件商品中的3個(gè)有關(guān)系的數(shù)學(xué)小故事進(jìn)行分類，抽象歸納出購物問題的三個(gè)數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模的方法，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決生活問題的意識(shí)。

四、應(yīng)用模型，解決問題

師：現(xiàn)在我們學(xué)會(huì)了解決單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)的問題，請(qǐng)你們完成這份作業(yè)單（如表1）。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)作業(yè)不僅能幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，還能發(fā)展核心素養(yǎng)。第1題是基礎(chǔ)題，考查學(xué)生能否利用數(shù)量關(guān)系解決購物問題，并滲透變與不變的函數(shù)思想，為以后學(xué)習(xí)正比例函數(shù)作鋪墊；第2題是提高題，讓學(xué)生在分析問題和解決問題中鞏固數(shù)量關(guān)系，鼓勵(lì)不同水平的學(xué)生提出不同的數(shù)學(xué)問題；第3題是微項(xiàng)目作業(yè)，以家鄉(xiāng)特產(chǎn)為問題情境，不僅能幫助學(xué)生了解家鄉(xiāng)的人文歷史，激發(fā)他們熱愛家鄉(xiāng)的情感，還能讓學(xué)生在跨學(xué)科的綜合場(chǎng)景中靈活地運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問題。

五、全課總結(jié)，自主反思

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，如果你要為學(xué)弟學(xué)妹介紹“單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)”這節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，你會(huì)怎么介紹？