摘要： 設(shè)（L，A）是一給定的完備對(duì)偶對(duì). 首先， 引入復(fù)形

的Gorenstein（L，A）-內(nèi)射維數(shù)， 給出其刻畫， 并證明復(fù)形的Gorenstein（L，A）-內(nèi)射維數(shù)不超過(guò)內(nèi)射維數(shù)；

其次， 討論復(fù)形的相對(duì)上同調(diào)和Tate上同調(diào)， 得到聯(lián)系絕對(duì)、 相對(duì)、 Tate上同調(diào)的長(zhǎng)正合序列.

關(guān)鍵詞： 對(duì)偶對(duì)； Gorenstein（L，A）-內(nèi)射維數(shù)； Tate上同調(diào)； 長(zhǎng)正合序列

中圖分類號(hào)： O153.3" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" 文章編號(hào)： 1671-5489（2024）03-0521-08

Gorenstein（L，A）-Injective Dimension of Complexes

LIU Yanping（College of Economics， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： Let （L，A） be a fixed complete duality pair. Firstly， the author introduced the G

orenstein （L，A）-injective dimension of complexes， gave its" characterization， and proved that Gorenstein （L，A）-inje

ctive dimension of complexes was not larger than injective dimension. Secondly， the author also discussed relative cohomology and" Tate cohomology of complexes， and obtained the long

exact sequence connecting absolute， relative and Tate cohomology.

Keywords： duality pair; Gorenstein（L，A）-injective dimension; Tate cohomology; long exact sequence

收稿日期： 2023-07-05." 網(wǎng)絡(luò)首發(fā)日期： 2024＼|02＼|26.

作者簡(jiǎn)介： 劉妍平（1989—）， 女， 漢族， 博士， 副教授， 從事環(huán)的同調(diào)理論的研究， E-mail： xbsdlyp@163.com.

基金項(xiàng)目： 國(guó)家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)： 11861055）和甘肅省教育廳創(chuàng)新基金（批準(zhǔn)號(hào)： 2021A-002）.

網(wǎng)絡(luò)首發(fā)地址： https：//link.cnki.net/urlid/22.1340.O.20240223.1503.001.

目前， 關(guān)于Gorenstein投射模、 內(nèi)射模和平坦模的研究得到廣泛關(guān)注［1-5］. Asadollahi等［3］定義并研究了復(fù)形的Gorenstein內(nèi)射維數(shù)及其與內(nèi)射維數(shù)之間的關(guān)系. 對(duì)有單位元的交換環(huán)R，

Holm等［4］引入了R-模的對(duì)偶對(duì). 對(duì)偶對(duì)通常與純性、 完全余撓對(duì)等有密切關(guān)系， 因此在Gorenstein同調(diào)代數(shù)的研究中具有重要作用. Gillespie［5］證明了通過(guò)

任意的完備對(duì)偶對(duì)可得到類似于Gorenstein同調(diào)代數(shù)的相對(duì)同調(diào)代數(shù).

Tate在研究有限群表示理論時(shí)， 注意到

瘙 綄 ［G］-模

瘙 綄 有完全投射分解， 其中群G在

瘙 綄 上的作用是平凡的， 從而對(duì)有限群G和

瘙 綄 ［G］-模M定義了Tate上同調(diào)［6］. Buchweitz［7］

將Tate上同調(diào)推廣到了Gorenstein環(huán)， 定義了關(guān)于兩個(gè)變量的Tate上同調(diào)理論. 文獻(xiàn)［8-9］分別從不同的角度對(duì)上述理論進(jìn)行了研究. Avramov等［10］

借助完全分解將該理論推廣到任意交換Noether環(huán)上具有有限G-維數(shù)的有限生成模. Sather-Wagstaff等［11］定義了Abel范疇中具有Tate W-分解的對(duì)象

與任意對(duì)象的Tate上同調(diào). 文獻(xiàn)［12-14］研究了廣義Tate上同調(diào)， 得到了平衡性等相關(guān)性質(zhì). 本文考慮給定的完備對(duì)偶對(duì)（L，A）， 首先， 研究復(fù)形的G

orenstein（L，A）-內(nèi)射維數(shù)， 給出其刻畫， 并討論復(fù)形內(nèi)射維數(shù)和Gorenstein（L，A）-內(nèi)射維數(shù)之間的關(guān)系； 其次， 作為復(fù)形Gorenstein（L，A）-內(nèi)射維數(shù)的應(yīng)用， 討論一類廣義Tate上同調(diào).

1" 預(yù)備知識(shí)

本文所有的環(huán)R均為有單位元的交換環(huán)." 如果對(duì)任意的整數(shù)i， dXidXi+1=0， 則稱R-模的序列

X： …→Xi+1dXi+1XidXiXi-1dXi-1…

為復(fù)形. R-模M視為第0層次為M、 其余層次為0的復(fù)形. 定義復(fù)形X的第i個(gè)同調(diào)模為Hi（X）=ZXi/BXi， 其中ZXi=Ker dXi為復(fù)形X的第i個(gè)循環(huán)， B

Xi=Im dXi+1為復(fù)形X的第i個(gè)邊緣. 記sup X=sup{iXi≠0}， inf X=inf{iXi≠0}.

設(shè)X是R-復(fù)形， u，v是整數(shù). 復(fù)形X在u層次的硬左切割uX和X在v層次的硬右切割Xv分別為

uX=0→Xu→Xu-1→Xu-2→…，

Xv=…→Xv+2→Xv+1→Xv→0.

復(fù)形X在u層次的軟左切割uX和X在v層次的軟右切割Xv分別為

uX=0→CXu→Xu-1→Xu-2→…，" Xv=…→Xv+2→Xv+1→ZXv→0，

其中CXu=Coker（Xu+1→Xu）， ZXv=Ker（Xv→Xv-1）.

R-復(fù)形同態(tài)α： X→Y是指一族R-模同態(tài)αi： Xi→Yi， 且滿足對(duì)任意的i∈

瘙 綄 ， dYiαi-αi-1dXi=0. 若一個(gè)復(fù)形同態(tài)導(dǎo)出同調(diào)的同構(gòu)， 則

該復(fù)形同態(tài)稱為擬同構(gòu)， 記復(fù)形的擬同構(gòu)和同構(gòu)分別為和.

設(shè)A是一個(gè)R-模的類， X是R-復(fù)形. 若對(duì)任意的A∈A， HomR（A，X）是正合的， 則稱復(fù)形X是HomR（A，-）正合的或A-零調(diào)的.

定義1［5］" 設(shè)M和C是R-模的類， 若下列條件成立：

1） M∈M當(dāng)且僅當(dāng)M+∈C；

2） C關(guān)于直和因子與有限直和封閉.

則稱（M，C）是對(duì)偶對(duì).

若M包含模R， 且關(guān)于余積和擴(kuò)張封閉， 則稱對(duì)偶對(duì)（M，C）

是完全的. 若（C，M）也是對(duì)偶對(duì)， 則稱對(duì)偶對(duì)（M，C）是對(duì)稱的. 若（M，C）

是對(duì)稱且完全的， 則稱對(duì)偶對(duì)（M，C）是完備對(duì)偶對(duì).

定義2［5］" 設(shè)（L，A）是全備對(duì)偶對(duì)， M是R-模. 如果M=Z0

I， 則稱M是Gorenstein（L，A）-內(nèi)射的， 其中I是內(nèi)射模的正合序列且對(duì)任意的A∈A， HomR（A，I）正合. 記Gorenst

ein（L，A）-內(nèi)射模類為GJ.

定義3［14］" 設(shè)（A，B）是R-模范疇中的一個(gè)余撓對(duì)， X是R-模復(fù)形.

1） 若X是正合的且對(duì)任意的n∈

瘙 綄 ， ZXn∈A， 則稱X是A-復(fù)形.

2） 若X是正合的且對(duì)任意的n∈

瘙 綄 ， ZXn∈B， 則稱X是B-復(fù)形.

3） 若對(duì)任意的n∈

瘙 綄 ， Xn∈A， 且對(duì)任意的B∈B， HomR（X，B）是正合的， 則稱X是dg A-復(fù)形.

4） 若對(duì)任意的n∈

瘙 綄 ， Xn∈B， 且對(duì)任意的A∈A， HomR（A，X）是正合的， 則稱X是dg B-復(fù)形.

記A-復(fù)形的類為，B-復(fù)形的類為

， dg A-復(fù)形的類為dg ， dg B

-復(fù)形的類為dg . Gillespie［15］證明了（dg ，）和

（，dg ）是復(fù)形的余撓對(duì)， 稱為誘導(dǎo)的余撓對(duì).

2" 復(fù)形的Gorenstein（L，A）-內(nèi)射維數(shù)的刻畫

設(shè)（L，A）是完備對(duì)偶對(duì).

引理1" （W，GJ）是完備遺傳的余撓對(duì)

， 其中W=⊥GJ， 進(jìn)而誘導(dǎo)的余撓對(duì)（，dg GJ）和（dg

，GJ）也是完備遺傳的， 且dg ∩=

， dg GJ∩=GJ， 其中是正合復(fù)形的類.

證明： 根據(jù)文獻(xiàn)［5］中引理4.5和定理4.6知， （W，GJ）是完備遺傳的余撓對(duì)， 其余證明由文獻(xiàn)［15］中推論3.13和文獻(xiàn)［16］中定理3.5可得.

定義4nbsp; 設(shè)M是R-模復(fù)形， 復(fù)形的Gorenstein（L，A）-內(nèi)射維數(shù)GJ-dimRM定義為

GJ-dimRM=inf{sup{-iGi≠0}GM， 其中G∈dg GJ}.

定義5" 設(shè)M是R-模復(fù)形， 復(fù)形的態(tài)射圖MiIvT是M的完備A-余分解.

若復(fù)形的態(tài)射圖MiIvT滿足下列條件：

1） i： M→I是M的dg-內(nèi)射余分解；

2） T是內(nèi)射模的正合A-零調(diào)復(fù)形；

3） 對(duì)所有的i0， vi是雙射.

則稱復(fù)形的態(tài)射圖MiIvT是M的完備A-余分解.

若對(duì)任意的i∈

瘙 綄 ， vi是可裂的， 則稱該完備A-余分解是可裂的.

引理2" 1） GJ是內(nèi)射可解的， 且關(guān)于直積與直和因子封閉；

2） 設(shè)0→X→Y→Z→0是R-模的短正合列， 若Y和Z是Gorenstein（L，A）-內(nèi)射模， 則X是Gorenstein（L，A）-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的A∈A， Ext1R（A，X）=0.

證明： 1） 由（W，GJ）是完備遺傳的余撓對(duì)， 其中W=⊥GJ可得.

2） 充分性. 因?yàn)閆是Gorenstein（L，A）-內(nèi)射模， 所以存在短正合序列

0→K→L→Z→0， 其中L是內(nèi)射模， K是Gorenstein（L，A）-內(nèi)射模. 考慮拉回圖：

由1）和中間列的正合性可知H是Gorenstein（L，A）-內(nèi)射模. 根據(jù)假設(shè)Ext1

R（L，X）=0知， 中間行是可裂正合的. 因此由1）可得X是Gorenstein（L，A）-內(nèi)射模.

必要性. 根據(jù)Gorenstein（L，A）-內(nèi)射模的定義易得.

定理1" 設(shè)M是R-模復(fù)形， 則對(duì)正整數(shù)n， 下列各結(jié)論等價(jià)：

1） GJ-dimRM≤n；

2） -inf H（M）≤n， 且對(duì)任意的XM， Z-n（X）∈GJ， 其中X∈dg GJ；

3） -inf H（M）≤n， 且存在M的dg-內(nèi)射分解M→I， Z-n（I）∈GJ；

4） -inf H（M）≤n， 且對(duì)M的任意dg-內(nèi)射分解M→I′， Z-n（I′）∈GJ；

5） 對(duì)任意的dg-內(nèi)射分解M→I， 存在M的完備A-余分解M→IvT， 使得對(duì)所有的i≤-n， vi=idIi；

6） 存在M的可裂完備A-余分解M→IvT， 使得對(duì)所有的i≤-n， vi=idIi.

進(jìn)而， 若GJ-dimRMlt;∞， 則

GJ-dimRM=sup{-inf RHomR（X，M）X∈A}.

證明： 1）2）由文獻(xiàn)［17］中定理3.4可得. 2）3）顯然.

3）4）. 設(shè)M→I′是dg-內(nèi)射分解. 由文獻(xiàn)［18］中命題1.3.6的對(duì)偶結(jié)論可知， 存在內(nèi)射模E-n和E′-n， 使得Z

-n（I）E′-nZ-n（I′）E-n. 因此由引理2中1）得Z-n（I′）∈GJ.

4）5）. 設(shè)M→I是M的dg-內(nèi)射分解， 則Z-n（I）∈GJ. 因此存在HomR（A，-）-正合的正合序列

…→E1→E0→Z-n（I）→0，

其中每個(gè)Ei是內(nèi)射的. 記復(fù)形…→E1→E0→0為X， 則存在復(fù)形同態(tài)η： I-n→Σ1-nX， 使得下圖可交換：

設(shè)T為復(fù)形…→（Σ1-nX）2-n→（Σ1-nX）1-n→I-n→I-1-n→…， 則T是正合A-零調(diào)復(fù)形. 令

vi=ηi，igt;-n，idIi，i≤-n，

則IvT是需證的復(fù)形同態(tài).

5）6）. 由5）知， 存在M的完備A-余分解M→Iv（1）T（1）， 使得對(duì)所有的i≤-n， v（1）i=idI

i. 令T（2）=Cone（idI1-n）， 則T（2）是可收縮復(fù)形， 且對(duì)所有的i≤-n， T（2）i=0. 由文獻(xiàn)［11］中事實(shí)1.5知T（2）

是層次內(nèi)射的正合復(fù)形， 且對(duì)所有的i∈

瘙 綄 ， Zi（T（2））∈GJ. 記自然同態(tài)I→I1-n→T

（2）為φ： I→T（2）. 對(duì)任意的igt;-n， φi是可裂的且對(duì)任意的i≤-n， φi=0. 令T=T（1）T（2）

， v： I→T， 其中vi=（v（1）iφi）， 則vi是可裂單同態(tài)且對(duì)任意的i≤-n， vi是雙射. 因此M→IvT是可裂的完備A-余分解.

6）2）. 令MiIvT是M的可裂完備A-余分解， 且對(duì)所有的i≤-n， vi=idIi， 則對(duì)所有的i≤-n， Z

i（I）Zi（T）， Hi（I）Hi（T）. 因此Z-n（I）∈GJ， -inf H（M）=-inf H（I）≤-n. 設(shè)X是dg GJ復(fù)

形且MX， 則XI， 從而存在擬同構(gòu)μ： X→I. 由假設(shè)可知-inf H（X）=-inf H（I）≤-n. 令A(yù)是一個(gè)A-模， 則

Ext1R（A，Z-n（X））=" H-1（RHomR（A，Z-n（X）））H-1（RHomR（A，Σn（

-nX）））" H-n-1（RHomR（A，-nX））H-n-1（HomR（A，-nX））

" H-n-1（HomR（A，X））H-n-1（RHomR（A，X））" H-n-1（HomR（A，I））H-1（RHomR（A，Σn（

-nI）））" H-1（RHomR（A，Z-n（I）））=Ext1R（A，Z-n（I）），

其中第一個(gè)和最后一個(gè)同構(gòu)根據(jù)文獻(xiàn)［19］中A.1.14.1可得， 第二個(gè)和第四個(gè)同構(gòu)根據(jù)文獻(xiàn)［20］中引理3.5可得. 因?yàn)锳∈W， -nX是層

次GJ的上有界復(fù)形， 故根據(jù)文獻(xiàn)［15］中引理3.4得A∈dg ，-n

X∈dg GJ， 根據(jù)文獻(xiàn)［20］中引理3.5得

H-n-1（RHomR（A，-nX））H-n-1（HomR（A，-nX））.

因?yàn)閄∈dg GJ， 故根據(jù)文獻(xiàn)［20］中引理3.5得

H-n-1（HomR（A，X））H-n-1（RHomR（A，X））.

又因?yàn)閆-n（I）∈GJ， 所以Ext1R（A，Z-n（I））=0. 因此Ext1R（A，Z-n（X））=0， 進(jìn)而Z-n（X）∈A⊥1.

若μ是單的， 則存在正合序列0→XμI→L→0， 其中L是正合復(fù)形. 因?yàn)閄，I∈dg GJ， 所以由引理1得L∈dg

GJ， 則L∈GJ， Z-n（L）∈GJ. 因此存在正合序列

0→Z-n（X）→Z-n（I）→Z-n（L）→0，

其中Z-n（L），Z-n（I）∈GJ. 由引理2中2）得Z-n（X）∈GJ.

若μ不是單的， 則由引理1知， 存在X的特殊GJ-預(yù)包絡(luò)X→G. 因此X→GI是單的擬同構(gòu)， 且

GI∈dg GJ， Z-n（GI）Z-n（G）Z-n（I）.

由上述證明可知Z-n（GI）∈GJ， 從而Z-n（I）∈GJ. 所以2）得證.

設(shè)M正合， 且X∈A， 并存在下有界dg-投射復(fù)形P， 使得PX， 則對(duì)任意的i∈

瘙 綄 ， 有

Hi（RHomR（X，M））=Hi（HomR（P，M））=0.

因此sup{-inf RHomR（X，M）X∈A}=-∞， 從而

GJ-dimRM=sup{-inf RHomR（X，M）X∈A}=-∞.

設(shè)GJ-dimRM=n， n為整數(shù)， 下面證明sup{-inf RHomR（X，M）X∈A}≤n. 根據(jù)3）和引理2中1）， 存在dg-內(nèi)

射復(fù)形I， 使得MI， 且對(duì)任意的i≤n， Zi（I）∈GJ. 若對(duì)任意的i≥1和X∈A， 有

H-n-i（RHomR（X，M））=" H-n-i（HomR（X，I））=H-1（HomR（X，Σn+i-1（-n-i+1I）））=

H-1（RHomR（X，Z-n-i+1（I））=Ext1R（X，Z-n-i+1（I））=0.

則對(duì)任意的X∈A， -inf H（RHomR（X，M））≤n.

設(shè)sup{-inf H（RHomR（X，M））X∈A}lt;n， 因?yàn)镚J＼|dimRM=n， 故由5）知存在完備的A-余分解M

iIvT， 使得對(duì)任意的i≤-n， vi=idIi. 記ε： Z-n（I）→I-n， 則ε是單射. 由于Z-n（I）=Z-n（T）， I-n=T-n， 所以存在

滿射q： T1-n→Z-n（I）和t： I1-n→Z-n（I）， 使得δT1-n=εq， δI1-n=εt. 又由假設(shè)H-n（RHomR（T1-n，I））=0知， H

-n（HomR（T1-n，I））=0， 因此存在正合序列

HomR（T1-n，I1-n）→HomR（T1-n，I-n）→HomR（T1-n，I-n-1）.

于是t： HomR（T1-n，I1-n）→HomR（T1-n，Z-n（I））是滿射， 從而存在α： T1-n→I1-n， 使得q=tα. 因?yàn)閝是滿射， 故t也是滿射， 因此-inf H（M）≤

n-1. 可見q： T1-n→Z-n（I）是特殊的A-預(yù)覆蓋， 故t也是特殊的A-預(yù)覆蓋， 于是可得Z1-n（I）∈A

⊥1. 由引理2得Z1-n（I）∈GJ， 矛盾. 因此

GJ-dimRM=sup {-inf H（RHomR（X，M））X∈A}.

注1" 1） 考慮交換Noether環(huán)上的完備對(duì)偶對(duì)（F，J）， 其

中F為平坦模類， J為內(nèi)射模類. 此時(shí)Gorenstein（F，J）-投射模為Ding投射模， Goren

stein（F，J）-內(nèi)射模為Ding內(nèi)射模. 由定理1知這里的Gorenstein

（F，J）-內(nèi)射維數(shù)恰是文獻(xiàn)［21］中的Ding內(nèi)射維數(shù).

2） 設(shè)環(huán)R是Krull維數(shù)有限的交換Noether環(huán)， 此時(shí)Gorenstein（F，J）-內(nèi)射模為Gorenstein內(nèi)射模. 由定理1知這里的Gorenstein

（F，J）-內(nèi)射維數(shù)恰是文獻(xiàn)［3］中的Gorenstein內(nèi)射維數(shù).

推論1" 設(shè)M是R-模復(fù)形， 則GJ-dimRM≤idRM， 當(dāng)idRMlt;∞時(shí)等號(hào)成立.

證明： 設(shè)idRM=n， 若n=∞， 則顯然GJ-dimRM≤idRM. 設(shè)n=-∞， 則M是正合的. 因此GJ-

dimRM≤idRM=-∞. 設(shè)H（M）≠0， idRM=n， 則對(duì)任意的ilt;-n， Hi（M）=0， 且存在dg-內(nèi)射分解M→I， 使得Z-n（I）是內(nèi)射的.

特別地， Z-n（I）是Gorenstein（L，A）-內(nèi)射的. 由定理1得GJ-dimRM≤n.

若idRM=nlt;∞， 反設(shè)GJ-dimRM=mlt;n， 則存在dg-內(nèi)射分解M→I′， 使得對(duì)任意的ilt;-n， I′i

=0. 由定理1知， Z-m（I′）∈GJ， 對(duì)任意的ilt;-m， Hi（M）=0. 特別地， 對(duì)任意的ilt;-m， Hi（I′）=0. 所以存在正合序列

0→Z-m（I′）→I′-m→…→I′-n→0.

因?yàn)閮?nèi)射模屬于⊥GJ， 所以對(duì)任意的-n≤i≤-m， I′i∈⊥GJ， 從而存在正合序列

0→Z-m（I′）→I′-m→Z-m-1（I′）→0，

其中Z-m-1（I′）∈⊥GJ， 故0→Z-m（I′）→I′-m→Z-m-1（I′）→0是可裂的.

于是可知Z-m（I′）是內(nèi)射的， 進(jìn)而有n≤m， 矛盾. 表明m=n.

根據(jù)定理1易得：

推論2" 設(shè)（Xi）i∈I是一族R-模復(fù)形， 則

GJ-dimR∏i∈IXi≤sup{GJ＼|dimR（Xi）i∈I}.

3" 相對(duì)Tate上同調(diào)

作為復(fù)形Gorenstein（L，A）-內(nèi)射維數(shù)的應(yīng)用， 下面討論相對(duì)于完備A-余分解的Tate上同調(diào).

引理3" 設(shè)MiIvT和

分別是M和的完備A-余分解， 則對(duì)任意的復(fù)形同態(tài)μ： M→， 存在同倫意義下的唯一的同態(tài)μ， 使得下

圖左邊的方塊同倫交換， 且對(duì)μ存在同倫意義下的唯一同態(tài)， 使得下圖右邊的方塊同倫交換：

若μ=idM， 則μ和是同倫等價(jià).

證明： 類似文獻(xiàn)［11］中引理5.3的對(duì)偶可證.

定義6" 設(shè)N是Gorenstein（L，A）-內(nèi)射維數(shù)有限的復(fù)形， 且N→I

vT是N的完備A-余分解. 對(duì)任意的復(fù)形M和任意的n∈

瘙 綄 ， EtnR（M，N）=H-n（HomR（M，T））

稱為n次相對(duì)Tate上同調(diào). 對(duì)任意的n∈

瘙 綄 ， 同態(tài)HomR（M，v）： HomR（M，I）→HomR（M，T）誘導(dǎo)出Abel群同態(tài)ExtnR（M，N）→EtnR（M，N）.

注2" 1） 由引理3可知EtnR（-，N）是上同調(diào)函子， 其與N的完備A-余分解的選取無(wú)關(guān)；

2） 若N有完備A-余分解N→IvT， 則IidIIvT是I的完備A-余分解， 且對(duì)

任意的復(fù)形M和任意的i∈

瘙 綄 ， EtiR（M，N）EtiR（M，I）;

3） 若GJ-dimRN≤n， 則對(duì)任意的上有界復(fù)形M和igt;n+sup M， ExtiR（M，N）→EtiR（M，N）是雙射.

引理4" 設(shè)N： 0→N→N′→N″→0是具有有限Gor

enstein（L，A）-內(nèi)射維數(shù)的復(fù)形的正合序列， 則存在下列行正合的交換圖：

其中各列是完備A-余分解.

證明： 類似文獻(xiàn)［11］中引理5.5的對(duì)偶可證.

命題1" 設(shè)M是R-模復(fù)形， N： 0→N→N′→N″→0是R-模復(fù)形的正合列.

1） 若M具有有限Gorenstein（L，A）-內(nèi)射維數(shù)， 則存在自然同態(tài)Vn（N，M）， 使得下列序列是正合的：

…→EtnR（N′，M）→EtnR（N，M）Vn（N，M）Etn+1R（N″，M）→….

2） 若N，N′和N″具有有限Gorenstein（L，A）-內(nèi)射維數(shù)， 則存在自然同態(tài)Vn（M，N）， 使得以下序列是正合的：

…→EtnR（M，N′）→EtnR（M，N″）Vn（M，N）Etn+1R（M，N）→….

證明： 1） 由N的完備A-余分解N→IvT可誘導(dǎo)出如下交換圖：

因?yàn)閷?duì)任意的n∈

瘙 綄 ， Tn和In都是內(nèi)射的， 所以該交換圖是行正合的， 其中下行導(dǎo)出的同調(diào)正合序列即為所證的長(zhǎng)正合序列. 自然性顯然.

2） 用HomR（M，-）作用引理4中的交換圖， 因?yàn)閷?duì)任意的n∈

瘙 綄 ， Tn和In都是內(nèi)射的， 所以可得如下行正合的交換圖：

其中下行導(dǎo)出的同調(diào)正合序列即為所證的長(zhǎng)正合序列. 自然性顯然.

引理5" 設(shè)NiIvT是R-模N的可裂完備A-余分解， 則存在復(fù)形的可裂正合序列

0→I→→ΣY→0，

其中=1T， Y是N的真GJ-余分解.證明： 由假設(shè)存在非負(fù)整數(shù)n， 使得對(duì)任意的i≤-n， vi是雙射.

令=1T， ： I→是同態(tài)， 則對(duì)任意的i≤0， i=vi， 對(duì)任意的igt;0， i=0. 令Y=Σ-1Coker（

）， 因?yàn)镃oker（v）是層次內(nèi)射復(fù)形， 所以Y0=C1（T）∈GJ， 且對(duì)任意的-n≤i≤-1， Yi是內(nèi)射的， 對(duì)任意的i

≤-n-1， Yi=0. 因此有復(fù)形正合列0→I→→ΣY→0， 其中=1T， Y是N的真GJ-余分解.

引理6" 設(shè)NiIvT和N′i′I′v′T

′分別是R-模N和N′的可裂完備A-余分解， g： N→N′是R-模同態(tài)， 則存在復(fù)形同態(tài)交換圖：

其中各行如引理5， g和g*由g提升得到， g由g的提升誘導(dǎo)得到.

證明： 根據(jù)引理3可得復(fù)形同態(tài)的交換圖：

則由和的定義可知， g誘導(dǎo)出同態(tài)g： →′， 使得下圖可交換：

由Y和Y′的定義可知g誘導(dǎo)出同態(tài)g*， 使得引理6中的圖可交換.由定義知g是g的提升， 因?yàn)楹?/p>

′是正合的， 所以g是擬同構(gòu). 由誘導(dǎo)的長(zhǎng)正合序列可知g*是g的提升.

定義7" 設(shè)R-模N有真GJ-余分解N→E， 對(duì)任意的R-模M， 定義相對(duì)上同調(diào)群

ExtnGJ（M，N）=H-n（HomR（M，E））.

定理2" 設(shè)R-模N具有有限Gorenstein（L，A）-內(nèi)射維數(shù)n， 則對(duì)任意的R-模M存在長(zhǎng)正合序列

0→Ext1GJ（M，N）→Ext1R（M，N）→Et1R（M，N）→…

ExtnGJ（M，N）→ExtnR（M，N）→EtnR（M，N）→0.

證明： 設(shè)GJ-dimRN≤nlt;∞， 則由定理1和引理5可知存在可裂的復(fù)形正合序列

0→I→→ΣY→0，

其中=1T， Y是N的真GJ-余分解. 設(shè)M是R-模， 用HomR（M，-）作用上述正合列可得復(fù)形的正合序列

0→HomR（M，I）→HomR（M，）→HomR（M，ΣY）→0，

并誘導(dǎo)出正合序列

…→Hi（HomR（M，I））→Hi（HomR（M，））→Hi（HomR（M，ΣY））→….

因此對(duì)任意的i≥0， H-i（HomR（M，ΣY））H-i-1（HomR（M，Y））=Exti+1GJ（M，N）， 對(duì)

任意的igt;n， H-i（HomR（M，ΣY））=0. 同時(shí)對(duì)任意的i≥1， H-i（HomR（M，））Ext︿

iR（M，N）， H0（HomR（M，））=0. 于是長(zhǎng)正合序列得證.

該長(zhǎng)正合序列關(guān)于M是自然的. 事實(shí)上， 設(shè)g： M→M′是R-模同態(tài)， 用HomR（M，-）作用正合列0→I→→ΣY→0得下列交換圖：

誘導(dǎo)出所需長(zhǎng)正合列的交換圖.

該長(zhǎng)正合序列關(guān)于N是自然的. 事實(shí)上， 設(shè)f： N→N′是R-模同態(tài)， 用HomR（M，-）作用引理6中的交換圖可得下列交換圖：

誘導(dǎo)出所需長(zhǎng)正合列的交換圖.

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