摘要： 考慮一類具有奇異項(xiàng)和對(duì)數(shù)源的四階薄膜方程. 首先利用截?cái)嗪瘮?shù)和Galerkin逼近相結(jié)合給出該方程弱解的局部存在性; 然后借助位勢(shì)井方法和Rellich不等式， 證明一定條件下該

方程弱解的整體存在性和衰減估計(jì); 最后， 利用凸方法證明該方程的解在有限時(shí)刻爆破， 并給出爆破時(shí)間的上界和下界.

關(guān)鍵詞： 奇異項(xiàng); 對(duì)數(shù)非線性項(xiàng); 四階; 整體存在; 爆破

中圖分類號(hào)： O175.8" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" 文章編號(hào)： 1671-5489（2024）03-0556-09

Blow-up and Decay Estimate of Solution for a Class of Fourth-OrderThin-Film Equation with Singular Term and Logarithmic Source

WU Xiulan， ZHAO Yaxin， YANG Xiaoxin

（School of Mathematics and Statistics， Changchun University of Science and Technology， Changchun 130022， China）

Abstract： We considered a class of fourth-order thin-film equation with singular term and logarithmic source. Firstly， we obtained the

local existence of weak solutions to the equation by" combining truncation function and" Galerkin approximation. Secondly， by virtue of the potential well method and Rellich ineq

uality， we proved the global existence and decay estimate of weak solution to the equation under certain conditions. Finally， we proved the blow-up result of the

solution to the equation at a finite time by using the convex method， and gave the lower and upper bounds for blow-up time.

Keywords： singular term; logarithmic nonlinearity; fourth-order; global existence; blow-up

收稿日期： 2023-09-06.

第一作者簡(jiǎn)介： 吳秀蘭（1979—）， 女， 漢族， 博士， 副教授， 從事偏微分方程的研究， E-mail： chjlsywxl@126.com.

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)： 12171054）和吉林省自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)： YDZJ202201ZYTS584）.

0" 引" 言

考慮一類具有奇異項(xiàng)和對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)的如下四階拋物方程初邊值問題：

utx4+Δ2u=

up-2ulnu，x∈Ω，" tgt;0;

u（x，t）=Δu（x，t）=0，x∈Ω，" tgt;0;

u（x，0）=u0（x），x∈Ω，（1）

其中Ω

瘙 綆 N（Ngt;4）是具光滑邊界Ω的有界區(qū)域， u0（x）∈H20（Ω）， x=（x1，x2，…，xN）∈

瘙 綆 N， x=x21+x22+…+x2N， 此外， 定義p范圍如下：

2lt;plt;p=8N+2，N≥8，

4N-4+2，4lt;Nlt;8.

四階薄膜方程出現(xiàn)在外延薄膜的生長(zhǎng)理論中， 對(duì)于問題（1）， u（x，t）表示外延生長(zhǎng)中薄膜的高度， Δ2u表示毛細(xì)驅(qū)動(dòng)的表面擴(kuò)散. 近年來， 對(duì)四階拋物

方程初邊值問題的研究已得到廣泛關(guān)注［1-5］， 例如， King等［1］考慮如下四階拋物型方程初邊值問題：

ut+Δ2u-·（f（u））=g（x，t，u），" （x，t）∈Ω×（0，∞），

利用半離散逼近技術(shù)， 在適當(dāng)?shù)某踹呏禇l件下建立了該問題弱解的存在性、 唯一性及正則性. 由于對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)［6-10］不滿足單調(diào)性且符號(hào)可能改變， 因此與具有指數(shù)源項(xiàng)［11-12］的問題

相比有較大的難度. 例如， Li等［6］考慮如下具有非線性對(duì)數(shù)項(xiàng)的四階拋物型方程初邊值問題：

ut+Δ2u=up-2uln u，" （x，t）∈Ω×（0，∞），

利用位勢(shì)井法得到了該問題弱解的局部存在唯一性以及弱解在有限時(shí)間內(nèi)的衰減和爆破的結(jié)果. Do等［13］考慮具有奇異項(xiàng)和特殊介質(zhì)的如下形式的初邊值問題：

utx4+Δ2u=k（t）up-1u，x∈Ω，" tgt;0，

u（x，t）=Δu（x，t）=0，x∈Ω，" tgt;0，

u（x，0）=u0（x），x∈Ω，（2）

利用截?cái)嗪瘮?shù)和Galerkin逼近相結(jié)合得到了問題（2）弱解的局部存在性， 借助位勢(shì)井方法和Rellich不等式， 證明了問題（2）在一定條件下弱解的整體存在性和衰退估計(jì)， 并利用凸方法

證明了問題（2）的解在有限時(shí)刻爆破， 其中p∈（1，∞）， Ω

瘙 綆 N（N≥1）， Ω是光滑的， 且初值u0（x）∈H20（Ω）， k（t）滿足適當(dāng)?shù)慕Y(jié)

構(gòu)性條件. 文獻(xiàn)［14］給出了問題（2）解的爆破時(shí)間的上界和下界.

受上述研究啟發(fā)， 如果將問題（2）中的非線性項(xiàng)k（t）up-1u替換成其他形式， 如對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)up-2ulnu，

對(duì)問題（1）這種具有奇異項(xiàng)的方程解的整體存在和爆破性質(zhì)的研究目前尚未見文獻(xiàn)報(bào)道. 本文首先證明問題（1）弱解的局部存在性; 然后給出一定條件下問題（1）弱

解的整體存在性和衰減估計(jì); 最后證明解的爆破性質(zhì)， 并給出爆破時(shí)間的上界和下界.

1" 預(yù)備知識(shí)

令1≤p≤∞， 對(duì)任意的u∈Lp（Ω）， ‖u‖p表示u的Lp（Ω）范數(shù)， 對(duì)H20（Ω）空間賦以范數(shù)‖u‖H20（Ω）=‖Δu‖2， 用

〈·，·〉表示對(duì)偶積. 本文中C在不同之處表示不同的正常數(shù).

本文采用位勢(shì)井方法， 下面定義與之相關(guān)的泛函和一些集合， 并研究其基本性質(zhì). 對(duì)任意的u∈H20（Ω）， 令

J（u）=12‖Δu‖22+1p2‖u‖pp-1p∫Ωuplnudx，（3）I（u）=‖Δu‖22-∫Ωuplnudx，（4）

則

J（u）=1pI（u）+12-1p‖Δu‖22+1p2‖u‖pp.（5）

定義Nehari流形和井深分別為

N={u∈H20（Ω）＼{0}， I（u）=0}，d=infu∈N J（u）.

定義集合

W1={u∈H20（Ω）J（u）lt;d}，" W2={u∈H20（Ω）J（u）=d}，W=W1∪W2，

W+1={u∈H20（Ω）J（u）lt;d， I（u）gt;0}，

W+2={u∈H20（Ω）J（u）=d， I（u）gt;0}，" W+=W+1∪W+2，

W-1={u∈H20（Ω）J（u）lt;d， I（u）lt;0}，W-2={u∈H20（Ω）J（u）=d， I（u）lt;0}，" W-=W-1∪W-2.

引理1［6］" 設(shè)u∈H20（Ω）， 則：

1） limλ→0+ J（λu）=0， limλ→+∞ J（λu）=-∞;

2） 存在唯一的λ*=λ*（u）gt;0， 使得ddλJ（λu）λ=λ*=0;

3） J（λu）在λ∈（0，λ*）上遞增， 在λ∈（λ*，∞）上遞減， 在λ=λ*處取得最大值;

4） 在λ∈（0，λ*）上有I（λu）gt;0， 在λ∈（λ*，∞）上有I（λu）lt;0， 并且I（λ*u）=0.

由于問題（1）存在奇異項(xiàng)， 因此引入如下截?cái)嗪瘮?shù)：

ρn（x）=min{x-4，n}.

引理2（Rellich不等式）［13-14］" 設(shè)Ngt;4， u∈H20（Ω）， 則ux

2∈L2（Ω）且存在一個(gè)常數(shù)RNgt;0， 使得

∫Ωu2x4dx≤16N2（N-4）2∫ΩΔu2dx∶=RN∫ΩΔu2dx.

注1" 設(shè)Ω

瘙 綆 N是一個(gè)有界域， 則以下不等式成立：

∫Ωu2dx=∫Ω（ρ-1nρn）u2dx≤C（Ω）‖ρ1/2nu‖22，

其中C（Ω）是與Ω相關(guān)的常數(shù).

為處理對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)up-2ulnu， 引入以下引理：

引理3［9］" 設(shè)μ是任意給定正數(shù)， 則如下兩個(gè)不等式成立：

spln s≤（eμ）-1sp+μ，" s≥1，spln s≤（ep）-1，" 0lt;slt;1.

下面給出一個(gè)特殊形式的Gagliardo-Nirenberg內(nèi)插不等式和一個(gè)基本的積分不等式.

引理4［13］" 對(duì)任意的u∈H20（Ω）， 下列不等式成立：

‖u‖p+μp+μ≤CG‖Δu‖（p+μ）θ2‖u‖（1-θ）（p+μ）2，

其中θ=N（p+μ-2）4（p+μ）， 0lt;μlt;8N+2-p， CG是與Ω，N，p有關(guān)的正常數(shù).

引理5［9］" 設(shè)f：

瘙 綆 +→

瘙 綆 +是一個(gè)非增函數(shù)， σ是一個(gè)非負(fù)常數(shù)， 滿足不等式

∫∞tf1+σ（s）ds≤1ωfσ（0）f（t），" t≥0，

則：

1） 當(dāng)σ=0時(shí)， 對(duì)任意的t≥0， 有f（t）≤f（0）e1-ωt.

2） 當(dāng)σgt;0時(shí)， 對(duì)任意的t≥0， 有f（t）≤f（0）1+σ1+ωσt1/σ.

最后引入在證明爆破中常用的凸引理.

引理6［15］" 設(shè)θ（t）是二次連續(xù)可微的函數(shù)， 且如下不等式成立：

θ″（t）θ（t）-（1+β）（θ′（t））2≥0，" tgt;0，

其中βgt;0且為常數(shù). 若θ（0）gt;0， θ′（0）gt;0， 則T1： 0lt;T1lt;θ（0）βθ′（0）， 使得θ（t）→∞， t→T1.

下面給出問題（1）弱解以及最大存在時(shí)間的定義.

定義1" 若Tgt;0， 對(duì)于u=u（x，t）∈L∞（0，T;H20（Ω））， 如果utx

2∈L2（0，T;L2（Ω））， u（x，0）=u0， 有

〈utx4，w〉+〈Δu，Δw〉=〈u

p-2ulnu，w〉，" w∈H20（Ω），

則稱u是問題（1）在Ω×［0，T）上的弱解.

定義2" 若u（x，t）是問題（1）的一個(gè)弱解， 且對(duì)所有的t∈［0，Tmax）， 有

limt→Tmax u（x，t）

x222=+∞，

則稱u（x，t）在一個(gè)有限的時(shí)間Tmax爆破， 其中Tmax是u（x，t）的最大存在時(shí)間.

2" 弱解的局部存在性

引理7［6］" 若Ngt;4， 2lt;plt;p， 初值un0（x）∈C∞0（Ω）（n∈

瘙 綃 +）， 則下列方程

ρn（x）（un）t+Δ2un=unp-2unlnun，（x，t）∈Ω×（0，T），

un（x，t）=Δun（x，t）=0，（x，t）∈Ω×（0，T），

un（x，0）=un0，x∈Ω（6）

存在一個(gè)弱解un∈L∞（0，T;H20（Ω））， unt∈L2（0，T;L2（Ω））， 且滿足下列等式：

〈ρn（x）unt，φ〉+〈Δun，Δφ〉=〈unp-2unlnun，φ〉，" φ∈H20（Ω）.（7）

注2" 由C∞0（Ω）在H20（Ω）中稠知， 在H20（Ω）中， un0（x）→u0（x）.

定理1" 設(shè)Ngt;4， 2lt;plt;p， u0（x）∈H20（Ω）， 則存在常數(shù)Tgt;0， 使得問

題（1）在Ω×［0，T）中有唯一一個(gè)弱解u（x，t）∈L∞（0，T;H20（Ω））， 且utx2∈L2（

0，T;L2（Ω））. 這里u（x，t）滿足如下能量等式：

∫t0‖x-2uτ（τ）‖22dτ+J（u（t））=J（u0），" 0≤t≤T.（8）

證明： 證明分兩個(gè)步驟.

步驟1） 弱解的局部存在性和能量等式.

首先， 在式（7）中取φ=un， 并在0到t上積分， 有

12‖ρn（x）1/2un（t）‖22+" ∫t0‖Δun（τ）‖22dτ="" 12‖ρn（x）

1/2un（0）‖22+∫t0∫Ωun（τ）plnun（τ）dxdτ.（9）

設(shè)

Sn（t）=12‖ρn（x）1/2un‖22+∫t0‖Δun‖22dτ，（10）

與式（9）結(jié)合， 有下列等式成立：

Sn（t）=Sn（0）+∫t0∫Ωunplnundxdτ.（11）

下面對(duì)式（11）右端進(jìn)行估計(jì). 設(shè)Ω1={x∈Ω： un≥1}， Ω2={x∈Ω： un

lt;1}， 利用引理3、 引理4以及Young不等式， 有

∫Ωunplnundx=" ∫Ω1unplnundx+∫Ω2unplnundx≤

（eμ）-1‖un‖p+μp+μ≤（eμ）-1CG‖Δun‖θ（p+μ）2‖un‖（1-θ）（p+μ）2

≤" （eμ）-1CGε‖Δun‖22+（eμ）-1CGC（ε）‖un‖2α2，（12）

其中ε∈（0，1）， 2lt;plt;8N+2， 0lt;μlt;8N+2-p且α=4p+4μ-Np-Nμ+2N8-N（p+μ-2）gt;1. 結(jié)合注1、 式（10）～（12）可得

Sn（t）≤C1+C2∫t0（Sn（τ））αdτ，（13）

其中C1=Sn（0）1-（eμ）-1CGε， C2=（eμ）-1CGC（ε）2α1-（eμ）-1CGε. 直接計(jì)算

式（13）可知， 存在常數(shù)Tgt;0， 使得對(duì)所有的t∈［0，T］， 都有

Sn（t）≤CT，（14）

其中CT是與T有關(guān)的常數(shù). 在式（6）第一個(gè)等式兩端同時(shí)乘unt并在Ω×（0，t）上積分， 有

∫t0‖ρn（x）1/2unτ（t）‖22dτ+J（un（t））=J（un0），" 0≤t≤T.（15）

由J（u）的連續(xù)性及注2可得

J（un0）≤C.（16）

結(jié)合式（3），（12），（14）～（16）可得

C≥" J（un（t））=12‖Δun‖22+1p2‖un‖pp-

1p∫Ωunplnundx≥" 12‖Δun‖22+1p2

‖un‖pp-CGεpeμ‖Δun‖22-CGC（ε）peμ‖un‖2α2

≥" 12-CGεpeμ‖Δun‖22+1p2‖un‖pp

-CGC（ε）C（Ω）2αpeμ（CT）α，

即‖Δun‖22+‖un‖pp≤C.（17）

由式（15）～（17）可得如下估計(jì)：

‖un‖L∞（0，T;H20（Ω））≤C，（18）‖ρn（x）1/2unt‖L2（0，T;L2（Ω））≤C，（19）

類似注1并由估計(jì)式（18）， 可得

‖unt‖L2（0，T;L2（Ω））≤C.（20）

結(jié)合式（18），（20）及Aubin-Lions-Simon定理［16］可知， un在C（0，T;L2

（Ω））中強(qiáng)收斂. 所以當(dāng)n→∞時(shí)， 有un（x，0）→u（x，0）， a.e.于Ω. 由注2及極限的唯一性知u（x，0）=u0.

另一方面， 經(jīng)直接計(jì)算并結(jié)合引理3， 得

∫Ωunp-2unlnun2dx=" ∫Ω1

unp-2unlnun2dx+∫Ω2unp-2unlnun2dx≤

（eμ）-2‖un‖2（p-1+μ）2（p-1+μ）+［e（p-1）］-2Ω≤

（eμ）-2B2‖Δun‖2（p-1+μ）2+［e（p-1）］-2Ωlt;C，（21）

其中B2是H20（Ω）到L2（p-1+μ）（Ω）的最佳嵌入常數(shù)， 0lt;μ≤4N-4+2-p， plt;4N-4+2.

結(jié)合上述先驗(yàn)估計(jì)式（18）～（21）可知， 存在函數(shù)u和{un}∞n=1的子序列（不妨仍記為其本身）， 使得當(dāng)n→∞時(shí)有： un→u在L∞（0，T;H20（Ω））中弱*收斂，

ρn（x）1/2unt→utx2在L2（0，T;L2（Ω））中弱收斂;

unp-2unlnun→up-2ulnu在L∞（0，T;L2（Ω））中弱*收斂. 借助上述收斂性， 在式（7）中令n→∞， 有

〈x-4ut，φ〉+〈Δu，Δφ〉=〈up-2ulnu，φ〉，" φ∈H20（Ω），

則易知u是問題（1）在Ω×［0，T）上的一個(gè)弱解. 在問題（1）第一個(gè)等式兩端同時(shí)乘ut并在Ω×（0，t）上積分， 可得能量等式（8）.

步驟2） 唯一性.

設(shè)問題（1）有兩個(gè)不同的解u1，u2， 其滿足相同的初值條件： u1（x，0）=u2（x，0）=u0∈H20（Ω）. 設(shè)v=u1-u2， 則v（0）=0， 且

〈vtx4，w〉+〈Δv，Δw〉=〈u1p-2u1lnu1-u2p-2u2lnu2，w〉，" w∈H20（Ω）.（22）

在式（22）中取w=v， 并在［0，t］上積分， 有

12‖x-2v‖22+∫t0‖Δv‖22dτ=∫t0∫Ω

u1p-2u1lnu1-u2p-2u2lnu2vv2dxdτ，

結(jié)合注1， 有

‖v‖22≤2M∫t0∫Ωf（u1）-f（u2）vv2dxdτ，

其中M是一常數(shù)， f（s）=sp-2slns在

瘙 綆 +→

瘙 綆 +上是局部Lipschitz連續(xù)的， 結(jié)合Gronwall不等式得到弱解的唯一性.

3" 解的整體存在性和衰減估計(jì)

定理2" 若u0∈W+， 則問題（1）當(dāng)t≥0時(shí)有一個(gè)整體弱解u（x，t）∈W+， 且弱解的衰減估計(jì)為

‖Δu（t）‖22≤‖Δu0‖22e1-（2C3/RN）t，" t≥0，（23）

其中C3=1-dJ（u0）2/p-1.

證明： 已知W+=W+1∪W+2， 下面分兩種情形證明.

情形1） u0∈W+1.

結(jié)合J（u0）lt;d和能量等式（8）， 有

∫t0‖x-2uτ（τ）‖22dτ+J（u（t））=J（u0）lt;d，" 0≤t≤Tmax，（24）

其中Tmax是最大存在時(shí)間. 下面證明對(duì)任意的t∈［0，Tmax）， 有u（x，t）∈W+1. 若不然， 由u（x，t）的連續(xù)性可知， 存在t0∈（0，Tmax

）， 使得u（x，t0）∈W+1， 即

J（u（t0））=d，（25）

或I（u（t0））=0.（26）

顯然， 式（25）與式（24）矛盾， 如果式（26）成立， 則根據(jù)井深d的定義可得J（u（t0））≥d， 與式（24）矛盾. 因此， 對(duì)所有的t∈［0，Tmax）有u（x，t）∈W+1成立.

結(jié)合式（5），（24）和W+1的定義可知

∫t0‖x-2uτ（τ）‖22dτ+12-1p‖Δ

u‖22+1p2‖u‖pplt;d.（27）

注意到式（27）的右端常數(shù)d不依賴于T， 故對(duì)任意的Tgt;0， 可取Tmax=T=+∞， 再由上述不等式可知， 問題（1）在Ω×（0，t）上有一個(gè)整體弱解u（x，t）.

下面證明問題（1）的衰退估計(jì). 由式（5）和u（t）∈W+1， 可得

12-1p‖Δu‖22+1p2‖u‖pp≤J（u）≤J（u0）lt;d.（28）

取λ0=max{（λ*）2，（λ*）p}， 直接計(jì)算可得

（λ*）p12-1p‖Δu‖22+1p2‖u‖pp≥J（λ*u（t））≥d.

結(jié)合式（28）可得

λ0≥dJ（u0）gt;1.

因此， 可推斷λ*gt;1， 即

λ*≥dJ（u0）1/pgt;1.（29）

另一方面， 根據(jù)I（u）的定義， 可得

0=" I（λ*u）=（λ*）2‖Δu‖22-（λ*）p∫Ωuplnudx-（λ*）pln（λ*）‖u‖pp=

（λ*）pI（u）-［（λ*）p-（λ*）2］‖Δu‖22-（λ*）pln（λ*）‖u‖pp.（30）

結(jié)合（29），（30）可得

I（u）=‖u‖ppln（λ*）+［1-（λ*）2-p］‖Δu‖22≥C3‖Δu‖22，（31）

其中C3=1-dJ（u0）2/p-1.

由式（4）和引理2， 有

∫TtI（u）ds=" ∫Tt‖Δu‖22-∫Ωuplnudxd

s=-12∫Ttddt‖x-2u‖22ds=

12‖x-2u（t）‖22-12‖x-2u（T）

‖22≤" 12‖x-2u（t）‖22≤RN2‖Δu（t）‖22.（32）

結(jié)合式（31），（32）， 有

∫Tt‖Δu（s）‖22ds≤RN2C3‖Δu（t）‖22，" t∈［0，T］.（33）

令不等式（33）中的T→∞， 再利用引理5， 可得衰減估計(jì)式（23）.

情形2） u0∈W+2.

為證明此時(shí)問題（1）弱解的整體存在性， 采用逼近的方法. 為此， 令{θm}∞m=1（0，1）， 使得limm→∞ θm=1， 并考慮以下初邊值問題：

utx4+Δ2u=

up-2ulnu，x∈Ω，" tgt;0，

u（x，t）=Δu（x，t）=0，x∈Ω，" tgt;0，

u（x，0）=u0m=θmu0（x），x∈Ω.

注意I（λ（u0））=I（u0）gt;0， 則λ=1. 由引理1中4）知， 存在唯一的λ*gt;λ=1 ， 使得I（λ*u0）=0. 于是， 由θmlt;1lt;λ*可推斷出I（u0m）=

I（θmu0）gt;0， J（u0m）=J（θmu0）lt;d. 表明u0m∈W+1. 余下的證明與情形1）的證明類似， 故略. 證畢.

4" 解的爆破性質(zhì)

下面證明問題（1）的弱解在有限時(shí)刻爆破， 并給出爆破時(shí)間的上界和下界. 設(shè)

L（t）=12‖x-2u（t）‖22.

定理3" 若u0∈W-1， 2lt;plt;p， u（x，t）是問題（1）的弱解， 則u（x，t）在有限時(shí)間爆破， 且爆破時(shí)間滿足如下估計(jì)：

Tmax≤βb2（p-2）βb-‖x-2u（0）‖22，（34）

其中β∈0，p（d-J（u0））p-1， bgt;max0，‖x-2u（0）‖22（p-2）β.

證明： 設(shè)u0∈W-1， u（x，t）是問題（1）的弱解. 用與定理2中相同的方法可證明u0∈W-1時(shí)有u（x，t）∈W-1.

于是將I（u）lt;0與引理1中4）相結(jié)合， 可知存在λ*lt;1， 使得I（λ*u）=0， 從而

d≤" J（λ*u）=1pI（λ*u）+（λ*）212-1p‖Δu‖22+（

λ*）pp2‖u‖pplt;" 12-1p‖Δu‖22+1p2‖u‖pp.（35）

假設(shè)u（x，t）是問題（1）的全局弱解， 即Tmax=+∞. 定義正函數(shù)

F（t）=∫t0L（τ）dτ+（T-t）L（0）+β2（t+b）2，（36）

求導(dǎo)可得

F′（t）=" L（t）-L（0）+β（t+b）=∫t0L′（τ）dτ+β（t+b）=" ∫t0∫Ωx-4u·uτdxdτ+β（t+b），（37）

F″（t）=L′（t）+β=-I（u）+β=-pJ（u）+p2-1‖Δu‖22+1p‖u‖pp+β.（38）

由式（36）～（38）可得

F（t）F″（t）-" （1+θ）［F′（t）］2=F（t）F″（t）+（1+θ）×" H（t）-［2F（t）-2（T-t）L（0

）］∫t0‖x-2uτ‖22dτ+β，（39）

其中

H（t）=" ∫t0‖x-2u‖22dτ+β（t+b）2

·∫t0‖x-2uτ‖22dτ+β-" ∫t0∫Ω

x-4uuτdxdτ+β（t+b）2.

借助于Cauchy-Schwarz不等式、 Young不等式和Hlder不等式可得H（t）≥0. 因此， 取θ=p-22gt;0， 再結(jié)合問題（1）、 式（35），（39）和H（t）的非負(fù)性， 有

F（t）F″（t）-p2［F′（t）］2≥F（t）［p（d-J（u0））+（1-p）β］，

從而對(duì)任意的t∈（0，Tmax）和β∈0，p（d-J（u0））p-1， 有

F（t）F″（t）-（1-θ）［F′（t）］2≥0.

再結(jié)合引理6， 有F（0）gt;0， F′（0）=βbgt;0， 則T1： 0lt;T1lt;2F（0）（p-2）F′（0）， 使得F（t）→∞， t→T1， 于是有式（34）成立.

定理4" 若u0∈W-， 2lt;plt;p， u（x，t）是問題（1）的弱解， 在T*處時(shí)刻爆破， 則

T*≥L1-α（0）CL（α-1），（40）

其中α=4p+4μ-Np-Nμ+2N8-N（p+μ-2）， CL=［2C（Ω）］α（eμ）-1CGC（ε）.

證明： 由I（u）和L（t）的定義， 有

L′（t）=∫Ωx-4u·utdx=

-‖Δu‖22+∫Ωuplnudx=-I（u）gt;0.（41）

結(jié)合式（12）和式（41）可得

L′（t）=-‖Δu‖22+∫Ωuplnudx≤（（eμ）-1CGε-1）‖Δu‖22+（eμ）

-1CGC（ε）‖u‖2α2，（42）

由于（eμ）-1CGε-1lt;0， 因此式（42）可化為

L′（t）≤（eμ）-1CGC（ε）‖u‖2α2≤CLLα（t），（43）

其中CL=［2C（Ω）］α（eμ）-1CGC（ε）. 對(duì)不等式（43）兩端在0到t上積分， 可得

11-α［L1-α（t）-L1-α（0）］≤CLt，（44）

令式（44）中t→T*， 則有式（40）.

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（責(zé)任編輯： 趙立芹）