潘麗麗

培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是學(xué)科育人理念的具體實(shí)現(xiàn)方式.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，運(yùn)算能力是初中階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，其內(nèi)涵指向?yàn)椋耗苊魑\(yùn)算的對象和意義，能理解算法和算理的關(guān)系，能選擇合理的運(yùn)算策略，能用運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展.故運(yùn)算教學(xué)不僅是提升學(xué)生計(jì)算能力，更重要的是構(gòu)建推理過程，形成數(shù)學(xué)化思考的方式，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科學(xué)習(xí)態(tài)度.

“二次根式”是初中代數(shù)中“數(shù)與式”教學(xué)內(nèi)容的最后一章，在經(jīng)歷了有理數(shù)、實(shí)數(shù)、整式和分式的學(xué)習(xí)后，學(xué)生在理解運(yùn)算對象、研究運(yùn)算方法等方面的能力逐步形成.教師有必要把“二次根式”的教學(xué)設(shè)計(jì)置于數(shù)式整體發(fā)展中重構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的類比學(xué)習(xí)和自主探究能力，真正提升運(yùn)算素養(yǎng).

1 單元重構(gòu)之需求

1.1 學(xué)生層面的問題解析

二次根式學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生往往會出現(xiàn)以下典型問題：32÷18=62÷88=62÷228=62×822=26×22×2=23.主要表現(xiàn)為學(xué)生死搬硬套公式，未能優(yōu)化計(jì)算.產(chǎn)生這些表面現(xiàn)象的本質(zhì)原因何在？筆者認(rèn)為是忽視了性質(zhì)產(chǎn)生的必要性，導(dǎo)致不理解計(jì)算本質(zhì)、不能選擇合適的運(yùn)算順序.

基于已有的整式、分式的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能類比得到二次根式的研究套路是“概念—性質(zhì)—運(yùn)算—應(yīng)用”.學(xué)習(xí)性質(zhì)后，學(xué)生先入為主，認(rèn)為對形如ab的算式都要轉(zhuǎn)化為ab的形式，使后續(xù)計(jì)算過程迂回曲折、繁瑣易錯(cuò)，未能理解算理和算法，從而失去了優(yōu)算的先機(jī).

這就需要教師不僅從單元整體視角，還要從主題單元之間的聯(lián)系去尋求教學(xué)策略.故知識生長邏輯鏈的發(fā)展需要進(jìn)行單元教學(xué)重構(gòu).

1.2 主題單元的結(jié)構(gòu)聯(lián)系

數(shù)學(xué)的核心概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的主干知識，在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，“具有重要的、不可或缺的基礎(chǔ)地位”；在研究方法上，“具有邏輯的連貫性和一致性”.整式這個(gè)核心概念是研究其余代數(shù)式的基礎(chǔ)，其研究的路徑和方法對研究其他代數(shù)式起到了不可替代的借鑒作用.圖1表明，二次根式是數(shù)與式這個(gè)核心知識體系中概念發(fā)展的必經(jīng)階段.

本章教學(xué)不該只是類比整式、分式的研究套路“穿新鞋，走老路”，應(yīng)當(dāng)基于前面的探究挖掘更多的價(jià)值，進(jìn)一步厘清運(yùn)算規(guī)則的內(nèi)涵，使教學(xué)策略不僅基于經(jīng)驗(yàn)，又要重在創(chuàng)新.故單元整體教學(xué)的創(chuàng)新性促進(jìn)單元重構(gòu)的必要性.

1.3 思維層級的進(jìn)階需求

在整個(gè)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的思維進(jìn)階是教學(xué)的根本落腳點(diǎn).學(xué)生在學(xué)習(xí)整式、分式后，逐漸積累認(rèn)識事物的方式.（1）初步形成研究新的“式”的思維方式，即通過“實(shí)際情境—抽象研究對象—下定義—概念辨析—概念精致—概念應(yīng)用”對新主題展開探究；（2）能通過特殊到一般、一般到特殊的方法歸納性質(zhì).但性質(zhì)如何產(chǎn)生是學(xué)生思維進(jìn)階時(shí)的障礙點(diǎn)，突破障礙是本章學(xué)習(xí)的思維進(jìn)階點(diǎn).單元整體教學(xué)時(shí)，要注重如何承襲“舊”，突出“新”，如何設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動(dòng)才能發(fā)現(xiàn)問題、推理并解決問題.故單元整體教學(xué)的“四能”培育觸發(fā)了單元整體重構(gòu)的必然性.

2 單元教學(xué)重構(gòu)之路徑

2.1 厘清核心問題和單元主線

2.1.1 挖掘前結(jié)構(gòu)的價(jià)值

運(yùn)算中的規(guī)律或不變性就是代數(shù)的性質(zhì)，繼而通過代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)解決各類問題.隨著數(shù)的范圍擴(kuò)大，已學(xué)的運(yùn)算規(guī)則在新數(shù)域中仍成立；數(shù)式發(fā)展中，由于字母表示數(shù)，運(yùn)算規(guī)則在式的領(lǐng)域中仍成立.基于此，運(yùn)算法則既符合實(shí)際又滿足理論的相容性，從而明確數(shù)與式發(fā)展中的通性以及代數(shù)運(yùn)算規(guī)則的沿襲性.

2.1.2 厘清現(xiàn)結(jié)構(gòu)的主線

本單元的核心問題是：①如何理解二次根式的性質(zhì)；②如何化簡二次根式；③如何優(yōu)化二次根式的計(jì)算.也就是說，本單元要解決“性質(zhì)怎么來”“怎么用”的問題.需要達(dá)成的教學(xué)功能，一是讓學(xué)生立足基礎(chǔ)感受性質(zhì)產(chǎn)生的必要性；二是體會性質(zhì)是二次根式化簡的依據(jù)，同時(shí)也是優(yōu)化計(jì)算的依據(jù).研究的主線是學(xué)生在“嘗試計(jì)算”二次根式加減乘除的過程中，試一試、究一究，自主確定運(yùn)算對象，明晰計(jì)算需要依據(jù)一定的規(guī)則，體會性質(zhì)是解決二次根式運(yùn)算問題的核心.把“算算看”作為研究性質(zhì)的基本方法，“從運(yùn)算開始”成了教學(xué)設(shè)計(jì)的必然.

2.2 單元課時(shí)的重組

基于上述分析，本文中對浙教版教材二次根式性質(zhì)和計(jì)算部分進(jìn)行課時(shí)重組（見表1），體現(xiàn)知識基礎(chǔ)的價(jià)值理解和運(yùn)算的需要，體現(xiàn)性質(zhì)學(xué)習(xí)的“知識背景—知識形成—揭示聯(lián)系”的過程.具體表現(xiàn)為在“二次根式”概念之后增加一個(gè)課時(shí)，設(shè)計(jì)“嘗試運(yùn)算”的學(xué)習(xí)活動(dòng)，自主發(fā)現(xiàn)和提出問題，并能初步猜想和驗(yàn)證規(guī)律，從而更有邏輯地連結(jié)單元內(nèi)容.

2.3 單元—課時(shí)教學(xué)目標(biāo)的確定

根據(jù)已有知識基礎(chǔ)、認(rèn)知水平及學(xué)習(xí)要求，系統(tǒng)規(guī)劃了單元教學(xué)目標(biāo)，對重組后的課時(shí)目標(biāo)作更細(xì)化安排和精準(zhǔn)描述（見表2），使教學(xué)目標(biāo)和設(shè)計(jì)更易操作和可檢測.把握知識圖譜，體現(xiàn)單元之間的關(guān)聯(lián)以及單元內(nèi)部的關(guān)聯(lián)，是一覽眾山小的高瞻遠(yuǎn)矚，是整體到局部的了然于心；從單元目標(biāo)到課時(shí)的具體目標(biāo)有利于局部到微觀的靶向施策.

課時(shí)1：二次根式的性質(zhì)1+乘除法運(yùn)算法則經(jīng)歷二次根式的四則混合運(yùn)算的嘗試計(jì)算，發(fā)現(xiàn)和歸納性質(zhì)，體會到性質(zhì)是根據(jù)運(yùn)算的需要而產(chǎn)生的；能用代入的方法驗(yàn)證運(yùn)算規(guī)律，并能規(guī)定字母的范圍水平三

課時(shí)2：二次根式的性質(zhì)2+二次根式化簡與計(jì)算優(yōu)化

能通過性質(zhì)的產(chǎn)生過程發(fā)現(xiàn)應(yīng)用性質(zhì)的時(shí)機(jī)；會用性質(zhì)化簡二次根式；通過比較二次根式乘除法的運(yùn)算方法，進(jìn)一步明確算理算法，達(dá)到優(yōu)化計(jì)算的目的水平三

課時(shí)3：二次根式的四則混合運(yùn)算習(xí)題課類比整式的運(yùn)算規(guī)律，熟練掌握二次根式的四則混合運(yùn)算水平二

課時(shí)4：拓展資源：靈活運(yùn)用整式變形化簡二次根式深化整式計(jì)算和二次根式計(jì)算的聯(lián)系，提升二次根式計(jì)算的熟練程度，整體建構(gòu)體系水平二

2.4 核心素養(yǎng)的滲透

重構(gòu)的單元教學(xué)更充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯關(guān)系，更密切展現(xiàn)了學(xué)習(xí)內(nèi)容和核心素養(yǎng)之間的關(guān)聯(lián).通過課時(shí)重組，單元相關(guān)核心素養(yǎng)（見表3）目標(biāo)找到了借力點(diǎn)和生長點(diǎn)，揭示其融入學(xué)習(xí)活動(dòng)的具體方式和載體.整體教學(xué)使核心素養(yǎng)在單元中完整呈現(xiàn)，課時(shí)教學(xué)使核心素養(yǎng)培育在課時(shí)中充分彰顯.

3 單元重構(gòu)之實(shí)施

限于篇幅，現(xiàn)主要對性質(zhì)教學(xué)的實(shí)施過程的主要片段作如下闡述.

3.1 整體規(guī)劃，建設(shè)研究路徑——構(gòu)建主線

問題1 前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的概念（回顧復(fù)習(xí)），后面將要學(xué)習(xí)什么？

追問1：學(xué)習(xí)運(yùn)算性質(zhì)的作用是什么？

追問2：一些運(yùn)算規(guī)律在新的式子中延續(xù)相同的運(yùn)算規(guī)律，我們是否可以從“算算看”開始研究？

設(shè)計(jì)意圖：明確二次根式“概念—性質(zhì)—運(yùn)算—應(yīng)用”的學(xué)習(xí)過程，但又異于該過程，引發(fā)挑戰(zhàn)欲望.

3.2 創(chuàng)設(shè)情境，明確運(yùn)算對象——提出問題

真實(shí)情境包括實(shí)際生活情境、科學(xué)情境，或者已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)等.教學(xué)實(shí)施中，基于數(shù)式的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)如下問題情境.

問題2 你能嘗試計(jì)算下列算式嗎？

（1）25+5－2；

（2）（3－2）2；

（3）6－26；

（4）27－313+148.

追問1：說說你這樣算的想法？有什么依據(jù)嗎？

追問2：碰到了哪些新運(yùn)算？你能歸歸類嗎？

追問3：對于這些新運(yùn)算？你會作怎樣的猜想？

設(shè)計(jì)意圖：通過“算算看”，體驗(yàn)計(jì)算規(guī)則的順承性，同時(shí)整理和歸納新運(yùn)算（表4），聚焦研究對象，并做大膽的猜想歸納，激發(fā)學(xué)生自主思考.

運(yùn)算類別二次根式加法二次根式平方一個(gè)平方數(shù)的算術(shù)平方根二次根式乘法二次根式除法能作為最后結(jié)果嗎

3.3 類比經(jīng)驗(yàn)，歸納運(yùn)算規(guī)律——分析問題

問題3 你能將猜想的結(jié)論一般化嗎？

追問：這樣的猜想合理嗎？理由是什么？

設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)意在體現(xiàn)兩個(gè)伏筆.一是學(xué)生的猜想源自特例，不夠嚴(yán)謹(jǐn)，為性質(zhì)修正埋下伏筆；二是調(diào)動(dòng)學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，提取學(xué)過的計(jì)算方法，理解轉(zhuǎn)化計(jì)算的思想，為優(yōu)化計(jì)算埋下伏筆.

學(xué)生猜想：（a）2=a，a2=a，a·b=ab，ab=ab.上述追問觸發(fā)學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，有互逆運(yùn)算思想、有理數(shù)運(yùn)算中先定號再算絕對值的轉(zhuǎn)化思想、異分母分?jǐn)?shù)（式）相加減轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)（式）相加減的化歸思想等.值得關(guān)注的是，基于順勢而為的研究，二次根式乘除法則的產(chǎn)生先于性質(zhì)2.

3.4 尋求方法，驗(yàn)證運(yùn)算規(guī)律——解決問題

問題4 你們會如何驗(yàn)證這些運(yùn)算規(guī)律呢？

追問：什么時(shí)候用呢？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷研究代數(shù)規(guī)律的基本方法，也可進(jìn)行邏輯推理論證，讓不同的學(xué)生在思維上得到不同的發(fā)展.追問的目的是明確二次根式運(yùn)算特征，確定“何時(shí)用”，知道“怎么用”.

學(xué)生賦值驗(yàn)證（a）2=a時(shí)，需從a取正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三個(gè)角度選取，體現(xiàn)完整性；修正后得到（a）2=a（a≥0）時(shí)追問——能用幾何圖形作出直觀解釋嗎，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的直觀力；進(jìn)一步引發(fā)其余三個(gè)猜想的字母取值，再次修正得到a2=|a|，體現(xiàn)思考的改進(jìn)力；得到a·b=ab（a≥0，b≥0），ab=ab（a≥0，b＞0），體現(xiàn)了法則先于性質(zhì)而出的合理性.

3.5 深化關(guān)聯(lián)，優(yōu)化運(yùn)算策略——建立體系

問題5 能否把13，8作為最后的運(yùn)算結(jié)果？

追問1：你能化簡以下二次根式嗎？（書本練習(xí)）

追問2：聯(lián)系比較法則a·b=ab（a≥0，b≥0），ab=ab（a≥0，b＞0）和ab=a·b（a≥0，b≥0），ab=ab（a≥0，b＞0），分別在什么條件下使用？

追問3：由此，如何探究二次根式的相關(guān)性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：能逆用法則得到性質(zhì)2.追問1的目的是通過練習(xí)，了解性質(zhì)2的使用條件，體會二者的不同作用，感受性質(zhì)產(chǎn)生的先機(jī).

該問題繼續(xù)激發(fā)學(xué)生的復(fù)雜思維，“能化簡”的合理性基于分?jǐn)?shù)、整式、分式計(jì)算中都有化簡情形，故新“式”亦可化簡；“怎么化簡”的關(guān)聯(lián)性推理基于a2=|a|，發(fā)現(xiàn)8=4×2，聯(lián)想逆用法則實(shí)現(xiàn)化簡，從而理解二次根式化簡的依據(jù)，以及該依據(jù)產(chǎn)生的先機(jī)；“什么時(shí)候化簡”的特征性總結(jié)基于一組小練習(xí)之后的歸納提煉.基于算理的理解，大部分同學(xué)作如下計(jì)算：32÷18=32÷18=12=23.對比文中一開始的過程，優(yōu)化計(jì)算的價(jià)值不言而喻.

從“算算看”開始，到熟練利用法則系統(tǒng)解決二次根式運(yùn)算，教師還要有意識地引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)性質(zhì)的使用步驟，提供操作流程，滲透程序意識達(dá)成計(jì)算程序化、系統(tǒng)化和自動(dòng)化，真正把握算理，掌握算法，形成算力，綜合提升運(yùn)算素養(yǎng).

4 單元重構(gòu)之價(jià)值

單元整體重構(gòu)教學(xué)通過關(guān)聯(lián)主題單元之間的價(jià)值繼承，創(chuàng)設(shè)了素養(yǎng)培育的平臺；基于數(shù)學(xué)化情境的自主探究活動(dòng)，搭建了素養(yǎng)培育的載體；通過整體教學(xué)優(yōu)化單元知識結(jié)構(gòu)，促進(jìn)從基礎(chǔ)學(xué)習(xí)到系統(tǒng)思維的邁進(jìn)，推進(jìn)了深度學(xué)習(xí)，落實(shí)了核心素養(yǎng)培育.

4.1 關(guān)聯(lián)性的單元價(jià)值是實(shí)施素養(yǎng)培育的平臺

了解數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生和來源以及知識之間的關(guān)聯(lián)價(jià)值，對新知學(xué)習(xí)具有支撐性意義，是落實(shí)核心素養(yǎng)培育的契機(jī).本文中深度挖掘相關(guān)主題單元的聯(lián)系，明確代數(shù)運(yùn)算規(guī)則的承襲性，通過嘗試計(jì)算，基于分配律的沿襲，打通了二次根式混合運(yùn)算的第一步，而后產(chǎn)生解決新問題的必然性，在教學(xué)重構(gòu)時(shí)帶領(lǐng)學(xué)生深度體驗(yàn)性質(zhì)和法則是計(jì)算發(fā)展的內(nèi)部需要，從而明確性質(zhì)和法則的使用情境，理解運(yùn)算方法和運(yùn)算律的關(guān)系，體會學(xué)科本體的本質(zhì).

4.2 創(chuàng)生性的教學(xué)活動(dòng)是實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)培育的載體

核心素養(yǎng)是在長期的教學(xué)活動(dòng)過程中逐步形成的.教師要能夠?qū)W(xué)生的思維作細(xì)致研究，注重打通思維障礙點(diǎn)、發(fā)展思考力、激發(fā)創(chuàng)造力，以針對性的教學(xué)活動(dòng)為載體實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，落實(shí)核心素養(yǎng)培育.

基于二次根式的章節(jié)研究老套路，設(shè)計(jì)讓學(xué)生“算一算”的活動(dòng)走新路.整理遇到的新運(yùn)算時(shí)，學(xué)生進(jìn)行了頭腦風(fēng)暴：有的發(fā)現(xiàn)二次根式運(yùn)算可類比整式，有的猜想形如（3）2，32的運(yùn)算結(jié)果，有的猜想3×2，26的運(yùn)算規(guī)則，有的類比舊數(shù)（式）的化簡判斷8，13可化簡，有的推理論證自己的猜想，等等.面對新運(yùn)算，學(xué)生思維經(jīng)歷觀察和猜想、思考和表達(dá)、歸納和推理，凸顯了對問題的分析能力和解決能力，有助于形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì).

4.3 結(jié)構(gòu)化的整體教學(xué)是落實(shí)核心素養(yǎng)的通道

二次根式的單元整體教學(xué)重構(gòu)注重在原有基礎(chǔ)上予以豐富和整合，教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)注重一般觀念的提煉和遷移，刻畫思維時(shí)注重從碎片知識到框架模型的轉(zhuǎn)變，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，是實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)培育的重要導(dǎo)向.學(xué)生基于計(jì)算需要，首先需要解決（a）2，a2，a·b，ab的化簡問題；基于結(jié)果的化簡需要解決ab，ab的變形問題.基于整體設(shè)計(jì)，在嘗試計(jì)算中感受性質(zhì)的產(chǎn)生，在性質(zhì)探究中了解運(yùn)算本質(zhì)，在感悟運(yùn)算時(shí)確定運(yùn)算順序，優(yōu)化算法，運(yùn)用了聯(lián)系的思維，呈現(xiàn)了發(fā)展的觀點(diǎn)，優(yōu)化了整體的知識結(jié)構(gòu)，從而在融合直觀與邏輯的活動(dòng)中，發(fā)展學(xué)生的智慧，深度學(xué)習(xí)目標(biāo)得以落地生根，真正提升學(xué)生的抽象能力、運(yùn)算能力和推理能力.