摘要： 設(shè)（X，d，μ）為滿足上雙倍條件和幾何雙倍條件的非齊度量測(cè)度空間， Tα為（X，d，μ）上的廣義

分?jǐn)?shù)次積分算子. 通過(guò)建立sharp極大函數(shù)的點(diǎn)態(tài)不等式， 得到Tα是從加權(quán)Lebesgue空間Lp（ω）到加權(quán)弱Lebesgue空間Lp，∞（ω）上有界

的， 并且也是從加權(quán)Morrey空間Lp，κ，η（ω）到加權(quán)弱Morrey空間WLp，κ，η（ω）上有界的.

關(guān)鍵詞： 廣義分?jǐn)?shù)次積分; 加權(quán)弱估計(jì); 加權(quán)Morrey空間; 非齊度量測(cè)度空間

中圖分類(lèi)號(hào)： O174.2" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" 文章編號(hào)： 1671-5489（2024）03-0573-13

Weighted Weak Estimates for Generalized Fractional Integral on Non-homogeneous Metric Measure Spaces

TIAN Yufeng， TAO Shuangping

（College of Mathematics and Statistics， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： Let （X，d，μ） be a non-homogeneous metric measure space which satisfies the upper doubling and geometrically doub

ling conditions， and Tα be the generalized fractional integral operator on （X，d，μ）. By establishing pointwise inequality of sharp maximum fun

ction， we obtain that Tα is bounded from the weighted Lebesgue space Lp（ω） to the weighted weak Lebesgue space WLp，∞（ω）， and also

from the weighted Morrey space Lp，κ，η（ω） to the weighted weak Morrey space WLp，κ，η（ω）.

Keywords： generalized fractional integral; weighted weak estimate; weighted Morrey space; non-homogeneous metric measure space

收稿日期： 2023-07-13." 網(wǎng)絡(luò)首發(fā)日期： 2024＼|03＼|07.

第一作者簡(jiǎn)介： 田玉鳳（1998—）， 女， 漢族， 碩士研究生， 從事調(diào)和分析的研究， E-mail： tianyufeng0311@163.com.

通信作者簡(jiǎn)介： 陶雙平（1964—）， 男， 漢族， 博士， 教授， 博士生導(dǎo)師， 從事調(diào)和分析及其應(yīng)用的研究， E-mail： taosp@nwnu.edu.cn.

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)： 12201500）.

網(wǎng)絡(luò)首發(fā)地址： https：//link.cnki.net/urlid/22.1340.o.20240301.1702.001.

1" 引言及預(yù)備知識(shí)

滿足多項(xiàng)式增長(zhǎng)條件的非雙倍測(cè)度空間［1-2］和Coifman-Weiss意義下的齊次空間［3］是兩類(lèi)重要的度量測(cè)度空間. 為統(tǒng)一齊型空間和非雙倍測(cè)度空間， Hyt

nen［4］引入了一類(lèi)新的度量測(cè)度空間， 即非齊度量測(cè)度空間， 該空間滿足上雙倍和幾何雙倍條件.

定義1［4］" 設(shè)（X，d，μ）是一個(gè)度量測(cè)度空間， X上的Borel測(cè)度μ滿足： 存在一個(gè)控制

函數(shù)λ： X×（0，∞）→（0，∞）及一個(gè)正常數(shù)Cλ， 使得對(duì)于每個(gè)x∈X， r→λ（x，r）單調(diào)遞增， 且對(duì)所有的x∈X和r∈（0，∞）， 有

μ（B（x，r））≤λ（x，r）≤Cλλx，r2，（1）

則稱(chēng)測(cè)度μ滿足上雙倍條件.

定義2［4］" 設(shè)（X，d）是一個(gè)度量空間， 存在正整數(shù)N0， 使得對(duì)所有的球B（x，r）X， 均存在B（x，r）的一個(gè)有限

球覆蓋Bxi，r2i， 使得覆蓋球的基數(shù)至多為N0， 則稱(chēng)（X，d）滿足幾何雙倍條件.

滿足上雙倍條件和幾何雙倍條件的度量測(cè)度空間統(tǒng)稱(chēng)為非齊度量測(cè)度空間， 簡(jiǎn)記為（X，d，μ）.

注1" 1） 易見(jiàn)， 當(dāng)控制函數(shù)λ（x，r）=μ（B（x，r））時(shí)， 非齊度量測(cè)度空間（X，d，μ）是Coifman-Weiss意義下的齊次空間;

當(dāng)控制函數(shù)λ（x，r）=C0rn 時(shí)， 非齊度量測(cè)度空間（

瘙 綆 d，·，μ）是滿足多項(xiàng)式增長(zhǎng)條件μ（B（x，r））≤C0rn的非雙倍測(cè)度空間;

2） 設(shè)（X，d，μ）為非齊度量測(cè)度空間， Hytnen［4］得到幾何雙倍條件等價(jià)于對(duì)每個(gè)∈（0，1）， 任意球B（x，r）X， x∈X， r∈（0，∞）包含于基數(shù)最多為N0-n0的互不相交的球{B（xi，r）}i， 本文中N0為定義2中所定義， n0=log2N0;

3） 設(shè)（X，d，μ）為非齊度量測(cè)度空間， Hytnen等［5］得出存在另一個(gè)控制函數(shù)， 使得≤λ， C

≤Cλ， 且對(duì)任意的x，y∈X， d（x，y）≤ r， 有

（x，r）≤C（y，r）.（2）

本文總假設(shè)控制函數(shù)λ滿足式（1），（2）， 且對(duì)任意的x∈X， r∈（0，∞）， 有λ（x，r）lt;∞. 由此及式（1）得， 對(duì)于任意球B（x，r）X， 滿足r∈（0，∞）， 有μ（B（x，r））lt;∞.

定義3［6］" 設(shè)α∈（0，1）， 函數(shù)Kα∈L1loc（X×X＼{（x，y）： x=y}）， 若

存在一個(gè)依賴于Kα的正常數(shù)CKα， 使得：

1） 對(duì)任意的x，y∈X， x≠y， 有

Kα（x，y）≤CKα（x，y）1［λ（x，d（x，y））］1-α;（3）

2） 存在正常數(shù)δ∈（0，1］， cKα∈（0，∞）， 使得對(duì)任意的x，x′，y∈X， d（x，y）≥cKαd（x，x′）， 有

Kα（x，y）-Kα（x′，y）+Kα（y，x）-Kα（y，x′）≤CKα［d（x，x′）］δ［d（x，y）］δ［λ（x，d（x，y））］

1-α.（4）

則稱(chēng)Kα為廣義分?jǐn)?shù)次積分核.

記L∞b（μ）={f： f∈ L∞（μ）， 具有有界支集}. 設(shè)Kα為廣義分?jǐn)?shù)次積分核， 對(duì)任意的f∈L∞b（μ）， xsupp f， 廣義分?jǐn)?shù)次積分定義［6］為

Tα（f）（x）∶=∫XKα（x，y）f（y）dμ（y）.（5）

注2" 如果Kα（x，y）滿足式（3）， 則Hrmander型條件成立， 即存在一個(gè)正常數(shù)C， 使得對(duì)任意的y，y′∈X， 有

∫d（x，y）≥cKαd（y，y′）（Kα（x，y）-Kα（x，y′）+Kα（y，x）-Kα（y′，x））1d（x，y）dμ（x）≤C.

廣義分?jǐn)?shù)次積分是調(diào)和分析的經(jīng)典算子之一. 目前， 關(guān)于廣義分?jǐn)?shù)次積分在非齊度量測(cè)度空間上的研究已有很多結(jié)果［6-17］. 例如：

Fu等［6］證明了非齊度量測(cè)度空間上廣義分?jǐn)?shù)次積分及其交換子的Lp有界性； Lu等［7］得到了雙線性分?jǐn)?shù)次積分及其交換子在非齊度量測(cè)度空間上的有界性.

本文的目的是建立非齊度量測(cè)度空間（X，d，μ）上廣義分?jǐn)?shù)次積分在加權(quán)Lebesgue空間和加權(quán)Morrey空間上的弱有界性. 用cB和rB分別表示球B的中

心和半徑， 且對(duì)任意的ρgt;0， ρB表示球B（cB，ρrB）; 用C表示與主要參數(shù)無(wú)關(guān)的正常數(shù);

YZ表示存在一個(gè)正常數(shù)C， 使得Y≤CZ; A～B表示ABA; 對(duì)于給定任意的q∈（1，∞）， q′ ∶=qq-1表示q的共軛指標(biāo).

定義4［18］" 設(shè)ρ∈［1，∞）， p∈（1，∞）， p′∶=pp-1. 若存在一個(gè)正常數(shù)C， 使得對(duì)于所有球BX， 有

1μ（ρB）∫Bω（x）dμ（x）1μ（ρB）∫B［ω（x）］1-p′dμ（x）p-1≤C，（6）

則稱(chēng)非負(fù)μ-可測(cè)函數(shù)ω為Aρp（μ）權(quán). 若存在一個(gè)正常數(shù)C， 使得對(duì)于所有球BX， 有

1μ（ρB）∫Bω（x）dμ（x）infy∈B ω（y），

則稱(chēng)ω為Aρ1（μ）權(quán)， 并記

Aρ∞（μ）∶=∪∞p=1Aρp（μ）.

定義5［19］" 若非負(fù)μ-可測(cè)函數(shù)ω滿足： 對(duì)任意的球BX， 有

1μ（B）∫B［ω（x）］rdμ（x）1/r1μ（B）∫Bω（x）dμ（x），

則稱(chēng)權(quán)ω屬于逆Hlder類(lèi)RHr（μ）， 其中r∈（1，∞）.

定義6（加權(quán)積分條件）［20］" 若存在一個(gè)正常數(shù)Cα， 使得對(duì)于所有球BX， 有

∫∞11［ω（sB）］αdss≤Cα［ω（B）］α，

則稱(chēng)權(quán)ω滿足加權(quán)積分條件.

注3" 加權(quán)積分條件等價(jià)于： 對(duì)于α∈（0，1）， β∈（1，∞）， 存在一個(gè)正常數(shù)Cα，β， 使得對(duì)于所有球BX， 有

∑∞i=1ω（B）ω（βjB）αlt;Cα，β.（7）

定義7［20］" 設(shè)p∈［1，∞）， κ∈（0，1）， η∈（1，∞）， ω是一個(gè)權(quán)函數(shù)， 加權(quán)Morrey空間定義為

Lp，κ，η（ω）∶={f∈Lploc（ω）： ‖f‖Lp，κ，η（ω）lt;∞}，

其中

‖f‖Lp，κ，η（ω）∶=supB1ω（ηB）κ∫B

f（x）pω（x）dμ（x）1/p;（8）

加權(quán)弱Morrey空間WLp，κ，η（ω）定義為

‖f‖WLp，κ，η（ω）∶=supBsup

tgt;0 1ω（ηB）κ/ptω（{x∈B： f（x）gt;t}）1/plt;∞.

注4" 設(shè)p∈［1，∞）， κ∈（0，1）， Yan等［20］研究表明， ‖·‖Lp，κ，η（ω）和‖·‖WLp，κ，η（ω）與常數(shù)η∈（1，∞）

的選取無(wú)關(guān).

定義8［4］" 設(shè)α，β∈（1，∞）， 若球BX滿足μ（αB）≤βμ（B）， 則B稱(chēng)為（α，β）-倍球.

注5" 給定非齊度量測(cè)度空間（X，d，μ）， 對(duì)任意球B（x，r）X， 當(dāng)β充分大時(shí)， 存在j∈

瘙 綃 ， 使得α

jB為（α，β）-倍球. 對(duì)于a.e. x∈X和r∈（0，∞）， 存在以x為中心、 α-jr為半徑的最?。é粒拢?倍球［4］. 記ν=log2Cλ， n0=log2N0， 對(duì)于任意給

定的α∈（0，1）和球B， α表示αjB的最?。é粒娄粒?倍球， 其中

βα∶=α3max{n0，ν}+［max{5α，30}］n0+［max{3α，30}］ν.

此外， 對(duì)任意的ρ∈［1，∞）和球B， 表示（30ρ）jB的最?。?0ρ，β30ρ）-倍球［5］.

定義9［21］" 設(shè)ρ∈（1，∞）， B，S為X中的任意兩個(gè)球， BS， 定義

（ρ）B，S∶=1+∑N（ρ）B，Sk=-

logρ2μ（ρkB）λ（cB，ρkrB），

其中N（ρ）B，S是滿足ρN（ρ）B，SrB≥rS的最小整數(shù).

注6" 1） 由定義9和式（1）， 可得

（ρ）B，S～1+∑N（ρ）B，S+logρ2+1

k=1μ（ρkB）λ（cB，ρkrB）;

2） Hytnen［4］引入了連續(xù)系數(shù)KB，S， 對(duì)任意兩個(gè)球BS X， 有

KB，S∶=1+∫（2S）＼B1λ（cB，d（x，cB））dμ（x）.

文獻(xiàn)［5］證明了KB，S和（ρ）B，S具有相似的性質(zhì)， 但KB，S和（ρ）B，S通常不相等.

引理1［22］" 設(shè)ρ∈（1，∞）， 則：

1） 對(duì)于所有球BR S， 有

（ρ）B，R≤Cρ（ρ）B，S， （ρ）B，S≤

（ρ）B，R+cρ，ν（ρ）R，S;

2） 設(shè)α∈［1，∞）， 對(duì)于所有球BS滿足rS≤αrB， 有（ρ）B，S≤Cα，ρ;

3） 對(duì)于所有球B， 有（ρ）B，ρ≤Cρ，ν;

4） 設(shè)ρ1，ρ2∈（1，∞）， 對(duì)于所有球BS， 有cρ1，ρ2，ν（ρ1）B，S≤

（ρ2）B，S≤Cρ1，ρ2，ν（ρ1）B，S.

Hu等［18］首先在非齊度量測(cè)度空間（X，d，μ）中定義了與KB，S相關(guān)的John-Strmberg型極大算子. 設(shè)f為μ-可測(cè)函數(shù)， B

為X中的球， μ（B）≠0. 記

mB（f）=1μ（B）∫Bf（x）dμ（x），" mf（B）=infα∈

瘙 綆" mB（f-α），

則由文獻(xiàn)［23］知，

μ（{x∈B： f（x）gt;mf（B）}）≤12μ（B），" μ（{x∈B： f（x）lt;mf（B）}）≤12μ（B）.

設(shè)s∈（0，1）， σ∈［1，∞）， ρ∈［1，∞）. 對(duì)任意固定的球B和μ-可測(cè)函數(shù)f， 當(dāng)μ（B）gt;0時(shí)， 定義

mσ，ρ0，s;B（f）=inf{tgt;0： μ（{y∈B： f（y）gt;t}）lt; sμ（σρB）};

當(dāng)μ（B）=0時(shí)， mσ，ρ0，s;B（f）=0.

John-Strmberg型極大算子定義［18］為

Mσ，ρ0，s（f）（x）∶=supx∈B，B（30ρ，β30ρ）-doublingmσ，ρ0，s;B（f），" x∈X;

相應(yīng)的John-Strmberg sharp極大算子定義［18］為

Mσ，ρ;#0，s（f）（x）∶=supx∈B mσ，ρ0，s;B（f-mf（））+supx∈BS，

B，S（30ρ，β30ρ）-doublingmf（B）-mf（S）（ρ）B，S，" x∈X.

對(duì)于任意球B， x∈B和任意∈（0，∞）， 有

μ（{y∈B： f（y）-mf（）gt;Mσ，ρ;#0，s（f）（x）+}）lt;sμ（σρB）.

Mσ，ρ0，s和Mσ，ρ;#0，s最早由John［24］引進(jìn)， Strmberg［25］和Lerner［26］在經(jīng)典歐氏空間上研究了這些算子的性質(zhì).

設(shè)ρ∈［1，∞）， η，σ∈（1，∞）， r∈（0，∞）. 對(duì)于任意f∈L1loc（μ）， x∈X， 定義極大算子為

Mη（f）（x）∶=supx∈B1μ（ηB）∫Bf（y）dμ（y）;（9）

倍極大算子為

Mρ（f）（x）∶=supx∈B，

B（30ρ，β30ρ）-doubling1μ（B）∫Bf（y）dμ（y）;（10）

sharp極大算子為

Mσ，ρ;#r（f）（x）∶=" supx∈B1μ（σρB）∫Bf（y）-mf（）rdμ（y）1/r

+" supx∈BR，B，R（30ρ，β30ρ）-doublingmf（B）-mf（R）（ρ）B，R.

對(duì)于任意球B， 有

mσ，ρ0，s;B（f-mf（））≤s-1/r1μ（σρB）∫Bf（y）-mf（）rdμ（y）1/r，

且對(duì)于任意x∈X， 由文獻(xiàn)［18］有

Mσ，ρ，#0，s（f）（x）≤s-1/rMσ，ρ;#r（f）（x）.（11）

引理2［18］" 設(shè)ρ∈［1，∞）， σ∈［1，30］， s1∈（0，β-130ρ/4）， p∈（0，∞）， 且ω∈Aρ

∞（μ）∩RHr（μ）， r∈（1，∞）， 則存在一個(gè)依賴于s1和ω的常數(shù)C1∈（0，1）， 使得對(duì)于任意s2∈（0，C1s1）， 下列結(jié)論成立：

1） 若μ（X）=∞， f∈Lp0，∞（μ）滿足p0∈（0，∞）， 且對(duì)于任意R∈（0，∞）， 有

supt∈（0，R）tpω（{x∈X： f（x）gt;t}）lt;∞，

則

‖Mσ，ρ0，s1（f）‖Lp，∞（ω）‖Mσ，ρ;#0，s2（f）‖Lp，∞（ω）;

2） 若μ（X）lt;∞， f∈ Lp0，∞（μ）滿足p0∈（0，∞），則

‖Mσ，ρ0，s1（f）‖Lp，∞（ω）‖Mσ，ρ;#0，s2（f）‖Lp，∞（ω）+［ω（X）

］1/p［s1μ（X）］-1/p0‖f‖Lp0，∞（μ）.

引理3［18］" 設(shè)ρ，p∈［1，∞）， ω∈Aρp（μ）， η∈［5ρ，∞）， 則存在常數(shù)C2，C3∈［1，

∞）， 使得對(duì)于任意倍球B和μ-可測(cè)集EB， 有

ω（E）ω（B）≥C2-1μ（E）μ（ηB）p，

ω（E）ω（B）≥C-13μ（E）μ（B）

p，" ω（E）ω（B）≤1-C-131-μ（E）μ（B）p.

引理4［18］" 設(shè)ρ，p∈［1，∞）， σ∈［1，30］，" s∈（0，β-130ρ）， 則對(duì)任意μ-可測(cè)函數(shù)f和t∈（0，∞）， 有：

1） {x∈X： f（x）gt;t}{x∈X： Mσ，ρ0，s（f）（x）≥t}∪E滿足μ（E）=0;

2） 對(duì)于任意ω∈Aρp（μ），

ω（{x∈X： Mσ，ρ0，s（f）（x）gt;t}）s-pω（{x∈X： f（x）gt;t}）.

引理5［18］" 設(shè)ρ∈［1，∞）， σ∈［1，30］， s∈（0，β-130ρ/4）， B為（30ρ，β30ρ）-倍

球， 滿足μ（B）≠0， 則對(duì)所有常數(shù)c∈

瘙 綇 和任意μ-可測(cè)函數(shù)f， 有

mσ，ρ0，s;B（f）-c≤mσ，ρ0，s;B（f-c）.

引理6［27］" 設(shè)ρ∈［1，∞）， σ∈［1，30］， s∈（0，β-130ρ/4）， r∈（0，∞）， 則對(duì)任意球B和μ-局部可積函數(shù)f， 有

mσ，ρ0，s;B（f-mf（B））≤s-1/rinfc∈

瘙 綇 1μ（σρB）

∫Bf（y）-crdμ（y）1/r.

引理7［18］" 設(shè)ρ∈［1，∞）， η∈［5ρ，∞）， Mη和Mρ分別為式（9）和式（10）中定義， 則對(duì)任

意p∈［1，∞）和ω∈Aρp（μ）， Mη和Mρ從Lp（ω）到Lp，∞（ω）有界.

引理8［8］" 設(shè)α∈（0，1）， Kα滿足式（3），（4）， Tα是式（5）中定義的廣義分?jǐn)?shù)次積分. 若Tα在L2

（μ）上有界， 則對(duì)于任意p∈（1，∞）， Tα在Lp（μ）上有界， 且從L1（μ）到L1，∞（μ）有界.

引理9" 設(shè)f∈L∞b（μ）， 對(duì)于任意ρ∈［1，∞）， σ∈（5，30］， r∈（0，1）， 在引理8的條件下， 有

Mσ，ρ;#r（Tα（f）（x））M（σ/5）ρ（f）（x）.（12）

證明： 對(duì)于每個(gè)球B和f∈L∞b（μ）， 記hB∶=mB（Tα（fχ（5B）c））. 由引理5和引理6可知， 對(duì)任意s∈（0，β-130ρ/4）及r∈（0，1）， 有

∫BTα（f）（y）-mTα（f）（）rdμ（y）≤∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）+hB-h

rμ（B）+""" mσ，ρ0，s;（Tα（f））-mTα（f）（）rμ（B）

+mσ，ρ0，s;（Tα（f））-hrμ（B）≤""" ∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）+hB

-hrμ（B）+""" ［mσ，ρ0，s;（Tα（f）-mTα（f）（））］rμ（B）

+［mσ，ρ0，s;（Tα（f）-h）］rμ（B）""" ∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）+hB-h

rμ（B）+""" 3rs-11μ（σρ）∫Tα（f）（y）-mTα（f）（）rdμ（y）μ（B）+""" 3rs-11μ（σρ）

∫Tα（f）（y）-hrdμ（y）μ（B）""" ∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）+hB-

hrμ（B）+3rs-1μ（B）μ（）∫Tα（f）（y）-hrdμ（y），

對(duì)于任意兩個(gè)倍球BR， 由引理5和引理6可知，

mTα（f）（B）-mTα（f）（R）≤mσ，ρ0，s;B（Tα（f））-hB+hB

-hR+mσ，ρ0，s;R（Tα（f））-hR+mσ，ρ0，s;B（Tα（f））-mTα（f）（B）

+mσ，ρ0，s;R（Tα（f））-mTα（f）（R）≤mσ，ρ0，s;B（Tα（f）-hB）+hB-hR+

mσ，ρ0，s;R（Tα（f）-hR）+mσ，ρ0，s;B（Tα（f）-mTα（f）（B））+mσ，ρ0，s;R（Tα（f）-mTα（f）（R））

3s-1/r1μ（σρB）∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）1/r+hB-hR

+3s-1/r1μ（σρR）∫RTα（f）（y）-hRrdμ（y）1/r

+3s-1/r1μ（σρB）∫BTα（f）（y）-mTα（f）（B）rdμ（y）1/r

+3s-1/r1μ（σρR）∫RTα（f）（y）-mTα（f）（R）rdμ（y）1/r

4s-1/r1μ（σρB）∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）1/r+hB-hR

+4s-1/r1μ（σρR）∫RTα（f）（y）-hRrdμ（y）1/r，

因此， 為證式（12）成立， 只需證明

1μ（σρB）∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）1/rinfx∈B M（σ/5）ρ（f）（x），（13）

并且

hB-hR（ρ）B，Rinfx∈B M（σ/5）ρ（f）（x）.（14）

首先證明式（13）. 對(duì)任意y∈X， 有

Tα（f）（y）-Tα（fχX＼（5B））（y）≤Tα（fχ5B）（y），

因此，

∫BTα（f）（y）-hBrdμ（y）≤""" ∫BTα（f）（y）-Tα（fχX＼（5

B））（y）rdμ（y）+∫BTα（fχX＼（5B））（y）-hBrdμ（y）

≤""" ∫BTα（fχ5B）（y）rdμ（y）+∫BTα（fχX＼（5B））（y）-hBrd

μ（y）≤""" ∫BTα（fχ5B）（y）rdμ（y）+1μ（B）∫B∫BTα（fχX＼

（5B））（y）-Tα（fχX＼（5B））（x）rdμ（y）dμ（x）.

由引理8可知， Tα從L1（μ）到L1，∞（μ）有界， 結(jié)合Kolmogorov不等式， 有

1μ（σρB）∫BTα（fχ5B）（y）rdμ（y）1/r

1μ（σρB）‖fχ5B‖L1（μ）infx∈B M（σ/5）ρ（f）（x）.（15）

令f*=fχX＼（5B）， 對(duì)于任意的x，y∈B， 有

Tα（f*）（y）-Tα（f*）（x）≤∫Xf*（z）Kα（x，z）-Kα（y，z））dμ（z）

≤∫Xf*（z）Kα（x，z）-Kα（x′，z）dμ（z）+∫Xf*（z）Kα（x′，z）-K

α（y′，z）dμ（z）+∫Xf*（z）Kα（y，z）-Kα（y′，z）dμ（z）∶=A1+A2+A3.

首先證明A1. 對(duì)任意的x，x′，y，y′∈B和z∈（kB）c， k∈（1，∞）， 有

d（x，z）～d（x′，z）～d（y，z）～d（y′，z）～d（cB，z），（16）

由式（4），（2），（1）， 并結(jié)合Minkowski不等式， 有

A1≤∫（5B）cf（z）Kα（x，z）-Kα（x′，z）dμ（z）∫（5B）cf（z）

［d（x，x′）］δ［d（x，z）］δ［λ（x，d（x，z））］1-αdμ（z）∫（5B）cf（z）［λ（x，d（x，z））］1-αdμ（z）

∫（5B）cf（z）［λ（cB，d（cB，z））］1-αdμ（z）∑∞k=1∫5k+1B＼（5kB）f（z）［λ（cB，5krB）］1-αdμ（z）∑∞k=1μ［（σ/5）ρ5k+1B］［λ（cB，5krB）］1-α1μ［（σ/5）ρ

5k+1B］∫5k+1Bf（z）dμ（z）M（σ/5）ρ（f）（x）.

同理可得

A3M（σ/5）ρ（f）（x）.

下面證A2. 根據(jù)Minkowski不等式和式（4）， 有

A2≤∫（5B）cf（z）Kα（x′，z）-Kα（y′，z）dμ（z）∫（5B）cf（z）

［d（z，z′）］δ［d（z，x′）］δ［λ（z，d（z，x′））］1-αdμ（z）∫（5B）c

f（z）［λ（z，d（z，x′））］1-αdμ（z）∫（5B）cf（z）［λ（cB，d（cB，z））］1-α

dμ（z）∑∞k=1∫5k+1B＼（5kB）f（z）［λ（cB，5krB）］1-αdμ（z）

∑∞k=1μ［（σ/5）ρ5k+1B］［λ（cB，5krB）］1-α1μ［（σ/5）ρ5k+1B］

∫5k+1Bf（z）dμ（z）M（σ/5）ρ（f）（x），

再結(jié)合A1和A3， 得

1μ（σρB）∫BTα（f*）（y）-hBrdμ（y）1/rinfx∈B M（σ/5）ρ（f）（x），

因此， 結(jié)合式（15）可知式（13）成立.

下面證式（14）成立. 令

N∶=N（30ρ）B，R+log30ρ2+1=N（30ρ）B，R+1，

由于BR， 球（30ρ）NB和5R分別與球B和R同心， 則對(duì)于任意x∈5R， 有

d（cB，x）≤d（cB，cR）+d（cR，x）≤rR+5rR=6rR≤6·（30ρ）N（30ρ）B，RrB

≤（30ρ）N（30ρ）B，R+1rB=（30ρ）NrB，

表明5B5R（30ρ）NB. 因此， 對(duì)于任意x，y∈X， 有

Tα（fχX＼（5B））（x）-" Tα（fχX＼（5R））（y）≤Tα（fχX＼（30ρ）NB）（x）+

Tα（fχ（30ρ）NB＼（5B））（x）+" Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）-Tα（fχX＼（5R））（y）-

Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）≤" Tα（fχX＼（30ρ）NB）（x）+

Tα（fχ（30ρ）NB＼（5B））（x）+Tα（fχ（30ρ）NB＼（5R））（y）-Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）.

同理

Tα（fχX＼（5R））（y）-Tα（fχX＼（5B））（x）≤Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）+

Tα（fχ（30ρ）NB＼（5R））（y）+Tα（fχ（30ρ）NB＼（5B））（x）-Tα（fχX＼（30ρ）NB）（x）.

故

Tα（fχX＼（5B））（x）-Tα（fχX＼（5R））（y）≤" Tα（fχ（30ρ）NB＼（5B））（x）+

Tα（fχ（30ρ）NB＼（5R））（y）+" Tα（fχX＼（30ρ）NB）（x）-

Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）≤" Tα（fχ30ρ B＼（5B））（x）+Tα（fχ（30ρ）NB＼（30ρB））（x）

+" Tα（fχ（30ρ）NB＼（5R））（y）+Tα（fχX＼（30ρ）NB）（x）-Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）.

進(jìn)一步可得，

hB-hR=1μ（B）μ（R）∫R∫B［Tα（fχX＼（5B））（x）-

Tα（fχX＼（5R））（y）］dμ（x）dμ（y）≤mB（Tα（fχ30ρ B＼（5B）））（x）+

mB（Tα（fχ（30ρ）NB＼（30ρB）））（x）+mR（Tα（fχ（30ρ）NB＼（5R）））（y）+1μ（B）μ（R）

∫B∫RTα（fχX＼（30ρ）NB）（x）-Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）d

μ（y）dμ（x）∶=I1+I2+I3+I4.

對(duì)于I1， 由式（3）、 Minkowski不等式， 式（16），（2），（1）可知， 對(duì)于任意x∈B， 有

Tα（fχ30ρ B＼（5B））（x）≤∫30ρ B＼（5B）Kα（x，z）f（z）dμ（z）

∫30ρ B＼（5B）f（z）［λ（cB，d（cB，z））］1-αdμ（z）μ［（σ/5）ρ30ρB］［λ（cB，5ρ

rB）］1-α1μ［（σ/5）ρ30ρB］∫30ρBf（z）dμ（z）M（σ/5）ρ（f）（x）.（17）

由于（30ρ）N（30ρ）B，R-1rB≤rR， 從而對(duì)于任意x∈（30ρ）NB， 有

d（cR，x）≤d（cR，cB）+d（cB，x）≤rR+（30ρ）NrB≤rR+900ρ2rR≤901ρ2rR，

所以

（30ρ）NB901ρ2R.

對(duì)于I3， 類(lèi)似式（17）， 對(duì)于任意y∈R， 有

Tα（fχ（30ρ）NB＼（5R））（y）≤∫（30ρ）NB＼（5R）Kα（y，z）f（z）dμ（z）

∫（30ρ）NB＼（5R）f（z）［λ（y，d（y，z））］1-αdμ（z）∫901ρ2R＼（5R）f（z）［λ（cR，d（

cR，z））］1-αdμ（z）μ［（σ/5）ρ901ρ2R］［λ（cR，5ρrR）］1-α1μ［（σ/5）ρ901ρ2R］

∫901ρ2Rf（z）dμ（z）M（σ/5）ρ（f）（x），

因此

I1+I3infx∈B M（σ/5）ρ（f）（x）.

對(duì)于I2項(xiàng)， 由式（3）、 Minkowski不等式、 式（16），（1）、 定義9和引理1中4）可知， 對(duì)于任意x∈B， 有

Tα（fχ（30ρ）NB＼（30ρB））（x）≤∫（30ρ）NB＼（30ρB）Kα（x，z）f（z）dμ（z）

≤∫（30ρ）NB＼（30ρB）f（z）［λ（x，d（x，z））］1-αdμ（z）∑N-1k=1

∫（30ρ）k+1B＼（（30ρ）kB）f（z）［λ（cB，d（cB，z））］1-αdμ（z）∑N-1k=1

μ［（σ/5）ρ（30ρ）k+1B］［λ（cB，（30ρ）krB）］1-α1μ［（σ/5）ρ（30ρ）k+1B］

∫（30ρ）k+1Bf（z）dμ（z）∑N-1k=1μ（（30ρ）k+2B）

［λ（cB，（30ρ）k+2rB）］1-αinfx∈B M（σ/5）ρ（f）（x）∑N（30ρ）B，R+2k=3

μ（（30ρ）kB）λ（cB，（30ρ）krB）infx∈B M（σ/5）ρ（f）（x）（30ρ）B，Rinfx∈B

M（σ/5）ρ（f）（x）～（ρ）B，Rinfx∈B M（σ/5）ρ（f）（x），

因此

I2（ρ）B，Rinfx∈B M（σ/5）ρ（f）（x）.

對(duì)于I4， 類(lèi)似式（15）， 得

Tα（fχX＼（30ρ）NB）（x）-Tα（fχX＼（30ρ）NB）（y）

infx∈B M（σ/5）ρ（f）（x），

所以

I4infx∈B M（σ/5）ρ（f）（x）.

綜合I1～I(xiàn)4， 式（14）得證. 由式（13）和式（14）可知式（12）成立， 證畢.

2" 主要結(jié)果

定理1" 設(shè)α∈（0，1）， δ∈（0，1］， Kα滿足式（3）和式（4）， Tα為式（5）定義的廣義分?jǐn)?shù)次積分. p，ρ∈［1，

∞）， ω∈Aρp（μ）∩RHr（μ）， r∈（1，∞）， 若Tα（f）在L2（μ）上有界， 則Tα（f）從Lp（ω）到Lp，∞（ω）上有界， 即

suptgt;0 t［ω（{x∈X： Tα（f）（x）gt;t}）］1/p‖f‖Lp（ω）.

證明： 考慮μ（X）=∞和μ（X）lt;∞兩種情形.

情形1） μ（X）=∞. 由引理7只需證： 對(duì)于任意t∈（0，∞）和σ∈［25，30］， 有

suptgt;0 t［ω（{x∈X： Tα（f）（x）gt;t}）］1/p

suptgt;0 t［ω（{x∈X： M（σ/5）ρ（f）（x）gt;t}）］1/p.（18）

因此， 首先需證明對(duì)任意p∈［1，∞）， f∈L∞b（μ）， 有Tα（f）∈Lp，∞（μ）（引理8）， 且對(duì)任意R∈（0，∞）， ρ∈［1，∞）， ω∈Aρp（μ）， 有

sup0lt;tlt;R tpω（{x∈X： Tα（f）（x）gt;t}）lt;∞.（19）

對(duì)任意固定的x0∈X， 令l∈（2，∞）充分大， 使得f的支集包含在球B（x0，l）中， 且μ（B（x0，l））∈（0，∞）， 再由定義4有ω（B（x0，2l））lt;∞， 因此

sup0lt;tlt;R tpω（{x∈ B（x0，2l）： Tα（f）（x）gt;t}）≤Rpω（B（x0，2l））lt;∞;

另一方面， 對(duì)于任意x∈X＼B（x0，2l）， y∈B（x0，l）， d（x，x0）～d（x，y）， 結(jié)合式（3）、 Minkowski不等式和式（2）可知， 對(duì)α∈（0，1）， 有

Tα（f）（x）∫Xf（y）［λ（x，d（x，y））］1-αdμ（y）

‖f‖L1（μ）［λ（x0，d（x，x0））］1-α‖f‖L1（μ）λ（x0，d（x，x0））.（20）

由μ（X）=∞知， 對(duì)于x0∈X， 有

limr→∞ λ（x0，r）≥limr→∞ μ（B（x0，r））=∞，

從而對(duì)于任意的t∈（0，∞）， 存在rt∈（0，∞）， 使得

λ（x0，rt）‖f‖L1（μ）t.

若存在 ∈（0，∞）， 使得存在r∈（0，∞）， 有λ（x0，r）‖f‖L1（μ）/， 則對(duì)于任意t∈（，∞）和r∈（0，∞）， 有

λ（x0，r）‖f‖L1（μ）t.

此時(shí)， 令

t*=inf{∈（0，∞）： λ（x0，r）‖f‖L1（μ）/， r∈（0，∞）}，

反之， 令t*=∞.

若t*=0， 由于λ（x0，r）lt;∞， r∈（0，∞）， 有‖f‖L1（μ）=0， 由此及式（20）表明不存在x∈X＼B（x0，2l）滿足Tαgt;t， 其中t ∈（0，∞）， 因此

suptgt;0 tpω（{x∈X＼B（x0，2l）： Tα（f）（x）gt;t}）=suptgt;0 tpω（）lt;∞.

若t*∈（0，∞］， 則對(duì)于任意t∈（0，t*）， 存在rt∈（0，∞）， 使得

λ（x0，rt）‖f‖L1（μ）t，" λx0，rt2lt;‖f‖L1（μ）t，（21）

所以

‖f‖L1（μ）λ（x0，d（x，x0））gt;t，" d（x，x0）lt;rt.（22）

若t*∈（0，∞）， 則對(duì)任意t∈［t*，∞）和滿足式（22）的任意x∈X， 可得d（x，x0）=0， 即x=x0.

另一方面， 對(duì)于任意x∈X＼B（x0，2l）， 有

1λ（x0，d（x，x0））≤1λ（x0，l），

從而對(duì)任意tgt;‖f‖L1（μ）λ（x0，l）， 不存在點(diǎn)x∈X＼B（x0，2l）滿足Tαgt;t.

結(jié)合式（20），（1）、 引理3和式（21）可知， 若t* ∈0，‖f‖L1（μ）λ（x0，l）， 則

suptgt;0 tpω（{x∈X＼B（x0，2l）： Tα（f）（x）gt;t}）≤""" supt∈（0，‖f‖L1（μ）/（λ（x0，l））］

tpωx∈X： ‖f‖L1（μ）λ（x0，d（x，x0））gt;t≤""" supt∈（0，t*）

tpω（B（x0，rt））+supt∈［t*，‖f‖L1（μ）/（λ（x0，l））］ tpω（{x0}）""" 1+supt∈（0，t*）， rt∈（0，l］

tpω（B（x0，rt））+supt∈（0，t*）， rt∈（l，∞） tpω（B（x0，rt））""" 1+supt∈（0，t*）， rt∈（l，∞） tpω（B（x0，l））

μ（B（x0，5ρrt））μ（B（x0，l））p""" 1+ω（B（x0，l））1μ（B（x0，l））p

supt∈（0，t*）， rt∈（l，∞） tpλ（x0，rt2p

""" 1+ω（B（x0，l））1［μ（B（x0，l））］plt;∞;

若t*∈‖f‖L1（μ）λ（x0，l），∞， 則

suptgt;0 tpω（{x∈X＼B（x0，2l）： Tα（f）（x）gt;t}）≤""" supt ∈（0，‖f‖L1（μ）/（λ（x0，l））］

tpωx∈X： ‖f‖L1（μ）λ（x0，d（x，x0））gt;t

""" supt∈（0，‖f‖L1（μ）/（λ（x0，l））］， rt∈（0，l］tpω（B（x0，rt））+supt∈（0，‖f‖L1（μ）/（λ（x0，l））

］， rt∈（l，∞） tpω（B（x0，rt））""" 1+supt∈（0，‖f‖L1（μ）/（λ（x0，l））］， rt∈（l，∞） tp

ω（B（x0，l））μ（B（x0，5ρrt））μ（B（x0，l））p""" 1+ω（B（x0，l））1μ（B（x0，l））p

supt∈（0，‖f‖L1（μ）/（λ（x0，l））］， rt∈（l，∞） tpλx0，rt2p

""" 1+ω（B（x0，l））1［μ（B（x0，l））］plt;∞.

因此式（19）成立.

下證式（18）成立. 設(shè)σ∈［25，30］， 根據(jù)引理4中1）、 引理2中1）（其中s1=β-130ρ/4， p0=1）、 式（11）和引理9， 有

suptgt;0 t［ω（{x∈X： Tα（f）（x）gt;t}）］1/p" suptgt;0 t［ω（{x∈X： Mσ，ρ

0，s1（Tα（f））（x）gt;t}）］1/p" suptgt;0 t［ω（{x∈X： Mσ，ρ;#0，s2（Tα（f））（x）gt;t}）］1/p

suptgt;0 t［ω（{x∈X： Mσ，ρ;#r（Tα（f））（x）gt;t}）］1/p

suptgt;0 t［ω（{x∈X： M（σ/5）ρ（f）（x）gt;t}）］1/p.（23）

從而情形1）得證.

情形2） μ（X）lt;∞. 設(shè)σ∈［25，30］， 根據(jù)引理4中1）、 引理2中2）（其中s1=β-130ρ/4， p0=1）和引理9， 有

suptgt;0 t［ω（{x∈X： Tα（f）（x）gt;t}）］1/p" suptgt;0 t［ω（{x∈X： Mσ，ρ0，s

（Tα（f））（x）gt;t}）］1/p" suptgt;0 t［ω（{x∈X： Mσ，ρ;#0，s1（Tα（f））（x）gt;t}）］1/p

+" ［ω（X）］1/p［μ（X）］-1‖Tα（f）‖L1，∞（μ）∶=B1+B2.

類(lèi)似式（23）， 得

B1suptgt;0 t［ω（{x∈X： M（σ/5）ρ（f）（x）gt;t}）］1/p.

對(duì)于B2， 首先有

1μ（X）∫Xf（y）dμ（y）=limrB→∞

1μ［（σ/5）ρB］∫Bf（y）dμ（y）≤infx∈X M（σ/5）ρ（f）（x），

再由引理8可得

［ω（X）］1/p［μ（X）］-1‖Tα（f）‖L1，∞（μ）

［ω（X）］1/p［μ（X）］-1‖f‖L1（μ）

［ω（X）］1/pinfx∈X M（σ/5）ρ（f）（x）suptgt;0 t

［ω（{x∈X： M（σ/5）ρ（f）（x）gt;t}）］1/p.

因此， 情形2）成立. 證畢.

定理2" 在定理1的條件下， 并假設(shè)ω滿足加權(quán)積分條件， 則Tα（f）從Lp，κ，η（ω）到WLp，κ，η（ω）上有界， 即

supBsuptgt;0 1［ω（ηB）κ/p］ t［ω（{x∈X：

Tα（f）（x）gt;t}）］1/p‖f‖Lp，κ，η（ω），

其中κ∈（0，1）， η∈（1，∞）.

證明： 若p∈（1，∞）， 則對(duì)于一個(gè)固定的球BX， 令f=f1+f2， 其中f1∶=fχ2B. 根據(jù)引理7， 只需證明η=6的情形. 對(duì)于任意t∈（0，∞）， 有

1［ω（6B）］κtpω（{x∈B： Tα（f）（x）gt;t}）≤" 1［ω（6B）］κtpω

x∈B： Tα（f1）（x）gt;t2+" 1［ω（6B）］κ

tpωx∈B： Tα（f2）（x）gt;t2∶=J1+J2.

對(duì)于J1， 由定理1得

J1≤" 1［ω（6B）］κtpωx∈X： Tα（f1）（x）gt;t2" 1［ω（6B）］κ∫2Bf（x）pω（x）dμ（x）‖f‖pLp，κ，η（ω）.

下證J2成立. 對(duì)任意x∈B， y∈（2B）c， d（cB，y）～d（x，y）， 結(jié)合式（5）、 Minkowski不等式、 式（3）、 式（2）、 Hlder不等式， 式（8），（6），（1），（7）， 有

J2≤" 1［ω（6B）］κ∫BTα（f2）（x）pω（x）dμ（x）=

1［ω（6B）］κ∫B∫XKα（x，y）f2（y）dμ（y）pω（x）dμ（x）

" 1［ω（6B）］κ∫B∫Xf2（y）［λ（x，d（x，y））］1-αdμ（y）pω（x）dμ（x）" 1［ω（6B）］κ∫B∫d（cB，y）≥2rBf（y）［λ（cB，d（cB，y））］1-αdμ（y）

pω（x）dμ（x）" ∫d（cB，y）≥2rBf（y）［λ（cB，d（cB，y））］1-αdμ（y）p［ω（6B）］1-κ

" ∑∞j=1∫2jrB≤d（cB，y）≤2j+1rBf（y）［λ（cB，d（cB，y））］1-αdμ（y）

p［ω（6B）］1-κ" ∑∞j=11［λ（cB，2jrB）］1-α

∫2j+1Bf（y）dμ（y）p［ω（6B）］1-κ" ∑∞j=11［λ（cB，2jrB）］1-

α∫2j+1Bf（y）pω（y）dμ（y）1/p×

∫2j+1B［ω（y）］1-p′dμ（y）（p-1）/pp［ω（6B）］1-κ

∑∞j=1［ω（2j+16B）］κ/p［λ（cB，2jrB）］1-α

1［ω（2j+16B）］κ∫2j+1Bf（y）pω（y）dμ（y）1/p×

∫2j+16B［ω（y）］1-p′dμ（y）（p-1）/pp［ω（6B）］1-κ

∑∞j=1［ω（2j+16B）］κ/p［λ（cB，2jrB）］1-α‖f‖Lp，κ，η（ω）μ（2j+1ρ6B）

［ω（2j+16B）］1/pp［ω（6B）］1-κ" ‖f‖pLp，κ，η（ω）

∑∞j=1［ω（2j+16B）］κ/pλ（cB，2jrB）μ（2j+1ρ6B）［ω（2j+16B）］1/p

p［ω（6B）］1-κ" ‖f‖pLp，κ，η（ω）∑∞j=1［ω（6B）］（1-κ）/p

［ω（2j+16B）］（1-κ）/pp‖f‖pLp，κ，η（ω）.

從而當(dāng)p∈（1，∞）時(shí)， 結(jié)論成立.

當(dāng)p=1時(shí)， 證明過(guò)程類(lèi)似， 需用到ω∈A1（μ）的性質(zhì)， 這里略. 證畢.

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（責(zé)任編輯： 趙立芹）